2024-2025學年上海師大附中閔行分校高三（上）第三次半月考數學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年上海師大附中閔行分校高三（上）第三次半月考數學試卷一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.“x>1”是“|x|>1”的(

)A.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既非充分也非必要條件2.小明在某比賽活動中已經進入前四強，他遇到其余四強的三人之一的獲勝概率分別為0.3、0.4、0.65，若小明等可能遇到其他選手，獲勝則進入決賽，反之被淘汰，則小明進入決賽的概率為(

)A.0.45 B.0.5 C.0.55 D.0.63.已知z是復數，z?是其共軛復數，則下列命題中正確的是(

)A.z2=|z|2

B.若|z|=1，則|z?1?i|的最大值為2+1

C.若z=(1?2i)2，則復平面內z?對應的點位于第一象限

4.已知函數f(x)=cosx+1x的定義域為(0,+∞)，將f(x)的所有零點按照由小到大的順序排列，記為：x1，x2，…，xn…，對于正整數n有如下兩個命題：

甲：(n?1)π<xnA.甲正確，乙正確 B.甲正確，乙錯誤 C.甲錯誤，乙正確 D.甲錯誤，乙錯誤二、填空題：本題共12小題，共54分。5.函數f(x)=lg(x?1)的定義域是__________．6.已知向量a=(2m,1)，b=(1,m?3)，若a⊥b，則實數m=7.已知復數z=1+ai(a∈R)，其中i是虛數單位，Re(zi)=2，則a=______．8.已知(3+ax)5的展開式中各項系數的和為32，則a=______．9.已知雙曲線的漸近線方程為y=±x，且右頂點與橢圓x24+10.“學如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，易放難收.”《增廣賢文》是勉勵人們專心學習的.如果每天的“進步”率都是1%，那么一年后是(1+1%)365=1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是(1?1%)365=0.99365，一年后“進步”的是“退步”的1.013650.99365=(1.0111.已知函數y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則不等式(ax+b)(bx?c)>012.若函數f(x)=2x,x≤0?x2+m,x>013.某醫(yī)院派出16名護士、4名內科醫(yī)生組成支援隊伍，現(xiàn)在需要從這20人中任意選取3人去A城市支援，設X表示其中內科醫(yī)生的人數，則X的期望為______．14.設函數y=sin(2x+φ)(0<φ<π2)的圖像與直線y=t相交的連續(xù)的三個公共點從左到右依次記為A，B，C，若|BC|=2|AB|，則正實數15.如圖，要在A和D兩地之間修建一條筆直的隧道，現(xiàn)在從B地和C地測量得到：∠DBC=24.2°，∠DCB=35.4°，∠DBA=31.6°，∠DCA=17.5°.則∠DAB=______.(結果精確到0.1°)16.已知a,b,e是平面向量，且e是單位向量，若非零向量a在e方向上的投影向量為12|a|?e三、解答題：本題共5小題，共76分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題15分)

如圖，已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1，底面正方形ABCD的邊長為2，AA1=3．

(1)求證：平面AA18.(本小題15分)

已知函數f(x)=b?a2x+1(a∈R,b∈R)．

(1)當b=2時，是否存在實數a，使得y=f(x)是奇函數；

(2)對于任意給定的非零實數b，y=f(x)與x19.(本小題15分)

如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形ABCD的區(qū)域進行綠化，在此綠化區(qū)域中，分別以∠DCB和∠DAB為圓心角的兩個扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個扇形的圓弧均與BD相切．

(1)若AD=437,AB=337,BD=37(長度單位：米)，求種植花卉區(qū)域的面積；

(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為135°，則20.(本小題15分)

如圖1，已知拋物線τ的方程為x2=y，直線l的方程為y=kx+1，直線l交拋物線τ于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(x1<x2)，O為坐標原點．

(1)若k=0，求△AOB的面積的大?。?/p>

(2)∠AOB的大小是否是定值？證明你的結論；

(3)如圖2，過點A、B分別作拋物線的切線21.(本小題16分)

定義：設y=f(x)和y=g(x)均為定義在R上的函數，它們的導函數分別為f′(x)和g′(x)，若不等式[f(x)?g(x)][f′(x)?g′(x)]≤0對任意實數x恒成立，則稱y=f(x)和y=g(x)為“相伴函數”．

(1)給出兩組函數，①f1(x)=(1e)x和g1(x)=0②f2(x)=ex和g2(x)=x，分別判斷這兩組函數是否為“相伴函數”(只需直接給出結論，不需論證)；

(2)若y=f(x)、y=g(x)是定義在R上的可導函數，y=f(x)是偶函數，y=g(x)是奇函數，f(x)+g(x)=參考答案1.A

2.A

3.B

4.A

5.{x|x>1}

6.1

7.?2

8.?1

9.x210.17

11.(?212.(0,1]

13.35．14.1215.52.5°

16.1917.證明：(1)因為四棱柱ABCD?A1B1C1D1為正四棱柱，

所以AA1⊥平面ABCD，且AC⊥BD，

因為BD?平面ABCD，所以AA1⊥BD，

因為AC∩AA1=A，AC，AA1?平面AA1CC1，

所以BD⊥平面AA1CC1，又BD?平面A1BD，

所以平面AA1CC1⊥平面A1BD.得證．

解：(2)設點A到平面A1BD的距離為d，AC與BD相交于點O，連接A1O，

因為正方形ABCD的邊長為2，AA1=3，

所以18.解：(1)根據題意，函數f(x)=b?a2x+1(a∈R,b∈R)，

當b=2時，則f(x)=2?a2x+1，可知f(x)的定義域為R，

若y=f(x)是奇函數，則f(0)=2?a2=0，解得a=4，

且當a=4時，f(x)+f(?x)=2?42x+1+2?42?x+1=4?42x+1?4×2x2x+1=0，

即f(x)=?f(?x)，y=f(x)是奇函數，

綜上所述：當a=4時，y=f(x)是奇函數．

(2)令f(x)=b?a2x+1=0，可得a=b(219.解：(1)△ABD中，AD=437，AB=337，BD=37，

所以cosA=(437)2+(337)2?3722×437×337=?12，

又因為A∈(0,π)，所以A=2π3，

設扇形的半徑為r，

則S△ABD=12?37?r=12?437?337?sin2π3，

解得r=63，

所以扇形的面積為S扇形=12×2π3×(63)2=36π，

所以兩塊花卉景觀扇形的面積為72π平方米；

(2)連接A與切點O，設∠BDA=θ，過點B作AD的垂線交AD延長線于點E，

△AOD中，AD=OA20.解：(1)當k=0時，直線l的方程為y=1，

由x2=yy=1解得y=1，x1=?1，x2=1，

所以△AOB的面積為12×2×1=1．

(2)由(1)中發(fā)現(xiàn)△AOB為等腰直角三角形，猜測∠AOB=90°．

證明：OA?OB=x1x2+y1y2=x1x2+x12x22，

y=kx+1y=x2得x2?kx?1=0，即x1x2=?1，Δ=k2+4>0，

所以OA?OB=?1+1=0，所以∠AOB=90°為定值．

(3)A(x21.解：(1)第(1)組是，第(2)組不是，

①f1(x)=(1e)x和g1(x)=0，

[f1(x)?g1(x)][f1′(x)?g1′(x)]=?e?2x≤0，

所以這兩組函數是“相伴函數”．

②f2(x)=ex和g2(x)=x，

[f2(x)?g2(x)][f2′(x)?g2′(x)]=(ex?x)(ex?1)不一定為非正數，

所以這兩組函數不是“相伴函數”．

(2)證明：由題意得f(?x)+g(?x)=ln(ex+1)?x，f(?x