17.1.2 等腰三角形的判定 同步練習

第十七章特殊三角形17.1等腰三角形第二課時等腰三角形的判定基礎過關全練知識點3等腰三角形的判定11.(2023山東濟寧七中期末)一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時的速度向正北方向航行，3小時后到達海島B處.燈塔C在海島A的北偏西42°方向上，在海島B的北偏西84°方向上.則海島B到燈塔C的距離是()A.60海里 B.30海里 C.453海里 D.45海里12.如圖，南北向的公路上有一點A，東西向的公路上有一點B，若要在南北向的公路上確定點P，使得△PAB是等腰三角形，則這樣的點P最多能確定()A.2個 B.3個 C.4個 D.5個13.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°.用無刻度的直尺和圓規(guī)在BC邊上找一點D，使△ACD為等腰三角形.下列作法正確的有________個.

① ② ③ ④14.(2023陜西洛川期末)如圖，已知∠ACE是△ABC的一個外角，CD平分∠ACE，且AB∥CD，求證：△ABC為等腰三角形.15.(2023四川蒼溪期末)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，線段AC的垂直平分線DE分別交AB，AC于點D，E.(1)求證：△BCD是等腰三角形；(2)若△BCD的周長是13，BC=5，求AC的長.知識點4等邊三角形的判定16.(2023河南周口期中)給出下列三角形：①三個角都相等的三角形；②三條邊都相等的三角形；③三條邊上的高都相等的三角形；④有一個角是60°的等腰三角形，其中等邊三角形的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.417.如圖，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若點M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有()A.1個 B.2個 C.3個 D.無數(shù)個18.如圖，在△ABC中，PQ垂直平分BC，BD垂直平分AP，∠C=30°，AB=3cm，求AC的長.19.(2023陜西洛川期末)如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，連接AD，過點C作CE∥AD，交BA的延長線于點E.(1)求證：EC⊥BC；(2)若∠BAC=120°，試判斷△ACE的形狀，并說明理由.20.(2023廣東東莞中學期中)已知，如圖，AB=AC，點D是BC的中點，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足為E，且BE∥AC.求證：△ABC是等邊三角形.能力提升全練21.(2022山東淄博中考)某城市幾條道路的位置關系如圖所示，道路AB∥CD，道路AB與AE的夾角∠BAE=50°.城市規(guī)劃部門想新修一條道路CE，要求CF=EF，則∠E的度數(shù)為()A.23° B.25° C.27° D.30°22.(2022海南中考)如圖，點D在直線m上，直線m∥n，△ABC是等邊三角形，頂點B在直線n上，直線m交AB于點E，交AC于點F，若∠1=140°，則∠2的度數(shù)是()A.80° B.100° C.120° D.140°23.(2023河北豐寧期中)等腰三角形的一個內(nèi)角為40°，那么它的底角是()A.40°或70° B.70° C.40° D.100°24.(2020青海中考)已知a，b，c為△ABC的三邊長.b，c滿足(b-2)2+|c-3|=0，且a為方程|x-4|=2的解，則△ABC的形狀為三角形.

25.(2021浙江紹興中考)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，以點C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點P，連接AP，則∠BAP的度數(shù)是.

26.(2023河北滄州渤海新區(qū)京師學校第一次月考)如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，過O點作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE=3，CF=2，求EF的長.27.(2022浙江溫州中考)如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E.(1)求證：∠EBD=∠EDB；(2)當AB=AC時，請判斷CD與ED的大小關系，并說明理由.素養(yǎng)探究全練28.(2023山西太原部分學校月考)(1)如圖1，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點D，E.求證：△ADE是等邊三角形.給出一種證明方法如下：證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴∠A=∠ADE=∠AED，∴△ADE是等邊三角形.“想一想，本題還有其他證法嗎?”給出的另外一種證明方法，請補全：證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C，∠A=60°.∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=，∴=，∴AD=AE.()∴△ADE是等腰三角形，又∵∠A=60°，∴△ADE是等邊三角形.(2)如圖2，等邊三角形ABC的兩條角平分線相交于點D，延長BD至點E，使得AE=AD，求證：△ADE是等邊三角形. 圖1 圖2

第十七章特殊三角形17.1等腰三角形第二課時等腰三角形的判定答案全解全析基礎過關全練11.D根據(jù)題意得∠CBD=84°，∠CAB=42°，∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，∴BC=AB，∵AB=15×3=45(海里)，∴BC=45海里，即海島B到燈塔C的距離是45海里.故選D.12.C分為三種情況：①作AB的垂直平分線交南北向的公路于一點P，此時PA=PB；②以A為圓心，以AB的長為半徑畫圓，交南北向的公路于P1，P2兩點，此時AB=AP1，AB=AP2；③以B為圓心，以AB的長為半徑畫圓，交南北向的公路于A，P4兩點，此時AB=BP4.綜上可知，點P共有1+2+1=4(個)，故選C.13.答案3解析題圖①中，由作圖可知CA=CD，∴△ADC是等腰三角形，故正確；題圖②中，由作圖可知AD是∠BAC的平分線，△ADC不是等腰三角形，故錯誤；題圖③中，由作圖可知BA=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠B=60°，∴∠BDA=∠BAD=60°，∴∠DAC=30°=∠C，∴DA=DC，∴△ADC是等腰三角形，故正確；題圖④中，由作圖可知DA=CD，∴△ADC是等腰三角形，故正確.故作法正確的有3個.14.證明∵CD平分∠ACE，∴∠ECD=∠ACD，∵AB∥CD，∴∠ECD=∠B，∠ACD=∠A，∴∠A=∠B，∴BC=AC.∴△ABC是等腰三角形.15.解析(1)∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=12(180°-∠A)=72°∵直線DE是線段AC的垂直平分線，∴DA=DC，∴∠ACD=∠A=36°，∴∠CDB=∠A+∠ACD=72°，∴∠CDB=∠B，∴CD=CB，∴△BCD是等腰三角形.(2)∵△BCD的周長是13，∴BC+BD+CD=13，∵AD=CD，∴BC+BD+AD=13，∴BC+AB=13，∵BC=5，∴AB=13-5=8，∴AC=AB=8.16.D①三個角都相等的三角形，是等邊三角形；②三條邊都相等的三角形，是等邊三角形；③因為一個三角形的面積為定值，且三條邊上的高都相等，所以三條邊都相等，是等邊三角形；④有一個角是60°的等腰三角形，是等邊三角形，所以等邊三角形的個數(shù)是4，故選D.17.D解法一：如圖，在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，連接MN、PE、PF.∵OP平分∠AOB，∴∠EOP=∠POF=60°，∵OP=OE=OF，∴△OPE，△OPF是等邊三角形，∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∴∠EPM=∠OPN，在△PEM和△PON中，∠PEM=∠PON,PE=PO,∠EPM=∠OPN,∴△PEM≌△PON.∴∵∠MPN=60°，∴△PNM是等邊三角形，∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等邊三角形，故這樣的三角形有無數(shù)個.解法二：如圖，過點P作PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，作∠MPN=60°，連接MN.∵PE⊥OA，PF⊥OB，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，∴PE=PF，∠EPF=60°，∵∠EPF=∠MPN=60°，∴∠MPE=∠NPF，∵∠PEM=∠PFN=90°，∴△PEM≌△PFN(ASA)，∴PM=PN，∴△PMN是等邊三角形，故這樣的三角形有無數(shù)個.故選D.18.解析∵PQ垂直平分BC，BD垂直平分AP，∴AB=PB，PB=PC，∴∠PBC=∠C=30°，∴∠APB=60°，∴△ABP為等邊三角形，∴AP=AB，∵AB=3cm，∴AP=3cm，PC=3cm，∴AC=AP+PC=6cm.19.解析(1)證明：∵AB=AC，D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，又∵CE∥AD，∴∠BCE=∠BDA=90°，∴EC⊥BC.(2)△ACE是等邊三角形，理由如下：∵∠BAC=120°，∴∠EAC=60°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=12(180°-120°)=30°又∵EC⊥BC，∴∠BCE=90°，∴∠ACE=60°，∴∠EAC=∠ACE=∠E=60°，∴△ACE是等邊三角形.20.證明∵AB=AC，D是BC的中點，∴∠BAD=∠CAD，∵AE⊥BE，∴∠E=90°，∵AB平分∠DAE，∴∠BAE=∠BAD，∴∠BAD=∠CAD=∠BAE，∵BE∥AC，∴∠EAC=90°，∴∠BAD=∠CAD=∠BAE=30°，∴∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形.能力提升全練21.B∵AB∥CD，∴∠DFE=∠BAE=50°，∵CF=EF，∴∠C=∠E，∵∠DFE=∠C+∠E，∴∠E=12∠DFE=12×50°=25°22.B∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°.∵∠1=∠A+∠AEF=140°，∴∠AEF=140°-60°=80°，∴∠DEB=∠AEF=80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB=180°，∴∠2=180°-80°=100°，故選B.23.A當40°的角為等腰三角形的頂角時，底角的度數(shù)=180°?40°2=70°；當40°的角為等腰三角形的底角時，其底角為40°，24.答案等腰解析∵(b-2)2+|c-3|=0，∴b-2=0，c-3=0，解得b=2，c=3，∵a為方程|x-4|=2的解，∴a-4=±2，解得a=6或a=2，∵a、b、c為△ABC的三邊長，b+c<6，∴a=6不合題意，舍去，∴a=2，∴a=b≠c，∴△ABC是等腰三角形.25.答案15°或75°解析∵AB=AC，∠ABC=70°，∴∠ACB=∠ABC=70°，∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-70°-70°=40°.如圖所示，當點P在點B的左側(cè)時，∵CA=CP1，∴∠CAP1=∠CP1A=180°?∠ACP12=180°?70°2=55°，∴∠BAP1=-40°=15°；當點P在點C的右側(cè)時，∵CA=CP2，∴∠CAP2=∠CP2A=∠ACB2=70°2=35°，∴∠BAP2=∠CAB=35°+40°=75°.綜上，∠BAP的度數(shù)是15°或75°.26.解析∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，∴∠EBO=∠CBO，∠BCO=∠FCO，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠CBO，∠BCO=∠FOC，∴∠EOB=∠EBO，∠FOC=∠FCO，∴BE=EO=3，F(xiàn)O=FC=2，∴EF=EO+FO=3+2=5.27.解析(1)證明：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠CBD=∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB.(2)CD=ED，理由如下：∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴CD=BE，由(1)得，∠EBD=∠EDB，∴BE=DE，∴CD=ED.