數(shù)學(xué)示范教案：三角函數(shù)的定義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7()，\s\do5(整體設(shè)計(jì)))教學(xué)分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，它是用直角三角形邊長的比來刻畫的．銳角三角函數(shù)的引入與“解三角形”有直接關(guān)系．任意角的三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型,它與“解三角形”已經(jīng)沒有什么關(guān)系了．因此，與學(xué)習(xí)其他基本初等函數(shù)一樣,學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)，關(guān)鍵是要使學(xué)生理解三角函數(shù)的概念．教材中是分三步引入三角函數(shù)的定義的．首先以銳角三角函數(shù)為引子，即當(dāng)象限角為銳角時(shí)，復(fù)習(xí)直角三角形中的邊、角關(guān)系，銳角三角函數(shù)；接著推廣銳角三角函數(shù)，即在象限角的終邊上任取一點(diǎn),啟發(fā)學(xué)生研討這一點(diǎn)的坐標(biāo)與象限角大小的關(guān)系，進(jìn)而證明三個(gè)比值eq\f(x,r)，eq\f(y,r)，eq\f（y，x）與點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān)；最后根據(jù)判斷函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)(函數(shù)值是否唯一，是否給出定義域)，定義正弦、余弦和正切三個(gè)三角函數(shù)．本小節(jié)的第二個(gè)內(nèi)容是判斷三個(gè)三角函數(shù)在各象限的符號，為進(jìn)一步研究三角函數(shù)作好準(zhǔn)備．例題1、2的作用是學(xué)會由已知條件求三角函數(shù)值，掌握終邊在坐標(biāo)軸上的角的三角函數(shù)值．三維目標(biāo)1．理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義，理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，并從任意角的三角函數(shù)定義認(rèn)識正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域，理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號．2．通過對任意角的三角函數(shù)定義的理解，掌握終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等．3．能根據(jù)三角函數(shù)的符號，確定角所在的象限．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．教學(xué)難點(diǎn)：用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來刻畫三角函數(shù)，三角函數(shù)符號．課時(shí)安排1課時(shí)eq\o（\s\up7（),\s\do5（教學(xué)過程）)導(dǎo)入新課思路1.我們把角的范圍推廣了，銳角三角函數(shù)的定義還能適用嗎?譬如三角形內(nèi)角和為180°，那么sin200°的值還是三角形中200°的對邊與斜邊的比值嗎？類比角的概念的推廣，怎樣修正三角函數(shù)定義？由此展開新課．另外用“單位圓定義法”單刀直入給出定義，然后再在適當(dāng)時(shí)機(jī)聯(lián)系銳角三角函數(shù)，這也是一種不錯(cuò)的選擇．思路2。引導(dǎo)學(xué)生回憶銳角三角函數(shù)概念，體會引進(jìn)象限角概念后，用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)比表示銳角三角函數(shù)的意義,從而為定義任意角的三角函數(shù)奠定基礎(chǔ)．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究））定義1eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題))eq\a\vs4\al(1我們曾學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù),你能回憶一下銳角三角函數(shù)的定義嗎?，2你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎?）活動：前面我們對角的概念已經(jīng)進(jìn)行了擴(kuò)充，并且學(xué)習(xí)了弧度制,知道了角的集合與實(shí)數(shù)集是一一對應(yīng)的，在此基礎(chǔ)上，我們來研究任意角的三角函數(shù)．教師在直角三角形所在的平面上建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，畫出角α的終邊；學(xué)生給出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，并用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)．如圖1所示，以角α的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以角α的始邊的方向作為x軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系xOy,并且使∠xOy＝90°。圖1如圖1(1），α為銳角，記∠MOP＝α，P(x，y）是α終邊上不同于坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，MP⊥Ox于點(diǎn)M,則OM＝x，MP＝y(tǒng)，r＝OP＝eq\r（x2＋y2）>0，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知sinα＝eq\f(y，r)，cosα＝eq\f(x，r），tanα＝eq\f（y，x），cotα＝eq\f（x,y).討論結(jié)果：(1)銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量,邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù)．（2)略．定義2eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問題）)eq\a\vs4\al（1如果改變終邊上的點(diǎn)的位置，這三個(gè)比值會改變嗎？為什么？,2怎樣根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義來定義任意角的三角函數(shù)？)活動:教師先讓學(xué)生們相互討論,并讓他們動手畫畫圖形,看看從圖形中是否能找出某種關(guān)系來．然后提問學(xué)生，由學(xué)生回答教師的問題，教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個(gè)點(diǎn)，計(jì)算一下對應(yīng)的比值，獲得具體認(rèn)識，并由相似三角形的性質(zhì)來證明．最后可以發(fā)現(xiàn)，由相似三角形的知識，對于確定的角α，這三個(gè)比值不會隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變．在任意角α的終邊上取點(diǎn)A(圖1（2））,使OA＝1，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(l,m)，再任取一點(diǎn)P(x，y)，設(shè)OP＝r（r≠0)，由相似三角形對應(yīng)邊成比例,得eq\f(|x｜,r)＝|l|，eq\f（|y|,r)＝|m｜，eq\f(|y|，|x|）＝eq\f(|m｜，｜l｜）。因?yàn)锳，P在同一象限內(nèi)，所以它們的坐標(biāo)符號相同．因此得eq\f（x，r）＝l，eq\f(y,r)＝m，eq\f（y，x)＝eq\f(m,l）。不論點(diǎn)P在終邊上的位置如何,它們都是定值，它們只依賴于α的大小,與點(diǎn)P在α終邊上的位置無關(guān)．即當(dāng)點(diǎn)P在α的終邊上變化時(shí)，這三個(gè)比值始終等于定值．因此我們可定義eq\f(x,r)叫做角α的余弦，記作cosα，即cosα＝eq\f（x,r）；eq\f(y，r)叫做角α的正弦，記作sinα，即sinα＝eq\f（y，r)；eq\f（y，x)叫做角α的正切,記作tanα,即tanα＝eq\f(y,x）。依照上述定義，對于每一個(gè)確定的角α，都分別有唯一確定的余弦值、正弦值與之對應(yīng)；當(dāng)α≠2kπ±eq\f（π,2）（k∈Z）時(shí)，它有唯一的正切值與之對應(yīng)．因此這三個(gè)對應(yīng)法則都是以α為自變量的函數(shù)，分別叫做角α的余弦函數(shù)、正弦函數(shù)和正切函數(shù)．由圖1（1）可以看出，當(dāng)α為銳角時(shí)，上述所定義的三角函數(shù)與在直角三角形中所定義的三角函數(shù)是一致的．有時(shí)我們還用到下面三個(gè)函數(shù)角α的正割：secα＝eq\f（1,cosα）＝eq\f（r,x)；角α的余割：cscα＝eq\f（1,sinα)＝eq\f(r，y）;角α的余切：cotα＝eq\f(1,tanα)＝eq\f（x，y）.這就是說，secα，cscα，cotα分別是α的余弦、正弦和正切的倒數(shù)．教師出示定義后，可讓學(xué)生解釋一下定義中的對應(yīng)關(guān)系．教師應(yīng)指出任意角的正弦、余弦、正切的定義是本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)．教師在教學(xué)中可以在學(xué)生對銳角三角函數(shù)已有的幾何直觀認(rèn)識的基礎(chǔ)上,先建立直角三角形的銳角與第一象限角的聯(lián)系，在直角坐標(biāo)系中考查銳角三角函數(shù),得出用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)(比值）表示銳角三角函數(shù)的結(jié)論．在此基礎(chǔ)上，再定義任意角的三角函數(shù)．教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過分析三角函數(shù)定義中的自變量是什么，對應(yīng)關(guān)系有什么特點(diǎn)，函數(shù)值是什么．特別注意α既表示一個(gè)角，又是一個(gè)實(shí)數(shù)(弧度數(shù))．從而可以把三角函數(shù)看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)．值得注意的是：①正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．②sinα不是sin與α的乘積，而是一個(gè)比值；三角函數(shù)的記號是一個(gè)整體，離開自變量的“sin”“tan"等是沒有意義的．③當(dāng)α的終邊在y軸上，即α＝2kπ±eq\f(π，2）（k∈Z)時(shí)，tanα，secα沒有意義;當(dāng)α的終邊在x軸上，即α＝kπ（k∈Z)時(shí)，cotα,cscα沒有意義．討論結(jié)果：（1）略．（2)略．三角函數(shù)在各象限的符號eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問題))eq\a\vs4\al（1學(xué)習(xí)了任意角，我們可以對哪些問題進(jìn)行討論？,2根據(jù)三角函數(shù)的定義，正弦、余弦、正切的定義域、值域是怎樣的?，3怎樣判斷三角函數(shù)在各象限的符號?)活動：請根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，先將正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入下表，再將這三種函數(shù)的值在各象限的符號填入圖2中的括號內(nèi)．三角函數(shù)定義域sinαcosαtanα圖2教師要注意引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)，利用坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征得定義域、函數(shù)值的符號等結(jié)論．對于正弦函數(shù)sinα＝y(tǒng)，因?yàn)閥恒有意義，即α取任意實(shí)數(shù),y恒有意義,也就是說sinα恒有意義，所以正弦函數(shù)的定義域是R；類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域;對于正切函數(shù)tanα＝eq\f(y,x）,因?yàn)閤＝0時(shí)，eq\f（y，x)無意義，即tanα無意義,又當(dāng)且僅當(dāng)角α的終邊落在縱軸上時(shí)，才有x＝0，所以當(dāng)α的終邊不在縱軸上時(shí)，eq\f(y，x）恒有意義,即tanα恒有意義,所以正切函數(shù)的定義域是α≠eq\f(π,2)＋kπ（k∈Z)．（由學(xué)生填寫下表)三角函數(shù)定義域sinαRcosαRtanα{α｜α≠eq\f(π,2）＋kπ,k∈Z}三角函數(shù)的定義告訴我們，各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，取決于x,y的符號，當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí)，縱坐標(biāo)y>0，點(diǎn)P在第三、四象限時(shí)，縱坐標(biāo)y<0，所以正弦函數(shù)值對于第一、二象限角是正的,對于第三、四象限角是負(fù)的（可制作課件展示)；同樣地,余弦函數(shù)在第一、四象限是正的，在第二、三象限是負(fù)的；正切函數(shù)在第一、三象限是正的，在第二、四象限是負(fù)的．從而完成上面探究問題．即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．討論結(jié)果：(1)定義域、值域、單調(diào)性等．(2)y＝sinα與y＝cosα的定義域都是全體實(shí)數(shù)R，值域都是［－1,1]．y＝tanα的定義域是｛α|α≠eq\f(π,2）＋kπ(k∈Z）｝,值域是R.（3）由三角函數(shù)定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號，可以確定三角函數(shù)的符號．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例）)思路1例1已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（2，－3),求角α的六個(gè)三角函數(shù)值．活動：教師留給學(xué)生一定的時(shí)間，學(xué)生獨(dú)立思考并回答．明確可以用角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)來定義任意角的三角函數(shù)．教師要點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生習(xí)慣畫圖,充分利用數(shù)形結(jié)合，但要提醒學(xué)生注意α角的任意性．解：如圖3,因?yàn)閤＝2,y＝－3，圖3所以r＝eq\r（22＋－32)＝eq\r（13)。于是sinα＝eq\f（y,r)＝eq\f(－3，\r（13））＝－eq\f（3\r（13）,13)，cosα＝eq\f(x，r）＝eq\f(2,\r（13））＝eq\f（2\r(13),13)，tanα＝eq\f(y，x）＝－eq\f(3,2)，cotα＝－eq\f(2,3),secα＝eq\f(r,x)＝eq\f（\r（13),2),cscα＝eq\f（r,y)＝－eq\f（\r（13）,3).例2求下列各角的六個(gè)三角函數(shù)值：(1)0；(2)π；（3)eq\f（3π，2).活動：教師引導(dǎo)學(xué)生充分利用三角函數(shù)定義，必要時(shí)也可畫出圖形，通過本例進(jìn)一步理解三角函數(shù)定義中比值與點(diǎn)P的位置沒有關(guān)系．解：(1)因?yàn)楫?dāng)α＝0時(shí),x＝r，y＝0，所以sin0＝0,cos0＝1，tan0＝0，csc0不存在，sec0＝1,cot0不存在；（2）因?yàn)楫?dāng)α＝π時(shí),x＝－r，y＝0，所以sinπ＝0，cosπ＝－1，tanπ＝0,cotπ不存在,secπ＝－1，cscπ不存在；（3)因?yàn)楫?dāng)α＝eq\f(3π，2）時(shí)，x＝0，y＝－r，所以sineq\f（3π，2)＝－1，coseq\f（3π，2）＝0，taneq\f（3π,2)不存在，coteq\f(3π,2)＝0,seceq\f（3π,2)不存在，csceq\f(3π,2)＝－1.變式訓(xùn)練1．若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－eq\r(2)，－eq\r(3））,則sinα－cosα的值是()A.eq\f(\r(10）－\r(15），5）B.eq\f(\r（2）－\r(3）,5）C.eq\f（\r(15)－\r（10）,5）D。eq\f（\r（3）－\r（2),5)答案：A2．求eq\f（5π,3)的正弦、余弦和正切值．圖4解:在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為r，作∠AOB＝eq\f（5π,3),如圖4。易知∠AOB的終邊上的任意點(diǎn)P的點(diǎn)坐標(biāo)為（eq\f(1，2)r，－eq\f（\r(3）,2）r），所以sineq\f（5π,3)＝－eq\f(\r(3）,2),coseq\f(5π,3）＝eq\f（1,2），taneq\f(5π,3）＝－eq\r(3)。例3若sinα<0①，且tanα〉0②，則α是(）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案:C活動：教師引導(dǎo)學(xué)生討論驗(yàn)證在不同的象限內(nèi)各個(gè)三角函數(shù)值的符號有什么樣的關(guān)系，提示學(xué)生從三角函數(shù)的定義出發(fā)來探究其內(nèi)在的關(guān)系．可以知道：三角函數(shù)的定義告訴我們，各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號,取決于x，y的符號,當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí)，縱坐標(biāo)y〉0，點(diǎn)P在第三、四象限時(shí)，縱坐標(biāo)y<0，所以正弦函數(shù)值對于第一、二象限角是正的，對于第三、四象限角是負(fù)的；同樣地，余弦函數(shù)在第一、四象限是正的，在第二、三象限是負(fù)的;正切函數(shù)在第一、三象限是正的,在第二、四象限是負(fù)的．解析:我們證明如果①②式都成立，那么θ為第三象限角．因?yàn)棰賡inθ<0成立，所以θ角的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的非正半軸上；又因?yàn)棰谑絫anθ〉0成立,所以θ角的終邊可能位于第一或第三象限．因?yàn)棰佗谑蕉汲闪?所以θ角的終邊只能位于第三象限．答案選C。反過來，請同學(xué)們自己證明．點(diǎn)評：本例的目的是認(rèn)識不同位置的角對應(yīng)的三角函數(shù)值的符號,其條件以一個(gè)不等式出現(xiàn)，在教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生把問題的條件、結(jié)論弄清楚，然后再給出證明．這一問題的解決可以訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力.變式訓(xùn)練已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角答案：C例4確定下列各三角函數(shù)值的符號：(1)cos260°；(2）sin(－eq\f（π，3));（3）tan（－672°20′)；（4)taneq\f（10π,3）?；顒樱河扇呛瘮?shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等．由此得到一組公式(公式一這也是我們下一步要?dú)w納總結(jié)的):eq\x（\a\al(sinα＋k·2π＝sinα，，cosα＋k·2π＝cosα，,tanα＋k·2π＝tanα,，其中k∈Z.)）解：(1）因?yàn)?60°是第三象限的角,所以cos260°<0;(2）因?yàn)椋璭q\f(π,3）是第四象限的角，所以sin（－eq\f(π,3)）〈0；（3）因?yàn)閠an(－672°20′)＝tan（－2×360°＋47°40′）,而47°40′是第一象限的角，所以tan（－672°20′）〉0；（4)因?yàn)閠aneq\f(10π,3)＝tan(2π＋eq\f(4π,3)），而eq\f(4π,3)是第三象限的角，所以taneq\f(10π，3)>0。變式訓(xùn)練sin330°等于()A．－eq\f（\r(3）,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1，2）D.eq\f（\r(3），2)答案：B思路2例1已知角α的終邊在直線y＝－3x上，則10sinα＋3secα＝__________.解析：設(shè)角α終邊上任一點(diǎn)為P（k，－3k）（k≠0)，則x＝k，y＝－3k，r＝eq\r（k2＋－3k2)＝eq\r（10)|k｜.(1）當(dāng)k>0時(shí)，r＝eq\r(10)k，α是第四象限角，sinα＝eq\f（y，r）＝eq\f(－3k，\r（10）k）＝－eq\f(3\r(10），10)，secα＝eq\f(r，x）＝eq\f（\r（10）k,k）＝eq\r（10)，∴10sinα＋3secα＝10×（－eq\f(3\r(10),10）)＋3eq\r（10)＝－3eq\r(10）＋3eq\r（10）＝0.(2)當(dāng)k<0時(shí)，r＝－eq\r（10)k，α為第二象限角,sinα＝eq\f（y,r)＝eq\f（－3k，－\r（10）k)＝eq\f（3\r（10),10），secα＝eq\f（r,x）＝－eq\f（\r（10）k，k）＝－eq\r（10），∴10sinα＋3secα＝10×eq\f（3\r(10)，10)＋3×（－eq\r(10)）＝3eq\r(10)－3eq\r（10）＝0.綜合以上兩種情況均有10sinα＋3secα＝0.答案：0點(diǎn)評:本題的解題關(guān)鍵是要清楚當(dāng)k>0時(shí)，P(k，－3k）是第四象限內(nèi)的點(diǎn)，角α的終邊在第四象限；當(dāng)k<0時(shí)，P（k，－3k)是第二象限內(nèi)的點(diǎn)，角α的終邊在第二象限內(nèi),這與角α的終邊在y＝－3x上是一致的。變式訓(xùn)練設(shè)f（x)＝sineq\f(π，3）x，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(72)的值．解：∵f（1）＝sineq\f(π，3）＝eq\f(\r(3）,2），f(2)＝sineq\f(2π，3)＝eq\f（\r（3)，2)，f（3）＝sinπ＝0,f（4）＝sineq\f(4π，3）＝－eq\f（\r（3),2)，f（5)＝sineq\f(5π，3)＝－eq\f（\r(3),2)，f(6)＝sin2π＝0，∴f（1）＋f(2)＋f（3）＋f（4)＋f（5）＋f(6）＝0。而f(7）＝sineq\f（7π,3）＝sineq\f（π，3)，f(8）＝sineq\f(8π，3）＝sineq\f（2π,3),…，f（12）＝sineq\f（12π，3)＝sin2π，∴f（7)＋f（8)＋f(9)＋f(10)＋f（11)＋f(12）＝0.同理，f(13)＋f(14）＋f(15)＋f（16）＋f（17）＋f(18)＝0，…，f（67)＋f（68）＋…＋f(72)＝0，∴f(1）＋f（2)＋f(3)＋…＋f(72)＝0。例2求函數(shù)y＝eq\r（sinα)＋tanα的定義域．活動:讓學(xué)生先回顧求函數(shù)的定義域需要注意哪些特點(diǎn),對于三角函數(shù)這種特殊的函數(shù)在解三角不等式時(shí)要結(jié)合三角函數(shù)的定義進(jìn)行．求含正切函數(shù)的組合型三角函數(shù)的定義域時(shí),正切函數(shù)本身的定義域往往被忽略，教師提醒學(xué)生應(yīng)引起注意這種情況．同時(shí),函數(shù)的定義域是一個(gè)集合，所以結(jié)論要用集合形式表示．解：要使函數(shù)y＝eq\r(sinα)＋tanα有意義，則sinα≥0且α≠kπ＋eq\f（π,2)(k∈Z)．由正弦函數(shù)的定義知道，sinα≥0。∴角α的終邊在第一、二象限或在x軸上或在y軸非負(fù)半軸上，即2kπ≤α≤π＋2kπ(k∈Z)．∴函數(shù)的定義域是｛α｜2kπ≤α<eq\f（π，2)＋2kπ或eq\f（π,2）＋2kπ<α≤(2k＋1）π，k∈Z｝.變式訓(xùn)練求下列函數(shù)的定義域：（1)y＝sinx＋cosx；（2）y＝sinx＋tanx；（3）y＝eq\f（sinx＋cosx,tanx).解：（1）∵使sinx，cosx有意義的x∈R，∴y＝sinx＋cosx的定義域?yàn)镽。(2)要使函數(shù)有意義,必須使sinx與tanx有意義．∴