數(shù)學(xué)示范教案：第二章第五節(jié)平面向量應(yīng)用舉例（第一課時）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二章第五節(jié)平面向量應(yīng)用舉例第一課時eq\o（\s\up7（)，\s\do5（整體設(shè)計）)教學(xué)分析1．本節(jié)的目的是讓學(xué)生加深對向量的認(rèn)識，更好地體會向量這個工具的優(yōu)越性．對于向量方法，就思路而言,幾何中的向量方法完全與幾何中的代數(shù)方法一致,不同的只是用“向量和向量運(yùn)算”來代替“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算”．這就是把點(diǎn)、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量，對這些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論，然后把這些計算結(jié)果翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、面的相應(yīng)結(jié)果．代數(shù)方法的流程圖可以簡單地表述為：則向量方法的流程圖可以簡單地表述為：這就是本節(jié)給出的用向量方法解決幾何問題的“三步曲”，也是本節(jié)的重點(diǎn)．2．研究幾何可以采取不同的方法，這些方法包括：綜合方法-—不使用其他工具，對幾何元素及其關(guān)系直接進(jìn)行討論；解析方法——以數(shù)（代數(shù)式)和數(shù)（代數(shù)式）的運(yùn)算為工具，對幾何元素及其關(guān)系進(jìn)行討論；向量方法-—以向量和向量的運(yùn)算為工具,對幾何元素及其關(guān)系進(jìn)行討論；分析方法——以微積分為工具,對幾何元素及其關(guān)系進(jìn)行討論，等等．前三種方法都是中學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的內(nèi)容．有些平面幾何問題,利用向量方法求解比較容易．使用向量方法要點(diǎn)在于用向量表示線段或點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)與線之間的關(guān)系，建立向量等式，再根據(jù)向量的線性相關(guān)與無關(guān)的性質(zhì)，得出向量的系數(shù)應(yīng)滿足的方程組，求出方程組的解,從而解決問題．使用向量方法時，要注意向量起點(diǎn)的選取，選取得當(dāng)可使計算過程大大簡化．三維目標(biāo)1．2．明了平面幾何圖形中的有關(guān)性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示．3．通過本節(jié)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生深刻理解向量在處理有關(guān)平面幾何問題中的優(yōu)越性,活躍學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，并體會向量在幾何和現(xiàn)實(shí)生活中的意義．教學(xué)中要求盡量引導(dǎo)學(xué)生使用信息技術(shù)這個現(xiàn)代化手段．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：用向量方法解決實(shí)際問題的基本方法；向量法解決幾何問題的“三步曲"．教學(xué)難點(diǎn)：如何將幾何等實(shí)際問題化歸為向量問題．課時安排1課時eq\o(\s\up7(），\s\do5(教學(xué)過程)）導(dǎo)入新課思路1.（直接導(dǎo)入)向量的概念和運(yùn)算都有著明確的物理背景和幾何背景，當(dāng)向量和平面坐標(biāo)系結(jié)合后，向量的運(yùn)算就完全可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來了極大的方便．本節(jié)專門研究平面幾何中的向量方法．思路2。（情境導(dǎo)入)由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景,平面幾何圖形的許多性質(zhì),如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來,因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問題．下面通過幾個具體實(shí)例,說明向量方法在平面幾何中的運(yùn)用．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題））①平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型，如圖1，你能觀察、發(fā)現(xiàn)并猜想出平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關(guān)系嗎?圖1②你能利用所學(xué)知識證明你的猜想嗎？能利用所學(xué)的向量方法證明嗎？試一試可用哪些方法？③你能總結(jié)一下利用平面向量解決平面幾何問題的基本思路嗎？活動：①教師引導(dǎo)學(xué)生猜想平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關(guān)系．利用類比的思想方法，猜想平行四邊形有沒有相似關(guān)系．指導(dǎo)學(xué)生猜想出結(jié)論：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．②教師引導(dǎo)學(xué)生探究證明方法，并點(diǎn)撥學(xué)生對各種方法分析比較，平行四邊形是學(xué)生熟悉的重要的幾何圖形，在平面幾何的學(xué)習(xí)中,學(xué)生得到了它的許多性質(zhì)，有些性質(zhì)的得出比較麻煩，有些性質(zhì)的得出比較簡單．讓學(xué)生體會研究幾何可以采取不同的方法,這些方法包括綜合方法、解析方法、向量方法．證明：方法一:如圖2。圖2作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，則Rt△ADF≌Rt△BCE?！郃D＝BC,AF＝BE.由于AC2＝AE2＋CE2＝（AB＋BE)2＋CE2＝AB2＋2AB·BE＋BE2＋CE2＝AB2＋2AB·BE＋BC2.BD2＝BF2＋DF2＝(AB－AF）2＋DF2＝AB2－2AB·AF＋AF2＋DF2＝AB2－2AB·AF＋AD2＝AB2－2AB·BE＋BC2。∴AC2＋BD2＝2(AB2＋BC2)．方法二：如圖3.圖3以AB所在直線為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．設(shè)B(a,0），D(b,c），則C（a＋b，c）．∴|AC｜2＝(a＋b）2＋c2＝a2＋2ab＋b2＋c2，|BD｜2＝（a－b)2＋(－c)2＝a2－2ab＋b2＋c2.∴|AC｜2＋｜BD｜2＝2a2＋2(b2＋c2）＝2(|AB｜2＋|AD|2用向量方法推導(dǎo)了平行四邊形的兩條對角線與兩條鄰邊之間的關(guān)系．在用向量方法解決涉及長度、夾角的問題時，常常考慮用向量的數(shù)量積．通過以下推導(dǎo)學(xué)生可以發(fā)現(xiàn),由于向量能夠運(yùn)算，因此它在解決某些幾何問題時具有優(yōu)越性，它把一個思辨過程變成了一個算法過程，學(xué)生可按一定的程序進(jìn)行運(yùn)算操作，從而降低了思考問題的難度，同時也為計算機(jī)技術(shù)的運(yùn)用提供了方便．教學(xué)時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會向量帶來的優(yōu)越性．因?yàn)槠叫兴倪呅螌蔷€平行且相等,考慮到向量關(guān)系eq\o（DB，\s\up6（→)）＝eq\o(AB,\s\up6(→）)－eq\o（AD，\s\up6（→))，eq\o(AC,\s\up6（→)）＝eq\o(AB，\s\up6（→)）＋eq\o（AD，\s\up6（→）)，教師可點(diǎn)撥學(xué)生設(shè)eq\o（AB，\s\up6(→)）＝a，eq\o（AD，\s\up6（→））＝b，其他線段對應(yīng)向量用它們表示，涉及長度問題常?？紤]向量的數(shù)量積，為此,我們計算|eq\o(AC，\s\up6（→）)|2與｜eq\o（DB，\s\up6(→)）｜2。因此有了方法三．方法三:設(shè)eq\o（AB，\s\up6（→）)＝a,eq\o（AD，\s\up6（→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→））＝a＋b，eq\o（DB,\s\up6(→））＝a－b,|eq\o(AB,\s\up6(→）)｜2＝|a|2，|eq\o（AD，\s\up6(→)）｜2＝｜b｜2。∴｜eq\o(AC，\s\up6（→））｜2＝eq\o（AC，\s\up6(→）)·eq\o（AC,\s\up6（→））＝(a＋b)·（a＋b）＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝｜a|2＋2a·b＋|b|2。①同理｜eq\o(DB,\s\up6（→))｜2＝|a｜2－2a·b＋｜b｜2。②觀察①②兩式的特點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)，①＋②得|eq\o（AC，\s\up6（→））｜2＋|eq\o（DB，\s\up6（→)）|2＝2(｜a|2＋｜b｜2)＝2（|eq\o(AB，\s\up6(→）)｜2＋｜eq\o（AD，\s\up6(→））|2),即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍．至此，為解決重點(diǎn)問題所作的鋪墊已經(jīng)完成，向前發(fā)展可以說水到渠成．教師充分讓學(xué)生對以上各種方法進(jìn)行分析比較，討論認(rèn)清向量方法的優(yōu)越性，適時引導(dǎo)學(xué)生歸納用向量方法處理平面幾何問題的一般步驟．由于平面幾何經(jīng)常涉及距離（線段長度)、夾角問題，而平面向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積主要涉及向量的模以及向量之間的夾角，因此我們可以用向量方法解決部分幾何問題．解決幾何問題時，先用向量表示相應(yīng)的點(diǎn)、線段、夾角等幾何元素．然后通過向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積來研究點(diǎn)、線段等元素之間的關(guān)系．最后再把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，得到幾何問題的結(jié)論．這就是用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”，即（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．討論結(jié)果：①能．②能想出至少三種證明方法．③略．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))例1如圖4，ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？圖4活動:為了培養(yǎng)學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想能力,讓學(xué)生能動態(tài)地發(fā)現(xiàn)圖形中AR、RT、TC之間的相等關(guān)系,教學(xué)中可以充分利用多媒體，作出上述圖形,測量AR、RT、TC的長度,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)AR＝RT＝TC,拖動平行四邊形的頂點(diǎn)，動態(tài)觀察發(fā)現(xiàn)，AR＝RT＝TC這個規(guī)律不變,因此猜想AR＝RT＝TC.事實(shí)上，由于R、T是對角線AC上的兩點(diǎn)，要判斷AR、RT、TC之間的關(guān)系，只需分別判斷AR、RT、TC與AC的關(guān)系即可．又因?yàn)锳R、RT、TC、AC共線，所以只需判斷eq\o(AD,\s\up6(→）),eq\o(AR,\s\up6（→）），eq\o(AT,\s\up6(→）)與eq\o（AC，\s\up6（→））之間的關(guān)系即可．探究過程對照用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲"很容易地可得到結(jié)論．第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；第二步，通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；第三步，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系：AR＝RT＝TC。解：如圖4,設(shè)eq\o(AB，\s\up6(→））＝a,eq\o(AD,\s\up6（→）)＝b，eq\o(AR,\s\up6(→）)＝r，eq\o(AT,\s\up6(→)）＝t，則eq\o（AC,\s\up6（→)）＝a＋b.由于eq\o(AR,\s\up6(→））與eq\o（AC,\s\up6(→))共線,所以我們設(shè)r＝n（a＋b)，n∈R。又因?yàn)閑q\o（EB,\s\up6(→）)＝eq\o（AB,\s\up6（→）)－eq\o（AE,\s\up6（→））＝a－eq\f(1，2）b，eq\o（ER,\s\up6（→))與eq\o（EB,\s\up6（→））共線，所以我們設(shè)eq\o(ER，\s\up6(→）)＝meq\o(EB,\s\up6（→））＝m（a－eq\f（1，2）b)．因?yàn)閑q\o（AR,\s\up6(→））＝eq\o(AE,\s\up6(→）)＋eq\o（ER，\s\up6（→)),所以r＝eq\f(1，2）b＋m(a－eq\f(1，2）b）．因此n（a＋b)＝eq\f(1,2)b＋m(a－eq\f（1，2）b)，即（n－m)a＋（n＋eq\f（m－1，2))b＝0。由于向量a、b不共線，要使上式為0，必須eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(n－m＝0，,n＋\f(m－1,2）＝0.))解得n＝m＝eq\f(1，3）.所以eq\o（AR,\s\up6（→))＝eq\f（1,3)eq\o(AC,\s\up6（→））.同理eq\o(TC，\s\up6（→))＝eq\f（1，3）eq\o(AC，\s\up6(→)）.于是eq\o(RT,\s\up6（→））＝eq\f（1,3)eq\o(AC，\s\up6（→))。所以AR＝RT＝TC.點(diǎn)評:教材中本例重在說明是如何利用向量的辦法找出這個相等關(guān)系的，因此在書寫時可簡化一些程序．指導(dǎo)學(xué)生在今后的訓(xùn)練中，不必列出三個步驟.變式訓(xùn)練如圖5，AD、BE、CF是△ABC的三條高．求證：AD、BE、CF相交于一點(diǎn)．圖5證明:設(shè)BE、CF相交于H，并設(shè)eq\o（AB，\s\up6（→））＝b，eq\o(AC,\s\up6（→））＝c，eq\o(AH，\s\up6（→））＝h，則eq\o(BH，\s\up6(→))＝h－b，eq\o（CH，\s\up6(→))＝h－c，eq\o（BC,\s\up6（→))＝c－b.因?yàn)閑q\o(BH,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→）），eq\o(CH，\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以(h－b）·c＝0,（h－c)·b＝0,即（h－b）·c＝(h－c)·b?；喌胔·（c－b)＝0.所以eq\o(AH，\s\up6(→)）⊥eq\o（BC，\s\up6（→)）.所以AH與AD共線，即AD、BE、CF相交于一點(diǎn)H.例2如圖6，已知在等腰△ABC中，BB′、CC′是兩腰上的中線，且BB′⊥CC′，求頂角A的余弦值．圖6活動：教師可引導(dǎo)學(xué)生思考探究，上例利用向量的幾何法簡捷地解決了平面幾何問題．可否利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算呢？這需要建立平面直角坐標(biāo)系，找出所需點(diǎn)的坐標(biāo)．如果能比較方便地建立起平面直角坐標(biāo)系，如本例中圖形，很方便建立平面直角坐標(biāo)系，且圖形中的各個點(diǎn)的坐標(biāo)也容易寫出，是否利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算能更快捷地解決問題呢？教師引導(dǎo)學(xué)生建系、找點(diǎn)的坐標(biāo)，然后讓學(xué)生獨(dú)立完成．解：建立如圖6所示的平面直角坐標(biāo)系，取A（0，a）,C（c，0)，則B（－c，0），eq\o（OA，\s\up6（→））＝(0，a），eq\o(BA,\s\up6(→)）＝（c,a）,eq\o（OC，\s\up6(→))＝（c，0)，eq\o（BC，\s\up6（→))＝(2c,0)．因?yàn)锽B′、CC′都是中線,所以eq\o（BB′,\s\up6(→))＝eq\f（1,2)（eq\o（BC，\s\up6（→))＋eq\o（BA，\s\up6（→））)＝eq\f(1,2）[（2c,0）＋（c，a）]＝(eq\f(3c，2)，eq\f(a,2))，同理eq\o(CC′，\s\up6(→））＝（－eq\f(3c，2），eq\f（a，2))．因?yàn)锽B′⊥CC′,所以－eq\f(9，4)c2＋eq\f（a2，4）＝0,a2＝9c2.所以cosA＝eq\f（\o（AB，\s\up6（→）)·\o(AC，\s\up6(→))，|\o(AB,\s\up6（→）)｜|\o(AC，\s\up6(→））|）＝eq\f（a2－c2,a2＋c2)＝eq\f(9c2－c2，9c2＋c2）＝eq\f(4，5)。點(diǎn)評：比較是最好的學(xué)習(xí)方法．本例利用的方法與例題1有所不同，但其本質(zhì)是一致的，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)體會這一點(diǎn)，比較兩例的異同，找出其內(nèi)在的聯(lián)系，以達(dá)到融會貫通，靈活運(yùn)用之功效.變式訓(xùn)練如圖7，在Rt△ABC中，已知BC＝a。若長為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問：eq\o(PQ，\s\up6(→)）與eq\o（BC,\s\up6（→))的夾角θ取何值時，eq\o（BP，\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→）)的值最大？并求出這個最大值．圖7解:方法一：如圖7.∵eq\o(AB,\s\up6（→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→）)，∴eq\o(AB,\s\up6(→））·eq\o（AC，\s\up6（→)）＝0?！遝q\o（AP,\s\up6（→）)＝－eq\o(AQ,\s\up6(→）），eq\o（BP，\s\up6(→））＝eq\o（AP,\s\up6(→））－eq\o(AB，\s\up6(→）)，eq\o（CQ,\s\up6（→))＝eq\o（AQ，\s\up6(→））－eq\o(AC,\s\up6（→）)，∴eq\o(BP，\s\up6(→））·eq\o(CQ,\s\up6（→）)＝(eq\o(AP,\s\up6（→)）－eq\o(AB，\s\up6(→)））·（eq\o（AQ,\s\up6（→))－eq\o（AC，\s\up6(→）)）＝eq\o（AP,\s\up6（→)）·eq\o(AQ,\s\up6（→））－eq\o(AP,\s\up6(→)）·eq\o（AC，\s\up6（→））－eq\o（AB，\s\up6(→)）·eq\o(AQ，\s\up6（→）)＋eq\o（AB,\s\up6(→）)·eq\o（AC，\s\up6(→))＝－a2－eq\o(AP,\s\up6(→)）·eq\o(AC,\s\up6（→))＋eq\o（AB，\s\up6(→））·eq\o(AP，\s\up6（→））＝－a2＋eq\o(AP,\s\up6（→))·（eq\o（AB，\s\up6（→））－eq\o（AC,\s\up6（→))）＝－a2＋eq\f(1，2)eq\o（PQ，\s\up6（→）)·eq\o（BC，\s\up6（→)）＝－a2＋a2cosθ.故當(dāng)cosθ＝1，即θ＝0,eq\o(PQ,\s\up6(→)）與eq\o(BC,\s\up6（→))的方向相同時，eq\o(BP，\s\up6(→））·eq\o（CQ,\s\up6（→)）最大，其最大值為0。方法二：如圖8。圖8以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),兩直角邊所在的直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)｜AB|＝c，|AC|＝b，則A（0,0），B(c，0)，C(0，b)，且｜PQ｜＝2a，｜BC|＝a。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），則Q(－x，－y）．∴eq\o（BP，\s\up6(→)）＝(x－c，y),eq\o(CQ,\s\up6（→)）＝（－x，－y－b)，eq\o(BC，\s\up6(→)）＝(－c，b),eq\o(PQ，\s\up6(→）)＝(－2x，－2y)．∴eq\o（BP，\s\up6（→))·eq\o(CQ，\s\up6(→))＝（x－c)（－x)＋y（－y－b）＝－（x2＋y2)＋cx－by?！遚osθ＝eq\f（\o（PQ，\s\up6(→）)·\o(BC,\s\up6(→）)，｜\o(PQ，\s\up6（→))|｜\o(BC，\s\up6（→)）｜）＝eq\f（cx－by，a2)，∴cx－by＝a2cosθ?！鄀q\o（BP，\s\up6（→）)·eq\o（CQ，\s\up6(→)）＝－a2＋a2cosθ.故當(dāng)cosθ＝1，即θ＝0,eq\o(PQ,\s\up6(→））與eq\o（BC，\s\up6（→)）的方向相同時，eq\o(BP,\s\up6(→）)·eq\o（CQ,\s\up6（→）)最大，其最大值為0。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))1．如圖9，已知AC為⊙O的一條直徑，∠ABC是圓周角．圖9求證：∠ABC＝90°.證明:如圖9.設(shè)eq\o（AO，\s\up6(→）)＝a，eq\o(OB,\s\up6(→）)＝b，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b,eq\o(OC，\s\up6（→））＝a，eq\o(BC,\s\up6(→）)＝a－b，｜a｜＝｜b|.因?yàn)閑q\o（AB，\s\up6(→））·eq\o(BC，\s\up6(→））＝(a＋b）·（a－b）＝｜a｜2－｜b|2＝0，所以eq\o（AB,\s\up6(→）)⊥eq\o(BC，\s\up6（→））。由此,得∠ABC＝90°。點(diǎn)評:充分利用圓的特性，設(shè)出向量．2．D、E、F分別是△ABC的三條邊AB、BC、CA上的動點(diǎn),且它們在初始時刻分別從A、B、C出發(fā)，各以一定速度沿各邊向B、C、A移動．當(dāng)t＝1時，分別到達(dá)B、C、A。求證：在0≤t≤1的任一時刻t1，△DEF的重心不變．證明：如圖10.圖10建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A、B、C坐標(biāo)分別為（0,0),（a,0），（m，n)．在任一時刻t1∈（0,1),因速度一定,其距離之比等于時間之比，有eq\f(｜AD|,｜DB|)＝eq\f(|BE|，｜EC|)＝eq\f(|CF|，|FA｜)＝eq\f(t1,1－t1）＝λ，由定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式可得D、E、F的坐標(biāo)分別為（at1，0）、(a＋(m－a)t1，nt1）、(m－mt1,n－nt1）．由重心坐標(biāo)公式可得△DEF的重心坐標(biāo)為(eq\f（a＋m,3)，eq\f（n，3）)．當(dāng)t＝0或t＝1時,△ABC的重心也為(eq\f(a＋m,3），eq\f(n，3））,故對任一t1∈［0，1］,△DEF的重心不變．點(diǎn)評：主要考查定比分點(diǎn)公式及建立平面直角坐標(biāo)系，只要證△ABC的重心和時刻t1的△DEF的重心相同即可．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)））1．由學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識有哪些:平行四邊形向量加、減法的幾何模型，用向量方法解決平面幾何問題的步驟，即“三步曲”．特別是這“三步曲”，要提醒學(xué)生理解領(lǐng)悟它的實(shí)質(zhì)，達(dá)到熟練掌握的程度．2．本節(jié)都學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)方法：向量法,向量法與幾何法、解析法的比較，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的化歸的思想方法，深切體會向量的工具性這一特點(diǎn)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)））課本習(xí)題2。5A組2，B組3.eq\o（\s\up7（)，\s\do5（設(shè)計感想))1．本節(jié)是對研究平面幾何方法的探究與歸納，設(shè)計的指導(dǎo)思想是:充分使用多媒體這個現(xiàn)代化手段，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、歸納、猜想、論證等一系列思維活動．本節(jié)知識方法容量較大，思維含量較高，教師要把握好火候,恰時恰點(diǎn)地激發(fā)學(xué)生的智慧火花．2．由于本節(jié)知識方法在高考大題中得以直接的體現(xiàn)，特別是與其他知識的綜合更是高考的熱點(diǎn)問題．因此在實(shí)際授課時注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注向量知識、向量方法與本書的三角、后續(xù)內(nèi)容的解析幾何等知識的交匯，提高學(xué)生綜合解決問題的能力．3．平面向量的運(yùn)算包括向量的代數(shù)運(yùn)算與幾何運(yùn)算．相比較而言,學(xué)生對向量的代數(shù)運(yùn)算要容易接受一些，但對向量的幾何運(yùn)算往往感到比較困難,無從下手．向量的幾何運(yùn)算主要包括向量加減法的幾何運(yùn)算，向量平行與垂直的充要條件及定比分點(diǎn)的向量式等，它們在處理平面幾何的有關(guān)問題時,往往有其獨(dú)到之處,教師可讓學(xué)有余力的學(xué)生課下繼續(xù)探討，以提高學(xué)生的思維發(fā)散能力．eq\o（\s\up7(),\s\do5(備課資料）)一、利用向量解決幾何問題的進(jìn)一步探討用平面向量的幾何運(yùn)算處理平面幾何問題有其獨(dú)到之處，特別是處理線段相等，線線平行,垂直,點(diǎn)共線，線共點(diǎn)等問題，往往簡單明了，少走彎路，同時避免了復(fù)雜,煩瑣的運(yùn)算和推理，可以收到事半功倍的效果．現(xiàn)舉幾例以供教師、學(xué)生進(jìn)一步探究使用．1．簡化向量運(yùn)算例1如圖11所示,O為△ABC的外心，H為垂心，求證：eq\o（OH,\s\up6(→）)＝eq\o（OA，\s\up6(→）)＋eq\o（OB，\s\up6（→))＋eq\o（OC，\s\up6（→））.圖11證明：如圖11，作直徑BD，交⊙O于點(diǎn)D。連接DA，DC，有eq\o（OB,\s\up6（→））＝－eq\o(OD，\s\up6(→)），且DA⊥AB，DC⊥BC，AH⊥BC，CH⊥AB，故CH∥DA,AH∥DC，得四邊形AHCD是平行四邊形．從而eq\o（AH，\s\up6（→))＝eq\o(DC,\s\up6(→）)。又eq\o(DC，\s\up6（→）)＝eq\o（OC,\s\up6（→))－eq\o（OD，\s\up6(→))＝eq\o(OC，\s\up6(→))＋eq\o（OB,\s\up6（→)），得eq\o（OH，\s\up6(→）)＝eq\o(OA,\s\up6（→)）＋eq\o(AH，\s\up6（→)）＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o（DC，\s\up6（→）)，即eq\o（OH，\s\up6（→)）＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o（OB，\s\up6(→）)＋eq\o(OC，\s\up6（→))。2．證明線線平行例2如圖12，在梯形ABCD中，E,F分別為腰AB，CD的中點(diǎn)．求證：EF∥BC,且|eq\o(EF，\s\up6（→））｜＝eq\f(1，2)(｜eq\o（AD,\s\up6(→）)|＋|eq\o(BC，\s\up6(→））｜)．圖12證明：連接ED,EC，∵AD∥BC，可設(shè)eq\o（AD,\s\up6（→）)＝λeq\o(BC,\s\up6(→)）（λ〉0），又E，F(xiàn)是中點(diǎn),∴eq\o(EA，\s\up6（→））＋eq\o(EB，\s\up6（→)）＝0,且eq\o（EF，\s\up6(→）)＝eq\f（1，2）（eq\o(ED,\s\up6（→))＋eq\o(EC,\s\up6（→)））．而eq\o（ED，\s\up6(→))＋eq\o（EC,\s\up6(→)）＝eq\o（EA,\s\up6（→))＋eq\o（AD,\s\up6(→))＋eq\o（EB，\s\up6（→)）＋eq\o（BC,\s\up6(→）)＝eq\o（AD,\s\up6（→））＋eq\o（BC，\s\up6（→)）＝（1＋λ）eq\o(BC，\s\up6（→)),∴eq\o(EF,\s\up6(→））＝eq\f（1＋λ，2）eq\o(BC,\s\up6(→）)，EF與BC無公共點(diǎn)．∴EF∥BC。又λ〉0，∴｜eq\o(EF,\s\up6（→)）｜＝eq\f(1，2)(｜eq\o(BC,\s\up6(→)）｜＋|λeq\o（BC，\s\up6(→））｜)＝eq\f（1,2)（|eq\o(AD,\s\up6（→))｜＋｜eq\o（BC，\s\up6(→)）｜）．3．證明線線垂直例3如圖13，在△ABC中，由A與B分別向?qū)匓C與CA作垂線AD與BE，且AD與BE交于H,連接CH，求證：CH⊥AB.圖13證明：由已知AH⊥BC，BH⊥AC,有eq\o(AH,\s\up6(→）)·eq\o(BC,\s\up6(→)）＝0，eq\o（BH，\s\up6（→）)·eq\o（AC，\s\up6(→))＝0.又eq\o（AH，\s\up6(→)）＝eq\o(AC,\s\up6（→))＋eq\o(CH，\s\up6（→)）,eq\o（BH,\s\up6(→))＝eq\o（BC，\s\up6（→))＋eq\o（CH，\s\up6（→）），故有（eq\o（AC，\s\up6（→））＋eq\o（CH，\s\up6（→)))·eq\o(BC，\s\up6(→））＝0，且(eq\o(BC,\s\up6(→））＋eq\o（CH，\s\up6(→）))·eq\o(AC,\s\up6（→))＝0，兩式相減，得eq\o(CH，\s\up6（→)）·(eq\o（CB，\s\up6(→)）－eq\o(CA，\s\up6（→）））＝0，即eq\o（CH,\s\up6（→))·eq\o(AB,\s\up6（→))＝0,∴eq\o（CH,\s\up6(→))⊥eq\o（AB，\s\up6（→)）.4．證明線共點(diǎn)或點(diǎn)共線例4求證：三角形三中線共點(diǎn)，且該點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等于各該中線長的eq\f(2，3）.圖14已知：△ABC的三邊中點(diǎn)分別為D,E，F(xiàn)(如圖14)．求證：AE，BF,CD共點(diǎn)，且eq\f(AG，AE)＝eq\f(BG,BF）＝eq\f（CG,CD)＝eq\f(2,3)。證明:設(shè)AE，BF相交于點(diǎn)G,eq\o（AG,\s\up6(→))＝λ1eq\o(GE，\s\up6(→))，由定比分點(diǎn)的向量式有eq\o（BG,\s\up6(→)）＝eq\f（\o(BA,\s\up6（→))＋λ1\o（BE,\s\up6（→）)，1＋λ1)＝eq\f（1，1＋λ1）eq\o（BA，\s\up6（→））＋eq\f（λ1，21＋λ1）eq\o(BC，\s\up6(→）），又F是AC的中點(diǎn)，eq\o（BF，\s\up6(→)）＝eq\f(1,2）(eq\o(BA,\s\up6（→)）＋eq\o（BC，\s\up6（→）））,設(shè)eq\o(BG,\s\up6（→））＝λ2eq\o(BF,\s\up6(→))，則eq\f(1，1＋λ1)eq\o（BA,\s\up6（→）)＋eq\f(λ1,21＋λ1）eq\o（BC，\s\up6(→))＝eq\f(λ2，2）eq\o（BA，\s\up6（→））＋eq\f（λ2，2)eq\o（BC,\s\up6(→)）,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋λ1）＝\f（λ2,2），，\f（