數(shù)學示范教案：弧度制和弧度制與角度制的換算

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o（\s\up7（），\s\do5(整體設計)）教學分析在物理學和日常生活中，一個量常常需要用不同的方法進行度量，不同的度量方法可以滿足我們不同的需要．現(xiàn)實生活中有許多計量單位，如度量長度可以用米、厘米、尺、碼等不同的單位制，度量重量可以用千克、斤、噸、磅等不同的單位制,度量角的大小可以用度為單位進行度量,并且一度的角等于周角的eq\f(1,360），記作1°。通過類比引出弧度制，給出1弧度的定義,然后通過探究得到弧度數(shù)的絕對值公式,并得出角度和弧度的換算方法．在此基礎上，通過具體的例子，鞏固所學概念和公式，進一步認識引入弧度制的必要性．這樣可以自然地引入弧度制，并讓學生在探究過程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合與實數(shù)集的一一對應，為學習任意角的三角函數(shù)奠定基礎．通過探究討論，關鍵弄清1弧度角的定義，使學生建立弧度的概念,理解弧度制的定義，達到突破難點之目的．通過電教手段的直觀性,使學生進一步理解弧度作為角的度量單位的可靠性、可行性．通過周角的兩種單位制的度量，得到角度與弧度的換算公式，使學生認識到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者雖單位不同，但卻是互相聯(lián)系、辯證統(tǒng)一的．進一步加強對辯證統(tǒng)一思想的理解,滲透數(shù)學中普遍存在、相互聯(lián)系、相互轉化的觀點．有條件的學校可進行計算機練習，學習電子表格和Scilab中的公式計算功能．以后學生可使用這一功能檢查自己的計算結果。三維目標1．通過類比長度、重量的不同度量制，使學生體會一個量可以用不同的單位制來度量，從而引出弧度制．通過弧度制的學習，培養(yǎng)學生理性思維的良好習慣．2．通過探究使學生認識到角度制和弧度制都是度量角的制度，總結引入弧度制的好處，學會歸納整理并認識到任何新知識的學習,都會為解決實際問題帶來方便，從而激發(fā)學生的學習興趣．重點難點教學重點：理解弧度制的意義，并能進行角度和弧度的換算．教學難點：弧度的概念及其與角度的關系．課時安排1課時eq\o（\s\up7(),\s\do5(教學過程))導入新課思路1.（類比導入）測量人的身高常用米、厘米為單位進行度量，這兩種度量單位是怎樣換算的？家庭購買水果常用千克、斤為單位進行度量，這兩種度量單位是怎樣換算的?度量角的大小除了以度為單位度量外，還可采用哪種度量角的單位制？它們是怎樣換算的？思路2.(情境導入）利用古代度量時間的一種儀器—-日晷，或者利用普遍使用的鐘表．在初中，已學過利用角度來度量角的大小，現(xiàn)在來學習角的另一種度量方法——弧度制．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題))1在初中幾何里,我們學習過角的度量，1°的角是怎樣定義的呢？2我們從度量長度和重量上知道，不同的單位制能給我們解決問題帶來方便，那么角的度量是否也能用不同單位制呢？活動：教師先讓學生思考或討論問題,并讓學生回憶初中有關角度的知識，提出這是認識弧度制的關鍵,為更好地理解角度弧度的關系奠定基礎．討論后教師提問學生，并對回答好的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的關鍵．教師板書弧度制的定義:規(guī)定長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角．以弧度為單位來度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下，1弧度記作1rad.如圖1中，的長等于半徑r，AB所對的圓心角∠AOB就是1弧度的角，即eq\f(l，r)＝1.圖1討論結果：(1)1°的角可以理解為將圓周角分成360等份，每一等份的弧所對的圓心角就是1°。它是一個定值，與所取圓的半徑大小無關．(2)能，用弧度制．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問題））1作半徑不等的甲、乙兩圓，在每個圓上作出等于其半徑的弧長，連結圓心與弧的兩個端點，得到兩個角,將乙圖移到甲圖上，兩個角有什么樣的關系?2如果一個半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長是l，那么α的弧度數(shù)是多少？既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它們之間如何換算？活動：教師引導學生學會總結和歸納角度制和弧度制的關系,使學生明確：第一，弧度制是以“弧度”為單位來度量角的單位制，角度制是以“度”為單位來度量角的單位制；第二，1弧度是等于半徑長的弧所對的圓心角（或這條弧）的大小，而1°的角是周角的eq\f（1，360)；第三，無論是以“弧度”還是以“度”為單位,角的大小都是一個與半徑大小無關的定值．教師要強調(diào)，為了讓學生習慣使用弧度制,本教科書在后續(xù)的內(nèi)容中盡量采用弧度制．討論結果：（1)完全重合，因為都是1弧度的角．（2）α＝eq\f(l,r);將角度化為弧度：360°＝2πrad,1°＝eq\f（π，180）rad≈0。01745rad；將弧度化為角度：2πrad＝360°,1rad＝（eq\f（180,π）)°≈57。30°＝57°18′.弧度制與角度制的換算公式：設一個角的弧度數(shù)為αrad＝(eq\f(180α，π））°,n°＝neq\f(π,180)（rad）．在引入弧度制后，可以引導學生建立弧與圓心角的聯(lián)系——弧的度數(shù)等于圓心角的度數(shù)．隨著角的概念的推廣，圓心角和弧的概念也隨之推廣：從“形”上說，圓心角有正角、零角、負角,相應地,弧也就有正弧、零弧、負弧;從“數(shù)"上講,圓心角與弧的度數(shù)有正數(shù)、0、負數(shù)．圓心角和弧的正負實際上表示了“角的不同方向”，每一個圓心角都有一條弧與它對應，并且不同的圓心角對應著不同的弧，反之亦然．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問題))（1）引入弧度之后，在平面直角坐標系中，終邊相同的角應該怎么用弧度來表示？扇形的面積與弧長公式用弧度怎么表示？(2）填寫下列的表格，找出某種規(guī)律．的長OB旋轉的方向∠AOB的弧度數(shù)∠AOB的度數(shù)πr逆時針方向2πr逆時針方向r12r－2－π0180°360°（3)你能寫出把角度值n換算為弧度值的一個算法嗎？活動：設置這個表格的意圖是讓學生對一些特殊角填表，然后概括出一般情況．教師讓學生互動起來,討論并總結出規(guī)律，提問學生的總結情況，讓學生板書，教師對做正確的學生給予表揚，對沒有總結完全的學生進行簡單的提示．檢查完畢后，教師做個總結．由上表可知，如果一個半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長是l，那么α的弧度數(shù)的絕對值是eq\f(l，α).這里,應當注意從數(shù)學思想的高度引導學生認識“換算”問題,即角度制、弧度制都是角的度量制，那么它們一定可以換算．推而廣之，同一個數(shù)學對象用不同方式表示時，它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系，認識這種聯(lián)系性也是數(shù)學研究的重要內(nèi)容之一．教師指出，角的概念推廣以后,無論用角度制還是用弧度制,都能在角的集合與實數(shù)集R之間建立一種一一對應的關系:每一個角都有唯一的一個實數(shù)(角度數(shù)或弧度數(shù)）與它對應；反過來，每一個實數(shù)也都有唯一的一個角和它對應．在理解以上的對應關系時，應該注意角度制是60進位制，遇到35°6′這樣的角,應該把它化為10進制的數(shù)值35.1°，但是弧度數(shù)不存在這個問題，因為弧度數(shù)是十進制的實數(shù)．這是角度制與弧度制的一個重要區(qū)別．值得注意的是：今后在表示與角α終邊相同的角時，有弧度制與角度制兩種單位制，要根據(jù)角α的單位來決定另一項的單位,即兩種單位不能混用，絕對不能出現(xiàn)k·360°＋eq\f（π，3）或者2kπ＋60°一類的寫法．在弧度制中，與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可以寫成β＝α＋2kπ（k∈Z)的形式．如圖2為角的集合與實數(shù)集R之間的一一對應關系．圖2討論結果：（1）與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可以寫成β＝α＋2kπ(k∈Z）的形式．弧度制下關于扇形的公式為l＝αR，S＝eq\f（1，2）αR2，S＝eq\f（1,2)lR.（2)的長OB旋轉的方向∠AOB的弧度數(shù)∠AOB的度數(shù)πr逆時針方向π180°2πr逆時針方向2π360°r逆時針方向157.3°2r順時針方向－2－114.6°πr順時針方向－π－180°0未旋轉00°πr逆時針方向π180°2πr逆時針方向2π360°（3）把角度值n換算為弧度值的一個“算法”如下：①給變量n和圓周率π的近似值賦值；②如果角度值n是以“度、分、秒"形式給出，先把n化為以“度”為單位的10進制表示；③計算eq\f（π,180）（把1°換算為弧度值)，得出的結果賦給變量a；④計算na,賦值給變量α.α就是這個角的弧度值．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應用示例)）思路1例1下列命題中，真命題是（）A．一弧度是一度的圓心角所對的弧B．一弧度是長度為半徑的弧C．一弧度是一度的弧與一度的角之和D．一弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角，它是角的一種度量單位活動：本例目的是讓學生在教師的指導下理解弧度制與角度制的聯(lián)系與區(qū)別,熟練掌握定義．根據(jù)弧度制的定義，對照各項，可知D為真命題．答案：D變式訓練下列四個命題中，不正確的一個是()A．半圓所對的圓心角是πradB．周角的大小是2πC．1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑D．長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度答案：D例2(1）把112°30′化成弧度(精確到0.001);（2）把112°30′化成弧度(用π表示）．解：（1）按照上面寫出的算法步驟，依次計算：①n＝112°30′，π＝3.1416；②n＝112eq\f（30,60）＝112.5；③a＝eq\f(π，180)≈0.0175;④α＝na＝1。96875。因此α≈1.969rad。(2）112°30′＝(eq\f(225，2））°＝eq\f(225，2)×eq\f（π,180)＝eq\f(5π，8).例3將下列用弧度制表示的角化為2kπ＋α(k∈Z,α∈［0,2π））的形式，并指出它們所在的象限：（1）－eq\f（15π,4)；(2）eq\f（32π，3）；(3）－20；（4）－2eq\r（3)?；顒樱罕绢}的目的是讓學生理解什么是終邊相同的角，教師給予指導并討論歸納出一般規(guī)律，即終邊在x軸、y軸上的角的集合分別是：{β｜β＝kπ，k∈Z｝，{β|β＝eq\f（π，2)＋kπ，k∈Z}．第一、二、三、四象限角的集合分別為：{β|2kπ〈β<2kπ＋eq\f（π，2）,k∈Z}，{β｜2kπ＋eq\f（π，2）<β〈2kπ＋π，k∈Z}，{β|2kπ＋π〈β<2kπ＋eq\f（3π,2),k∈Z｝，｛β|2kπ＋eq\f(3π,2）<β<2kπ＋2π，k∈Z}．解：(1)－eq\f(15π，4）＝－4π＋eq\f(π,4)，是第一象限角．(2)eq\f（32π,3)＝10π＋eq\f（2π，3)，是第二象限角．（3)－20＝－3×6.28－1.16，是第四象限角．（4)－2eq\r（3）≈－3.464，是第二象限角．點評：在這類題中對于含有π的弧度數(shù)表示的角,我們先將它化為2kπ＋α（k∈Z,α∈[0,2π))的形式,再根據(jù)α角終邊所在的位置進行判斷，對于不含有π的弧度數(shù)表示的角,取π＝3.14，化為k×6。28＋α，k∈Z，｜α|∈[0，6.28）的形式,通過α與eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)比較大小，估計出角所在的象限.變式訓練（1）把－1480°寫成2kπ＋α(k∈Z，α∈[0，2π））的形式；（2)若β∈［－4π，0)，且β與(1）中α終邊相同,求β。解：(1)∵－1480°＝－eq\f(74π,9）＝－10π＋eq\f(16π,9)，0≤eq\f（16π,9)〈2π，∴－1480°＝2（－5）π＋eq\f（16π，9）。(2)∵β與α終邊相同，∴β＝2kπ＋eq\f（16π，9),k∈Z。又∵β∈[－4π，0），∴β1＝－eq\f(2π,9),β2＝－eq\f(20π,9）。例4如圖3,（1)扇形AOB中，所對的圓心角是60°，半徑為50米，求Aeq\x\to(B）的長l(精確到0。1米）．圖3（2)利用弧度制推導扇形面積公式：S＝eq\f(1，2）lr，其中l(wèi)是扇形的弧長，r是扇形的半徑．活動：本例目的是讓學生在教師的指導下以扇形為背景，進一步理解弧度制的優(yōu)越性．可先讓學生多做相應的隨堂練習,在黑板上當場演練，教師給予批改指導，對易出錯的地方特別強調(diào)．對學生出現(xiàn)的種種失誤,教師不要著急,在學生的練習操作中一一糾正，這對以后學習大有好處．解：（1)如圖3,因為60°＝eq\f(π，3），所以l＝α·r＝eq\f(π，3）×50≈1。05×50＝52。5。答:的長約為52。5米．（2）如圖4，因為圓心角為1rad的扇形的面積為eq\f（πr2,2π）＝eq\f(1,2）r2,而弧長為l的扇形的圓心角的大小為eq\f（l,r）rad,所以它的面積S＝eq\f(l，r)·eq\f(r2,2）＝eq\f(1,2）lr，即S＝eq\f(1，2）lr。圖4例5已知一個扇形的周長為a，求當扇形的圓心角多大時,扇形的面積最大，并求這個最大值．活動：這道應用題考查了函數(shù)思想．教師提示學生回顧一下用函數(shù)法求最值的思路與步驟，函數(shù)法求最值所包括的五個基本環(huán)節(jié)：(1）選取自變量；(2)建立目標函數(shù)；(3）指出函數(shù)的定義域；(4）求函數(shù)的最值；(5）作出相應結論．其中自變量的選取不唯一，建立目標函數(shù)結合有關公式進行,函數(shù)定義域要根據(jù)題意確定，有些函數(shù)是結構確定求最值的方法,并確保在定義域內(nèi)能取到最值．解：設扇形的弧長為l，半徑為r，圓心角為α，面積為S.由已知,2r＋l＝a，即l＝a－2r。∴S＝eq\f(1，2）l·r＝eq\f（1,2）（a－2r)·r＝－r2＋eq\f(a,2）r＝－（r－eq\f（a，4）)2＋eq\f（a2,16）?！遰>0,l＝a－2r〉0，∴0<r〈eq\f（a,2）?！喈攔＝eq\f（a,4)時,Smax＝eq\f（a2,16)。此時,l＝a－2·eq\f(a，4）＝eq\f（a,2）,∴α＝eq\f(l,r)＝2。故當扇形的圓心角為2rad時，扇形的面積取最大值eq\f(a2,16)。變式訓練已知一個扇形的周長為eq\f(8π,9）＋4，圓心角為80°，求這個扇形的面積．解：設扇形的半徑為r,面積為S，由已知知道，扇形的圓心角為80×eq\f(π，180）＝eq\f(4π,9），∴扇形的弧長為eq\f(4π，9）r，由已知,eq\f（4π,9）r＋2r＝eq\f(8π，9)＋4,∴r＝2?！郤＝eq\f(1,2）·eq\f（4π,9)r2＝eq\f(8π,9）。故扇形的面積為eq\f(8π,9)。點評：求扇形的關鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量．相反,也可由扇形的面積結合其他條件，求扇形的圓心角、半徑、弧長．解題時要注意公式的靈活變形及方程思想的運用.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結))由學生總結弧度制的定義，角度與弧度的換算公式與方法．教師強調(diào)角度制與弧度制是度量角的兩種不同的單位制，它們是互相聯(lián)系的，辯證統(tǒng)一的；角度與弧度的換算，關鍵要理解并牢記180°＝πrad這一關系式,由此可以很方便地進行角度與弧度的換算．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業(yè)）)課本本節(jié)練習A組3,4；練習B組3，4，5。eq\o(\s\up7（），\s\do5（設計感想）)本節(jié)課的設計思想是：在學生的探究活動中通過類比引入弧度制這個概念并突破這個難點．因此一開始要讓學生從圖形、代數(shù)兩方面深入探究，不要讓開始的探究成為一種擺設．通過探究讓學生明確知識依附于問題而存在，方法為解決問題的需要而產(chǎn)生．將弧度制的概念的形成過程自然地貫徹到教學活動中去，由此把學生的思維推到更寬的廣度．本節(jié)設計的特點是由特殊到一般、由易到難，這符合學生的認知規(guī)律；讓學生在探究中積累知識，發(fā)展能力，對形成科學的探究未知世界的嚴謹作風有著良好的啟迪．但由于學生知識水平的限制，本節(jié)不能擴展太多，建議讓學有余力的學生繼續(xù)總結歸納用弧度來計量角的好處并為后續(xù)三角函數(shù)的學習奠定基礎．eq\o（\s\up7（）,\s\do5(備課資料））一、密位制度量角度量角的單位制，除了角度制、弧度制外，軍事上還常用密位制．密位制的單位是“密位”。1密位就是圓的eq\f（1，6000）所對的圓心角(或這條?。┑拇笮。驗?60°＝6000密位，所以1°＝eq\f(6000密位，360)≈16.7密位，1密位＝eq\f（360°，6000）＝0.06°＝3。6′≈216″.密位的寫法是在百位上的數(shù)與十位上的數(shù)之間畫一條短線，例如7密位寫成0—07，讀作“零，零七”，478密位寫成4—78,讀作“四，七八”．二、備用習題1．一條弦的長度等于圓的半徑，則這條弦所對的圓心角的弧度數(shù)是()A.eq\f（π，3)B。eq\f（π，6）C．1D．π2．圓的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，而弧長也增大到原來的2倍，則()A．扇形的面積不變B．扇形的圓心角不變C．扇形的面積增大到原來的2倍D．扇形的圓心角增大到原來的2倍3．下列表示的為終邊相同的角的是（）A．kπ＋eq\f(π，4)與2kπ＋eq\f(π,4）(k∈Z)B。eq\f(kπ，2)與kπ＋eq\f（π，2)(k∈Z）C．kπ－eq\f(2π，3）與kπ＋eq\f(π,3)（k∈Z）D．(2k＋1）π與3kπ(k∈Z)4．已知0〈θ<2π，7θ角的終邊與θ角的終邊重合，則θ＝__________.5．已知扇形的周長為6cm,面積為2cm2，求扇形的中心角的弧度數(shù)．6．若α∈(－eq\f(π，2），0)，β∈（0，eq\f(π，2）)，求α＋β,α－β的范圍，并指出它們各自所在的象限．7．用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界，如圖5所示）．圖58．(1）角α,β的終邊關于直線y＝x對稱,寫出α與β的關系式；(2)角α，β的終邊關于直線y＝－x對稱，寫出α與β的關系式．參考答案：1．A2.B3.C4。eq\f（π,3）,eq\f(2π，3)，π，eq\f（4π，3）,eq\f（5π,3）5．解：設扇形所在圓的半徑為R，扇形的中心角為α，依題意有αR＋2R＝6，且eq\f(1,2）αR2＝2，∴R＝1，α＝4或R＝2，α＝1.∴α＝4或1.6．解：－eq\f（π，2）〈α＋β〈eq\f(π,2)，∴α＋β在第一象限或第四象限，或α＋β的終邊在x軸的非負半軸上．－π〈α－β〈0，∴α－β在第三象限或第四象限,或α－β的終邊在y軸的非正半軸上．7．解：(1）{θ|2kπ－eq\f（π，6）〈θ<2kπ＋eq\f(5π,12),k∈Z｝；(2）｛θ｜2kπ－eq\f(3π,4)<θ〈2kπ＋eq\f(3π,4）,k∈Z｝;(3）{θ｜2kπ＋eq\f(π,6）〈θ<2kπ＋eq\f(π，2），k∈Z}∪｛θ