正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象教學(xué)設(shè)計(jì)

5.4.1正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.借助正弦函數(shù)的定義和單位圓，經(jīng)歷繪制正弦函數(shù)圖象的過(guò)程，掌握描點(diǎn)法，掌握繪制正弦函數(shù)圖象的“五點(diǎn)法”；2.在分析正弦函數(shù)、余弦函數(shù)相互關(guān)系的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷繪制余弦函數(shù)圖象的過(guò)程，理解其中運(yùn)用的圖象變換的思想．教學(xué)重點(diǎn)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象以及“五點(diǎn)法”．教學(xué)難點(diǎn)：掌握準(zhǔn)確繪制函數(shù)圖象一個(gè)點(diǎn)的方法，并由此繪制出正弦函數(shù)的圖象．教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)3分鐘（一）規(guī)劃研究方案，形成研究思路問(wèn)題1：三角函數(shù)是我們學(xué)習(xí)的一類新的基本初等函數(shù)，按照函數(shù)研究的方法，學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義之后，接下來(lái)我們應(yīng)該研究什么問(wèn)題？師生活動(dòng)：明確學(xué)習(xí)三角函數(shù)定義后，應(yīng)該繼續(xù)研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．追問(wèn)1：之前研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的思路是怎樣的？預(yù)設(shè)：研究思路是：函數(shù)的定義、函數(shù)的圖象、函數(shù)的性質(zhì)．追問(wèn)2：繪制一個(gè)新函數(shù)圖象的基本方法是什么？預(yù)設(shè)：繪制一個(gè)新函數(shù)圖象的基本方式是描點(diǎn)法．追問(wèn)3：根據(jù)三角函數(shù)的定義，需要繪制正弦函數(shù)在整個(gè)定義域上的函數(shù)圖象嗎？選擇哪一個(gè)區(qū)間即可？預(yù)設(shè)：根據(jù)三角函數(shù)的定義，單位圓上任意一點(diǎn)在圓周上旋轉(zhuǎn)一周又回到原來(lái)的位置，這一特性已經(jīng)用公式一表示：，，其中．根據(jù)公式一，可以簡(jiǎn)化對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究過(guò)程．方便起見(jiàn)，我們可以先畫函數(shù)，的圖象，再畫出正弦函數(shù)，的圖象．設(shè)計(jì)意圖：規(guī)劃研究方案，構(gòu)建本單元及本節(jié)課的研究路徑，以便從整體上掌握整個(gè)單元的學(xué)習(xí)過(guò)程，形成整體觀念．10分鐘（二）正弦函數(shù)的圖象問(wèn)題2：描點(diǎn)法是畫函數(shù)圖象的基本方法，對(duì)于正弦函數(shù)，大家想取哪些點(diǎn)、怎樣描點(diǎn)畫圖呢？學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生可能會(huì)說(shuō)，對(duì)于自變量在上隨意取一些值，然后利用計(jì)算器算出函數(shù)值，再在平面直角坐標(biāo)系上描點(diǎn)連線．教師提示：這樣作圖應(yīng)該能夠得到正弦函數(shù)圖象的大致形狀，但是三角函數(shù)中會(huì)出現(xiàn)無(wú)理數(shù)，這樣作圖明顯不夠精確，而且也沒(méi)有利用到三角函數(shù)的定義，缺少了三角函數(shù)定義和圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系，所以需要尋求更精確、并且利用到三角函數(shù)定義的方法．問(wèn)題3：繪制函數(shù)的圖象，首先需要準(zhǔn)確繪制其上一點(diǎn)．對(duì)于正弦函數(shù)，在上任取一個(gè)值，如何借助單位圓確定正弦函數(shù)值，并準(zhǔn)確畫出點(diǎn)？預(yù)設(shè)：請(qǐng)大家看圖，在平面直角坐標(biāo)系中畫出以原點(diǎn)為圓心的單位圓，且單位圓與軸正半軸的交點(diǎn)為．在單位圓上，將點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)弧度至點(diǎn)．根據(jù)弧度制的定義,既是的大小，也是弧的長(zhǎng)度；根據(jù)正弦函數(shù)的定義，點(diǎn)的縱坐標(biāo)．由此，以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)畫點(diǎn)，即得到函數(shù)圖象上的點(diǎn)．在沒(méi)有信息技術(shù)的情況下，可以用“手工繞線法”完成，同學(xué)們可以課下思考．設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生剖析一個(gè)點(diǎn)的畫法，深化對(duì)正弦函數(shù)定義的理解；通過(guò)分析點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義，準(zhǔn)確描點(diǎn)．問(wèn)題4：我們已經(jīng)學(xué)會(huì)繪制正弦函數(shù)圖象上的某一個(gè)點(diǎn)，你能類比指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的畫法，畫出，的圖象嗎？師生活動(dòng)：師生共同討論方案，教師指導(dǎo)并完善方案．方案1：在區(qū)間內(nèi)任取一些橫坐標(biāo)的值，按照上述方法逐一繪制，再用光滑的曲線連接．教師點(diǎn)評(píng)：隨意取值，橫坐標(biāo)可能會(huì)出現(xiàn)比較多的無(wú)理數(shù)，不容易在軸上準(zhǔn)確定位；而且根據(jù)弧度制的定義，的值是弧的長(zhǎng)度，不容易平移，所以在單位圓上定位弧度的角的終邊時(shí)，存在一定困難．方案2：取1、2、3等值，再按照上述方式繪制圖像．教師點(diǎn)評(píng)：1、2、3等弧度數(shù)在軸上可以準(zhǔn)確定位，但是在單位圓上定位這些弧度的角的終邊時(shí)，仍然存在上述的問(wèn)題．方案3：取比較熟悉的特殊角，如、、等．教師點(diǎn)評(píng)：內(nèi)的這些特殊角是大家比較熟悉的，在軸上比較容易定位，但是在單位圓上怎樣確定點(diǎn)的位置呢？究竟取哪些、怎樣取特殊角，才能即簡(jiǎn)便又準(zhǔn)確呢？方案4：在區(qū)間內(nèi)取等分點(diǎn)，最為簡(jiǎn)便準(zhǔn)確．預(yù)設(shè)：如圖，把軸上這一段分成12等份，即每個(gè)象限3等分，從而使的值分別為，，，，…，，它們所對(duì)應(yīng)的角的終邊與單位圓的交點(diǎn)同樣將圓周12等分，再按照上述方法依次畫點(diǎn)，就能準(zhǔn)確定位出每個(gè)在單位圓上所對(duì)應(yīng)的終邊位置，從而可以準(zhǔn)確地畫出自變量取這些值時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象上的點(diǎn)．師生活動(dòng)：學(xué)生用上述方法繪制圖象．教師用幾何畫板演示上述圖象的生成過(guò)程，初步得到，的圖象，再借助信息技術(shù)取任意多的點(diǎn)，并連續(xù)成線．設(shè)計(jì)意圖：確定畫出一個(gè)周期內(nèi)正弦函數(shù)圖象的方法并實(shí)施；利用信息技術(shù)得到更多圖象上的點(diǎn)，達(dá)到點(diǎn)動(dòng)成線的直觀效果，使學(xué)生進(jìn)一步理解任意一點(diǎn)與整體圖形之間的關(guān)系，理解圖象形成的內(nèi)在道理．問(wèn)題5：根據(jù)函數(shù)，的圖象，你能想象正弦函數(shù)，的圖象嗎？依據(jù)是什么？請(qǐng)畫出該函數(shù)的圖象．預(yù)設(shè)：根據(jù)公式一，其中，可知函數(shù)，，且的圖象與，的圖象形狀完全一致．因此將函數(shù)，的圖象不斷向左、向右平移（每次移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度），就可以得到正弦函數(shù)，的圖象．如圖所示．教師指出：正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線．設(shè)計(jì)意圖：繪制函數(shù)，的圖象，讓學(xué)生體會(huì)從有限到無(wú)限的推廣過(guò)程，并培養(yǎng)學(xué)生說(shuō)理的習(xí)慣．問(wèn)題6：對(duì)函數(shù)的研究，能夠快速又比較準(zhǔn)確的做出其簡(jiǎn)圖，往往起重要的作用．你能畫出函數(shù)，圖象的簡(jiǎn)圖嗎？在確定圖象形狀時(shí)，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點(diǎn)？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，共同確定關(guān)鍵點(diǎn)．預(yù)設(shè)：在函數(shù)，圖象上，以下五個(gè)點(diǎn)：，，，，在確定函數(shù)圖象時(shí)起關(guān)鍵作用，它們是函數(shù)圖象的最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)以及零點(diǎn)．描出這五個(gè)點(diǎn)，函數(shù)，的圖象形狀就基本確定了．因此，在精度要求不高時(shí)，常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再用光滑曲線連接起來(lái)，得到正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，這種方法非常實(shí)用，方便有效，稱為“五點(diǎn)法”．設(shè)計(jì)意圖：觀察函數(shù)圖象，概括其特征，獲得“五點(diǎn)法”畫圖的簡(jiǎn)便方法．5分鐘（三）余弦函數(shù)的圖象問(wèn)題7：我們已經(jīng)能夠做出正弦函數(shù)的圖象，你能做出余弦函數(shù)的圖象嗎？師生活動(dòng)：此時(shí)學(xué)生可能會(huì)躍躍欲試，想用類似的方法畫余弦函數(shù)的圖象．對(duì)此教師應(yīng)予以肯定，并進(jìn)一步追問(wèn)．追問(wèn)1：如果仍然采用之前的方法，如圖，此時(shí)單位圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，那么將它作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，還容易平移嗎？顯然不太方便．追問(wèn)2：由三角函數(shù)的定義可知，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是一對(duì)密切相關(guān)的函數(shù)．誘導(dǎo)公式已經(jīng)表明，余弦函數(shù)和正弦函數(shù)可以互化．所以你能否通過(guò)已經(jīng)得到的正弦函數(shù)的圖象，通過(guò)變換得到余弦函數(shù)的圖象？師生活動(dòng)：學(xué)生比較容易想到，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析，此時(shí)的圖象變換比較困難，要選擇比較簡(jiǎn)潔的公式．預(yù)設(shè)：通過(guò)比較進(jìn)行選擇．從數(shù)的角度和操作性上，可以選擇誘導(dǎo)公式，得：，．而函數(shù)，的圖象可以通過(guò)正弦函數(shù)，的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到．所以將正弦函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，就能得到余弦函數(shù)的圖象．教師指出：余弦函數(shù)，的圖象叫余弦曲線，它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪形”曲線．追問(wèn)3：你能利用點(diǎn)的坐標(biāo)，解釋這種平移變換嗎？預(yù)設(shè)：設(shè)函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)為，即．則在函數(shù)上，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)值也為，所以函數(shù)圖象上有對(duì)應(yīng)點(diǎn)，是將點(diǎn)向左平移了個(gè)單位得到的，所以只要將圖象上的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，即可得到的圖象．設(shè)計(jì)意圖：利用誘導(dǎo)公式，通過(guò)圖象變換，由正弦函數(shù)的圖象得到余弦函數(shù)的圖象；增強(qiáng)對(duì)兩個(gè)函數(shù)圖象之間聯(lián)系性的認(rèn)識(shí)，并且通過(guò)坐標(biāo)變換加深對(duì)圖象變換的理解．問(wèn)題8：類似于“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)的圖象，如何做出余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖？追問(wèn)：根據(jù)余弦曲線的特點(diǎn)，你認(rèn)為選取哪個(gè)區(qū)間研究比較合理？師生活動(dòng)：師生共同討論，余弦曲線可以從正弦曲線平移得到，也是周而復(fù)始的，所以也需要選取長(zhǎng)度為的區(qū)間；可以發(fā)現(xiàn)余弦曲線的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以選取區(qū)間比較合理．預(yù)設(shè)：選取，，，，這五個(gè)點(diǎn)為關(guān)鍵點(diǎn)．設(shè)計(jì)意圖：觀察余弦函數(shù)圖象，掌握其特征，獲得“五點(diǎn)法”．5分鐘（四）例題例1：畫出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：（1），；（2），．追問(wèn)：你能利用函數(shù)，的圖象，通過(guò)圖象變換得到，的圖象嗎？同樣，利用函數(shù)，的圖象，通過(guò)怎樣的變換就能得到，的圖象？設(shè)計(jì)意圖：鞏固學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)、余弦函