數(shù)學(xué)示范教案：第三章第二節(jié)簡單的三角恒等變換（第二課時）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第三章第二節(jié)簡單的三角恒等變換第二課時導(dǎo)入新課思路1.（問題導(dǎo)入)三角化簡、求值與證明中，往往會出現(xiàn)較多相異的角,我們可根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互補、互余等關(guān)系,運用角的變換,溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問題獲得解決,如：α＝（α＋β)－β，2α＝（α＋β）＋(α－β）＝（eq\f（π，4）＋α）－(eq\f(π，4)－α），eq\f(π，4）＋α＝eq\f(π,2)－(eq\f（π，4）－α）等，你能總結(jié)出三角變換的哪些策略？由此探討展開．思路2.（復(fù)習(xí)導(dǎo)入）前面已經(jīng)學(xué)過如何把形如y＝asinx＋bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y＝Asin（ωx＋φ）的函數(shù)，本節(jié)主要研究函數(shù)y＝asinx＋bcosx的周期、最值等性質(zhì)．三角函數(shù)和代數(shù)、幾何知識聯(lián)系密切，它是研究其他各類知識的重要工具．高考題中與三角函數(shù)有關(guān)的問題，大都以恒等變形為研究手段．三角變換是運算、化簡、求值、證明過程中不可缺少的解題技巧，要學(xué)會創(chuàng)設(shè)條件靈活運用三角公式,掌握運算，化簡的方法和技能．推進新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題)）①三角函數(shù)y＝sinx,y＝cosx的周期,最大值和最小值是多少？②函數(shù)y＝asinx＋bcosx的變形與應(yīng)用是怎樣的？③三角變換在幾何問題中有什么應(yīng)用？活動：教師引導(dǎo)學(xué)生對前面已學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行復(fù)習(xí)與回顧，我們知道正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象都具有周期性、對稱性、單調(diào)性等性質(zhì)．而且正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的周期都是2kπ（k∈Z且k≠0)，最小正周期都是2π。三角函數(shù)的自變量的系數(shù)變化時,會對其周期性產(chǎn)生一定的影響，例如，函數(shù)y＝sinx的周期是2kπ(k∈Z且k≠0），且最小正周期是2π，函數(shù)y＝sin2x的周期是kπ(k∈Z且k≠0），且最小正周期是π。正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的最大值是1，最小值是－1，所以這兩個函數(shù)的值域都是［－1,1]．函數(shù)y＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)（eq\f(a，\r(a2＋b2）)sinx＋eq\f（b，\r(a2＋b2))cosx），∵（eq\f（a,\r(a2＋b2))）2＋(eq\f(b，\r（a2＋b2）)）2＝1，從而可令eq\f（a，\r(a2＋b2)）＝cosφ，eq\f（b,\r（a2＋b2)）＝sinφ,則有asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2）（sinxcosφ＋cosxsinφ）＝eq\r(a2＋b2)sin（x＋φ)．因此，我們有如下結(jié)論：asinx＋bcosx＝eq\r（a2＋b2)sin(x＋φ）,其中tanφ＝eq\f(b，a).在以后的學(xué)習(xí)中可以用此結(jié)論進行求幾何中的最值問題或者角度問題．我們知道角的概念起源于幾何圖形,從而使得三角函數(shù)與平面幾何有著密切的內(nèi)在聯(lián)系．幾何中的角度、長度、面積等幾何問題，常需借助三角函數(shù)的變換來解決,通過三角變換來解決幾何中的有關(guān)問題，是一種重要的數(shù)學(xué)方法．討論結(jié)果:①y＝sinx，y＝cosx的周期是2kπ(k∈Z且k≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1,最小值都是－1。②~③(略)見活動．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例））思路1例1如圖1，已知OPQ是半徑為1，圓心角為eq\f（π，3)的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形．記∠COP＝α，求當(dāng)角α取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積．活動:要求當(dāng)角α取何值時，矩形ABCD的面積S最大，先找出S與α之間的函數(shù)關(guān)系，再求函數(shù)的最值．找S與α之間的函數(shù)關(guān)系可以讓學(xué)生自己解決,得到：S＝AB·BC＝(cosα－eq\f(\r(3)，3）sinα)sinα＝sinαcosα－eq\f（\r(3），3)sin2α。求這種y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x函數(shù)的最值,應(yīng)先降冪，再利用公式化成Asin（ωx＋φ）型的三角函數(shù)求最值．教師引導(dǎo)學(xué)生思考:要求當(dāng)角α取何值時，矩形ABCD的面積S最大，可分兩步進行:(1）找出S與α之間的函數(shù)關(guān)系；（2）由得出的函數(shù)關(guān)系，求S的最大值．解：在Rt△OBC中,OB＝cosα，BC＝sinα，圖1在Rt△OAD中，eq\f(DA,OA)＝tan60°＝eq\r（3），所以O(shè)A＝eq\f(\r(3），3）DA＝eq\f（\r(3）,3）BC＝eq\f（\r(3），3）sinα.所以AB＝OB－OA＝cosα－eq\f（\r（3），3)sinα。設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S＝AB·BC＝(cosα－eq\f(\r（3)，3)sinα)sinα＝sinαcosα－eq\f(\r（3)，3)sin2α＝eq\f(1,2）sin2α＋eq\f（\r(3),6）cos2α－eq\f(\r(3)，6)＝eq\f(1，\r（3））（eq\f(\r（3），2)sin2α＋eq\f(1，2)cos2α）－eq\f(\r(3）,6）＝eq\f（1,\r(3））sin(2α＋eq\f(π，6））－eq\f（\r（3），6).由于0<α〈eq\f（π，3)，所以當(dāng)2α＋eq\f（π,6)＝eq\f（π，2），即α＝eq\f(π，6)時，S最大＝eq\f(1,\r(3））－eq\f(\r(3），6）＝eq\f(\r(3),6）.因此，當(dāng)α＝eq\f（π,6)時,矩形ABCD的面積最大，最大面積為eq\f（\r(3），6)。點評：可以看到，通過三角變換,我們把形如y＝asinx＋bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y＝Asin（ωx＋φ)的函數(shù)，從而使問題得到簡化．這個過程中蘊涵了化歸思想．此題可引申即可以去掉“記∠COP＝α"，結(jié)論改成“求矩形ABCD的最大面積”，這時，對自變量可多一種選擇，如設(shè)AD＝x,S＝x(eq\r（1－x2）－eq\f(\r（3）,3)x)，盡管對所得函數(shù)還暫時無法求其最大值，但能促進學(xué)生對函數(shù)模型多樣性的理解，并能使學(xué)生感受到以角為自變量的優(yōu)點.變式訓(xùn)練已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx＋eq\f（π,6))＋sin(ωx－eq\f（π,6)）－2cos2eq\f(ωx,2），x∈R(其中ω>0)．(1)求函數(shù)f(x）的值域；（2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝－1的兩個相鄰交點間的距離為eq\f(π，2），求函數(shù)y＝f(x）的單調(diào)增區(qū)間．解：（1)f（x）＝eq\f(\r（3）,2)sinωx＋eq\f(1，2）cosωx＋eq\f(\r(3）,2)sinωx－eq\f(1，2)cosωx－(cosωx＋1)＝2（eq\f(\r(3),2)sinωx－eq\f(1,2)cosωx)－1＝2sin（ωx－eq\f（π，6）)－1。由－1≤sin(ωx－eq\f(π，6））≤1,得－3≤2sin（ωx－eq\f（π,6））－1≤1，可知函數(shù)f(x)的值域為［－3，1］．(2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，可知y＝f(x）的周期為π,又由ω>0，得eq\f(2π,ω)＝π，即得ω＝2.于是有f（x）＝2sin(2x－eq\f(π，6))－1，再由2kπ－eq\f（π,2）≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f（π，2）（k∈Z），解得kπ－eq\f(π，6）≤x≤kπ＋eq\f(π，3）(k∈Z）．所以y＝f(x）的單調(diào)增區(qū)間為［kπ－eq\f(π，6），kπ＋eq\f（π，3)］(k∈Z）．點評：本題主要考查三角函數(shù)公式，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用三角函數(shù)有關(guān)知識的能力.例2求函數(shù)y＝sin4x＋2eq\r(3）sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在［0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．活動:教師引導(dǎo)學(xué)生利用公式解題，本題主要考查二倍角公式以及三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性等基礎(chǔ)知識．先用二倍角公式把函數(shù)化成最簡形式，然后再解決與此相關(guān)的問題．解：y＝sin4x＋2eq\r(3)sinxcosx－cos4x＝（sin2x＋cos2x）(sin2x－cos2x）＋eq\r（3)sin2x＝eq\r（3）sin2x－cos2x＝2sin(2x－eq\f(π,6））．故該函數(shù)的最小正周期是π;最小值是－2；在[0,π]上單調(diào)增區(qū)間是［0，eq\f（π,3)]，［eq\f(5π,6）,π］．點評:本題主要考查二倍角公式以及三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性等基礎(chǔ)知識。變式訓(xùn)練已知函數(shù)f（x）＝cos4x－2sinxcosx－sin4x，(1)求f(x）的最小正周期；(2）若x∈［0，eq\f(π,2)]，求f（x)的最大、最小值．解：f（x）＝cos4x－2sinxcosx－sin4x＝（cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin2x＝cos2x－sin2x＝eq\r(2）cos(2x＋eq\f（π，4)），所以，f（x)的最小正周期T＝eq\f（2π,2)＝π.(2)因為x∈［0，eq\f(π,2)]，所以2x＋eq\f(π,4)∈［eq\f（π，4）,eq\f（5π，4）]．當(dāng)2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(π，4)時,cos（2x＋eq\f(π，4））取得最大值eq\f（\r（2)，2）,當(dāng)2x＋eq\f(π,4）＝π時，cos（2x＋eq\f(π，4)）取得最小值－1.所以，在[0,eq\f（π，2)］上的最大值為1，最小值為－eq\r（2)。思路2例1已知函數(shù)f(x）＝sin(ωx＋φ）(ω〉0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點M(eq\f（3π，4），0)對稱,且在區(qū)間[0,eq\f(π，2）］上是單調(diào)函數(shù)，求φ和ω的值．活動：學(xué)生在解此題時，對f(x)是偶函數(shù)這一條件的運用不存在問題，而在對“f（x)的圖象關(guān)于M(eq\f（3π,4）,0）對稱”這一條件的使用上,多數(shù)考生都存在一定問題．一般地,定義在R上的函數(shù)y＝f（x)對定義域內(nèi)任意x滿足條件:f（x＋a）＝2b－f(a－x）,則y＝f(x）的圖象關(guān)于點（a，b)對稱，反之亦然．教師在這類問題的教學(xué)時要給予充分的提示與總結(jié)，多做些這種類型的變式訓(xùn)練．解:由f(x）是偶函數(shù)，得f（－x）＝f（x）,即sin(－ωx＋φ）＝sin（ωx＋φ)，所以－cosφsinωx＝cosφsinωx對任意x都成立．又ω>0，所以，得cosφ＝0。依題設(shè)0≤φ≤π，所以，解得φ＝eq\f（π,2).由f（x)的圖象關(guān)于點M對稱,得f(eq\f（3π,4）－x）＝－f（eq\f（3π,4）＋x)．取x＝0，得f（eq\f（3π，4)）＝－f(eq\f（3π,4)），所以f（eq\f（3π,4))＝0.∵f（eq\f(3π,4))＝sin(eq\f(3ωπ,4）＋eq\f（π,2)）＝coseq\f(3ωπ,4),∴coseq\f（3ωπ,4）＝0.又ω>0，得eq\f（3ωπ,4）＝eq\f(π，2)＋kπ，k＝0,1，2,….∴ω＝eq\f(2,3)(2k＋1），k＝0，1，2,….當(dāng)k＝0時，ω＝eq\f(2，3),f（x）＝sin（eq\f(2,3）x＋eq\f(π，2）)在[0，eq\f（π,2）］上是減函數(shù)；當(dāng)k＝1時，ω＝2,f（x）＝sin（2x＋eq\f（π，2））在［0，eq\f(π，2)］上是減函數(shù)；當(dāng)k≥2時,ω≥eq\f(10，3），f(x)＝sin(ωx＋eq\f（π，2)）在［0,eq\f(π,2）］上不是單調(diào)函數(shù)．所以，綜合得ω＝eq\f(2,3）或ω＝2。點評：本題是利用函數(shù)思想進行解題，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對函數(shù)進行變換然后進而解決此題。變式訓(xùn)練已知如圖2的Rt△ABC中，∠A＝90°，a為斜邊,∠B、∠C的內(nèi)角平分線BD、CE的長分別為m、n，且a2＝2mn.問：是否能在區(qū)間(π,2π]中找到角θ，恰使等式cosθ－sinθ＝4(coseq\f(B＋C，2)－coseq\f（B－C，2)）成立？若能，找出這樣的角θ;若不能，請說明理由．圖2解：在Rt△BAD中，eq\f(AB，m）＝coseq\f(B，2），在Rt△BAC中，eq\f（AB,a）＝sinC，∴mcoseq\f（B,2)＝asinC.同理,ncoseq\f(C，2)＝asinB?！鄊ncoseq\f(B,2）coseq\f(C，2)＝a2sinBsinC.而a2＝2mn，∴coseq\f(B,2)coseq\f(C,2)＝2sinBsinC＝8sineq\f（B,2）·coseq\f(B,2)coseq\f(C，2)sineq\f（C，2）.∴sineq\f（B,2)sineq\f（C，2）＝eq\f(1，8）.積化和差,得4（coseq\f(B＋C,2)－coseq\f（B－C,2）)＝－1，若存在θ使等式cosθ－sinθ＝4(coseq\f(B＋C,2）－coseq\f(B－C,2））成立,則eq\r（2）cos（θ＋eq\f（π，4)）＝－1，∴cos（θ＋eq\f（π,4)）＝－eq\f（\r(2)，2）。而π<θ≤2π，∴eq\f（5π,4)〈θ＋eq\f（π,4)≤eq\f（9π,4）?！噙@樣的θ不存在．點評：對于不確定的開放式問題，通常稱之為存在性問題．處理這類問題的一般思路是先假設(shè)結(jié)論是肯定的，再進行演繹推理,若推證出現(xiàn)矛盾，即可否定假設(shè)；若推出合理結(jié)果，即假設(shè)成立．這個探索結(jié)論的過程可概括為假設(shè)——推證-—定論.例2已知tan(α－β）＝eq\f(1，2），tanβ＝－eq\f(1，7)，且α,β∈(0，π)，求2α－β的值．解：∵2α－β＝2（α－β）＋β，tan（α－β)＝eq\f(1，2)，∴tan2(α－β)＝eq\f(2tanα－β，1－tan2α－β)＝eq\f（4,3）.從而tan（2α－β)＝tan［2（α－β）＋β]＝eq\f（tan2α－β＋tanβ,1－tan2α－βtanβ)＝eq\f(\f(4,3)－\f（1，7),1＋\f（4，3)×\f(1,7）)＝eq\f(\f（25，21），\f(25,21）)＝1.又∵tanα＝tan[(α－β）＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ，1－tanα－βtanβ)＝eq\f（1,3）<1。且0〈α<π，∴0〈α〈eq\f（π,4).∴0〈2α<eq\f(π，2）.又tanβ＝－eq\f（1，7）<0，且β∈（0，π），∴eq\f（π,2）<β<π,－π<－β〈－eq\f(π，2).∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－eq\f(3π，4).點評:本題通過變形轉(zhuǎn)化為已知三角函數(shù)值求角的問題,關(guān)鍵在于對角的范圍的討論，注意合理利用不等式的性質(zhì)，必要時,根據(jù)三角函數(shù)值，縮小角的范圍，從而求出準(zhǔn)確角．另外，求角一般都通過三角函數(shù)值來實現(xiàn)，但求該角的哪一種函數(shù)值，往往有一定的規(guī)律，若α∈（0，π）,則求cosα;若α∈(－eq\f（π，2)，eq\f（π,2)），則求sinα等．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（知能訓(xùn)練））課本本節(jié)練習(xí)4。解答：4.（1)y＝eq\f（1，2)sin4x。最小正周期為eq\f（π，2)，遞增區(qū)間為[－eq\f（π，8)＋eq\f（kπ,2），eq\f(π,8）＋eq\f(kπ，2)](k∈Z)，最大值為eq\f（1，2)；(2）y＝cosx＋2。最小正周期為2π，遞增區(qū)間為［π＋2kπ，2π＋2kπ］(k∈Z），最大值為3；（3）y＝2sin(4x＋eq\f(π，3）)．最小正周期為eq\f(π,2），遞增區(qū)間為［－eq\f（5π,24）＋eq\f(kπ,2），eq\f（π，24）＋eq\f（kπ,2）］（k∈Z），最大值為2。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)）)本節(jié)課主要研究了通過三角恒等變形，把形如y＝asinx＋bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y＝Asin(ωx＋φ)的函數(shù)，從而能順利考查函數(shù)的若干性質(zhì)，達到解決問題的目的，充分體現(xiàn)出“活”的數(shù)學(xué)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))課本復(fù)習(xí)參考題A組11、12。eq\o(\s\up7（)，\s\do5(設(shè)計感想））1．本節(jié)課主要是三角恒等變換的應(yīng)用,通過三角恒等變形，把形如y＝asinx＋bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y＝Asin（ωx＋φ)的函數(shù)，從而能順利考查函數(shù)的若干性質(zhì),達到解決問題的目的．在教學(xué)中教師要強調(diào)：分析、研究三角函數(shù)的性質(zhì)，是三角函數(shù)的重要內(nèi)容．如果給出的三角函數(shù)的表達式較為復(fù)雜，我們必須先通過三角恒等變換,將三角函數(shù)的解析式變形化簡，然后再根據(jù)化簡后的三角函數(shù)，討論其圖象和性質(zhì)．因此，三角恒等變換是求解三角函數(shù)問題的一個基本步驟．但需注意的是，在三角恒等變換過程中，由于消項、約分、合并等原因，函數(shù)的定義域往往會發(fā)生一些變化,從而導(dǎo)致變形化簡后的三角函數(shù)與原三角函數(shù)不等價．因此，在對三角函數(shù)式進行三角恒等變換后,還要確定原三角函數(shù)的定義域,并在這個定義域內(nèi)分析其性質(zhì)．2．在三角恒等變化中，首先是掌握利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，并由此導(dǎo)出角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和積化差、和差化積及半角公式,以此作為基本訓(xùn)練．其次要搞清楚各公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，自己畫出知識結(jié)構(gòu)圖．第三就是在三角恒等變換中，要結(jié)合第一章的三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識,對三角知識有整體的把握．3．今后高考對三角變換的考查估計仍以考查求值為主．和、差、倍、半角的三角函數(shù)公式、同角關(guān)系的運用仍然是重點考查的地方,應(yīng)該引起足夠重視,特別是對角的范圍的討論，從而確定符號．另外,在三角形中的三角變換問題，以及平面向量為模型的三角變換問題將是高考的熱點．對三角函數(shù)綜合應(yīng)用的考查，估計仍然以三角與數(shù)列、不等式、平面向量、解析幾何、三角與解三角形的實際應(yīng)用為主，題型主要是選擇題、填空題,也可能以解答題形式出現(xiàn)，難度不會太大．應(yīng)注意新情景立意下的三角綜合應(yīng)用也是考試的熱點．eq\o(\s\up7(），\s\do5(備課資料)）一、三角函數(shù)的綜合問題三角函數(shù)是中學(xué)學(xué)習(xí)的重要的基本初等函數(shù)之一，近年來，高考每年都要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)知識．在綜合題中，也常常會涉及三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識的應(yīng)用．因此，對本單元的學(xué)習(xí)要落實在基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法的前提下，還應(yīng)注意與其他部分知識的綜合運用．三角函數(shù)同其他函數(shù)一樣，具有奇偶性、單調(diào)性、最值等問題，我們還要研究三角函數(shù)的周期性、圖象及圖象的變化，有關(guān)三角函數(shù)的求值、化簡、證明等問題．應(yīng)熟知三角函數(shù)的基本性質(zhì)，并能以此為依據(jù)，研究解析式為三角式的函數(shù)的性質(zhì)，掌握判斷周期性，確定單調(diào)區(qū)間的方法，能準(zhǔn)確認識三角函數(shù)的圖象，會做簡圖、對圖象進行變化．二、備用習(xí)題1.eq\f(sin10°＋sin20°，cos10°＋cos20°)的值是（）A．tan10°＋tan20°B。eq\f(\r(3），3）C．tan5°D．2－eq\r（3）答案：D2．若α－β＝eq\f（π，4)，則sinαsinβ的最大值是（）A.eq\f（2－\r（2）,4)B。eq\f（2＋\r(2),4)C.eq\f(3,4)D．1答案：B3．若cosαsinx＝eq\f(1,2)，則函數(shù)y＝sinαcosx的值域是()A．［－eq\f（3，2），eq\f(1，2）]B．［－eq\f（1，2)，eq\f（1，2)］C．[－eq\f（1，2）,eq\f（3,2)]D．[－1，1]答案:B4．log2(1＋tan19°）＋log2(1＋tan26°）＝________。答案：15．已知函數(shù)f（x）＝cos2xcos(eq\f（π，3）－2x),求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間、最小正周期及最大值．答案：解：f（x）＝eq\f(1,2）[coseq\f（π，3）＋cos(4x－eq\f(π，3)）］＝eq\f(1，2）cos(4x－eq\f(π,3))＋eq\f(1,4)，由2kπ≤4x－eq\f（π，3)≤2kπ＋π（k∈Z）,得