北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊第三章測試題及答案解析（一）

北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊第三章測試題（一）

（圓）

一.選擇題

5.在平面直角坐標(biāo)系中，以點（2,3）為圓心，2為半徑的圓必定（）

A.與x軸相離，與y軸相切B.與x軸，y軸都相離

C.與x軸相切，與y軸相離D.與x軸，y軸都相切

6.如圖，。。的直徑AB與弦AC的夾角為30。，切線CD與AB的延長線交于點

D,若。。的半徑為2,則CD的長為（）

7.如圖，aPCiR是。0的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是的內(nèi)接正方形,

A.60B.65C.72D.75

8.如圖，OA,OB,OC,OD,OE互相外離，它們的半徑都是1,順次連接

五個圓心得到五邊形ABCDE,則圖中五個扇形（陰影部分）的面積是（）

1.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接。0,AC平分NBAD,則下列結(jié)論正確的是

)

c

A.AB=ADB.BC=CDC.第碗D.ZBCA=ZDCA

2.如圖，CD為。。的直徑，弦AB，CD,垂足為M,若AB=12,OM：MD=5：

8,則。。的周長為（）

B.13ncD10兀

一"T"」?~5~

3.如圖，AB是。0的直徑，弦CD交AB于點P,AP=2,BP=6,ZAPC=3O°,則

CD的長為（）

A.V15B.275C.2A/15D.8

如圖，^ABC內(nèi)接于。。，若NA=a,則NOBC等于（

A.180°-2aB.2aC.90°+aD.90--a

5.如圖，四邊形ABCD為。0的內(nèi)接四邊形.延長AB與DC相交于點G,AO

1CD,垂足為E,連接BD,ZGBC=50°,則NDBC的度數(shù)為（）

G

C.80°D.90°

6.在平面直角坐標(biāo)系中，點0為坐標(biāo)原點，點A、B、C的坐標(biāo)分別為A

（我，0）、B（3%,0）、C（0,5）,點D在第一象限內(nèi)，且NADB=60。，則線

段CD的長的最小值是（）

A.273-2B.2遙-2C.277-2D.2伍-2

7.下列說法中，正確的是（）

A.三點確定一個圓B.三角形有且只有一個外接圓

C.四邊形都有一個外接圓D.圓有且只有一個內(nèi)接三角形

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A,B,C的坐標(biāo)為（1,4）,（5,4）,（1,

-2）,則AABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（）

y個

A.(2,3)B.(3,2)C.(1,3)D.(3,1)

二、填空題

13.如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A,B,C,其中B點坐標(biāo)為（4,

4）,則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為

ZA=90°,AB=AC=2cm,0A與BC相切于點D,則。A

15.如圖，給定一個半徑長為2的圓，圓心0到水平直線I的距離為d,即

OM=d.我們把圓上到直線I的距離等于1的點的個數(shù)記為m.如d=0口寸，I為

經(jīng)過圓心0的一條直線，此時圓上有四個到直線I的距離等于1的點，即

m=4,由此可知:

⑴當(dāng)d=3時，m=

（2）當(dāng)m=2時，d的取值范圍是,

16.）如圖，。0的半徑為6cm,B為。。外一點，0B交。。于點A,AB=OA,

動點P從點A出發(fā)，以Rcm/s的速度在。0上按逆時針方向運動一周回到點A

立即停止.當(dāng)點P運動的時間為.時，BP與。。相切.

17.（2017?岳陽）我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了"割圓術(shù)"，認為圓內(nèi)接正

多邊形邊數(shù)無限增加時，周長就越接近圓周長，由此求得了圓周率R的近似

值，設(shè)半徑為r的圓內(nèi)接正n邊形的周長為L,圓的直徑為d,如圖所示，當(dāng)

n=6時，^-=.^21=3,那么當(dāng)n=12時，（結(jié)果精確到0.01,參考

d2rd

數(shù)據(jù)：sinl5°=cos75°^0.259)

三、解答題

18.善于歸納和總結(jié)的小明發(fā)現(xiàn)，"數(shù)形結(jié)合"是初中數(shù)學(xué)的基本思想方法，被

廣泛地應(yīng)用在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決問題中.用數(shù)量關(guān)系描述圖形性質(zhì)和用圖形性質(zhì)

描述數(shù)量關(guān)系，往往會有新的發(fā)現(xiàn).小明在研究垂直于直徑的弦的性質(zhì)過程中

（如圖，直徑AB_L弦CD于點E,設(shè)AE=x,BE=y,用含x,y的式子表示圖中的

弦CD的長度），通過比較運動的弦CD和與之垂直的直徑AB的大小關(guān)系，發(fā)現(xiàn)

了一個關(guān)于正數(shù)x,y的不等式，你也能發(fā)現(xiàn)這個不等式嗎？寫出你發(fā)現(xiàn)的不等

式.

19.閱讀下面材料：

在數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)思考如下問題：

請利用直尺和圓規(guī)確定圖中弧.4所在圓的圓心.

4Vl_/

小亮的作法如下:

如圖，

（1）在弧月3上任意取一點C,分別連接HC,BC;

（2）分別作乂C,3C的垂直平分線，

兩條垂直平分線交于。點；X

所以點。就是所求弧AB的圓心.c\

老師說："小亮的作法正確.”

請你回答：小亮的作圖依據(jù)是

20.已知：如圖，在4ABC中，AB=AC,以BC為直徑的半圓0與邊AB相交于

點D,切線DE_LAC,垂足為點E.

求證：（D^ABC是等邊三角形;

⑵AE^CE。

O

21.如圖，AN是。M的直徑，NB〃x軸，AB交。M于點C.

⑴若點A（0,6）,N（0,2）,ZABN=30°,求點B的坐標(biāo)；

(2)若D為線段NB的中點，求證:直線CD是。M的切線.

22.如圖，直線AB、BC、CD分別與。0相切于E、F、G,AB〃CD,

0B=6cm,0C=8cm.求：

(l)ZBOC的度數(shù)；

(2)BE+CG的長；

⑶。0的半徑.

23.如圖，在。。中，弦人8=弦CD,ABLCD于點E,且AE<EB,CE<ED,連

結(jié)AO,DO,BD.

⑴求證：EB=ED.

⑵若AO=6,求標(biāo)的長.

24.中國扇文化有著深厚的文化底蘊，是民族文化的一個組成部分，它與竹文

化、佛教文化有著密切關(guān)系.歷來中國被譽為制扇王國.扇子主要材料是：

竹、木、紙、象牙、玳瑁、翡翠、飛禽翎毛、其它棕楣葉、檳榔葉、麥桿、蒲

草等也能編制成各種千姿百態(tài)的日用工藝扇，造型優(yōu)美，構(gòu)造精制，經(jīng)能工巧

匠精心鏤、雕、燙、鉆或名人揮毫題詩作畫，使扇子藝術(shù)身價倍增.折扇，古

稱"聚頭扇"，或稱為撒扇，或折疊扇，以其收攏時能夠二頭合并歸一而得

名.如圖，折扇的骨柄0A的長為5a,扇面的寬CA的長為3a,折扇張開的角

度為n。，求出扇面的面積（用代數(shù)式表示）.

A

C

答案與解析

1.在平面直角坐標(biāo)系中，以點（2,3）為圓心，2為半徑的圓必定（）

A.與x軸相離，與y軸相切B.與x軸，y軸都相離

C.與x軸相切，與y軸相離D.與x軸，y軸都相切

2.如圖，。。的直徑AB與弦AC的夾角為30。，切線CD與AB的延長線交于點

D,若。。的半徑為2,則CD的長為（）

【專題】選擇題

【分析】連接OC,BC,AB是直徑，CD是切線，先求得/OCD=90。再求/

COB=2NA=60。，利用三角函數(shù)即可求得CD的值.

【解答】解：連接。C,BC,AB是直徑，則NACB=90。，

VCD是切線，

，NOCD=90°,

ZA=30°,

/.ZCOB=2ZA=60°,CD=OC?tanZCOD=2V3.

【點評】本題利用了切線的性質(zhì)，直徑對的圓周角是直角求解.

3.如圖，△PQR是。。的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接正方形,

BC〃QR,則NDOR的度數(shù)是（）

A.60B.65C.72D.75

【考點】MA：三角形的外接圓與外心；KK：等邊三角形的性質(zhì)；LE：正方形的

性質(zhì).

【專題】選擇題

【分析】根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)，求得中心角NPOR和NPOD,二者

的差就是所求.

【解答】解：連結(jié)OA,如圖，

VAPQR是。0的內(nèi)接正三角形，

，PQ=PR=QR,

，/POR=LX360°=120°,

3

,四邊形ABCD是。O的內(nèi)接正方形，

；.NAOD=90。，

.?.NDOP』X90°=45°,

2

AZDOR=ZPOR-ZDOP=75°.

故選D.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角

相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.也考查了垂徑定理.

4.（2003?湘潭）如圖，OA,OB,OC,OD,?E互相外離，它們的半徑都是

1,順次連接五個圓心得到五邊形ABCDE,則圖中五個扇形（陰影部分）的面積

是（）

A.nB.1.5nC.2nD.2.5n

【考點】MO：扇形面積的計算；L3：多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】選擇題

【分析】圓心角之和等于五邊形的內(nèi)角和，由于半徑相同，那么根據(jù)扇形的面

積2公式計算即可.

【解答】解：圖中五個扇形（陰影部分）的面積是（5-2）義180兀=1.5兀

360

故選B.

【點評】解決本題的關(guān)鍵是把陰影部分當(dāng)成一個扇形的面積來求，圓心角為五

邊形的內(nèi)角和.

5.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接AC平分NBAD,則下列結(jié)論正確的是

（）

A.AB=ADB.BC=CDC.AB=ADD.NBCA=NDCA

【考點】M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】選擇題

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對各選項進行逐一判斷即可.

【解答】解：A、YNACB與NACD的大小關(guān)系不確定，，AB與AD不一定相

等，故本選項錯誤;

B、?"（：平分NBAD,/.ZBAC=ZDAC,/.BC=CD,故本選項正確；

C>VZACB與NACD的大小關(guān)系不確定，，施與俞不一定相等，故本選項錯

誤；

D、NBCA與NDCA的大小關(guān)系不確定，故本選項錯誤.

故選B.

【點評】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個圓

心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別

相等.

6.如圖，CD為。。的直徑，弦ABLCD,垂足為M,若AB=12,OM：MD=5：

8,則。。的周長為（）

A.26nB.13RC.967TD.紂匝兀-

55

【考點】M2：垂徑定理.

【專題】選擇題

【分析】連接0A,根據(jù)垂徑定理得到AM=L\B=6,設(shè)0M=5x,DM=8x,得到

2

0A=0D=13x,根據(jù)勾股定理得到。A=LX13,于是得到結(jié)論.

2

【解答】解：連接0A,

〈CD為。。的直徑，弦ABLCD,

.,.AM=XAB=6,

2

VOM：MD=5：8,

.?.設(shè)0M=5x,DM=8x,

/.0A=0D=13x,

/.AM=12x=6,

...X=—,

2

.?.OA=LX13,

2

：.Q0的周長=2OA?K=13n,

【點評】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形,

利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵.

7.如圖，AB是。。的直徑，弦CD交AB于點P,AP=2,BP=6,ZAPC=30°,則

CD的長為（）

A.V15B.2代C.2715D.8

【考點】M2：垂徑定理，KO：含30度角的直角三角形；KQ：勾股定理..

【專題】選擇題

【分析】作OH±CD于H,連結(jié)0C,如圖，根據(jù)垂徑定理由OHLCD得到

HC=HD,再利用AP=2,BP=6可計算出半徑0A=4,則OP=OA-AP=2,接著在Rt

△OPH中根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)計算出OH=LOP=1,然后在RtAOHC

2

中利用勾股定理計算出CH=〃，所以CD=2CH=2j元.

【解答】解：作OHLCD于H,連結(jié)0C,如圖，

VOH±CD,

，HC=HD,

VAP=2,BP=6,

，AB=8,

/.0A=4,

AOP=OA-AP=2,

在RtZ\OPH中，VZOPH=30°,

，NPOH=30。，

，OH=LOP=I,

2

在RtZ\OHC中，V0C=4,OH=1,

可寸“2-0西而，

/.CD=2CH=2^/15.

故選C.

【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對

的兩條弧?也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性質(zhì).

8.如圖，4ABC內(nèi)接于。0,若NA=a,則NOBC等于（）

【考點】M5：圓周角定理.

【專題】選擇題

【分析】首先連接OC,由圓周角定理，可求得NBOC的度數(shù)，又由等腰三角形

的性質(zhì)，即可求得/OBC的度數(shù).

【解答】解：???連接OC,

?.,△ABC內(nèi)接于。0,NA=a,

.?.ZBOC=2ZA=2a,

VOB=OC,

/0BC=N0CB=180°-NEOC=9O。_a.

2

故選D.

【點評】此題考查了圓周角定理與等腰三角形的性質(zhì).此題比較簡單，注意掌

握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

9.如圖，四邊形ABCD為。0的內(nèi)接四邊形.延長AB與DC相交于點G,A0

1CD,垂足為E,連接BD,ZGBC=50°,則/DBC的度數(shù)為（）

【考點】M6：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

【專題】選擇題

【分析】根據(jù)四點共圓的性質(zhì)得：ZGBC=ZADC=50°,由垂徑定理得:

a=M-貝l」NDBC=2NEAD=80".

【解答】解：如圖，?.？、B、D、C四點共圓,

/.ZGBC=ZADC=50o,

VAE±CD,

，NAED=90°,

/.ZEAD=90o-50°=40°,

延長AE交。。于點M,

VA01CD,

/.ZDBC=2ZEAD=80°.

故選C.

【點評】本題考查了四點共圓的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的

內(nèi)對角，還考查了垂徑定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，點0為坐標(biāo)原點，點A、B、C的坐標(biāo)分別為A

（b，0）、B（3舊，0）、C（0,5）,點D在第一象限內(nèi)，且NADB=60。，則線

段CD的長的最小值是（）

A.2M-2B.275-2C.2A/7-2D.2伍-2

【考點】M8：點與圓的位置關(guān)系；D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；M5：圓周角定理.

【專題】選擇題

【分析】作圓，求出半徑和PC的長度，判出點D只有在CP上時CD最短，

CD=CP-DP求解.

【解答】解：作圓，使/ADB=60。，設(shè)圓心為P,連結(jié)PA、PB、PC,PE1AB于

E,如圖所示：

VA（V3，0）、B（3炳,0）,

AE（2如,0）

又/ADB=60°,

/.ZAPB=120°,

/.PE=1,PA=2PE=2,

：.P(2百，1),

VC(0,5),

PC=V(2V3)2+(5-l)2=2

又YPD=PA=2,

,只有點D在線段PC上時，CD最短(點D在別的位置時構(gòu)成aCDP)

二CD最小值為：2、歷-2.

【點評】本題主要考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，圓周角定理及勾股定理，解決本題

的關(guān)鍵是判出點D只有在CP上時CD最短.

11.下列說法中，正確的是()

A.三點確定一個圓B.三角形有且只有一個外接圓

C.四邊形都有一個外接圓D.圓有且只有一個內(nèi)接三角形

【考點】M9：確定圓的條件.

【專題】選擇題

【分析】根據(jù)確定圓的條件逐一判斷后即可得到答案.

【解答】解：A、不在同一直線上的三點確定一個圓，故原命題錯誤；

B、三角形有且只有一個外切圓，原命題正確；

C、并不是所有的四邊形都有一個外接圓，原命題錯誤；

D、圓有無數(shù)個內(nèi)接三角形.

故選B.

【點評】本題考查了確定圓的條件，不在同一直線上的三點確定一個圓.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A,B,C的坐標(biāo)為（1,4）,（5,4）,

【考點】MA：三角形的外接圓與外心；D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

【專題】選擇題

【分析】由已知點的坐標(biāo)得出AABC為直角三角形，ZBAC=90°,得出4ABC的

外接圓的圓心是斜邊BC的中點，即可得出結(jié)果.

【解答】解：如圖所示：

?.?點A,B,C的坐標(biāo)為（1,4）,（5,4）,（1,-2）,

.'.△ABC為直角三角形，ZBAC=90°,

.'.△ABC的外接圓的圓心是斜邊BC的中點，

.?.△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（上包Z2±￡）,

22

即（3,1）.

故選：D.

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、直角三角形的

外心特征；熟記直角三角形的外心特征，根據(jù)題意得出三角形是直角三角形是

解決問題的關(guān)鍵.

13.（2005?蘇州）如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A,B,C,其中B

點坐標(biāo)為（4,4）,則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為（2,0）

【考點】M9：確定圓的條件；D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

【專題】填空題

【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC

的垂直平分線，交點即為圓心.

【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，

可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心.

如圖所示，則圓心是（2,0）.

故答案為：（2,0）

【點評】能夠根據(jù)垂徑定理的推論得到圓心的位置.

14.（2006?海南）如圖，在4ABC中，ZA=90°,AB=AC=2cm,?A與BC相切

于點D,則。A的半徑長為

【考點】MC：切線的性質(zhì).

【專題】填空題

【分析】連接AD,則有AD是4ABC的斜邊上的高，可判定aABC是等腰直角

三角形，所以BC=&AB=2&,利用點D是斜邊的中點，可求AD=J_BC=A/比m.

2

【解答】解：連接AD；

VZA=90°,AB=AC=2cm,

/.△ABC是等腰直角三角形，

二BC=&AB=2&；

?.?點D是斜邊的中點，

【點評】本題利用了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)求解.

15.如圖，給定一個半徑長為2的圓，圓心0到水平直線I的距離為d,即

OM=d.我們把圓上到直線I的距離等于1的點的個數(shù)記為m.如d=0時，I為

經(jīng)過圓心0的一條直線，此時圓上有四個到直線I的距離等于1的點，即

m=4,由此可知：

⑴當(dāng)d=3時，m=1；

⑵當(dāng)m=2時，d的取值范圍是l〈dV3.

【考點】MB：直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】填空題

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系和直線與圓的交點個數(shù)以及命題中的數(shù)據(jù)分

析即可得到答案.

【解答】解：⑴當(dāng)d=3時，

V3>2,即d>r,

.,.直線與圓相離，則m=l,

故答案為：1；

⑵當(dāng)d=3時，m=l；

當(dāng)d=l時，m=3；

.,.當(dāng)lVdV3時,m=2,

故答案為：lVdV3.

【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解直線與圓的位置

關(guān)系與d與r的數(shù)量關(guān)系.

16.如圖，。0的半徑為6cm,B為。0外一點，0B交。。于點A,AB=OA,

動點P從點A出發(fā)，以Rcm/s的速度在。。上按逆時針方向運動一周回到點A

立即停止.當(dāng)點P運動的時間為2秒或10秒時,BP與。0相切.

(oJAB

【考點】MD：切線的判定.

【專題】填空題

【分析】根據(jù)切線的判定與性質(zhì)進行分析即可.若BP與。0相切，則/

OPB=90°,又因為OB=2OP,可得NB=30°,則NBOP=60°；根據(jù)弧長公式求得弧

AP長，除以速度，即可求得時間.

【解答】解：連接OP

?.,當(dāng)OP_LPB時,BP與。。相切，

VAB=OA,OA=OP,

，OB=2OP,ZOPB=90°；

.,.ZB=30°；

AZ0=60°；

VOA=6cm,

弧AP=^22L2￡L=2K,

180

?.?圓的周長為：12n,

，點P運動的距離為2n或12K-2n=10n；

.?.當(dāng)t=2秒或10秒時，有BP與。0相切.

故答案為：2秒或5秒.

【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)及弧長公式，解答此題時要注意過圓外一點

有兩條直線與圓相切，不要漏解.

17.我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了"割圓術(shù)"，認為圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無

限增加時，周長就越接近圓周長，由此求得了圓周率R的近似值，設(shè)半徑為r

的圓內(nèi)接正n邊形的周長為L,圓的直徑為d,如圖所示，當(dāng)n=6時，

1=紅=3,那么當(dāng)n=12時，n^L=3.11.（結(jié)果精確到0.01,參考數(shù)據(jù)：

d2rd

sinl5°=cos75°^0.259）

【考點】MM：正多邊形和圓；T7：解直角三角形.

【專題】填空題

【分析】圓的內(nèi)接正十二邊形被半徑分成頂角為30。的十二個等腰三角形，作輔

助線構(gòu)造直角三角形，根據(jù)中心角的度數(shù)以及半徑的大小，求得L=24r?sinl5。，

d=2r,進而得到兀七二23.11.

d

【解答】解：如圖，圓的內(nèi)接正十二邊形被半徑分成12個如圖所示的等腰三角

形，其頂角為30。，即NAOB=30。，

作OH_LAB于點H,則NA0H=15。，

VAO=BO=r,

?.,RtAAOH中，sinZAOH=-^l,EPsinl5°=M

AOr

/.AH=rXsinl5o,AB=2AH=2rXsinl5°,

，L=12X2rXsinl5°=24rXsinl5°,

又,；d=2r,

..gWsinl5。an,

d2r

故答案為：3.11

【點評】本題主要考查了正多邊形和圓以及解直角三角形的運用，把一個圓分

成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)

接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓.

18.善于歸納和總結(jié)的小明發(fā)現(xiàn)，"數(shù)形結(jié)合”是初中數(shù)學(xué)的基本思想方法，被

廣泛地應(yīng)用在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決問題中.用數(shù)量關(guān)系描述圖形性質(zhì)和用圖形性質(zhì)

描述數(shù)量關(guān)系，往往會有新的發(fā)現(xiàn).小明在研究垂直于直徑的弦的性質(zhì)過程中

（如圖，直徑人8，弦CD于點E,設(shè)AE=x,BE=y,用含x,y的式子表示圖中的

弦CD的長度），通過比較運動的弦CD和與之垂直的直徑AB的大小關(guān)系，發(fā)現(xiàn)

了一個關(guān)于正數(shù)x,y的不等式，你也能發(fā)現(xiàn)這個不等式嗎？寫出你發(fā)現(xiàn)的不等

【考點】M3：垂徑定理的應(yīng)用.

【專題】解答題

【分析】此題中隱含的不等關(guān)系：直徑是圓中最長的弦，所以AB2CD.

首先可以表示出AB=x+y,再根據(jù)相交弦定理的推論和垂徑定理，得

CD=2CE=2Vxy-

【解答】解：???直徑AB,弦CD于點E,

；.CE=DE,

根據(jù)相交弦定理的推論，得CE2=AE?BE,則CE=JF，

ACD=2CE=2Vxy.

又：AB=x+y,且AB2CD,

/.x+y^2^/xy.

【點評】本題考查：直徑是圓中最長的弦；相交弦定理的推論以及垂徑定理的

綜合應(yīng)用.

19.（2015秋?豐臺區(qū)期末）閱讀下面材料：

在數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)思考如下問題：

請利用直尺和圓規(guī)確定圖中弧.四所在圓的圓心.

小亮的作法如下：

如圖，

（D在邨AB上任意取一點C,分別連接AC,BC;

（2）分別作AC,BC的垂直平分線，林

兩條垂直平分線交于。點；，

所以點。就是所求孤AB的圓心.

老師說："小亮的作法正確.”

請你回答：小亮的作圖依據(jù)是垂徑定理.

【考點】M3：垂徑定理的應(yīng)用；N3：作圖一復(fù)雜作圖.

【專題】解答題

【分析】利用垂徑定理得出任意兩弦的垂直平分線交點即可.

【解答】解：根據(jù)小亮作圖的過程得到：小亮的作圖依據(jù)是垂徑定理.

故答案是：垂徑定理.

【點評】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及垂徑定理，熟練利用垂徑定理的性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.

20.（2008?黃石模擬）已知：如圖，在4ABC中，AB=AC,以BC為直徑的半圓

。與邊AB相交于點D,切線DE_LAC,垂足為點E.

求證：（laABC是等邊三角形；

（2）AE烏CE?

【考點】KL：等邊三角形的判定；M5：圓周角定理.

【專題】解答題

【分析】⑴連接OD,根據(jù)切線的性質(zhì)得到ODJ_DE,從而得到平行線，得到/

ODB=/A,ZODB=ZB,則NA=NB,得到AC=BC,從而證明該三角形是等邊三

角形；

⑵再根據(jù)在圓內(nèi)直徑所對的角是直角這一性質(zhì)，推出30。的直角三角形，根據(jù)

30。所對的直角邊是斜邊的一半即可證明.

【解答】證明：（1）連接OD,得OD〃AC；

/.ZBDO=ZA；

又OB=OD,

/.ZOBD=ZODB；

/.ZOBD=ZA；

/.BC=AC；

又?.,AB=AC,

/.△ABC是等邊三角形;

(2)如上圖，連接CD,則CD_LAB；

，D是AB中點；

VAE=XAD=1TKB,

24

AEC=3AE；

，AE」CE.

3

【點評】本題中作好輔助線是解題的關(guān)鍵，連接過切點的半徑是圓中常見的輔

助線作法之一.另外還要掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)以及30。的直角三角形的

性質(zhì).

21.如圖，AN是。M的直徑，NB〃x軸，AB交。M于點C.

⑴若點A(0,6),N(0,2),NABN=30。，求點B的坐標(biāo)；

⑵若D為線段NB的中點，求證：直線CD是。M的切線.

【考點】MD：切線的判定；D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

【專題】解答題

【分析】⑴在Rt/XABN中，求出AN、AB即可解決問題;

(2)連接MC,NC.只要證明NMCD=90。即可；

【解答】解：(1)：A的坐標(biāo)為(0,6),N(0,2),

，AN=4,

VZABN=30°,ZANB=90",

；.AB=2AN=8,

由勾股定理可知：NB=^AB2_AN2=六行，

AB(蚯,2).

(2)連接MC,NC

VAN是0M的直徑，

，ZACN=90°,

NNCB=90°,

在Rt^NCB中，D為NB的中點,

...CD」NB=ND,

2

；.NCND=NNCD,

VMC=MN,

，NMCN=NMNC,

VZMNC+ZCND=90°,

/.ZMCN+ZNCD=90",

即MC±CD.

直線CD是。M的切線.

【點評】本題考查圓的切線的判定、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解

題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

22.如圖，直線AB、BC、CD分別與。0相切于E、F、G,且AB〃CD,

0B=6cm,0C=8cm.求：

(l)ZBOC的度數(shù)；

(2)BE+CG的長;

(3)00的半徑.

【考點】MG：切線長定理.

【專題】解答題

【分析】⑴根據(jù)切線的性質(zhì)得到0B平分NEBF,0C平分NGCF,0F1BC,再根

據(jù)平行線的性質(zhì)得NGCF+NEBF=180°,則有NOBC+NOCB=90°,即NBOC=90°；

(2)由勾股定理可求得BC的長，進而由切線長定理即可得到BE+CG的長；

⑶最后由三角形面積公式即可求得OF的長.

【解答】解：(1)連接OF；根據(jù)切線長定理得：BE=BF,CF=CG,ZOBF=ZOBE,

ZOCF=ZOCG；