第十二章 全等三角形（7類題型突破）

第十二章全等三角形（題型突破）題型一全等圖形識(shí)別例題：（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）下列各組中的兩個(gè)圖形屬于全等圖形的是（）A． B．C． D．【鞏固訓(xùn)練】1．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)北大附中深圳南山分校校考期中）下列四個(gè)選項(xiàng)中，不是全等圖形的是（）A． B．C． D．2．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）請(qǐng)觀察下圖中的6組圖案，其中是全等形的是__________．3．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD≌四邊形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，則∠B＝__________．題型二全等三角形的概念和性質(zhì)例題：（2023春·江蘇鹽城·七年級(jí)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法中，正確的有（）①形狀相同的兩個(gè)圖形是全等形②面積相等的兩個(gè)圖形是全等形③全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等④若，則，A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【鞏固訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）已知，且與是對(duì)應(yīng)角，和是對(duì)應(yīng)角，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．與是對(duì)應(yīng)邊 B．與是對(duì)應(yīng)邊C．與是對(duì)應(yīng)邊 D．不能確定的對(duì)應(yīng)邊2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，且，，則的度數(shù)為______．3．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，且，，，求和的度數(shù)．題型三添一個(gè)條件使兩三角形全等例題：（2023春·山西臨汾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，B，F(xiàn)，E，D四點(diǎn)共線，，．若要使，則需要添加的條件是_______（只需添加一個(gè)你認(rèn)為合適的條件即可）．

【鞏固訓(xùn)練】1．（2023春·廣東·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，要判定，則需要補(bǔ)充的一個(gè)條件為______（只需補(bǔ)充一個(gè)）．

2．（2023春·廣東茂名·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)D，E分別在線段上，相交于點(diǎn)O，，要使，需添加一個(gè)條件是_____________（只需填一個(gè)即可）．

3．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，要使用“”證明，應(yīng)添加條件：______________；要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_________________．題型四三角形全等的判定方法例題:（2023·云南玉溪·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)在一條直線上，，求證：．

【鞏固訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)分別在上，，．(1)求證：；(2)求證：．2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)期末）如圖，在中，D是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，滿足，過(guò)點(diǎn)C作，且，連接并延長(zhǎng)，分別交，于點(diǎn)F，G．

(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)度．3．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學(xué)?？既＃┤鐖D，在和中，，點(diǎn)B為中點(diǎn)，．(1)求證：．(2)若，求的長(zhǎng)．4．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)求證：．5．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知相交于點(diǎn)O，，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，．(1)求證：；(2)試猜想與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．題型五角平分線的性質(zhì)與判定定理例題：（2022秋·河南開封·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，中，，的平分線交于點(diǎn)D，若，則點(diǎn)D到的距離是______cm．

【鞏固訓(xùn)練】1．（2023春·貴州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，射線平分，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)F，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接．若，則的長(zhǎng)為____________．

2．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知垂足為，垂足為，，．

(1)求證：平分；(2)丁丁同學(xué)觀察圖形后得出結(jié)論：，請(qǐng)你幫他寫出證明過(guò)程．3．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在中，，D是上一點(diǎn)，于E，且．(1)求證：平分；(2)若，求的度數(shù)．4．（2023春·廣西北?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，的平分線與的外角平分線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．

(1)若，求點(diǎn)到直線的距離；(2)求證：點(diǎn)在的平分線上．題型六幾何動(dòng)點(diǎn)中求使三角形全等的值例題：（2023春·新疆烏魯木齊·八年級(jí)烏市八中校考開學(xué)考試）如圖，在中，，，，點(diǎn)在直線上．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)和分別以單位秒和單位秒的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若有一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)要繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，直到兩點(diǎn)都到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)才能停止．在某時(shí)刻，分別過(guò)和作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于_____秒時(shí)，與全等．【鞏固訓(xùn)練】1．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知線段，于點(diǎn)A，，射線于B，P點(diǎn)從B點(diǎn)向A運(yùn)動(dòng)，每秒走1m，Q點(diǎn)從B點(diǎn)向D運(yùn)動(dòng)，每秒走3m，P，Q同時(shí)從B出發(fā)，則出發(fā)___________秒后，在線段MA上有一點(diǎn)C，使與全等．2．（2023春·上海虹口·七年級(jí)上外附中?？计谀┤鐖D，，，為射線，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位/秒，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿射線運(yùn)動(dòng)，速度為x個(gè)單位/秒；若在某時(shí)刻，能與全等，則______．

3．（2023春·陜西西安·七年級(jí)西安市第二十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，且t≤5（1）PC＝_cm（用含t的代數(shù)式表示）（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以cm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣的v值，使得以A﹑B﹑P為頂點(diǎn)的三角形與以P﹑Q﹑C為頂點(diǎn)的三角形全等？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型七三角形全等判定與性質(zhì)綜合問(wèn)題例題：（2020秋·廣東東莞·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，于，點(diǎn)在邊上，連接．

(1)求證：．(2)若，且的面積等于24，求的長(zhǎng)．(3)若，直接寫出線段的數(shù)量關(guān)系：________．【鞏固訓(xùn)練】1．（2023春·遼寧丹東·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，為上一點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連．(1)求證：；(2)連接，若，平分，平分，求的度數(shù)．2．（2022秋·河南開封·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，是經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)B的一條直線，，E、D分別是直線上兩點(diǎn)，且．

(1)若直線經(jīng)過(guò)的內(nèi)部，且E、D在射線上．【問(wèn)題情景】如圖1，若，，則之間的數(shù)量關(guān)系是______；【問(wèn)題解決】如圖2，若，那么當(dāng)______°時(shí)，【問(wèn)題情景】中的結(jié)論仍然成立，并說(shuō)明理由；(2)若直線經(jīng)過(guò)的外部．【拓展提升】如圖3，，請(qǐng)寫出關(guān)于三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想，并簡(jiǎn)述理由．

第十二章全等三角形（題型突破）答案全解全析題型一全等圖形識(shí)別例題：（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）下列各組中的兩個(gè)圖形屬于全等圖形的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全等圖形的概念判斷即可．【詳解】解：A、兩個(gè)圖形不能完全重合，不是全等圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、兩個(gè)圖形能夠完全重合，是全等圖形，故本選項(xiàng)符合題意；C、兩個(gè)圖形不能完全重合，不是全等圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、兩個(gè)圖形不能完全重合，不是全等圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等圖形的定義，熟練掌握“能完全重合的兩個(gè)圖形是全等圖形”是解題的關(guān)鍵．【鞏固訓(xùn)練】1．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)北大附中深圳南山分校?？计谥校┫铝兴膫€(gè)選項(xiàng)中，不是全等圖形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全等圖形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】A．經(jīng)過(guò)平移后可以完全重合，是全等圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；B．經(jīng)過(guò)平移后可以完全重合，是全等圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；C．兩個(gè)圖形形狀不同，不能完全重合，不是全等圖形，故該選項(xiàng)符合題意；D．經(jīng)過(guò)平移后可以完全重合，是全等圖形，故該選項(xiàng)不符合題意．故選C．【點(diǎn)睛】本題考是全等圖形的定義．掌握能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形是解題關(guān)鍵．2．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）請(qǐng)觀察下圖中的6組圖案，其中是全等形的是__________．【答案】（1）（4）（5）（6）．【分析】根據(jù)全等的性質(zhì)：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形，結(jié)合所給圖形進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：（1）（5）是由其中一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)一定角度得到另一個(gè)圖形的，（4）是將其中一個(gè)圖形翻折后得到另一個(gè)圖形的，（6）是將其中一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)180°再平移得到的，（2）（3）形狀相同，但大小不等．故答案是：（1）（4）（5）（6）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握全等圖形的定義．3．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD≌四邊形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，則∠B＝__________．【答案】【分析】根據(jù)全等圖形的性質(zhì)，，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360o得到．【詳解】解：根據(jù)題意得：所以,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形，熟練掌握全等圖形的有關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型二全等三角形的概念和性質(zhì)例題：（2023春·江蘇鹽城·七年級(jí)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法中，正確的有（）①形狀相同的兩個(gè)圖形是全等形②面積相等的兩個(gè)圖形是全等形③全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等④若，則，A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)全等的定義和性質(zhì)判斷即可．【詳解】①形狀大小都相同的兩個(gè)圖形是全等形，故①錯(cuò)誤；②面積相等的兩個(gè)圖形不一定是全等形，故②錯(cuò)誤；③全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等，是對(duì)的，故③正確；④若，則，，故④錯(cuò)誤；故正確的有1個(gè)．故選：A【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的定義和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握全等三角形的定義．【鞏固訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）已知，且與是對(duì)應(yīng)角，和是對(duì)應(yīng)角，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．與是對(duì)應(yīng)邊 B．與是對(duì)應(yīng)邊C．與是對(duì)應(yīng)邊 D．不能確定的對(duì)應(yīng)邊【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的概念即可得到答案．【詳解】解：與是對(duì)應(yīng)角，和是對(duì)應(yīng)角，和是對(duì)應(yīng)角，與是對(duì)應(yīng)邊，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)邊是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，且，，則的度數(shù)為______．【答案】/度【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再由全等三角形的性質(zhì)即可得到．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟知全等三角形對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，且，，，求和的度數(shù)．【答案】，【分析】由，可得，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得，因?yàn)?，即可求得的度?shù)；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，即可得的度數(shù)．【詳解】解：，．．綜上所述：，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)對(duì)應(yīng)角相等，三角形內(nèi)角和，角度的轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．題型三添一個(gè)條件使兩三角形全等例題：（2023春·山西臨汾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，B，F(xiàn)，E，D四點(diǎn)共線，，．若要使，則需要添加的條件是_______（只需添加一個(gè)你認(rèn)為合適的條件即可）．

【答案】（答案不唯一）【分析】由題意知，添加的條件為，可證．【詳解】解：由題意知，添加的條件為，∵，∴，即，∵，，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定．解題的關(guān)鍵在于確定判定三角形全等的條件．【鞏固訓(xùn)練】1．（2023春·廣東·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，要判定，則需要補(bǔ)充的一個(gè)條件為______（只需補(bǔ)充一個(gè)）．

【答案】（答案不唯一）【分析】添加條件為，，根據(jù)即可推出兩三角形全等．【詳解】解：添加條件為，理由是：∵在和中，，∴，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)全等三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有，，，．2．（2023春·廣東茂名·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)D，E分別在線段上，相交于點(diǎn)O，，要使，需添加一個(gè)條件是_____________（只需填一個(gè)即可）．

【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理求解即可．【詳解】∵，∴當(dāng)添加的條件為時(shí)，∴．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形全等的判定方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：，，，，(直角三角形)．3．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，要使用“”證明，應(yīng)添加條件：______________；要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_________________．【答案】（或）（或）【分析】根據(jù)：斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，使，已知，，添加的條件是直角邊相等即可；要使用“”，需要添加角相等即可．【詳解】解：已知，，要使用“”，添加的條件是直角邊相等，故答案為：（或）；要使用“”，需要添加角相等，添加的條件為：（或）．故答案為：（或）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定．本題的關(guān)鍵是，全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．題型四三角形全等的判定方法例題:（2023·云南玉溪·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)在一條直線上，，求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)題意，運(yùn)用“邊邊邊”的方法證明三角形全等．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解題的關(guān)鍵．【鞏固訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)分別在上，，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）直接根據(jù)證明即可．（2）根據(jù)（1）得，然后證明即可．【詳解】（1）解：證明：在和中，

∴．（2）解：由（1）知，∴

，

在和中，

∴，

∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記全等三角形的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)期末）如圖，在中，D是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，滿足，過(guò)點(diǎn)C作，且，連接并延長(zhǎng)，分別交，于點(diǎn)F，G．

(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）根據(jù)證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）∵，∴，在與中，，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴∴．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．3．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學(xué)?？既＃┤鐖D，在和中，，點(diǎn)B為中點(diǎn)，．(1)求證：．(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)4，見解析【分析】（1）根據(jù)判定即可；（2）根據(jù)和點(diǎn)B為中點(diǎn)即可求出．【詳解】（1）證明：∵，，，∴（2）解：∵，，∴，，∵點(diǎn)B為中點(diǎn)，∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定條件是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由得，即，從而即可證得；（2）由可得，，即可得到，從而即可得證．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，；（2）解：，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知相交于點(diǎn)O，，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，．(1)求證：；(2)試猜想與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)可證明；（2）根據(jù)證明可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∵，，∴，在和中，，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．題型五角平分線的性質(zhì)與判定定理例題：（2022秋·河南開封·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，的平分線交于點(diǎn)D，若，則點(diǎn)D到的距離是______cm．

【答案】3【分析】過(guò)D作于E．根據(jù)角平分線性質(zhì)求解即可．【詳解】解：過(guò)D作于E．如圖，

∵是的平分線，，，∴．∵，∴．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)；作出輔助線是正確解答本題的關(guān)鍵．【鞏固訓(xùn)練】1．（2023春·貴州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，射線平分，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)F，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接．若，則的長(zhǎng)為____________．

【答案】2【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的定義和“等角的余角相等”可得，再由，可得，由角平分線的性質(zhì)可得，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】，，即．，

，．∵平分，，，∴平分．，．，，∴．故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，“等角對(duì)等邊”．熟練掌握以上知識(shí)，且證明平分是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知垂足為，垂足為，，．

(1)求證：平分；(2)丁丁同學(xué)觀察圖形后得出結(jié)論：，請(qǐng)你幫他寫出證明過(guò)程．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）首先用判斷出，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得，進(jìn)而根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上可得平分；（2）首先用判斷出，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得，結(jié)合，根據(jù)線段的和差即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，，，，，，平分；（2）解：，在和中，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定定理，能正確根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．3．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在中，，D是上一點(diǎn)，于E，且．(1)求證：平分；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件結(jié)合角平分線判定定理即可證明．（2）根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得度數(shù)．【詳解】（1）證明：，，，點(diǎn)D在的平分線上，平分．（2）解：，，，平分，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的判定與性質(zhì)運(yùn)用，和直角三角形性質(zhì)的運(yùn)用，熟練掌握角平分線的判定定理是解答的關(guān)鍵．4．（2023春·廣西北?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，的平分線與的外角平分線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．

(1)若，求點(diǎn)到直線的距離；(2)求證：點(diǎn)在的平分線上．【答案】(1)8cm(2)見解析【分析】（1）利用角平分線上一點(diǎn)到角兩邊距離相等即可求解；（2）利用如果一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，則這個(gè)點(diǎn)在角的角平分線上．【詳解】（1）解：作于，如圖，

又∵平分，，∴，即點(diǎn)到直線的距離為8cm；（2）證明：∵平分，且于點(diǎn)，，∴，又，∴，∴點(diǎn)在的平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)定理以及逆定理，熟練掌握角平分性質(zhì)的逆用是解決本題的關(guān)鍵．題型六幾何動(dòng)點(diǎn)中求使三角形全等的值例題：（2023春·新疆烏魯木齊·八年級(jí)烏市八中?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，，，點(diǎn)在直線上．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)和分別以單位秒和單位秒的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若有一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)要繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，直到兩點(diǎn)都到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)才能停止．在某時(shí)刻，分別過(guò)和作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于_____秒時(shí)，與全等．【答案】1或或6【分析】分四種情況，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上；點(diǎn)、都在上；點(diǎn)到上，點(diǎn)在上；點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)在上．【詳解】解：與全等，斜邊斜邊，分四種情況：當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，如圖：，，，當(dāng)點(diǎn)、都在上時(shí)，此時(shí)、重合，如圖：，，，當(dāng)點(diǎn)到上，點(diǎn)在上時(shí)，如圖：，，，不符合題意，當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)在上時(shí)，如圖：，，，綜上所述：點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于或或秒時(shí)，與全等，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，分情況討論是解題的關(guān)鍵【鞏固訓(xùn)練】1．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知線段，于點(diǎn)A，，射線于B，P點(diǎn)從B點(diǎn)向A運(yùn)動(dòng)，每秒走1m，Q點(diǎn)從B點(diǎn)向D運(yùn)動(dòng)，每秒走3m，P，Q同時(shí)從B出發(fā)，則出發(fā)___________秒后，在線段MA上有一點(diǎn)C，使與全等．【答案】5【分析】分兩種情況考慮：當(dāng)時(shí)與當(dāng)時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可確定出時(shí)間．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，即，解得：；當(dāng)時(shí)，米，此時(shí)所用時(shí)間為10，，不合題意，舍去；綜上，出發(fā)5秒后，在線段上有一點(diǎn)，使與全等．故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·上海虹口·七年級(jí)上外附中校考期末）如圖，，，為射線，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位/秒，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿射線運(yùn)動(dòng)，速度為x個(gè)單位/秒；若在某時(shí)刻，能與全等，則______．

【答案】或【分析】設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，由題意可知，，，分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)，利用全等三角形的性質(zhì)，分別求出的值，即可得到答案．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，由題意可知，，，，，①當(dāng)時(shí)，，，，解得：，②當(dāng)時(shí)，，，，解得：，綜上可知，的值為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，利用分類討論的思想，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2023春·陜西西安·七年級(jí)西安市第二十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，且t≤5（1）PC＝_cm（用含t的代數(shù)式表示）（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以cm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣的v值，使得以A﹑B﹑P為頂點(diǎn)的三角形與以P﹑Q﹑C為頂點(diǎn)的三角形全等？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）(10﹣2t)；（2）當(dāng)v=1或v=2.4時(shí)，△ABP和△PCQ全等．【分析】（1）根據(jù)題意求出BP，然后根據(jù)PC=BC-BP計(jì)算即可；（2）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)P的速度是2cm/s，∴ts后BP=2tcm，∴PC=BC?BP=(10?2t)cm，故答案為：(10﹣2t)；（2）由題意得：，∠B=∠C=90°，∴只存在△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ兩種情況，當(dāng)△ABP≌△PCQ時(shí)，∴AB=PC，BP=CQ，∴10?2t=6，2t=vt，解得，t=2，v=2，當(dāng)△ABP≌△QCP時(shí)，∴AB=QC，BP=CP，∴2t=10-2t，vt=6，解得，t=2.5，v=2.4，∴綜上所述，當(dāng)v=1或v