正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象教學(xué)設(shè)計

5.4.1正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標教學(xué)目標：1.借助正弦函數(shù)的定義和單位圓，經(jīng)歷繪制正弦函數(shù)圖象的過程，掌握描點法，掌握繪制正弦函數(shù)圖象的“五點法”；2.在分析正弦函數(shù)、余弦函數(shù)相互關(guān)系的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷繪制余弦函數(shù)圖象的過程，理解其中運用的圖象變換的思想．教學(xué)重點：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象以及“五點法”．教學(xué)難點：掌握準確繪制函數(shù)圖象一個點的方法，并由此繪制出正弦函數(shù)的圖象．教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動3分鐘（一）規(guī)劃研究方案，形成研究思路問題1：三角函數(shù)是我們學(xué)習(xí)的一類新的基本初等函數(shù)，按照函數(shù)研究的方法，學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義之后，接下來我們應(yīng)該研究什么問題？師生活動：明確學(xué)習(xí)三角函數(shù)定義后，應(yīng)該繼續(xù)研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．追問1：之前研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的思路是怎樣的？預(yù)設(shè)：研究思路是：函數(shù)的定義、函數(shù)的圖象、函數(shù)的性質(zhì)．追問2：繪制一個新函數(shù)圖象的基本方法是什么？預(yù)設(shè)：繪制一個新函數(shù)圖象的基本方式是描點法．追問3：根據(jù)三角函數(shù)的定義，需要繪制正弦函數(shù)在整個定義域上的函數(shù)圖象嗎？選擇哪一個區(qū)間即可？預(yù)設(shè)：根據(jù)三角函數(shù)的定義，單位圓上任意一點在圓周上旋轉(zhuǎn)一周又回到原來的位置，這一特性已經(jīng)用公式一表示：，，其中．根據(jù)公式一，可以簡化對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究過程．方便起見，我們可以先畫函數(shù)，的圖象，再畫出正弦函數(shù)，的圖象．設(shè)計意圖：規(guī)劃研究方案，構(gòu)建本單元及本節(jié)課的研究路徑，以便從整體上掌握整個單元的學(xué)習(xí)過程，形成整體觀念．10分鐘（二）正弦函數(shù)的圖象問題2：描點法是畫函數(shù)圖象的基本方法，對于正弦函數(shù)，大家想取哪些點、怎樣描點畫圖呢？學(xué)生活動：學(xué)生可能會說，對于自變量在上隨意取一些值，然后利用計算器算出函數(shù)值，再在平面直角坐標系上描點連線．教師提示：這樣作圖應(yīng)該能夠得到正弦函數(shù)圖象的大致形狀，但是三角函數(shù)中會出現(xiàn)無理數(shù)，這樣作圖明顯不夠精確，而且也沒有利用到三角函數(shù)的定義，缺少了三角函數(shù)定義和圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系，所以需要尋求更精確、并且利用到三角函數(shù)定義的方法．問題3：繪制函數(shù)的圖象，首先需要準確繪制其上一點．對于正弦函數(shù)，在上任取一個值，如何借助單位圓確定正弦函數(shù)值，并準確畫出點？預(yù)設(shè)：請大家看圖，在平面直角坐標系中畫出以原點為圓心的單位圓，且單位圓與軸正半軸的交點為．在單位圓上，將點繞著點旋轉(zhuǎn)弧度至點．根據(jù)弧度制的定義,既是的大小，也是弧的長度；根據(jù)正弦函數(shù)的定義，點的縱坐標．由此，以為橫坐標，為縱坐標畫點，即得到函數(shù)圖象上的點．在沒有信息技術(shù)的情況下，可以用“手工繞線法”完成，同學(xué)們可以課下思考．設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生剖析一個點的畫法，深化對正弦函數(shù)定義的理解；通過分析點的坐標的幾何意義，準確描點．問題4：我們已經(jīng)學(xué)會繪制正弦函數(shù)圖象上的某一個點，你能類比指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象的畫法，畫出，的圖象嗎？師生活動：師生共同討論方案，教師指導(dǎo)并完善方案．方案1：在區(qū)間內(nèi)任取一些橫坐標的值，按照上述方法逐一繪制，再用光滑的曲線連接．教師點評：隨意取值，橫坐標可能會出現(xiàn)比較多的無理數(shù)，不容易在軸上準確定位；而且根據(jù)弧度制的定義，的值是弧的長度，不容易平移，所以在單位圓上定位弧度的角的終邊時，存在一定困難．方案2：取1、2、3等值，再按照上述方式繪制圖像．教師點評：1、2、3等弧度數(shù)在軸上可以準確定位，但是在單位圓上定位這些弧度的角的終邊時，仍然存在上述的問題．方案3：取比較熟悉的特殊角，如、、等．教師點評：內(nèi)的這些特殊角是大家比較熟悉的，在軸上比較容易定位，但是在單位圓上怎樣確定點的位置呢？究竟取哪些、怎樣取特殊角，才能即簡便又準確呢？方案4：在區(qū)間內(nèi)取等分點，最為簡便準確．預(yù)設(shè)：如圖，把軸上這一段分成12等份，即每個象限3等分，從而使的值分別為，，，，…，，它們所對應(yīng)的角的終邊與單位圓的交點同樣將圓周12等分，再按照上述方法依次畫點，就能準確定位出每個在單位圓上所對應(yīng)的終邊位置，從而可以準確地畫出自變量取這些值時對應(yīng)的函數(shù)圖象上的點．師生活動：學(xué)生用上述方法繪制圖象．教師用幾何畫板演示上述圖象的生成過程，初步得到，的圖象，再借助信息技術(shù)取任意多的點，并連續(xù)成線．設(shè)計意圖：確定畫出一個周期內(nèi)正弦函數(shù)圖象的方法并實施；利用信息技術(shù)得到更多圖象上的點，達到點動成線的直觀效果，使學(xué)生進一步理解任意一點與整體圖形之間的關(guān)系，理解圖象形成的內(nèi)在道理．問題5：根據(jù)函數(shù)，的圖象，你能想象正弦函數(shù)，的圖象嗎？依據(jù)是什么？請畫出該函數(shù)的圖象．預(yù)設(shè)：根據(jù)公式一，其中，可知函數(shù)，，且的圖象與，的圖象形狀完全一致．因此將函數(shù)，的圖象不斷向左、向右平移（每次移動個單位長度），就可以得到正弦函數(shù)，的圖象．如圖所示．教師指出：正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線．設(shè)計意圖：繪制函數(shù)，的圖象，讓學(xué)生體會從有限到無限的推廣過程，并培養(yǎng)學(xué)生說理的習(xí)慣．問題6：對函數(shù)的研究，能夠快速又比較準確的做出其簡圖，往往起重要的作用．你能畫出函數(shù)，圖象的簡圖嗎？在確定圖象形狀時，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，共同確定關(guān)鍵點．預(yù)設(shè)：在函數(shù)，圖象上，以下五個點：，，，，在確定函數(shù)圖象時起關(guān)鍵作用，它們是函數(shù)圖象的最大值點、最小值點以及零點．描出這五個點，函數(shù)，的圖象形狀就基本確定了．因此，在精度要求不高時，常先找出這五個關(guān)鍵點，再用光滑曲線連接起來，得到正弦函數(shù)的簡圖，這種方法非常實用，方便有效，稱為“五點法”．設(shè)計意圖：觀察函數(shù)圖象，概括其特征，獲得“五點法”畫圖的簡便方法．5分鐘（三）余弦函數(shù)的圖象問題7：我們已經(jīng)能夠做出正弦函數(shù)的圖象，你能做出余弦函數(shù)的圖象嗎？師生活動：此時學(xué)生可能會躍躍欲試，想用類似的方法畫余弦函數(shù)的圖象．對此教師應(yīng)予以肯定，并進一步追問．追問1：如果仍然采用之前的方法，如圖，此時單位圓上點的橫坐標為，那么將它作為點的縱坐標，還容易平移嗎？顯然不太方便．追問2：由三角函數(shù)的定義可知，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是一對密切相關(guān)的函數(shù)．誘導(dǎo)公式已經(jīng)表明，余弦函數(shù)和正弦函數(shù)可以互化．所以你能否通過已經(jīng)得到的正弦函數(shù)的圖象，通過變換得到余弦函數(shù)的圖象？師生活動：學(xué)生比較容易想到，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析，此時的圖象變換比較困難，要選擇比較簡潔的公式．預(yù)設(shè)：通過比較進行選擇．從數(shù)的角度和操作性上，可以選擇誘導(dǎo)公式，得：，．而函數(shù)，的圖象可以通過正弦函數(shù)，的圖象向左平移個單位長度而得到．所以將正弦函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，就能得到余弦函數(shù)的圖象．教師指出：余弦函數(shù)，的圖象叫余弦曲線，它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪形”曲線．追問3：你能利用點的坐標，解釋這種平移變換嗎？預(yù)設(shè)：設(shè)函數(shù)圖象上任意一點為，即．則在函數(shù)上，當，即時，函數(shù)值也為，所以函數(shù)圖象上有對應(yīng)點，是將點向左平移了個單位得到的，所以只要將圖象上的點向左平移個單位，即可得到的圖象．設(shè)計意圖：利用誘導(dǎo)公式，通過圖象變換，由正弦函數(shù)的圖象得到余弦函數(shù)的圖象；增強對兩個函數(shù)圖象之間聯(lián)系性的認識，并且通過坐標變換加深對圖象變換的理解．問題8：類似于“五點法”作正弦函數(shù)的圖象，如何做出余弦函數(shù)的簡圖？追問：根據(jù)余弦曲線的特點，你認為選取哪個區(qū)間研究比較合理？師生活動：師生共同討論，余弦曲線可以從正弦曲線平移得到，也是周而復(fù)始的，所以也需要選取長度為的區(qū)間；可以發(fā)現(xiàn)余弦曲線的圖象關(guān)于軸對稱，所以選取區(qū)間比較合理．預(yù)設(shè)：選取，，，，這五個點為關(guān)鍵點．設(shè)計意圖：觀察余弦函數(shù)圖象，掌握其特征，獲得“五點法”．5分鐘（四）例題例1：畫出下列函數(shù)的簡圖：（1），；（2），．追問：你能利用函數(shù)，的圖象，通過圖象變換得到，的圖象嗎？同樣，利用函數(shù)，的圖象，通過怎樣的變換就能得到，的圖象？設(shè)計意圖：鞏固學(xué)生對正弦函數(shù)、余弦函