數(shù)學(xué)示范教案：兩角和與差的正切

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o（\s\up7()，\s\do5(整體設(shè)計）)教學(xué)分析教材把兩角和與差的正切公式從正弦、余弦中分離出來,單獨作為一節(jié)，這對學(xué)生的自主探究學(xué)習(xí)提供了平臺．因為前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩角和與差的正弦、余弦公式,對其應(yīng)用學(xué)生有了一定的理解，同時對于三角函數(shù)變形中,角的變換也有了一定的掌握，因此在本節(jié)課的教學(xué)中可以充分利用學(xué)生的知識遷移，更多地讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，獨立地推導(dǎo)兩角和與差的正切公式，為學(xué)生提供進(jìn)一步實踐的機(jī)會．也可以說本節(jié)并不是什么新的內(nèi)容，而是對前面所學(xué)知識的整合而已．在探究中讓學(xué)生體驗自身探索成功的喜悅感，培養(yǎng)學(xué)生的自信心，培養(yǎng)學(xué)生形成實事求是的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神．對于公式成立的條件，可以在學(xué)生自主推導(dǎo)公式中通過觀察、比較、分析、討論，在掌握公式結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上加以討論解決．在學(xué)習(xí)兩角和與差的正切公式中，有許多優(yōu)美的三角恒等式，它可以喚起學(xué)生的美感，教學(xué)中要注意這種形式上的特點，引導(dǎo)學(xué)生欣賞其結(jié)構(gòu)、變形之美．本節(jié)作為兩角和與差的三角函數(shù)的最后一節(jié)內(nèi)容,教學(xué)時可以將兩角和與差的三角函數(shù)公式作一個小結(jié),從分析公式的推導(dǎo)過程入手，探究問題解決的來龍去脈，揭示它們的邏輯關(guān)系，使學(xué)生更好地用分析的方法尋求解題思路．三維目標(biāo)1．會由兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)兩角和與差的正切公式,能運(yùn)用兩角和與差的正切公式進(jìn)行簡單的化簡、求值及三角恒等證明．2．通過兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)及運(yùn)用，讓學(xué)生從中體會轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系變化的觀點觀察問題，通過學(xué)生的互相交流增強(qiáng)學(xué)生的合作能力,加強(qiáng)學(xué)生對公式的理解，在公式變形美的熏陶下提高數(shù)學(xué)審美層次．重點難點教學(xué)重點:兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)及應(yīng)用．教學(xué)難點:兩角和與差的正切公式的靈活運(yùn)用，特別是逆用及變形用．課時安排1課時eq\o（\s\up7(）,\s\do5（教學(xué)過程))導(dǎo)入新課思路1。（問題導(dǎo)入)通過前面的學(xué)習(xí),你能否求出tan15°的值？學(xué)生很容易轉(zhuǎn)化為30°、45°的正弦、余弦來求．教師進(jìn)一步提出：能否直接利用tan30°和tan45°來求出tan15°呢？由此展開新課，探究兩角和與差的正切公式．思路2.(直接導(dǎo)入）在研究了和與差角α±β的正弦、余弦與單角α、β的正弦、余弦間的關(guān)系后，能否探究出tan(α±β)與tanα、tanβ間的關(guān)系?是否與sin（α±β）公式相似？如何推導(dǎo)呢？由此展開新課，揭示課題．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題））1利用所學(xué)兩角和與差正弦與余弦公式很容易求出tan15°的值,那么怎樣直接利用tan30°和tan45°來求出tan15°呢？2利用所學(xué)兩角和與差的公式，對比分析公式Cα－β、Cα＋β、Sα－β、Sα＋β，能否推導(dǎo)出tanα－β＝？tanα＋β＝?3分析觀察公式Tα－β、Tα＋β的結(jié)構(gòu)特征與正、余弦公式有什么不同？4前面兩角和與差的正、余弦公式是恒等式，和與差的正切呢？活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察思考前面我們推出的公式Cα－β、Cα＋β、Sα＋β、Sα－β，可以完全讓學(xué)生自己進(jìn)行探究tan(α－β)，tan（α＋β）究竟如何，教師只是適時地點撥就行了．通過教師引導(dǎo)學(xué)生自然會想到利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化弦為切，通過除以cosαcosβ即可得到，在這一過程中學(xué)生很可能想不到討論cosαcosβ等于零的情況，這時教師不要直接提醒，讓學(xué)生通過觀察驗證自己悟出來才有好效果．對cosαcosβ討論如下：當(dāng)cos（α＋β）≠0時，tan（α＋β)＝eq\f（sinα＋β，cosα＋β）＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ－sinαsinβ).若cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0時，分子分母同除以cosαcosβ,得tan(α＋β）＝eq\f（tanα＋tanβ，1－tanαtanβ）.根據(jù)角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，則有tan（α－β)＝eq\f（tanα＋tan－β，1－tanαtan－β）＝eq\f（tanα－tanβ，1＋tanαtanβ）。由此推得兩角和與差的正切公式，簡記為“Tα－β、Tα＋β"．tan（α＋β）＝eq\f（tanα＋tanβ,1－tanαtanβ）(Tα＋β)，tan(α－β)＝eq\f（tanα－tanβ，1＋tanαtanβ）（Tα－β)．我們把公式Tα＋β、Tα－β分別稱作兩角和的正切公式與兩角差的正切公式,并且從推導(dǎo)過程可以知道α、β、α±β有一定的取值范圍,即α≠eq\f（π，2）＋kπ(k∈Z），β≠eq\f(π，2）＋kπ（k∈Z），α±β≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z），這樣才能保證tan(α±β）與tanα,tanβ都有意義．教師應(yīng)留出一定的時間讓學(xué)生回味、反思探究過程，點明推導(dǎo)過程的關(guān)鍵是：tan(α＋β)→sin(α＋β)，cos（α＋β)→sinα、sinβ、cosα、cosβ→tanα、tanβ.我們學(xué)習(xí)公式一定要掌握公式成立的條件、公式的形式及公式的作用三個方面:①公式成立的條件是什么?（提示學(xué)生從公式的形式和推導(dǎo)過程看)tanα、tanβ、tan(α±β）都有意義，且1±tanαtanβ≠0；②注意公式的形式：公式右邊分子是單角α、β正切的和與差，分母是1減（或加）單角α、β正切的積公式，右邊分子的符號與公式左邊的符號相同,公式右邊分母的符號與分子的符號相反；③公式的作用:將復(fù)角α±β的正切化為單角α、β的正切形式，用于角的變換．(基本關(guān)系式用于三角函數(shù)的變形)可用于三角函數(shù)的計算、化簡、證明．至此，我們學(xué)完了兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，統(tǒng)一叫做三角函數(shù)的和差公式．一般地，我們把公式Sα＋β，Cα＋β,Tα＋β都叫做和角公式,而把公式Sα－β，Cα－β，Tα－β都叫做差角公式．要讓學(xué)生明晰這六個公式的推導(dǎo)過程，清晰邏輯關(guān)系主線．可讓學(xué)生自己畫出這六個框圖，通過邏輯聯(lián)系圖，深刻理解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，借以理解并靈活運(yùn)用這些公式．同時教師應(yīng)提醒學(xué)生注意:不僅要掌握這些公式的正用,還要注意它們的逆用及變形用．如兩角和與差的正切公式的變形式：tanα＋tanβ＝tan(α＋β）（1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan（α－β）（1＋tanαtanβ),在化簡求值中就經(jīng)常用到，使解題過程大大簡化,也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美及數(shù)學(xué)公式的魅力．對于兩角和與差的正切公式,當(dāng)tanα,tanβ或tan（α±β）的值不存在時，不能使用Tα±β處理某些問題，但可改用誘導(dǎo)公式或其他方法,例如：化簡tan（eq\f(π,2）－β)，因為taneq\f(π,2)的值不存在，不能應(yīng)用兩角和與差的正切公式,所以改用誘導(dǎo)公式tan（eq\f（π，2)－β)＝eq\f（sin\f(π,2)－β,cos\f（π，2)－β）＝eq\f（cosβ,sinβ）來處理．討論結(jié)果：(1）～（4)略．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例））例1已知tanα＝2，tanβ＝－eq\f（1,3)，其中0<α〈eq\f(π,2)，eq\f(π,2）〈β<π.（1)求tan（α－β）；(2)求α＋β的值．活動：本例是兩角和與差的正切公式的直接運(yùn)用，教師可讓學(xué)生獨立解決．對于（2)教師要提醒學(xué)生注意判斷角的范圍，這是解這類題目的關(guān)鍵步驟．讓學(xué)生養(yǎng)成良好的習(xí)慣:由三角函數(shù)值求角必先找出所求角的范圍．解：(1）因為已知tanα＝2,tanβ＝－eq\f(1，3)，所以tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanα·tanβ）＝eq\f（2＋\f（1,3)，1－\f(2，3)）＝7。（2)因為tan（α＋β）＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)＝eq\f(2－\f（1,3)，1＋\f（2，3））＝1，又因為0〈α〈eq\f(π，2)，eq\f（π，2)<β〈π,所以eq\f(π,2）<α＋β〈eq\f（3π，2)。在eq\f（π，2）與eq\f（3π，2)之間，只有eq\f(5π，4）的正切值等于1，所以α＋β＝eq\f(5π,4）。例2求下列各式的精確值．(1)tan75°；(2）eq\f(tan17°＋tan43°，1－tan17°tan43°）。解:（1）tan75°＝tan(45°＋30°）＝eq\f（tan45°＋tan30°，1－tan45°tan30°)＝eq\f(1＋\f(\r(3），3),1－\f（\r(3),3）)＝2＋eq\r（3）；（2)eq\f（tan17°＋tan43°,1－tan17°tan43°)＝tan（17°＋43°）＝tan60°＝eq\r（3）.點評：本例體現(xiàn)了對公式全面理解上的要求,要求學(xué)生能夠從正、反兩個角度使用公式，與正用相比，反用表現(xiàn)的是一種逆向思維，它不僅要求有一定的反向思維意識,對思維的靈活性要求也高，而且對公式要有更深刻的認(rèn)識.變式訓(xùn)練1．不查表求tan105°的值．解：tan105°＝tan（60°＋45°）＝eq\f（tan60°＋tan45°,1－tan60°tan45°)＝eq\f(\r(3)＋1,1－\r(3）)＝－2－eq\r(3)。2．不查表,計算：(1）tan22°＋tan23°＋tan22°tan23°；(2）tan17°tan43°＋tan17°tan30°＋tan43°tan30°。解：（1）原式＝tan(22°＋23°)·（1－tan22°tan23°）＋tan22°tan23°＝tan45°·(1－tan22°tan23°)＋tan22°tan23°＝1。(2)原式＝tan17°tan43°＋tan30°(tan17°＋tan43°）＝tan17°tan43°＋tan30°tan(17°＋43°)（1－tan17°tan43°)＝tan17°tan43°＋tan30°tan60°(1－tan17°tan43°）＝1。例3若tan（α＋β）＝eq\f(2，5)，tan（β－eq\f（π，4)）＝eq\f(1，4），求tan(α＋eq\f(π，4）)的值．解:因為α＋eq\f(π，4）＝（α＋β)－（β－eq\f（π,4)),所以tan（α＋eq\f（π，4))＝tan[（α＋β）－(β－eq\f（π,4）)］＝eq\f(tanα＋β－tanβ－\f（π,4），1＋tanα＋βtanβ－\f（π，4)）＝eq\f（\f(2,5)－\f（1,4)，1＋\f（2，5）×\f（1，4）)＝eq\f（3,22).點評:本題是典型的變角問題,就是把所求角利用已知角來表示，具有一定的拆角技巧，這就需要教師巧妙地引導(dǎo),讓學(xué)生親自動手進(jìn)行角的變換，使之明白此類變角的技巧,從而培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力。變式訓(xùn)練已知tanα＝－eq\f(1,3），cosβ＝eq\f(\r(5），5),α，β∈（0,π）．(1)求tan（α＋β)的值;（2）求函數(shù)f(x)＝eq\r(2）sin(x－α)＋cos（x＋β)的最大值．解：(1）由cosβ＝eq\f(\r(5），5)，β∈（0,π)，得tanβ＝2，sinβ＝eq\f(2\r（5)，5),所以tan（α＋β）＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝1。(2)因為tanα＝－eq\f(1，3），α∈（0，π）,所以sinα＝eq\f(1,\r(10)),cosα＝－eq\f(3,\r（10)).f(x)＝－eq\f（3\r(5），5)sinx－eq\f（\r(5），5）cosx＋eq\f（\r（5),5)cosx－eq\f（2\r（5），5)sinx＝－eq\r(5)sinx，所以f(x)的最大值為eq\r(5）。例4已知α＋β＝45°，求（1＋tanα）（1＋tanβ）的值．解：∵α＋β＝45°，∴tan（α＋β)＝tan45°＝1。又∵tan（α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ，1－tanαtanβ），∴tanα＋tanβ＝tan（α＋β）(1－tanαtanβ），即tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ?！嘣剑?＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋（1－tanαtanβ）＋tanαtanβ＝2.點評：本題是公式的變形應(yīng)用，當(dāng)出現(xiàn)α＋β為特殊角時,就可以考慮逆用兩角和的正切公式的變形式tanα＋tanβ＝tan(α＋β）（1－tanαtanβ），這個變形式子對我們解題很有用處．解完后留出一定的時間讓學(xué)生認(rèn)真總結(jié)反思，熟練掌握其變化的思想方法。變式訓(xùn)練1．求（1＋tan1°）(1＋tan2°）（1＋tan3°）…（1＋tan44°)（1＋tan45°)的值．解：原式＝［（1＋tan1°）（1＋tan44°）］［（1＋tan2°)(1＋tan43°)]…［（1＋tan22°）(1＋tan23°)］（1＋tan45°）＝2×2×2×…×2＝223。2．計算：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°。解：原式＝tan45°（1－tan15°tan30°）＋tan15°tan30°＝1.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié))）本節(jié)課主要學(xué)習(xí)的是：推導(dǎo)了兩角和與差的正切公式；研究了公式成立的條件、公式的形式及公式的作用;學(xué)習(xí)了公式的應(yīng)用，通過公式的推導(dǎo)，加強(qiáng)了對“轉(zhuǎn)化"數(shù)學(xué)思想方法的理解，通過例題我們對公式不僅要會正用，還要會逆用,有時還需要適當(dāng)變形后再用，這樣才能全面地掌握公式．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè)))課本本節(jié)習(xí)題3—1A組1~3B組1～3。eq\o(\s\up7(),\s\do5（設(shè)計感想））1．因為本節(jié)內(nèi)容是兩角和與差公式的最后一節(jié)，所以本節(jié)教案的設(shè)計目的既是兩角和與差正弦余弦公式的繼續(xù)，也注意了復(fù)習(xí)鞏固兩角和差公式．設(shè)計意圖在于深刻理解公式的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會綜合利用公式解題的方法和技巧．因此本節(jié)課安排的幾個例子都是圍繞這個目標(biāo)設(shè)計的，它們的解題方法也充分體現(xiàn)了公式的靈活運(yùn)用．另外，通過補(bǔ)充的例題，教給學(xué)生正用、逆用、變形用公式的方法，培養(yǎng)了他們的逆向思維和靈活運(yùn)用公式的能力．2．對于本節(jié)課來說，我們應(yīng)該本著以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的原則，讓學(xué)生充分發(fā)揮自己的學(xué)習(xí)智能，由學(xué)生唱好本節(jié)的主角．在設(shè)計例習(xí)題上，也是先讓學(xué)生審題、獨立思考、探究解法，然后教師再進(jìn)行必要的點評．重在理清思路，糾正錯誤，點撥解法,爭取一題多解,拓展思路，通過變式訓(xùn)練再進(jìn)行方法提升，開拓題型．eq\o(\s\up7(）,\s\do5（備課資料）)備用習(xí)題1．若tanα＝2,tan(β－α）＝3，則tan(β－2α)的值為（)A．－1B．－eq\f（1，2）C。eq\f(5,7）D.eq\f(1,7）2．tan30°＋tan15°＋tan15°tan30°的值等于（)A。eq\f(1,2)B。eq\f（\r（2），2)C。eq\r（2）D．13.eq\f(tan55°－tan385°,1－tan－305°tan－25°)＝________.4．已知tan110°＝a，則tan50°的值為________．5．若tanx＝eq\f（1－tan20°,1＋tan20°），則x＝________。6．已知sinα＝－eq\f（3，5），cosβ＝eq\f（5,13），且α，β的終邊在同一象限,求tan(α＋β)的值．7．若3sinx＋eq\r（3)cosx＝2eq\r(3）sin(x＋φ）且φ∈（0，eq\f（π，2）),求tan(φ＋eq\f(π，4）)的值．8．在平面直角坐標(biāo)系中，點P在以原點O為圓心、6為半徑的圓上運(yùn)動,線段OP與以O(shè)為圓心、2為半徑的圓交于R點，過P作x軸的垂線，垂足為M,過R作PM的垂線，垂足為Q，求∠POQ的最大值．參考答案：1．D2。D3。eq\f（\r（3）,3)4。eq\f（a－\r（3),1＋\r（3）a）5。25°＋k·180°（k∈Z)6.eq\f(63,16).7．分析：如何求φ是本題的關(guān)鍵．解：∵3sin