數學示范教案：第三章三角恒等變換

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案本章知識網絡

教學分析本章三角函數模型是主線，三角變形是關鍵．三角函數及其三角恒等變形不僅有著廣泛的實際應用，而且是進一步學習中學后續(xù)內容和高等數學的基礎，因而成為高考中對基礎知識、基本技能和基本思想方法考查的重要內容之一．本章特點是公式多，但積化和差與和差化積公式不要求記憶．切實掌握三角函數的基本變形思想是復習掌握好本章的關鍵．三角函數的恒等變形，不僅在三角函數的化簡、求值問題中應用,而且在研究第一章三角函數的圖象與性質時、在后續(xù)內容解三角形中也應用廣泛．解決三角函數的恒等變形問題，其關鍵在掌握基本變換思想，運用三角恒等變形的主要途徑-—變角，變函數，變結構，注意公式的靈活應用．三角恒等變形是一種基本技能，從題型上一般表現為對三角式的化簡、求值與證明．對所給三角式進行三角恒等變形時，除使用三角公式外,一般還需運用代數式的運算法則或公式．如平方差公式、立方差公式等．對三角公式不僅要掌握其“原形”，更要掌握其“變形”，解題時才能真正達到運用自如，左右逢源的境界．基本變形思想主要是:①化成“三個一”：即化為一個角的一種三角函數的一次方的形式y(tǒng)＝Asin（ωx＋φ）；②化成“兩個一”:即化為一個角的一種三角函數的二次型結構,再用配方法求解；③“合二為一”：對于形如asinθ＋bcosθ的式子，引入輔助角φ并化成eq\r(a2＋b2)sin(θ＋φ)的形式(但在這里不要增加難度，僅限于特殊值、特殊角即可）．高考對整個三角問題的考查主要集中在三個方面，一是三角函數的圖象與性質，包括：定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性等等；二是三角式的恒等變形,包括：化簡、證明、直接求值、條件求值、求最值等；三是三角綜合運用．特別是結合下一章的解三角形及與向量的交匯更是高考經久不衰的熱點．因此復習中要充分運用數形結合的思想,利用向量的工具性,靈活運用三角函數的圖象和性質解題，掌握化簡和求值問題的解題規(guī)律和途徑．學完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是溝通代數、幾何、與三角函數的一種重要工具，三角函數又具有較強的滲透力，切實提高三角函數的綜合能力是復習好本章的保證．因此，我們可以通過整合，將三角函數,平面向量結成一個知識板塊來復習，并進行三角與向量相融合的綜合訓練，這樣更有利于學生對平面向量、三角函數及三角恒等變形的深刻理解及運用．三維目標1．通過復習全章知識方法，掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．并能正確地運用上述公式化簡三角函數式、求某些角的三角函數值、證明較簡單的三角恒等式以及解決一些簡單的實際問題．2．掌握簡單的三角恒等變形的基本思想方法，并結合向量解決一些基本的綜合問題．3．通過三角恒等變換體會數學的邏輯性的特征，進一步理解數學的化歸思想、方程思想和代換意識，認識事物之間是相互依存、相互聯系的．重點難點教學重點：和角公式、差角公式、倍角公式及其靈活應用．教學難點：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等變形中的綜合運用．課時安排1課時

eq\o(\s\up7（），\s\do5（教學過程)）導入新課思路1.(直接導入)在第一章三角函數的基礎上，我們一起又探究學習了第三章簡單三角恒等變形的有關知識,并掌握了一定的分析問題與解決問題的方法，提高了我們的思維能力與運算能力．現在我們一起對本章進行小結與復習，進一步鞏固本章所學的知識，請同學們畫出本章的知識框圖，由此進入復習．思路2.(問題導入)本章學習了幾個公式？推導這些公式的過程中你用到了哪些基本的數學思想方法?你是從哪幾個基本方面認識三角函數式的特點的?它們之間存在著怎樣的邏輯關系?三角式的變形與代數式的變形有什么相同點?有什么不同點？對三角函數式特點的分析對你提高三角恒等變形的能力有什么幫助？通過學生解決這些問題展開全章的復習．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知識回顧）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題)）1列出本章所學的公式，理清它們之間的關系，回顧、思考并回答：推導這些公式的過程中你用到了哪些基本的數學思想方法？你是從哪幾個基本方面認識三角函數式的特點的？它們之間存在著怎樣的邏輯關系？三角式的變形與代數式的變形有什么相同點?有什么不同點？三角函數式特點的分析對你提高三角恒等變形的能力有什么幫助?2三角函數的變形靈活性大、方法多,回顧從前所學，三角變形都有哪些？3如果對三角函數變形題型進行歸類，那么回顧從前所學,常見的基本題型有哪些？活動：問題（1),本章的三角恒等變換公式中,余弦的差角公式是其他公式的基礎，由它出發(fā)，用－β代替β，±β代替β，α＝β等換元法就可以推導出其他公式．見下表：和差正、余弦公式和差正切公式二倍角公式半角公式積化和差cos(α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβsin(α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβtan(α＋β)＝eq\f（tanα＋tanβ，1－tanαtanβ）tan（α－β)＝eq\f（tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αsineq\f（α,2）＝±eq\r(\f（1－cosα，2）)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2)）taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f（1－cosα，1＋cosα))（不作記憶)（略)教師引導學生用類比、聯系、化歸的觀點來理解這些公式的邏輯關系,認識公式的特點，聯想與代數運算的相同與不同之處；三角函數的恒等變形，是運用三角公式，變換三角表達式中的函數、角度和結構，把一個表達式變形成另一個與它等價的表達式．三角恒等變形是代數式恒等變形的推廣和發(fā)展；進行三角恒等變形，除了要熟練運用代數恒等變形的各種方法，還要抓住三角本身的特點,領會和掌握最基本最常見的變形．教師要引導學生明確三角變換不僅有三角函數式的結構形式變形，而且還有角的變形，以及不同三角函數之間的變形,使學生領悟有關公式在變形中的作用和用法，學會用恰當的數學思想方法指導選擇和設計變換思路．并讓學生體會到通過三角恒等變形的探究訓練，能大大提高他們的推理能力和運算能力．問題（2),教師引導學生回顧總結，在學生探索時適時點撥,常見的變形有:①公式變形，數學公式變形的方法多種多樣，揭示數學公式變形的一般規(guī)律對深化公式教學會有積極的意義．由于公式中的字母可以代表數、式、函數等有數學意義的式子，因此可以根據需要對公式進行適當的數學處理，或代換，或迭代,或取特殊值等等．如:tanα＋tanβ＝tan（α＋β)(1－tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－eq\f（tanα＋tanβ,tanα＋β），1＝tanαtanβ＋eq\f（tanα＋tanβ，tanα＋β），1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α等．②角的變形，角度變形是三角函數恒等變形的首選方法，在進行三角恒等變形時，對角之間關系必須進行認真的觀察聯想，分析角之間的和、差、倍、分關系．在數值角的三角函數式化簡中，要特別注意是否能夠產生特殊角；熟悉兩角互余、互補的各種形式；或者引入輔助角進行角的變形等．如:α＝（α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；eq\f(π，4)－α＝eq\f（π,2）－（eq\f(π，4）＋α）；eq\f(π，6)＋α＝eq\f（π,2）－（eq\f（π,3）－α）等．還需熟練掌握一些常見的式子：如:sinx±cosx＝eq\r(2)sin（x±eq\f(π,4)），sinx±eq\r（3）cosx＝2sin(x±eq\f（π，3)）等．問題（3)，教師引導學生回顧總結，適時地點撥學生,常見三角恒等變形的基本題型有求值、化簡、證明．對于求值，常見的有給角求值、給值求值、給值求角．①給角求值的關鍵是正確地分析角之間的關系，準確地選用公式，要注意產生特殊角，同時把非特殊角的三角函數值相約或相消，從而求出三角函數式的值;②給值求值的關鍵是分析已知式與待求式之間角、函數、結構間差異，有目的地將已知式、待求式的一方或兩方加以變形，找出它們之間的聯系，最后求出待求式的值；③給值求角的關鍵是先求出該角的某一三角函數值，其次判斷該角對應函數的單調區(qū)間,最后求出角．對于化簡,有兩種常見的形式，①未指明答案的恒等變形，這時應把結果化為最簡形式;②根據解題需要將三角函數式化為某種特定的形式，例如一角一函數的形式,以便研究它的各種性質．無論是何種形式的化簡，都要切實注意角度變形、函數變形等各種變形．對于證明，它包括無條件的恒等式和有附加條件恒等式的證明．①無條件恒等式的證明,需認真分析等式兩邊三角函數式的特點，角度、函數、結構的差異,一般由繁的一邊往簡的一邊證，逐步消除差異，最后達到統(tǒng)一．對于較難的題目，可以用分析法幫助思考，或分析法和綜合法聯用．②有附加條件的恒等式的證明，關鍵是恰當地利用附加條件,需認真分析條件式和結論式中三角函數之間的聯系，從分析過程中發(fā)現條件應怎樣利用,證明這類恒等式時,還常常用到消元法和基本量方法．討論結果：（1)～(3)略．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應用示例)）思路1例1（1）化簡tan2Atan(30°－A）＋tan2A·tan（60°－A）＋tan(30°－A)tan（60°－A)；(2）已知α為銳角，且tanα＝eq\f（1，2），求eq\f（sin2αcosα－sinα，sin2αcos2α)的值．活動：本例是一個三角函數化簡求值問題，屬于給出某些角的三角函數式的值,求另外一些三角函數式的值．關鍵是正確運用三角變換公式及常用思想方法，探索已知式與欲求式之間的差異和聯系的途徑和方法．教師可以大膽放手，讓學生自己獨立探究，必要時給予適時的點撥引導．但要讓學生明白，從高考角度來看,關于三角函數求值問題是個重要題型、命題熱點，一直備受高考的青睞．因為三角函數求值問題能綜合考查考生三角變形、代數變形的基本運算能力和靈活運用公式、合理選用公式、準確選擇解題方向的思維能力，且題目的答案可以簡單明了．并讓學生明了解決這類問題時應在認準目標的前提下，從結構式的特點去分析，以尋找到合理、簡捷的解題方法，切忌不分青紅皂白地盲目運用三角公式．比如在本例的（1)中，首先應想到將倍角化為單角這一基本的轉化方法．教師還應點撥學生思考，求三角函數式的值必須明確求值的目標．一般來說，題設中給出的是一個或某幾個特定角，即便這些角都不是特殊角，其最終結果也應該是一個具體的實數；題設中給出的是某種或幾種參變量關系，其結果既可能是一個具體的實數，也可能是含參變量的某種代數式．如本例的(2)中，目標是“弦”且是“和差角"，而條件是“切"且是“單角"．在學生探討向目標轉化的過程中，由于視角不同,思考方式不同,學生會有多種解法，教師應鼓勵學生一題多解,對新穎解法給予表揚．解：(1)∵tan（90°－2A)＝tan[(30°－A)＋（60°－A)］＝eq\f（tan30°－A＋tan60°－A,1－tan30°－Atan60°－A）,∴tan（30°－A）＋tan（60°－A）＝tan(90°－2A）[1－tan（30°－A)tan(60°－A）]．∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)]＋tan（30°－A）tan(60°－A)＝tan2Atan(90°－2A）[1－tan(30°－A）tan(60°－A)]＋tan(30°－A）tan（60°－A)＝1－tan(30°－A)tan（60°－A）＋tan（30°－A）tan(60°－A）＝1.（2）原式＝eq\f(2sinαcosα·cosα－sinα，2sinαcosα·cos2α)＝eq\f（sinα2cos2α－1,2sinαcosα·cos2α)＝eq\f(cos2α，2cosα·cos2α)＝eq\f（1,2cosα）。∵tanα＝eq\f（1，2），又α∈（0，eq\f（π,2))，即2sinα＝cosα.又由sin2α＋cos2α＝1,∴cosα＝eq\f(2,\r(5）).∴eq\f(sin2αcosα－sinα,sin2αcos2α)＝eq\f（\r（5)，4）。點評：本題主要回顧了和差公式、二倍角公式的使用，及三角函數化簡求值題目的一般解法；由于公式本身就是等式，所以從方程觀點出發(fā)進行變形也是一種行之有效的變形辦法．由此產生逆變公式、整體變形公式等方法的靈活運用，本例的兩問的解法其實質是一樣的．學生解決完后，教師應抓住這最佳時機,留出一定的時間讓學生反思、領悟解決問題所用到的化歸等數學思想方法。變式訓練1。eq\f(sinα＋30°＋cosα＋60°，2cosα）＝__________。解析：eq\f(sinα＋30°＋cosα＋60°,2cosα)＝eq\f（cosα,2cosα)＝eq\f（1，2）.答案:eq\f（1,2）2．已知sin（α＋β)＝eq\f(2，3)，sin（α－β）＝eq\f（1，5),求eq\f(tanα，tanβ)的值．解法一:由已知條件及正弦的和（差)角公式，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（sinαcosβ＋cosαsinβ＝\f(2，3），,sinαcosβ－cosαsinβ＝\f(1,5),)）∴sinαcosβ＝eq\f（\f(2，3)＋\f（1，5）,2）＝eq\f（13，30），cosαsinβ＝eq\f（\f(2,3）－\f(1，5),2）＝eq\f(7，30）.∴eq\f(tanα，tanβ）＝eq\f（sinαcosβ,cosαsinβ）＝eq\f(13,30）×eq\f（30，7)＝eq\f(13，7）。解法二：(設未知數）令x＝eq\f(tanα,tanβ），∵eq\f（sinα＋β，sinα－β)＝eq\f(2，3）×eq\f（5，1)＝eq\f（10，3）＝eq\f（\f(sinα＋β，cosαcosβ）,\f（sinα－β,cosαcosβ))＝eq\f（tanα＋tanβ,tanα－tanβ）＝eq\f(\f（tanα,tanβ）＋1,\f（tanα,tanβ)－1)＝eq\f(x＋1，x－1）.解之,得eq\f(tanα,tanβ）＝x＝eq\f(13,7）.例2已知α、β∈（0，eq\f(π,4）)，且3sinβ＝sin(2α＋β），4taneq\f（α，2）＝1－tan2eq\f(α，2），求α＋β的值．活動:本題屬于給值求角，綜合性強，有一定的難度，教師應在學生探究中適時給予恰當的點撥：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函數值結合該函數的單調區(qū)間求得角，但不要忽視對所求角的范圍的討論．即解決“給值求角"問題是由兩個關鍵步驟構成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函數值結合該函數的單調區(qū)間求得角．另外,求角一般都通過三角函數值來實現，但求該角的哪一種函數值，往往有一定的規(guī)律，如本例,聯想條件的形式,確定目標選用和角的正切．這點要提醒學生在解題過程中細細體會，領悟其要領,掌握其實質．解：∵3sin[(α＋β)－α]＝sin［（α＋β)＋α］，3sin（α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα,∵α、β∈（0，eq\f(π,4））,∴0〈α＋β〈eq\f(π，2）.∴cos（α＋β）≠0，cosα≠0?！鄑an（α＋β）＝2tanα.由4taneq\f（α,2）＝1－tan2eq\f(α,2)，得eq\f（4tan\f（α,2),1－tan2\f(α，2））＝1，即得2tanα＝1，代入tan(α＋β）＝2tanα,得tan（α＋β）＝1.又0<α＋β<eq\f（π,2），∴α＋β＝eq\f(π,4).點評：本題通過變形轉化為已知三角函數值求角的問題，關鍵在于對角的范圍的討論,注意合理利用不等式的性質，必要時,根據三角函數值，縮小角的范圍，從而求出準確角。變式訓練已知tan(α－β）＝eq\f（1,2)，tanβ＝－eq\f(1，7）,且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解：∵2α－β＝2（α－β）＋β，tan(α－β)＝eq\f（1,2)，∴tan2(α－β)＝eq\f（2tanα－β,1－tan2α－β)＝eq\f(4，3).從而tan（2α－β)＝tan［2（α－β)＋β］＝eq\f(tan2α－β＋tanβ，1－tan2α－βtanβ）＝eq\f（\f(4，3)－\f（1，7)，1＋\f（4，3)×\f(1,7)）＝eq\f(\f(25，21),\f（25，21)）＝1。又∵tanα＝tan［（α－β)＋β］＝eq\f(tanα－β＋tanβ，1－tanα－βtanβ)＝eq\f（1,3）〈1，且0〈α〈π,∴0<α<eq\f(π,4).∴0<2α<eq\f(π，2）。又tanβ＝－eq\f(1，7)〈0,且β∈（0，π)，∴eq\f(π，2）<β<π,－π<－β〈－eq\f（π，2).∴－π〈2α－β<0。∴2α－β＝－eq\f(3π,4)。思路2例題已知函數f(x)＝sin2ωx＋eq\r(3）sinωxsin（ωx＋eq\f（π，2））（ω〉0)的最小正周期為π.（1)求ω的值；（2）求函數f(x)在區(qū)間[0，eq\f（2π,3)］上的取值范圍．解:(1）f(x)＝eq\f(1－cos2ωx，2)＋eq\f(\r(3),2）sin2ωx＝eq\f（\r(3）,2)sin2ωx－eq\f（1，2）cos2ωx＋eq\f(1，2)＝sin（2ωx－eq\f(π，6））＋eq\f(1,2)。因為函數f(x）的最小正周期為π，且ω〉0，所以eq\f（2π，2ω）＝π。解得ω＝1。(2）由（1)得f(x）＝sin(2x－eq\f(π，6)）＋eq\f(1，2）。因為0≤x≤eq\f(2π，3)，所以－eq\f(π，6)≤2x－eq\f(π，6)≤eq\f（7π,6）.所以－eq\f（1,2）≤sin（2x－eq\f（π,6））≤1.因此0≤sin(2x－eq\f（π,6）)＋eq\f（1，2）≤eq\f(3,2），即f(x）的取值范圍為[0,eq\f(3，2）］．例2已知函數f(x)＝2cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1(x∈R，ω>0）的最小正周期是eq\f(π,2）.(1)求ω的值；(2）求函數f（x）的最大值，并且求使f(x）取得最大值的x的集合．解：f（x)＝2eq\f(1＋cos2ωx，2）＋sin2ωx＋1＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝eq\r(2）（sin2ωxcoseq\f（π，4)＋cos2ωxsineq\f（π，4））＋2＝eq\r(2）sin(2ωx＋eq\f（π,4）)＋2。由題設，函數f（x)的最小正周期是eq\f（π,2),可得eq\f（2π，2ω)＝eq\f(π，2)，所以ω＝2.（2）解：由（1)知，f（x)＝eq\r(2)sin（4x＋eq\f(π,4））＋2.當4x＋eq\f（π，4)＝eq\f(π，2)＋2kπ，即x＝eq\f(π，16）＋eq\f(kπ,2）（k∈Z)時,sin(4x＋eq\f（π，4))取得最大值1，所以函數f（x)的最大值是2＋eq\r(2)，此時x的集合為{x｜x＝eq\f（π，16）＋eq\f（kπ，2),k∈Z}．例3求函數y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值與最小值．解：y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x＝7－2sin2x＋4cos2x（1－cos2x）＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin2x＋sin22x＝（1－sin2x）2＋6。由于函數z＝(u－1）2＋6在[－1，1]中的最大值為zmax＝(－1－1）2＋6＝10，最小值為zmin＝（1－1)2＋6＝6，故當sin2x＝－1時，y取得最大值10；當sin2x＝1時，y取得最小值6.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結））1．先由學生總結歸納本節(jié)所復習的知識及數學思想方法，明確三角恒等變換所涉及的公式,主要是和角公式、差角公式、倍角公式，這些公式主要用于三角函數式的計算、化簡與推導，它們在數學和許多其他學科中都有廣泛的應用,必須熟練掌握，并搞清這些公式的邏輯關系和推導公式過程中所涉及的數學思想方法．2．教師強調，對一些公式不僅會用，還會逆用、變形用．三角函數是三角變形的對象,在進行三角恒等變換時，要認清三角函數式的角的特征、函數名稱的特征和式子結構特征，以便使用恰當的變形手段，巧妙地解決問題．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè)）)課本本章鞏固與提高7、8.eq\o(\s\up7(),\s\do5（設計感想））1．本節(jié)為全章復習課，教案設計的指導思想是：通過設計的教學程序,引導學生對全章，甚至對涉及前兩章的相關內容進行全面地復習整合,在掌握數學知識的同時，深刻領悟數學思想方法，提高他們分析問題、解決問題的能力．2．本章在新課程中的位置是承上啟下，前有三角函數,后有解三角形,所以三角函數式的恒等變形是解決有關三角問題的重要環(huán)節(jié)，蘊含著豐富的數學思想方法，教師在指導學生復習時要引導學生深刻領悟這一點．3．三角函數公式眾多,教學時要充分體現新課標的“以學生發(fā)展為本”的新理念，讓學生親自探究體驗，切忌被動學習、死記硬背、機械的訓練．在指導學生運用三角公式進行三角變換時，注意點撥學生從三角函數名稱和角的差異雙角度去綜合分析，再從差異的分析中決定三角公式的選取，不可生搬硬套題型．eq\o（\s\up7（)，\s\do5(備課資料)）備用習題1．f（x)＝2cos2x＋eq\r（3）sin2x＋a(a為實常數）在區(qū)間[0，eq\f(π，2)]上的最小值為－4，那么a的值等于()A．4B．－6C．－4D．－32．函數y＝sin6x＋cos6x的最小正周期是（)A.eq\f（π，4)B。eq\f(π,6)C．πD.eq\f(π，2)3．設a＝2cos228°－1，b＝eq\f(\r（2）,2)（cos18°－sin18°）,c＝logeq\f(1,2)eq\f（\r(2），2)，則（)A．a〈b〈cB．b〈a〈cC．b〈c〈aD．c<b〈a4．若α是銳角,且sinα＝eq\f(3,5)，則eq\r(2）cos(α＋eq\f(π，4)）等于（）A.eq\f(7,5)B。eq\f(1,5)C．－eq\f(7,5)D．－eq\f(1，5)5．函數y＝sin（x－eq\f(π，6))·cosx的最小值為()A。eq\f(\r（2）,2)B．－eq\f(\r（2），2)C．－eq\f(3，4)D。eq\f(1，2)6．設向量a＝（cos23°,cos67°），b＝(cos53°，cos37°)，則a·b等于()A.eq\f（\r（3)，2)B。eq\f(1，2）C．－eq\f（\r(3)，2）D．－eq\f（1，2)7．設p＝cosα·cosβ，q＝cos2eq\f(α＋β，2），那么p、q的大小關系是（)A．p＞qB．p＜qC．p≤qD．p≥q8．已知sin(α＋β）＝－eq\f(3,5)，sin(α－β）＝eq\f(3，5)，且α－β∈(eq\f（π，2），π），α＋β∈（eq\f(3π,2），2π）,則cos2β等于（）A．－1B．1C。eq\f(24,25)D．－eq\f(4，5)9．已知函數f（x）＝eq\f（6cos4x－5cos2x＋1,cos2x)，求f(x)的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域．10．化簡：（eq\f(3,sin2140°)－eq\f（1，cos2140°）)·eq\f（1,2sin10°)。11．一元二次方程mx2＋（2m－3)x＋m－2＝0的兩個實數根為tanα和tanβ，求tan(α＋β)的取值范圍及其最小值．12．設向量a＝（cos（α＋β），sin(α＋β）），b＝(cos（α－β）,sin(α－β）），且a＋b＝（eq\f（4,5)，eq\f(3，5)），（1）求tanα；（2）求eq\f（2cos2\f(α，2)－3sinα－1，\r(2)sinα＋\f(π，4）).13．觀察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝eq\f(3，4），sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝eq\f（3,4),sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝eq\f(3,4）。分析上述各式的共同特點，寫出能反映一般規(guī)律的等式,并對等式的正確性作出證明．參考答案：1．C∵f（x）＝1＋cos2x＋eq\r（3）sin2x＋a＝2sin（2x＋eq\f（π,6））＋a＋1,∵x∈［0，eq\f（π，2)]，∴2x＋eq\f（π,6）∈［eq\f（π,6），eq\f(7π，6）]．∴f(x）的最小值為2×（－eq\f（1，2)）＋a＋1＝－4?！郺＝－4。2．D∵y＝sin6x＋cos6x＝（sin2x＋cos2x)（sin4x－sin2xcos2x＋cos4x)＝1－3sin2xcos2x＝1－eq\f(3,4）sin22x＝eq\f（3，8）cos4x＋eq\f(5，8),∴T＝eq\f（π，2）。3．C4。B5．C∵y＝eq\f(1，2)[sin（2x－eq\f（π,6)）＋sin（－eq\f（π，6））］＝eq\f（1,2)sin（2x－eq\f(π,6))－eq\f（1，4），∵sin（2x－eq\f（π,6）)∈［－1，1]，∴ymin＝－eq\f（3,4).6．A7.C8.A9．解：由cos2x≠0，得2x≠kπ＋eq\f(π，2），解得x≠eq\f(kπ，2）＋eq\f（π,4）(k∈Z）．所以f(x）的定義域為{x｜x∈R且x≠eq\f（kπ，2）＋eq\f（π,4)，k∈Z｝．因為f（x)的定義域關于原點對稱,且f（－x)＝eq\f（6cos4－x－5cos2－x＋1，cos－2x)＝eq\f（6cos4x－5cos2x＋1，cos2x）＝f(x)，所以f（x）是偶函數．又當x≠eq\f（kπ,2)＋eq\f（π,4)（k∈Z)時,f（x）＝eq\f(6cos4x－5cos2x＋1,cos2x)＝eq\f（2cos2x－13cos2x－1，cos2x)＝3cos2x－1，所以f（x)的值域為{y|－1≤y＜eq\f(1,2）或eq\f(1，2）＜y≤2}．點評：本題主要考查三角函數的基本知識，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力．關鍵在于從定義域入手，對函數式子進行化簡整理．10．解：原式＝eq\f(3cos2140°－sin2140°,sin2140°cos2140°)·eq\f(1，2sin10°)＝eq\f(\r（3）cos140°－sin140°\r（3)cos1