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第十四章整式的乘法與因式分解(知識(shí)歸納)一、同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加.要點(diǎn)詮釋:(1)同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪,底數(shù)可以是任意的實(shí)數(shù),也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.(2)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí),也具有這一性質(zhì),即(都是正整數(shù)).(3)逆用公式:把一個(gè)冪分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)冪的積,其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同,它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即(都是正整數(shù)).二、冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘.要點(diǎn)詮釋:(1)公式的推廣:(,均為正整數(shù))(2)逆用公式:,根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將某些冪變形,從而解決問題.三、積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方,等于把積的每一個(gè)因式分別乘方,再把所得的冪相乘.要點(diǎn)詮釋:(1)公式的推廣:(為正整數(shù)).(2)逆用公式:逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊?jiǎn)化運(yùn)算過程,尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí),計(jì)算更簡(jiǎn)便.如:注意事項(xiàng)(1)底數(shù)可以是任意實(shí)數(shù),也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.(2)同底數(shù)冪的乘法時(shí),只有當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí),指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1,計(jì)算時(shí)不要遺漏.(3)冪的乘方運(yùn)算時(shí),指數(shù)相乘,而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加.(4)積的乘方運(yùn)算時(shí)須注意,積的乘方要將每一個(gè)因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.(5)靈活地雙向應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì),使運(yùn)算更加方便、簡(jiǎn)潔.(6)帶有負(fù)號(hào)的冪的運(yùn)算,要養(yǎng)成先化簡(jiǎn)符號(hào)的習(xí)慣.四、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘,把它們的系數(shù),相同字母分別相乘,對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母,則連同它們的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.要點(diǎn)詮釋:(1)單項(xiàng)式的乘法法則的實(shí)質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.(2)單項(xiàng)式的乘法方法步驟:積的系數(shù)等于各系數(shù)的積,是把各單項(xiàng)式的系數(shù)交換到一起進(jìn)行有理數(shù)的乘法計(jì)算,先確定符號(hào),再計(jì)算絕對(duì)值;相同字母相乘,是同底數(shù)冪的乘法,按照“底數(shù)不變,指數(shù)相加”進(jìn)行計(jì)算;只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母,要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個(gè)因式.(3)運(yùn)算的結(jié)果仍為單項(xiàng)式,也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.(4)三個(gè)或三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用以上法則.五、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加.即.要點(diǎn)詮釋:(1)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算方法,實(shí)質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個(gè)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的問題.(2)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積仍是一個(gè)多項(xiàng)式,項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.(3)計(jì)算的過程中要注意符號(hào)問題,多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)包括它前面的符號(hào),同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號(hào).(4)對(duì)混合運(yùn)算,應(yīng)注意運(yùn)算順序,最后有同類項(xiàng)時(shí),必須合并,從而得到最簡(jiǎn)的結(jié)果.六、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加.即.要點(diǎn)詮釋:多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,仍得多項(xiàng)式.在合并同類項(xiàng)之前,積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的最后結(jié)果需化簡(jiǎn),有同類項(xiàng)的要合并.特殊的二項(xiàng)式相乘:.七、平方差公式平方差公式:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.要點(diǎn)詮釋:在這里,既可以是具體數(shù)字,也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征:既有相同項(xiàng),又有“相反項(xiàng)”,而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見的變式有以下類型:(1)位置變化:如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型(2)系數(shù)變化:如(3)指數(shù)變化:如(4)符號(hào)變化:如(5)增項(xiàng)變化:如(6)增因式變化:如八、完全平方公式完全平方公式:兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上(減去)這兩數(shù)乘積的兩倍.要點(diǎn)詮釋:公式特點(diǎn):左邊是兩數(shù)的和(或差)的平方,右邊是二次三項(xiàng)式,是這兩數(shù)的平方和加(或減)這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形:九、添括號(hào)法則添括號(hào)時(shí),如果括號(hào)前面是正號(hào),括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào);如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào),括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).要點(diǎn)詮釋:添括號(hào)與去括號(hào)是互逆的,符號(hào)的變化也是一致的,可以用去括號(hào)法則檢查添括號(hào)是否正確.十、補(bǔ)充公式;;;.十一、因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式,叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解,也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.要點(diǎn)詮釋:(1)因式分解只針對(duì)多項(xiàng)式,而不是針對(duì)單項(xiàng)式,是對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式的整體,而不是部分,因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.(2)要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.(3)因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算,二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形,而整式乘法是一種運(yùn)算.十二、公因式多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式,那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.要點(diǎn)詮釋:(1)公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式.(2)公因式可以是一個(gè)數(shù),也可以是一個(gè)字母,還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.(3)公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分:①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項(xiàng)中相同的字母,指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.十三、提公因式法把多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的乘積的形式,其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式,另一個(gè)因式是,即,而正好是除以所得的商,這種因式分解的方法叫提公因式法.要點(diǎn)詮釋:(1)提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律,即.(2)用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.(3)當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí),通常先提出“—”號(hào),使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù),同時(shí)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).(4)用提公因式法分解因式時(shí),若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零,則提取公因式后,該項(xiàng)變?yōu)椋骸埃?”或“-1”,不要把該項(xiàng)漏掉,或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤.十四、公式法——平方差公式兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,即:要點(diǎn)詮釋:(1)逆用乘法公式將特殊的多項(xiàng)式分解因式.(2)平方差公式的特點(diǎn):左邊是兩個(gè)數(shù)(整式)的平方,且符號(hào)相反,右邊是兩個(gè)數(shù)(整式)的和與這兩個(gè)數(shù)(整式)的差的積.(3)套用公式時(shí)要注意字母a和b的廣泛意義,a、b可以是字母,也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.十五、公式法——完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上(減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍,等于這兩個(gè)數(shù)的和(差)的平方.即,.形如,的式子叫做完全平方式.要點(diǎn)詮釋:(1)逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解
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