11.2.1.1 三角形的內(nèi)角和

11.2.1.1三角形的內(nèi)角和基礎(chǔ)過關(guān)練1.如圖，上午9時，一艘船從A處出發(fā)以每小時20海里的速度向正北方向航行，11時到達B處.若在A處測得燈塔C在北偏西34°方向，且∠ACB=32∠BAC，則在B處圖測得燈塔CA.南偏西85°方向 B.北偏西85C.南偏西65°方向 D.北偏西652.如圖，已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于()A.90° B.135° C.270° D.315°3.將直尺和三角板按如圖所示的位置放置．若∠1=40°，則∠2度數(shù)是()A.60° B.50° C.40° D.30°4.如圖，AB//CD，點E，F(xiàn)在AC上，已知∠CED=70°，∠BFC=130°，則∠B+∠D的度數(shù)為()A.40° B.50° C.60° D.70°5.如圖，BD為△ABC的角平分線，若∠DBA=30°，∠ADB=80°，則∠C的度數(shù)為(A.30° B.40° C.50° D.60°6.一個等腰三角形的底角是頂角的2倍，則頂角的大小是_____．7.如圖，AF，AD分別是△ABC的高和角平分線，且∠B=36°，∠C=76°能力提升練1.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CD//AB交BD于點D，已知∠ACB=34°，則∠D的度數(shù)為()A.30° B.28° C.26° D.34°2.已知如圖，∠A=80°，BO，CO分別是△ABC的兩個內(nèi)角的平分線，則∠O=________．3.直角三角形兩銳角的平分線所夾的鈍角的度數(shù)為__________．4.當(dāng)三角形中一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的3倍時，我們稱此三角形為“夢想三角形”.如果一個“夢想三角形”有一個角為108°，那么這個“夢想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為_____．拓展培優(yōu)練1.已知△ABC中，∠A=60°.在圖(1)中∠ABC、∠ACB的角平分線交于點O1，則可計算得∠BO1C=90°+12×60°=120°；在圖(2)中，設(shè)∠ABC、∠ACB的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于O1、O2，得到∠BO2C；請你猜想，當(dāng)∠ABC、∠ACB同時n等分時，(n?1)條等分角線分別對應(yīng)交于O1、OA.150°?60C.210°?30

11.2.1.1三角形的內(nèi)角和基礎(chǔ)過關(guān)練1.如圖，上午9時，一艘船從A處出發(fā)以每小時20海里的速度向正北方向航行，11時到達B處.若在A處測得燈塔C在北偏西34°方向，且∠ACB=32∠BAC，則在B處圖測得燈塔A.南偏西85°方向 B.北偏西85C.南偏西65°方向 D.北偏西65【答案】B

【解析】由在A處測得燈塔C在北偏西34°方向，知∠BAC=34°，則∠ACB=32∠BAC=51°，所以∠ABC=180°?2.如圖，已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于()A.90° B.135° C.270° D.315°【答案】C

【分析】本題主要考查四邊形內(nèi)角和和三角形的內(nèi)角和，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠A+∠B=90°是解題的關(guān)鍵．先求出直角三角形中兩個銳角和為90°，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，即可得出答案．【解答】解：∵四邊形的內(nèi)角和為360°，直角三角形中兩個銳角和為90°∴∠1+∠2=360°?(∠A+∠B)=360°?90°=270°．故選：C．3.將直尺和三角板按如圖所示的位置放置．若∠1=40°，則∠2度數(shù)是()A.60° B.50° C.40° D.30°【答案】B

【解析】解：如圖，根據(jù)題意可知∠A為直角，直尺的兩條邊平行，∴∠2=∠ACB，∠ABC=∠1=40°，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠2=90°?∠1=90°?40°=50°，故選：B．如圖，易知三角板的∠A為直角，直尺的兩條邊平行，則可得∠1的對頂角和∠2的同位角互為余角，即可求解．本題考查了對頂角，三角形內(nèi)角和定理，余角，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用定理及性質(zhì)進行推導(dǎo)．4.如圖，AB//CD，點E，F(xiàn)在AC上，已知∠CED=70°，∠BFC=130°，則∠B+∠D的度數(shù)為()A.40° B.50° C.60° D.70°【答案】C

【解析】先求出∠BFA，再由平行線的性質(zhì)得出∠A+∠C=180°，由三角形的內(nèi)角和為180°，將△ABF和△CDE的內(nèi)角和加起來即可得∠B+∠D的度數(shù)．本題主要考查平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，正確理解題意，熟練進行角度的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．解：∵∠BFC=130°，∴∠BFA=50°，又∵AB//CD，∴∠A+∠C=180°，∵∠B+∠A+∠BFA+∠D+∠C+∠CED=360°，∠CED=70°，∴∠B+∠D=360°?(∠A+∠C)?∠BFA?∠CED=60°．故選：C．5.如圖，BD為△ABC的角平分線，若∠DBA=30°，∠ADB=80°，則∠C的度數(shù)為A.30° B.40° C.50° D.60°【答案】C

【分析】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是熟記三角形的內(nèi)角和為180°．由角平分線的定義可得∠ABC=60°，由三角形的內(nèi)角和可求得∠A=70°，再次利用三角形的內(nèi)角和可求∠C的度數(shù)．【解答】解：∵BD為△ABC的角平分線，∠DBA=30°，∠ADB=80°，∴∠ABC=2∠DBA=60°，∠A=180°?∠ADB?∠DBA=70°，∴∠C=180°?∠ABC?∠A=50°．故選：C．6.一個等腰三角形的底角是頂角的2倍，則頂角的大小是_____．【答案】36°

【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理．根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°和等腰三角形的兩個底角相等，即可得出答案．【解答】解：設(shè)頂角為x°，則底角為2x°，則2x+2x+x=180，解得x=36，故答案為：36°．7.如圖，AF，AD分別是△ABC的高和角平分線，且∠B=36°，∠C=76【答案】解：∵∠B=36°，∠C=76°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=180°?36°?76°=68°，∵AD是角平分線，∴∠DAC=1∵AF是△ABC的高，∴∠AFC=90°，∵∠C=76°，∴∠FAC=90°?∠C=90°?76°=14°，∴∠DAF=∠DAC?∠FAC=34°?14°=20°．

【解析】本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°”這一隱含的條件．由三角形內(nèi)角和定理可求得∠BAC的度數(shù)，在RtΔFAC中，可求得∠FAC的度數(shù)，AD是角平分線，有∠DAC=12∠BAC能力提升練1.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CD//AB交BD于點D，已知∠ACB=34°，則∠D的度數(shù)為()A.30° B.28° C.26° D.34°【答案】B

【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線定義，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是求得∠ABD的度數(shù)．先由三角形內(nèi)角和定理求得∠ABC，再由角平分線定義求得∠ABD，最后由平行線的性質(zhì)求得∠D．【解答】解：∵∠BAC=90°，∠ACB=34°，∴∠ABC=180°?90°?34°=56°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=1∵CD//AB，∴∠D=∠ABD=28°，故選B．2.已知如圖，∠A=80°，BO，CO分別是△ABC的兩個內(nèi)角的平分線，則∠O=________．【答案】130°

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和角平分線定義的應(yīng)用，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB=100°，根據(jù)角平分線求出∠OBC=12∠ABC，∠OCB=【解答】解：∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=100°，∵BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，∴∠OBC=12∠ABC∴∠OBC+∠OCB=50°，∴∠BOC=180°?(∠OBC+∠OCB)=130°，故答案為：130°．3.直角三角形兩銳角的平分線所夾的鈍角的度數(shù)為__________．【答案】135°

【分析】本題考查了角的平分線、三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用直角三角形的性質(zhì)求出其它兩角的和．直角三角形兩銳角之和等于90°，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，很容易求出所求角的度數(shù)．【解答】解：由題意畫出圖形如下所示：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵兩個銳角的角平分線AO和BO相交于點O．∴∠OAB+∠OBA=1∴在三角形AOB中，∠AOB=180°?(∠OAB+∠OBA)=135°．故答案為：135°．4.當(dāng)三角形中一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的3倍時，我們稱此三角形為“夢想三角形”.如果一個“夢想三角形”有一個角為108°，那么這個“夢想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為_____．【答案】18°或36°

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，如果一個“夢想三角形”有一個角為108°，可得另兩個角的和為72°，由三角形中一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的3倍時，可以分別求得最小角為180°?108°?108÷3°=36°，72°÷(1+3)=18°，由此比較得出答案即可．此題考查三角形的內(nèi)角和定理，掌握三角形的內(nèi)角和180°是解決問題的關(guān)鍵．【解答】解：當(dāng)108°的角是另一個內(nèi)角的3倍時，最小角為180°?108°?108÷3°=36°，當(dāng)180°?108°=72°兩角中一個角是另一個內(nèi)角的3倍時，最小角為72°÷(1+3)=18°，因此，這個“夢想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為36°或18°．故答案為：18°或36°．拓展培優(yōu)練1.已知△ABC中，∠A=60°.在圖(1)中∠ABC、∠ACB的角平分線交于點O1，則可計算得∠BO1C=90°+12×60°=120°；在圖(2)中，