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第十五章分式(知識歸納)一、分式的定義分式:一般地,整式A除以整式B,可以表示成的形式,如果除式B中含有字母,那么稱為分式.分式中,A叫做分子,B叫做分母.注:=1\*GB3①分式可以理解為兩個整式相除的商,分母是除數(shù),分子是被除數(shù),分數(shù)線是除號。=2\*GB3②整式B作為分母,則整式B0.=3\*GB3③只要最終能轉化為形式即可.=4\*GB3④B中若無字母,則變成系數(shù)乘A,為整式.二、分式的相關概念(1)分式有意義的條件:分母不為0,即B0(2)分式的值為0的條件:分子為0,且分母不為0,即A=0且B0(3)分式為正的條件:分子與分母的積為正,即AB>0(4)分式為負的條件:分子與分母的積為負,即AB<0三、分式的基本性質(1)分數(shù)的性質(特點)如下:=1\*GB3①分母不能為零;=2\*GB3②分數(shù)分子分母同乘除不為零的數(shù),分數(shù)的大小不變;=3\*GB3③分數(shù)的通分與約分(短除法).(2)分式是分數(shù)的拓展延伸,分式有與分數(shù)類似的性質(特點):=1\*GB3①分式分母也不能為零=2\*GB3②分式分子分母同乘除一個不為零的整式,分式大小不變。即:用式子表示為或,其中A,B,C均為整式.=3\*GB3③分式的通分與約分在知識點4中詳細講解.四、分式的約分與通分(1)分式的約分:與分數(shù)的約分類似,約去分式分子、分母中的公因式(最大公約數(shù)).注:有時,分式分子、分母需進行一定的轉換才有公因式。(2)最簡分式:分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式.注:約分一般是將一個分式化為最簡分式,分式約分所得的結果有時可能成為整式.(3)分式的通分:利用分式的性質,將分式的分母變成最小公倍數(shù),分子根據(jù)分母擴大的倍數(shù)相應擴大,不改變分式的值。步驟:=1\*GB3①通過短除法,求出分式分母的最小公倍數(shù);=2\*GB3②分母變?yōu)樽钚」稊?shù)的值,確定原式分母擴大的倍數(shù);=3\*GB3③分子對應擴大相同倍數(shù).(4)最簡公分母:幾個分式通分時,通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母,這樣的分母叫做最簡公分母.五、分式的混合運算分式是分數(shù)的擴展,因此分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似:(1)分式的加減①同分母的分式相加減法則:分母不變,分子相加減.用式子表示為:.②異分母的分式相加減法則:先通分,變?yōu)橥帜傅姆质?,然后再加減.用式子表示為:.(2)分式的乘法乘法法則:分式乘分式,用分子的積作為積的分子,分母的積作為積的分母.用式子表示為:.(3)分式的除法除法法則:分式除以分式,把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘.用式子表示為:.(4)分式的乘方乘方法則:分式的乘方,把分子、分母分別乘方.用式子表示為:為正整數(shù),.(5)分式的混合運算含有分式的乘方、乘除、加減的多種運算叫做分式的混合運算.混合運算順序:先算乘方,再算乘除,最后算加減.有括號的,先算括號里的.注:上述所有計算中,結果中分子、分母可約分的,需進行約分化為最簡分式六、整數(shù)指數(shù)冪(冪的運算的擴大)(1)前面已學習:=1\*GB3①am?an=am+n,(m,n是正整數(shù));=2\*GB3②(am)=3\*GB3③(ab)m=ambm,(m是正整數(shù));=4\*GB3④am÷an=am?n,(a≠0,m=5\*GB3⑤(ab)n=anbn,(n是正整數(shù));=6\*GB3若按照=4\*GB3④運算,當m<n時。如:a2÷a3=(2)針對這種現(xiàn)象,我們規(guī)定,當n為正整數(shù)時,a?n=1a(3)冪的運算性質擴大當a≠0時=1\*GB3①am?an=2\*GB3②(am)n=3\*GB3③(ab)m=am(4)利用負指數(shù)化除為乘,設m,n為正整數(shù),a≠0,根據(jù)定義am÷a(5)科學記數(shù)法的擴大一般,一個小于1的數(shù)可以表示為a×10?n的形式,其中步驟:確定a值的大小。1<a<10;確定n的值。原數(shù)變?yōu)閍后,小數(shù)點向前移動x位,則原數(shù)相應擴大了10x倍。故n七、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.注意:“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別,也是判定一個方程為分式方程的依據(jù).八、分式方程的解法(1)解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程,具體做法是去分母,即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母.(2)解分式方程的步驟:①找最簡公分母,當分母是多項式時,先分解因式;②去分母,方程兩邊都乘最簡公分母,約去分母,化為整式方程;③解整式方程;④驗根.注意:解分式方程過程中,易錯點有:①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體,記得不要漏乘整式項;②忘記驗根,最后的結果還要代回方程的最簡公分母中,只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解.九、增根在方程變形時,有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根,這種根叫做方程的增根.由于可能產(chǎn)生增根,所以解分式方程要驗根,其方法是將根代入最簡公分母中,使最簡公分母為零的根是增根,否則是原方程的根.注意:增根雖然不是方程的根,但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根.若這個整式方程本身無解,當然原分式方程就一定無解.十、分式方程的應用(1)分式方程的
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