高中數(shù)學必修五教案15篇

高中數(shù)學必修五教案15篇

高中數(shù)學必修五教案

教學目的：掌握圓的標準方程，并能解決與之有關的問

題

教學重點：圓的標準方程及有關運用

教學難點：標準方程的靈活運用

教學過程：

一、導入新課，探究標準方程

二、掌握知識，鞏固練習

練習：1.說出下列圓的方程

⑴圓心(3,-2)半徑為5(2)圓心(0,3)半徑為3

2.指出下列圓的圓心和半徑

⑴(x-2)2+(y+3)2=3

⑵x2+y2=2

⑶x2+y2-6x+4y+12=0

3,判斷3x-4y-10=0和x2+y2=4的位置關系

4.圓心為(1,3),并與3x-4y-7=0相切，求這個圓的

方程

三、引伸提高，講解例題

例1、圓心在y=-2x上，過p(2,T)且與x-y=l相切求

圓的方程(突出待定系數(shù)的數(shù)學方法)

練習：1、某圓過(-2,1)、(2,3),圓心在x軸上，求

其方程。

2、某圓過A(-10,0)、B(10,0)、C(0,4),求圓的方

程。

例2：某圓拱橋的'跨度為20米，拱高為4米，在建造

時每隔4米加一個支柱支撐，求A2P2的長度。

例3、點M（x0,yO）在x2+y2=r2上，求過M的圓的切線

方程（一題多解，訓練思維）

四、小結練習P77L2,3,4

五、作業(yè)P811,2,3,4

高中數(shù)學必修五教案

教學目標：

（1）掌握直線方程的一般形式，掌握直線方程幾種形

式之間的互化.

（2）理解直線與二元一次方程的關系及其證明

（3）培養(yǎng)學生抽象概括能力、分類討論能力、逆向思

維的習慣和形成特殊與一般辯證統(tǒng)一的觀點.

教學重點、難點：直線方程的一般式.直線與二元一次

方程（、不同時為0）的對應關系及其證明.

教學用具：計算機

教學方法：啟發(fā)引導法，討論法

教學過程：

下面給出教學實施過程設計的簡要思路：

教學設計思路：

（-）引入的設計

前邊學習了如何根據(jù)所給條件求出直線方程的方法，看

下面問題：

問：說出過點（2,1）,斜率為2的直線的方程，并觀

察方程屬于哪一類，為什么？

答：直線方程是，屬于二元一次方程，因為未知數(shù)有兩

個，它們的最高次數(shù)為一次.

肯定學生回答，并糾正學生中不規(guī)范的表述.再看一個

問題：

問：求出過點，的直線的方程，并觀察方程屬于哪一類,

為什么？

答：直線方程是（或其它形式），也屬于二元一次方程,

因為未知數(shù)有兩個，它們的最高次數(shù)為一次.

肯定學生回答后強調(diào)“也是二元一次方程，都是因為未

知數(shù)有兩個，它們的最高次數(shù)為一次”.

啟發(fā)：你在想什么（或你想到了什么）？誰來談談？各

小組可以討論討論.

學生紛紛談出自己的想法，教師邊評價邊啟發(fā)引導，使

學生的認識統(tǒng)一到如下問題：

“任意直線的方程都是二元一次方程嗎？”

（二）本節(jié)主體內(nèi)容教學的設計

這是本節(jié)課要解決的第一個問題，如何解決？自己先研

究研究，也可以小組研究，確定解決問題的思路.

學生或獨立研究，或合作研究，教師巡視指導.

經(jīng)過一定時間的研究，教師組織開展集體討論.首先讓

學生陳述解決思路或解決方案：

思路―

思路二：…

教師組織評價，確定最優(yōu)方案（其它待課下研究）如下:

按斜率是否存在，任意直線的位置有兩種可能，即斜率

存在或不存在.

當存在時，直線的截距也一定存在，直線的方程可表示

為，它是二元一次方程.

當不存在時，直線的方程可表示為形式的‘方程，它是

二元一次方程嗎？

學生有的認為是有的認為不是，此時教師引導學生，逐

步認識到把它看成二元一次方程的合理性：

平面直角坐標系中直線上點的坐標形式，與其它直線上

點的坐標形式?jīng)]有任何區(qū)別，根據(jù)直線方程的概念，方程解

的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元

一次方程是合理的.

綜合兩種情況，我們得出如下結論：

在平面直角坐標系中，對于任何一條直線，都有一條表

示這條直線的關于、的二元一次方程.

至此，我們的問題1就解決了.簡單點說就是：直線方

程都是二元一次方程.而且這個方程一定可以表示成或的形

式，準確地說應該是“要么形如這樣，要么形如這樣的方程”.

同學們注意：這樣表達起來是不是很啰嗦，能不能有一

個更好的表達？

學生們不難得出：二者可以概括為統(tǒng)一的形式.

這樣上邊的結論可以表述如下：

在平面直角坐標系中，對于任何一條直線，都有一條表

示這條直線的形如（其中、不同時為0）的二元一次方程.

啟發(fā)：任何一條直線都有這種形式的方程.你是否覺得

還有什么與之相關的問題呢？

任何形如（其中、不同時為0）的二元一次方程都表示

一條直線嗎？

不難看出上邊的結論只是直線與方程相互關系的一個

方面，這個問題是它的另一方面.這是顯然的嗎？不是，因

此也需要像剛才一樣認真地研究，得到明確的結論.那么如

何研究呢？

師生共同討論，評價不同思路，達成共識：

回顧上邊解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)原路返回就是非常好的

思路，即方程（其中、不同時為0）系數(shù)是否為0恰好對應

斜率是否存在，即

（1）當時，方程可化為

這是表示斜率為、在軸上的截距為的直線.

（2）當時，由于、不同時為0,必有，方程可化為

這表示一條與軸垂直的直線.

因此，得到結論：

在平面直角坐標系中，任何形如（其中、不同時為0）

的二元一次方程都表示一條直線.

為方便，我們把（其中、不同時為0）稱作直線方程的

一般式是合理的.

演示“直線各參數(shù)”文件，體會任何二元一次方程都表

示一條直線.

至此，我們的第二個問題也圓滿解決，而且我們還發(fā)現(xiàn)

上述兩個問題其實是一個大問題的兩個方面，這個大問題揭

示了直線與二元一次方程的對應關系，同時，直線方程的一

般形式是對直線特殊形式的抽象和概括，而且抽象的層次越

高越簡潔，我們還體會到了特殊與一般的轉化關系.

(三)練習鞏固、總結提高、板書和作業(yè)等環(huán)節(jié)的設計

略

高中數(shù)學必修五教案

三維目標：

1、知識與技能：正確理解隨機抽樣的概念，掌握抽簽

法、隨機數(shù)表法的一般步驟；

2、過程與方法：

(1)能夠從現(xiàn)實生活或其他學科中提出具有一定價值的

統(tǒng)計問題；

(2)在解決統(tǒng)計問題的過程中，學會用簡單隨機抽樣的

方法從總體中抽取樣本。

3、情感態(tài)度與價值觀：通過對現(xiàn)實生活和其他學科中

統(tǒng)計問題的提出，體會數(shù)學知識與現(xiàn)實世界及各學科知識之

間的聯(lián)系，認識數(shù)學的重要性。

4、重點與難點：正確理解簡單隨機抽樣的概念，掌握

抽簽法及隨機數(shù)法的步驟，并能靈活應用相關知識從總體中

抽取樣本。

教學方法：

講練結合法

教學用具：

多媒體

課時安排：

1課時

教學過程：

一、問題情境

假設你作為一名食品衛(wèi)生工作人員，要對某食品店內(nèi)的

一批小包裝餅干進行衛(wèi)生達標檢驗，你準備怎樣做？顯然，

你只能從中抽取一定數(shù)量的餅干作為檢驗的樣本。（為什么？）

那么，應當怎樣獲取樣本呢？

二、探究新知

1、統(tǒng)計的有關概念：總體：在統(tǒng)計學中,所有考察對象

的全體叫做總體、個體：每一個考察的對象叫做個體、樣本：

從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本、樣本容

量：樣本中個體的數(shù)目叫做樣本的容量、統(tǒng)計的基本思想：

用樣本去估計總體、

2、簡單隨機抽樣的概念一般地，設一個總體含有N個

個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本（n〈N）,如

果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把

這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣，這樣抽取的樣本，叫做簡

單隨機樣本。

下列抽樣的方式是否屬于簡單隨機抽樣?為什么？

(1)從無限多個個體中抽取50個個體作為樣本。

(2)箱子里共有100個零件，從中選出10個零件進行質

量檢驗，在抽樣操作中，從中任意取出一個零件進行質量檢

驗后，再把它放回箱子。

(3)從8臺電腦中，不放回地隨機抽取2臺進行質量檢

查(假設8臺電腦已編好號，對編號隨機抽取)

3、常用的簡單隨機抽樣方法有：

(1)抽簽法的定義。一般地，抽簽法就是把總體中的N

個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，

攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得

到一個容量為n的樣本。

思考?你認為抽簽法有什么優(yōu)點和缺點：當總體中的個

體數(shù)很多時，用抽簽法方便嗎?例1、若已知高一(6)班總共

有57人，現(xiàn)要抽取8位同學出來做游戲，請設計一個抽取

的方法，要使得每位同學被抽到的機會相等。

分析：可以把57位同學的學號分別寫在大小，質地都

相同的紙片上，折疊或揉成小球，把紙片集中在一起并充分

攪拌后，在從中個抽出8張紙片，再選出紙片上的學號對應

的同學即可、基本步驟：第一步：將總體的所有N個個體從

1至N編號;第二步：準備N個號簽分別標上這些編號，將號

簽放在容器中攪拌均勻后每次抽取一個號簽，不放回地連續(xù)

取n次;第三步：將取出的n個號簽上的號碼所對應的'n個

個體作為樣本。

(2)隨機數(shù)法的定義：利用隨機數(shù)表、隨機數(shù)骰子或計

算機產(chǎn)生的隨機數(shù)進行抽樣，叫隨機數(shù)表法，這里僅介紹隨

機數(shù)表法。怎樣利用隨機數(shù)表產(chǎn)生樣本呢？下面通過例子來

說明，假設我們要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質量

是否達標，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進行檢驗，利用隨

機數(shù)表抽取樣本時，可以按照下面的步驟進行。第一步，先

將800袋牛奶編號，可以編為000,001,799o

第二步，在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)，例如選出第8行第

7列的數(shù)7（為了便于說明，下面摘取了附表1的第6行至第

10行）。

162277943949544354821737932378844217533157245506887

704744767630163785916955567199810507175332112342978

645607825242074438576086324409472796544917460962873

520964384263491642176335025839212067612867358074439

5238791551001342996602795490528477270802734328第三

步，從選定的數(shù)7開始向右讀（讀數(shù)的方向也可以是向左、

向上、向下等），得到一個三位數(shù)785,由于785799,將它

去掉，按照這種方法繼續(xù)向右讀，又取出567,199,507,

依次下去，直到樣本的60個號碼全部取出，這樣我們就得

到一個容量為60的樣本。

三、課堂練習

四、課堂小結

1、簡單隨機抽樣的概念一般地，設一個總體的個體數(shù)

為N,如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次

抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單

隨機抽樣。

2、簡單隨機抽樣的方法：抽簽法隨機數(shù)表法

五、課后作業(yè)

P57練習1、2

六、板書設計

1、統(tǒng)計的有關概念

2、簡單隨機抽樣的概念

3、常用的簡單隨機抽樣方法有：（1）抽簽法⑵隨機數(shù)

表法

4、課堂練習

高中數(shù)學必修五教案

各位評委、各位專家，大家好！今天，我說課的內(nèi)容是

人民教育出版社全日制普通高級中學教科書（必修）《數(shù)學》

第一章第五節(jié)“一元二次不等式解法”。

下面從教材分析、教學目標分析、教學重難點分析、教

法與學法、課堂設計、效果評價六方面進行說課。

一、教材分析

（一）教材的地位和作用

“一元二次不等式解法”既是初中一元一次不等式解法

在知識上的延伸和發(fā)展，又是本章集合知識的運用與鞏固，

也為下一章函數(shù)的定義域和值域教學作鋪墊，起著鏈條的作

用。同時，這部分內(nèi)容較好地反映了方程、不等式、函數(shù)知

識的內(nèi)在聯(lián)系和相互轉化，蘊含著歸納、轉化、數(shù)形結合等

豐富的數(shù)學思想方法，能較好地培養(yǎng)學生的觀察能力、概括

能力、探究能力及創(chuàng)新意識。

（二）教學內(nèi)容

本節(jié)內(nèi)容分2課時學習。本課時通過二次函數(shù)的圖象探

索一元二次不等式的解集。通過復習“三個一次”的關系，

即一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的關系；以舊

帶新尋找“三個二次”的關系，即二次函數(shù)與一元二次方程、

一元二次不等式的關系；采用“畫、看、說、用”的思維模

式，得出一元二次不等式的解集，品味數(shù)學中的和諧美，體

驗成功的樂趣。

二、教學目標分析

根據(jù)教學大綱的要求、本節(jié)教材的特點和高一學生的認

知規(guī)律，本節(jié)課的教學目標確定為：

知識目標一一理解“三個二次”的關系；掌握看圖象找

解集的方法，熟悉一元二次不等式的解法。

能力目標一一通過看圖象找解集，培養(yǎng)學生“從形到數(shù)”

的轉化能力，“從具體到抽象”、“從特殊到一般”的歸納概

括能力。

情感目標一一創(chuàng)設問題情景，激發(fā)學生觀察、分析、探

求的學習激情、強化學生參與意識及主體作用。

三、重難點分析

一元二次不等式是高中數(shù)學中最基本的不等式之一，是

解決許多數(shù)學問題的重要工具。本節(jié)課的重點確定為：一元

二次不等式的解法。

要把握這個重點。關鍵在于理解并掌握利用二次函數(shù)的

圖象確定一元二次不等式解集的方法一一圖象法，其本質就

是要能利用數(shù)形結合的思想方法認識方程的解，不等式的解

集與函數(shù)圖象上對應點的橫坐標的內(nèi)在聯(lián)系。由于初中沒有

專門研究過這類問題，高一學生比較陌生，要真正掌握有一

定的難度。因此，本節(jié)課的難點確定為：“三個二次”的關

系。要突破這個難點，讓學生歸納“三個一次”的關系作鋪

墊。

四、教法與學法分析

(-)學法指導

教學矛盾的主要方面是學生的學。學是中心，會學是目

的。因此在教學中要不斷指導學生學會學習。本節(jié)課主要是

教給學生“動手畫、動眼看、動腦想、動口說、善提煉、勤

鉆研”的研討式學習方法，這樣做增加了學生自主參與，合

作交流的機會，教給了學生獲取知識的途徑、思考問題的方

法，使學生真正成了教學的主體；只有這樣做，才能使學生

“學”有新“思”，“思”有新“得。“練”有新“獲”，學

生也才會逐步感受到數(shù)學的美，會產(chǎn)生一種成功感，從而提

高學生學習數(shù)學的興趣；也只有這樣做，課堂教學才富有時

代特色，才能適應素質教育下培養(yǎng)“創(chuàng)新型”人才的需要。

(-)教法分析

本節(jié)課設計的指導思想是：現(xiàn)代認知心理學一一建構主

義學習理論。

建構主義學習理論認為：應把學習看成是學生主動的建

構活動，學生應與一定的知識背景即情景相聯(lián)系，在實際情

景下進行學習，可以使學生利用已有知識與經(jīng)驗同化和索引

出當前要學習的新知識，這樣獲取的知識，不但便于保持，

而且易于遷移到陌生的問題情景中。

本節(jié)課采用“誘思引探教學法”。把問題作為出發(fā)點，

指導學生“畫、看、說、用”。較好地探求一元二次不等式

的解法。

五、課堂設計

本節(jié)課的教學設計充分體現(xiàn)以學生發(fā)展為本，培養(yǎng)學生

的觀察、概括和探究能力，遵循學生的認知規(guī)律，體現(xiàn)理論

聯(lián)系實際、循序漸進和因材施教的教學原則，通過問題情境

的創(chuàng)設，激發(fā)興趣，使學生在問題解決的探索過程中，由學

會走向會學，由被動答題走向主動探究。

（一）創(chuàng)設情景，引出“三個一次”的關系

本節(jié)課開始，先讓學生解一元二次方程x2-x-6=0,如果

我把“二”改成則變成一元二次不等式x2-x-60讓學生

解，學生肯定感到很突然。但是“思維往往是從驚奇和疑問

開始。這樣直奔主題，目的在于構造懸念，激活學生的思

維興趣。

為此，我設計了以下幾個問題：

1、請同學們解以下方程和不等式：

①2x-7=0；②2x-70；③2x-70

學生回答，我板書。

2、我指出：2x-70和2x-70的解實際上只需利用不等式

基本性質就容易得到。

3、接著我提出：我們能否利用不等式的基本性質來解

一元二次不等式呢？學生可能感到很困惑。

4、為此，我引入一次函數(shù)y=2x-7,借助動畫從圖象上

直觀認識方程和不等式的解，得出以下三組重要關系：

①2x-7=0的解恰是函數(shù)y=2x-7的圖象與x軸

交點的橫坐標。

②2x-70的解集正是函數(shù)y=2x-7的圖象

在x軸的上方的點的橫坐標的集合。

③2x-70的解集正是函數(shù)y=2x-7的圖象

在x軸的下方的點的橫坐標的集合。

三組關系的得出，實際上讓學生找到了利用“一次函數(shù)

的圖象”來解一元一次方程和一元一次不等式的方法。讓學

生看到了解決一元二次不等式的希望，大大激發(fā)了學生解決

新問題的興趣。此時，學生很自然聯(lián)想到利用函數(shù)y=x2-x-6

的圖象來求不等式x2-x-60的解集。

（二）比舊悟新，引出“三個二次”的關系

為此我引導學生作出函數(shù)y=x2-x-6的圖象，按照“看

一看說一說問一問”的思路進行探究。

看函數(shù)y=x2-x-6的圖象并說出：

①方程x2-x-6=0的解是

x=-2或x=3；

②不等式x2-x-60的解集是

{x|x-2,或x3}；

③不等式x2-x-60的解集是

{x|-23）o

此時，學生已經(jīng)沖出了困惑，找到了利用二次函數(shù)的圖

象來解一元二次不等式的方法。

學生沉浸在成功的喜悅中，不妨趁熱打鐵問一問：如果

把函數(shù)y=x2-x-6變?yōu)榉竌x2+bx+c（aO）,那么圖象與x軸的

位置關系又怎樣呢？（學生回答：時，圖象與x軸有兩個

交點；△=（）時，圖象與x軸只有一個交點；時，圖象與

x輛沒有交點。）請同學們討論：ax2+bx+c0與ax2+bx+c0的

解集與函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象有怎樣的.關系？

（三）歸納提煉，得出“三個二次”的關系

1、引導學生根據(jù)圖象與x軸的相對位置關系，寫出相

關不等式的解集。

2、此時提出：若aO時，怎樣求解不等式ax2+bx+c0及

ax2+bx+c0?（經(jīng)討論之后，有的學生得出：將二次項系數(shù)由

負化正，轉化為上述模式求解，教師應予以強調(diào)；也有的學

生提出畫出相應的二次函數(shù)圖象，根據(jù)圖象寫出解集，教師

應給予肯定。）

（四）應用新知，熟練掌握一元二次不等式的解集

借助二次函數(shù)的圖象，得到一元二次不等式的解集，學

生形成了感性認識，為鞏固所學知識，我們一起來完成以下

例題：

例1、解不等式2x2—3x—20

解：因為A0,方程2x2—3x—2=0的解是

xl=,x2=2

所以，不等式的解集是

{x|x,或x2}

例1的解決達到了兩個目的：一是鞏固了一元二次不等

式解集的應用；二是規(guī)范了一元二次不等式的解題格式。

下面我們接著學習課本例2。

例2解不等式-3x2+6x2

課本例2的出現(xiàn)恰當好處，一方面突出了“對于二次項

系數(shù)是負數(shù)(即aO)的一元二次不等式，可以先把二次項系數(shù)

化為正數(shù)，再求解”；另一方面，學生對此例的解答極易出

現(xiàn)寫錯解集(如出現(xiàn)“或”與“且”的錯誤)。

通過例1、例2的解決，學生與我一起總結了解一元二

次不等式的一般步驟：一化正一二算△一三求根一四寫解

集。

例3解不等式4x2—4x+10

例4解不等式一x2+2x—30

分別突出了“△二()"、“△()”對不等式解集的影響。這

兩例由學生練習，教師巡視、指導，講評學生完成情況，尋

找學生中的閃光點，給予熱情表揚。

4道例題，具有典型性、層次性和學生的可接受性。為

了避免學生學后“一團亂麻”、“一盤散沙”的局面,我和學

生一起總結。

(五)總結

解一元二次不等式的“四部曲”：

(1)把二次項的系數(shù)化為正數(shù)

(2)計算判別式A

(3)解對應的一元二次方程

(4)根據(jù)一元二次方程的根，結合圖像(或口訣)，寫出

不等式的解集。概括為：一化正一二算△一三求根一四寫解

集

(六)作業(yè)布置

為了使所有學生鞏固所學知識，我布置了“必做題”；

又為學有余力者留有自由發(fā)展的空間，我布置了“探究題”。

(1)必做題：習題1.5的1、3題

(2)探究題：①若a、b不同時為零，記ax2+bx+c=0

的解集為P,ax2+bx+c0的解集為M,ax2+bx+c0的解集為N,

那么PUMUN=；②已知不等式

(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+30的解集是R,求實數(shù)k的取值范圍。

(七)板書設計

一元二次不等式解法(1)

五、教學效果評價

本節(jié)課立足課本，著力挖掘，設計合理，層次分明。以”

三個一次關系一三個二次關系一一元二次不等式解法”為主

線，以“從形到數(shù)，從具體到抽象，從特殊到一般”為靈魂,

以“畫、看、說、用”為特色，把握重點，突破難點。在教

學思想上既注重知識形成過程的教學，還特別突出學生學習

方法的指導，探究能力的訓練，創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，引導學生

發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美，體驗求知的樂趣。

高中數(shù)學必修五教案

內(nèi)容分析：

1、集合是中學數(shù)學的一個重要的基本概念

在小學數(shù)學中，就滲透了集合的初步概念，到了初中，

更進一步應用集合的語言表述一些問題。例如，在代數(shù)中用

到的有數(shù)集、解集等；在幾何中用到的有點集。至于邏輯，

可以說，從開始學習數(shù)學就離不開對邏輯知識的掌握和運

用，基本的邏輯知識在日常生活、學習、工作中，也是認識

問題、研究問題不可缺少的工具。這些可以幫助學生認識學

習本章的意義，也是本章學習的基礎。

把集合的初步知識與簡易邏輯知識安排在高中數(shù)學的

最開始，是因為在高中數(shù)學中，這些知識與其他內(nèi)容有著密

切聯(lián)系，它們是學習、掌握和使用數(shù)學語言的基礎

例如，下一章講函數(shù)的概念與性質，就離不開集合與邏

輯。

本節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的.集合實例入手，引

出集合與集合的元素的概念，并且結合實例對集合的概念作

了說明

然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述

法，還給出了畫圖表示集合的例子。

這節(jié)課主要學習全章的引言和集合的基本概念

學習引言是引發(fā)學生的學習興趣，使學生認識學習本章

的意義

本節(jié)課的教學重點是集合的基本概念。

集合是集合論中的原始的、不定義的概念

在開始接觸集合的概念時，主要還是通過實例，對概念

有一個初步認識

教科書給出的“一般地，某些指定的對象集在一起就成

為一個集合，也簡稱集

”這句話，只是對集合概念的描述性說明。

教學過程：

一、復習引入：

1.簡介數(shù)集的發(fā)展，復習最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，

質數(shù)與和數(shù)；

2.教材中的章頭引言；

3.集合論的創(chuàng)始人一一康托爾(德國數(shù)學家)(見附錄);

4.“物以類聚”，“人以群分”；

5.教材中例子(P4)o

二、講解新課：

閱讀教材第一部分，問題如下：

(1)有那些概念？是如何定義的？

(2)有那些符號？是如何表示的？

(3)集合中元素的特性是什么？

(-)集合的有關概念：由一些數(shù)、一些點、一些圖形、

一些整式、一些物體、一些人組成的?我們說，每一組對象

的全體形成一個集合，或者說，某些指定的對象集在一起就

成為一個集合，也簡稱集.集合中的每個對象叫做這個集合

的元素.

定義：一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集

合.

1、集合的概念

(1)集合：某些指定的對象集在一起就形成一個集合

(簡稱集)

(2)元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素

2、常用數(shù)集及記法

(1)非負整數(shù)集(自然數(shù)集)：全體非負整數(shù)的集合，

記作N,N={0,1,2,-??}

(2)正整數(shù)集：非負整數(shù)集內(nèi)排除0的集，記作N_

或N+,N_={1,2,3,…}

(3)整數(shù)集:全體整數(shù)的集合，記作Z,Z={0,±1,±2,…}

(4)有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合，記作Q,Q二{整數(shù)

與分數(shù)}

(5)實數(shù)集：全體實數(shù)的集合，記作R,R二{數(shù)軸上所

有點所對應的數(shù)}

注：(1)自然數(shù)集與非負整數(shù)集是相同的，也就是說，

自然數(shù)集包括數(shù)0

(2)非負整數(shù)集內(nèi)排除0的集，記作N_或N+

Q、z、R等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集，也是這樣表示，例

如，整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成Z_

3、元素對于集合的隸屬關系

(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A,記

作aeA

(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬

于A,記作aA

4、集合中元素的特性

（1）確定性：按照明確的判斷標準給定一個元素或者

在這個集合里，或者不在，不能模棱兩可

（2）互異性：集合中的元素沒有重復

（3）無序性：集合中的元素沒有一定的順序（通常用

正常的順序寫出）

5、⑴集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、C、P、

元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、p>q...

⑵的開口方向，不能把a￡A顛倒過來寫。

高中數(shù)學必修五教案

教學目標：

lo了解反函數(shù)的概念，弄清原函數(shù)與反函數(shù)的定義域

和值域的關系。

2o會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)。

3o在嘗試、探索求反函數(shù)的過程中，深化對概念的認

識，總結出求反函數(shù)的一般步驟，加深對函數(shù)與方程、數(shù)形

結合以及由特殊到一般等數(shù)學思想方法的認識。

4o進一步完善學生思維的深刻性，培養(yǎng)學生的逆向思

維能力，用辯證的觀點分析問題，培養(yǎng)抽象、概括的能力。

教學重點：

求反函數(shù)的方法。

教學難點：

反函數(shù)的概念。

教學過程：

教學活動

設計意圖一、創(chuàng)設情境，引入新課

lo復習提問

①函數(shù)的概念

②尸f（X）中各變量的意義

2o同學們在物理課學過勻速直線運動的位移和時間的

函數(shù)關系，即S=vt和t二（其中速度v是常量），在S二vt中

位移S是時間t的函數(shù)；在廿中，時間t是位移S的函數(shù)。

在這種情況下，我們說t=是函數(shù)S=vt的反函數(shù)。什么是反

函數(shù)，如何求反函數(shù)，就是本節(jié)課學習的內(nèi)容。

3o板書課題

由實際問題引入新課，激發(fā)了學生學習興趣，展示了教

學目標。這樣既可以撥去”反函數(shù)”這一概念的神秘面紗，

也可使學生知道學習這一概念的必要性。

二、實例分析，組織探究

lo問題組一：

（用投影給出函數(shù)與；與（）的圖象）

（1）這兩組函數(shù)的圖像有什么關系？這兩組函數(shù)有什

么關系？（生答：與的圖像關于直線y二x對稱；與（）的圖

象也關于直線y=x對稱。是求一個數(shù)立方的運算，而是求一

個數(shù)立方根的運算，它們互為逆運算。同樣，與（）也互為

逆運算。）

(2)由,已知y能否求x?

(3)是否是一個函數(shù)？它與有何關系？

(4)與有何聯(lián)系？

2o問題組二：

(1)函數(shù)y=2xl(x是自變量)與函數(shù)x=2yl(y是自

變量)是否是同一函數(shù)？

(2)函數(shù)(x是自變量)與函數(shù)x=2yl(y是自變量)

是否是同一函數(shù)？

(3)函數(shù)()的定義域與函數(shù)()的值域有什么關系？

3o滲透反函數(shù)的概念。

(教師點明這樣的函數(shù)即互為反函數(shù)，然后師生共同探

究其特點)

從學生熟知的函數(shù)出發(fā)，抽象出反函數(shù)的概念，符合學

生的認知特點，有利于培養(yǎng)學生抽象、概括的能力。

通過這兩組問題，為反函數(shù)概念的'引出做了鋪墊，利

用舊知，引出新識，在”最近發(fā)展區(qū)”設計問題，使學生對

反函數(shù)有一個直觀的粗略印象，為進一步抽象反函數(shù)的概念

奠定基礎。

三、師生互動，歸納定義

lo(根據(jù)上述實例，教師與學生共同歸納出反函數(shù)的定

義)

函數(shù)y=f(x)(x￡A)中，設它的值域為Co我們根據(jù)

這個函數(shù)中x,y的關系，用y把x表示出來，得至I」x=j(y)o

如果對于y在C中的任何一個值，通過x=j(y),x在A中

都有的值和它對應，那么，X=j(y)就表示y是自變量，X

是自變量y的函數(shù)。這樣的函數(shù)x=j(y)(yEC)叫做函數(shù)

y=f(x)(xeA)的反函數(shù)。記作：。考慮到”用x表示自變

量，y表示函數(shù)”的習慣，將中的x與y對調(diào)寫成。

2o引導分析：

1)反函數(shù)也是函數(shù)；

2)對應法則為互逆運算；

3)定義中的“如果”意味著對于一個任意的函數(shù)y=f

(x)來說不一定有反函數(shù)；

4)函數(shù)y=f(x)的定義域、值域分別是函數(shù)x=f(y)

的值域、定義域；

5)函數(shù)尸f(x)與x=f(y)互為反函數(shù)；

6)要理解好符號f；

7)交換變量x、y的原因。

3o兩次轉換x、y的對應關系

(原函數(shù)中的自變量x與反函數(shù)中的函數(shù)值y是等價的,

原函數(shù)中的函數(shù)值y與反函數(shù)中的自變量x是等價的)

4o函數(shù)與其反函數(shù)的關系

函數(shù)y=f(x)

函數(shù)

定義域

A

C

值域

c

A

四、應用解題，總結步驟

lo(投影例題)

求下列函數(shù)的反函數(shù)

(1)y=3x-1(2)y=xl

求函數(shù)的反函數(shù)。

(教師板書例題過程后，由學生總結求反函數(shù)步驟。)

2。總結求函數(shù)反函數(shù)的步驟：

1°由y=f(x)反解出x=f(y)o

2°把x=f(y)中x與y互換得。

3°寫出反函數(shù)的定義域。

(簡記為：反解、互換、寫出反函數(shù)的定義域)(1)有

沒有反函數(shù)？

(2)的反函數(shù)是o

(3)(x0)o

②n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n

次方根是一個負數(shù)，這時a的n次方根用符號na表示。

③負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是零。

上面的文字語言可用下面的式子表示：

a為正數(shù)：n為奇數(shù)，a的n次方根有一個為na,n為偶

數(shù)，a的n次方根有兩個為土na.

a為負數(shù)：n為奇數(shù)，a的n次方根只有一個為na,n為

偶數(shù)，a的n次方根不存在。

零的n次方根為零，記為nO=O.

可以看出數(shù)的平方根、立方根的性質是n次方根的性質

的特例。

思考

根據(jù)n次方根的性質能否舉例說明上述幾種情況？

活動：教師提示學生對方根的性質要分類掌握，即正數(shù)

的奇偶次方根，負數(shù)的奇次方根，零的任何次方根，這樣才

不重不漏，同時巡視學生，隨機給出一個數(shù)，我們寫出它的

平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀察方

根的形式，及時糾正學生在舉例過程中的問題。

解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根為

±2,-27的5次方根為5-27,而-27的4次方根不存在等。

其中5-27也表示方根，它類似于na的形式，現(xiàn)在我們給式

子na一個名稱----根式。

根式的概念：

式子na叫做根式，其中a叫做被開方數(shù),n叫做根指數(shù)。

如3-27中，3叫根指數(shù),-27叫被開方數(shù)。

思考

nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立嗎？如果

不一定成立，那么nan等于什么？

活動：教師讓學生注意討論n為奇偶數(shù)和a的符號，充

分讓學生多舉實例，分組討論。教師點撥，注意歸納整理。

(如3(-3)3=3-27=-3,4(-8)4=|-81=8)°

解答：根據(jù)n次方根的意義，可得：(na)n二a.

通過探究得到：n為奇數(shù)，nan=a.

n為偶數(shù)，nan=|a|=a,-a,a-O,ab)o

點評：不注意n的奇偶性對式子nan的值的影響，是導

致問題出現(xiàn)的一個重要原因，要在理解的基礎上，記準，記

熟，會用，活用。

變式訓練

求出下列各式的值：

(1)7(-2)7;

(2)3(3a-3)3(a^l)；

(3)4(3a-3)4.

解：⑴7(-2)7=-2,

(2)3(3a-3)3(a^l)=3a-3,

(3)4(3a-3)4=

點評：本題易錯的是第⑶題，往往忽視a與1大小的

討論，造成錯解。

思路2

例1下列各式中正確的是()

A.4a4=a

B.6(-2)2=3-2

C.aO=l

D.10(2-1)5=2-1

活動：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根

的運算性質，應首先考慮根據(jù)方根的意義和運算性質來解，

既要考慮被開方數(shù)，又要考慮根指數(shù)，嚴格按求方根的步驟,

體會方根運算的實質，學生先思考哪些地方容易出錯，再回

答。

解析：(l)4a4二a,考查n次方根的運算性質，當n為偶

數(shù)時，應先寫nan=|a|,故A項錯。

(2)6(-2)2=3-2,本質上與上題相同，是一個正數(shù)的偶

次方根，根據(jù)運算順序也應如此，結論為6(-2)2=32,故B

項錯。

(3)a0=l是有條件的，即a#0,故C項也錯。

(4)0項是一個正數(shù)的偶次方根，根據(jù)運算順序也應如

此，故D項正確。所以答案選D.

答案：D

點評：本題由于考查n次方根的運算性質與運算順序，

有時極易選錯，選四個答案的情況都會有，因此解題時千萬

要細心。

例23+22+3—22=.

活動：讓同學們積極思考，交流討論，本題乍一看內(nèi)容

與本節(jié)無關，但仔細一想，我們學習的內(nèi)容是方根，這里是

帶有雙重根號的式子，去掉一層根號，根據(jù)方根的運算求出

結果是解題的關鍵，因此將根號下面的式子化成一個完全平

方式就更為關鍵了，從何處入手？需利用和的平方公式與差

的平方公式化為完全平方式。正確分析題意是關鍵，教師提

示，引導學生解題的思路。

解析：因為3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1,

3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1,

所以3+22+3-22=22.

答案：22

點評：不難看出3-22與3+22形式上有些特點，即是對

稱根式，是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法把其化成

一個完全平方式。

思考

上面的例2還有別的解法嗎？

活動：教師引導，去根號常常利用完全平方公式，有時

平方差公式也可，同學們觀察兩個式子的特點，具有對稱性,

再考慮并交流討論，一個是“+”，一個是去掉一層根

號后，相加正好抵消。同時借助平方差，又可去掉根號，因

此把兩個式子的和看成一個整體，兩邊平方即可，探討得另

一種解法。

另解：利用整體思想，x=3+22+3-22,

兩邊平方，得

x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8,所以

x=22.

點評：對雙重二次根式，特別是A±2B形式的'式子，

我們總能找到辦法將根號下面的式子化成一個完全平方式，

問題迎刃而解，另外對A+2B±A-2B的式子，我們可以把它

們看成一個整體利用完全平方公式和平方差公式去解。

變式訓練

若a2-2a+l=a-1,求a的取值范圍。

解：因為a2-2a+l=aT,而a2-2a+l=(aT)2二|aT|=aT,

即aTNO,

所以a，l.

點評：利用方根的運算性質轉化為去絕電值符號，是解

題的關鍵。

知能訓練

(教師用多媒體顯示在屏幕上)

1、以下說法正確的是()

A.正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)

B.負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)

C.0的n次方根是零

D.a的n次方根用na表示(以上n>l且n￡正整數(shù)集)

答案：C

2、化簡下列各式：

(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.

答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;⑸|x-y|o

3、計算7+40+7—40=.

解析:7+40+7-40

=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2

二(5+2)2+(5-2)2

=5+2+5-2

=25.

答案：25

拓展提升

問題：nan=a與(na)n=a(n>l,n￡N)哪一個是恒等式,

為什么？請舉例說明。

活動：組織學生結合前面的例題及其解答，進行分析討

論，解決這一問題要緊扣n次方根的定義。

通過歸納，得出問題結果，對a是正數(shù)和零，n為偶數(shù)

時，n為奇數(shù)時討論一下。再對a是負數(shù)，n為偶數(shù)時，n為

奇數(shù)時討論一下，就可得到相應的結論。

解：(1)(na)n=a(n>l,n￡N)。

如果xn=a(n>l,且n￡N)有意義，則無論n是奇數(shù)或偶

數(shù)，x=na一定是它的一個n次方根，所以(na)n=a恒成立。

例如：(43)4=3,(3-5)3=-5.

(2)nan=a,|a|,當n為奇數(shù)，當n為偶數(shù)。

當n為奇數(shù)時，a《R,nan=a恒成立。

例如：525=2,5(-2)5=-2.

當n為偶數(shù)時，a￡R,an，O,nan表示正的n次方根或

0,所以如果那么nan二a.例如434=3,40=0;如果al,

n￡N)是恒等式，nan=a(n>l,n￡N)是有條件的。

點評：實質上是對n次方根的概念、性質以及運算性質

的深刻理解。

課堂小結

學生仔細交流討論后，在筆記上寫出本節(jié)課的學習收

獲，教師用多媒體顯示在屏幕上。

1、如果xn=a,那么x叫a的n次方根，其中n>l且n

金正整數(shù)集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被

開方數(shù)，n叫根指數(shù)。

(1)當n為偶數(shù)時，a的n次方根有兩個，是互為相反

數(shù)，正的n次方根用na表示，如果是負數(shù)，負的n次方根

用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成土

na(a>0)。

(2)n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n

次方根是一個負數(shù)，這時a的n次方根用符號na表示。

(3)負數(shù)沒有偶次方根。0的任何次方根都是零。

2、掌握兩個公式：n為奇數(shù)時，(na)n=a,n為偶數(shù)時,

nan=|a|-a,a20,aO,aO,

①；

②a8=(a4)2=a4=,；

③4al2=4(a3)4=a3=；

④2al0=2(a5)2=a5二。

(3)利用⑵的規(guī)律，你能表示下列式子嗎？

,,,(x>0,m,n￡正整數(shù)集，且n>l)。

(4)你能用方根的意義來解釋⑶的式子嗎？

(5)你能推廣到一般的情形嗎？

活動：學生回顧初中學習的整數(shù)指數(shù)鬲及運算性質，仔

細觀察，特別是每題的開始和最后兩步的指數(shù)之間的關系，

教師引導學生體會方根的意義，用方根的意義加以解釋，指

點啟發(fā)學生類比⑵的規(guī)律表示，借鑒(2)(3),我們把具體

推廣到一般，對寫正確的同學及時表揚，其他學生鼓勵提示。

討論結果：(1)整數(shù)指數(shù)基的運算性質：an=a?a?a?-?

a,a0=l(a#0)；00無意義；

a-n—lo.n(a.W0)；

am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

(2)①a2是alO的5次方根；②a4是a8的2次方根;

③a3是al2的4次方根；④a5是alO的2次方根。實質上

①5a10二,②a8=，③4a12=，④2al0二結果的a的指數(shù)是2,4,3,5

分別寫成了105,82,124,105,形式上變了，本質沒變。

根據(jù)4個式子的最后結果可以總結：當根式的被開方數(shù)

的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分數(shù)作為指數(shù)的形

式(分數(shù)指數(shù)幕形式)。

(3)利用⑵的規(guī)律,453=,375=,5a7=，nxm二。

(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根

是，xm的n次方根是c

結果表明方根的結果和分數(shù)指數(shù)事是相通的。

(5)如果a>0,那么am的n次方根可表示為nam二，即

=nam(a>0,m,正整數(shù)集，n>l)。

綜上所述，我們得到正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)嘉的意義，教師

板書：

規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)事的意義是二nam(a>0,m,ne

正整數(shù)集,n>l)o

提出問題

(1)負整數(shù)指數(shù)基的意義是怎樣規(guī)定的？

(2)你能得出負分數(shù)指數(shù)塞的意義嗎？

(3)你認為應怎樣規(guī)定零的分數(shù)指數(shù)嘉的意義？

(4)綜合上述，如何規(guī)定分數(shù)指數(shù)幕的意義？

(5)分數(shù)指數(shù)幕的意義中，為什么規(guī)定a>0,去掉這個

規(guī)定會產(chǎn)生什么樣的后果？

(6)既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指

數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)幕的運算性質是否也適用于有理數(shù)指數(shù)幕

呢？

活動：學生回想初中學習的情形，結合自己的學習體會

回答，根據(jù)零的整數(shù)指數(shù)幕的意義和負整數(shù)指數(shù)幕的意義來

類比，把正分數(shù)指數(shù)嘉的意義與負分數(shù)指數(shù)基的意義融合起

來，與整數(shù)指數(shù)幕的運算性質類比可得有理數(shù)指數(shù)幕的運算

性質，教師在黑板上板書，學生合作交流，以具體的實例說

明a>0的必要性，教師及時作出評價。

討論結果：(1)負整數(shù)指數(shù)幕的意義是：a-n=lan(a^O),

n￡N+。

(2)既然負整數(shù)指數(shù)幕的意義是這樣規(guī)定的，類比正

數(shù)的正分數(shù)指數(shù)基的意義可得正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)鬲的意義。

規(guī)定：正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)幕的意義是"lnam(a>0,m,n

￡=N+,n>l)o

(3)規(guī)定：零的分數(shù)指數(shù)鬲的意義是：零的正分數(shù)次

累等于零，零的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義。

(4)教師板書分數(shù)指數(shù)嘉的意義。分數(shù)指數(shù)幕的意義

就是：

正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)幕的意義是二nam(a>0,m,n￡正整數(shù)

集，n>l),正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)很的意義是=的加義>0,m,n

￡正整數(shù)集，n>l),零的正分數(shù)次累等于零，零的負分數(shù)指

數(shù)嘉沒有意義。

(5)若沒有a>0這個條件會怎樣呢？

如=3-1=-1,=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個式子出現(xiàn)了

截然不同的結果，這只說明分數(shù)指數(shù)基在底數(shù)小于零時是無

意義的。因此在把根式化成分數(shù)指數(shù)時，切記要使底數(shù)大于

零，如無a>0的條件，比如式子3a2二，同時負數(shù)開奇次方是

有意義的，負數(shù)開奇次方時，應把負號移到根式的外邊，然

后再按規(guī)定化成分數(shù)指數(shù)幕，也就是說，負分數(shù)指數(shù)暴在有

意義的情況下總表示正數(shù)，而不是負數(shù)，負數(shù)只是出現(xiàn)在指

數(shù)上。

(6)規(guī)定了分數(shù)指數(shù)幕的意義后，指數(shù)的概念就從整

數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)。

有理數(shù)指數(shù)幕的運算性質：對任意的有理數(shù)r,s,均有

下面的運算性質：

①ar?as=ar+s(a>0,r,sEQ),

②(ar)s二ars(a>0,r,s￡Q),

③(a?b)r=arbr(a>0,b>0,r￡Q)。

我們利用分數(shù)指數(shù)事的意義和有理數(shù)指數(shù)基的運算性

質可以解決一些問題，來看下面的例題。

應用示例

例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4)o

活動：教師引導學生考慮解題的方法，利用幕的運算性

質計算出數(shù)值或化成最簡根式，根據(jù)題目要求，把底數(shù)寫成

事的形式，8寫成23,25寫成52,12寫成2-1,1681寫成

234,利用有理數(shù)幕的運算性質可以解答，完成后，把自己

的答案用投影儀展示出來。

解：(1)二22二4;

(2)=5-1=15;

(3)12-5=(2-1)-5=2-1X(-5)=32;

(4)=23-3=278.

點評：本例主要考查幕值運算，要按規(guī)定來解。在進行

基值運算時，要首先考慮轉化為指數(shù)運算，而不是首先轉化

為熟悉的根式運算，如=382=364=4.

例2用分數(shù)指數(shù)嘉的形式表示下列各式。

a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)o

活動：學生觀察、思考，根據(jù)解題的順序，把根式化為

分數(shù)指數(shù)幕，再由幕的運算性質來運算，根式化為分數(shù)指數(shù)

累時，要由里往外依次進行，把握好運算性質和順序，學生

討論交流自己的解題步驟，教師評價學生的解題情況，鼓勵

學生注意總結。

解：a3?a=a3?=；

a2?3a2=a2?=；

a3a二0

點評：利用分數(shù)指數(shù)事的意義和有理數(shù)指數(shù)幕的運算性

質進行根式運算時，其順序是先把根式化為分數(shù)指數(shù)幕，再

由塞的運算性質來運算。對于計算的結果，不強求統(tǒng)一用什

么形式來表示，沒有特別要求，就用分數(shù)指數(shù)幕的形式來表

示，但結果不能既有分數(shù)指數(shù)又有根式，也不能既有分母又

有負指數(shù)。

例3計算下列各式(式中字母都是正數(shù))。

(1);

(2)0

活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，

四則運算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括

號的先算括號內(nèi)的，整數(shù)幕的運算性質及運算規(guī)律擴充到分

數(shù)指數(shù)事后，其運算順序仍符合我們以前的四則運算順序，

再解答，把自己的答案用投影儀展示出來，相互交流，其中

要注意到⑴小題是單項式的乘除運算，可以用單項式的乘

除法運算順序進行，要注意符號，第⑵小題是乘方運算，

可先按積的乘方計算，再按幕的乘方進行計算，熟悉后可以

簡化步驟。

解：(1)原式二[2X(-6)+(-3)]=4ab0=4a;

(2)=m2n-3=m2n3.

點評：分數(shù)指數(shù)基不表示相同因式的積，而是根式的另

一種寫法。有了分數(shù)指數(shù)幕，就可把根式轉化成分數(shù)指數(shù)累

的形式，用分數(shù)指數(shù)基的運算法則進行運算了。

本例主要是指數(shù)暴的運算法則的綜合考查和應用。

變式訓練

求值：(1)33?33?63;

(2)627m3125n64.

解：(1)33?33?63==32=9;

(2)627m3125n64==9m225n4=925m2n-4.

例4計算下列各式：

(1)(325-125)4-425;

(2)a2a?3a2(a>0)。

活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，

化為同底。利用分數(shù)指數(shù)累計算，在第⑴小題中，只含有

根式，且不是同次根式，比較難計算，但把根式先化為分數(shù)

指數(shù)暴再計算，這樣就簡便多了，第⑵小題也是先把根式

轉化為分數(shù)指數(shù)幕后再由運算法則計算，最后寫出解答。

解：(D原式二

=65-5;

(2)a2a?3a2==6a5.

知能訓練

課本本節(jié)練習1,2,3

教師用實物投影儀把題目投射到屏幕上讓學生解答，教

師巡視，啟發(fā)，對做得好的同學給予表揚鼓勵。

1、(1)下列運算中，正確的是()

A.a2?a3=a6B.(-a2)3=(-a3)2

C.(a-l)O=OD.(-a2)3=-a6

(2)下列各式①4(-4)2n,②4(-4)2n+L③5a4,④4a5

(各式的n￡N,aeR)中，有意義的是()

A.①②B.①③C.①②③④D.①③④

(3)(34a6)2?(43a6)2等于()

A.aB.a2C.a3D.a4

(4)把根式-25(a-b)-2改寫成分數(shù)指數(shù)基的形式為()

A.B.

C.D.

(5)化簡的結果是()

A.6aB.-aC.-9aD.9a

2、計算：(1)—17-2+-3-l+(2-l)0=.

(2)設5x=4,5y=2,則52x-y=.

3、已知x+y=12,xy=9且xO,m,nW正整數(shù)集，n>l),

正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)幕的意義是=lnam(a>0,m,n￡正整數(shù)集,

n>l),零的正分數(shù)次嘉等于零，零的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義。

(2)規(guī)定了分數(shù)指數(shù)幕的意義后，指數(shù)的概念就從整

數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)。

(3)有理數(shù)指數(shù)嘉的運算性質：對任意的有理數(shù)r,s,

均有下面的運算性質：

①ar?as=ar+s(a>0,r,s￡Q),

②(ar)s=ars(a>0,r,sSQ),

③(a?b)r=arbr(a>0,b>0,rEQ)o

(4)說明兩點：

①分數(shù)指數(shù)鬲的意義是一種規(guī)定，我們前面所舉的例子

只表明這種規(guī)定的合理性，其中沒有推出關系。

②整數(shù)指數(shù)累的運算性質對任意的有理數(shù)指數(shù)累也同

樣適用。因而分數(shù)指數(shù)幕與根式可以互化，也可以利用二am

來計算。

作業(yè)

課本習題2.1A組A4.

設計感想

本節(jié)課是分數(shù)指數(shù)幕的意義的引出及應用，分數(shù)指數(shù)是

指數(shù)概念的又一次擴充，要讓學生反復理解分數(shù)指數(shù)辱的意

義，教學中可以通過根式與分數(shù)指數(shù)基的互化來鞏固加深對

這一概念的理解，用觀察、歸納和類比的方法完成，由于是

硬性的規(guī)定，沒有合理的解釋，因此多安排一些練習，強化

訓練，鞏固知識，要輔助以信息技術的手段來完成大容量的

課堂教學任務。

第3課時

作者：鄭芳鳴

導入新課

思路1.同學們，既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，

又從整數(shù)推廣到正分數(shù)到負分數(shù)，這樣指數(shù)就推廣到有理

數(shù)，那么它是否也和數(shù)的推廣一樣，到底有沒有無理數(shù)指數(shù)

累呢？回顧數(shù)的擴充過程，自然數(shù)到整數(shù)，整數(shù)到分數(shù)（有

理數(shù)），有理數(shù)到實數(shù)。并且知道，在有理數(shù)到實數(shù)的擴充

過程中，增添的數(shù)是無理數(shù)。對無理數(shù)指數(shù)累，也是這樣擴

充而來。既然如此，我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是：教師板書本

堂課的課題（指數(shù)與指數(shù)累的運算（3））之無理數(shù)指數(shù)幕。

思路2.同學們，在初中我們學習了函數(shù)的知識，對函數(shù)

有了一個初步的了解，到了高中，我們又對函數(shù)的概念進行

了進一步的學習，有了更深的理解，我們僅僅學了幾種簡單

的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、

三角函數(shù)等，這些遠遠不能滿足我們的需要，隨著科學的發(fā)

展，社會的進步，我們還要學習許多函數(shù)，其中就有指數(shù)函

數(shù)，為了學習指數(shù)函數(shù)的知識，我們必須學習實數(shù)指數(shù)幕的

運算性質，為此，我們必須把指數(shù)嘉從有理數(shù)指數(shù)幕擴充到

實數(shù)指數(shù)幕，因此我們本節(jié)課學習：指數(shù)與指數(shù)幕的運算⑶

之無理數(shù)指數(shù)累，教師板書本節(jié)課的課題。

推進新課

新知探究

提出問題

(1)我們知道2=1.41421356…，那么

1.41,1.414,1.4142,1.41421,…，是2的什么近似值？而

1.42,1.415,1.4143,1.41422,是2的什么近似值？

(2)多媒體顯示以下圖表：同學們從上面的兩個表中,

能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律？

2的過剩近似值

的近似值

1.511.18033989

1.429.829635328

1.4159.750851808

1.41439.73987262

1.414229.738618643

1.4142149.738524602

1.41421369.738518332

1.414213579.738517862

1.4142135639.738517752

的近似值

2的不足近似值

9.5182696941.4

9.6726699731.41

9.7351710391.414

9.7383051741.4142

9.7384619071.41421

9.7385089281.414213

9.7385167651.4142135

9.7385177051.41421356

9.7385177361.414213562

(3)你能給上述思想起個名字嗎？

(4)一個正數(shù)的無理數(shù)次幕到底是一個什么性質的數(shù)

呢？如，根據(jù)你學過的知識，能作出判斷并合理地解釋嗎？

(5)借助上面的結論你能說出一般性的結論嗎？

活動：教師引導，學生回憶，教師提問，學生回答，積

極交流，及時評價學生，學生有困