專題10圓（原卷版）-2021年初升高數(shù)學(xué)無(wú)憂銜接（人教A版2019）

專題10圓

考敢嫁述

平面幾何中直線與圓的位置關(guān)系包含的知識(shí)點(diǎn)較多，方法靈活，抓住核心概念和基本方法即可，對(duì)定理的

本質(zhì)要理解，看到相關(guān)已知能夠聯(lián)想到需要的定理，常常先分析所求問(wèn)題的路徑，找準(zhǔn)方向，綜合運(yùn)用條

件加以突破.

直線與圓有三種位置關(guān)系：相離、相切和相交.相切和相交是代數(shù)與幾何研究的重點(diǎn).

常用的結(jié)論包括：

1.切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

2.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.

3.相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等

4.切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)

5.割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等

錦程要靠

《初中課程要求》1、圓的基本性質(zhì)

2、垂徑定理

3、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

4、點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系

5、正多邊形與圓、弧長(zhǎng)、扇形面積

《高中課程要求》1、握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程

2、能判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

3、能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題

高中必備知識(shí)點(diǎn)1：直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)有直線/和圓心為。且半徑為/■的圓，怎樣判斷直線/和圓0的位置關(guān)系？

圖3.3-1

觀察圖3.3-1,不難發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系為：當(dāng)圓心到直線的距離△＞廠時(shí)，直線和圓相離，

如圓。與直線4;當(dāng)圓心到直線的距離4=r時(shí)，直線和圓相切，如圓。與直線4；當(dāng)圓心到直

線的距離”時(shí)，直線和圓相交，如圓0與直線4.

圖3.3-2

在直線與圓相交時(shí)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、8.若直線經(jīng)過(guò)圓心，則A8為直徑；若直線不經(jīng)過(guò)

圓心，如圖3.3-2,連結(jié)圓心。和弦A8的中點(diǎn)M的線段垂直于這條弦A8.且在用VOM4中,

0A為圓的半徑r,為圓心到直線的距離d,朋A為弦長(zhǎng)AB的一半，根據(jù)勾股定理，有

2.2,A8、2

產(chǎn)-d-=(——)2.

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，如圖3.3-3,為圓。的切線，可得PA=PB,_LB4.,且在放APOA

22

中，PO2=PA+OA.

如圖3.3-4,PT為圓。的切線，Q46為圓。的割線，我們可以證得△RVT~AP78,因而

PT2^PAPB.

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：點(diǎn)的軌跡

在幾何中，點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)按照某個(gè)條件運(yùn)動(dòng)形成的圖形，它是符合某個(gè)條件的所有點(diǎn)組成的.

例如，把長(zhǎng)度為廠的線段的一個(gè)端點(diǎn)固定，另一個(gè)端點(diǎn)繞這個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周就得到一個(gè)圓，這

個(gè)圓上的每一個(gè)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都等于廠；同時(shí)，到定點(diǎn)的距離等于/■的所有點(diǎn)都在這個(gè)圓上.

這個(gè)圓就叫做到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的軌跡.

我們把符合某一條件的所有的點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡.這里含有兩層意

思：（1）圖形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的，就是說(shuō)，圖形上的任何一點(diǎn)都滿足條件；（2）圖

形包含了符合條件的所有的點(diǎn)，就是說(shuō)，符合條件的任何一點(diǎn)都在圖形上.

下面，我們討論一些常見(jiàn)的平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡.

從上面對(duì)圓的討論，可以得出：

到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓.

我們學(xué)過(guò)，線段垂直平分線上的每一點(diǎn)，和線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)，和線段兩個(gè)端

點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，都在這條線段的垂直平分線上.所以有下面的軌跡：

和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線.

由角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個(gè)軌跡：

到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線.

'典例周所

高中必備知識(shí)點(diǎn)1：直線與圓的位置關(guān)系

【典型例題】

在同一平面直角坐標(biāo)系中有5個(gè)點(diǎn)：A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2.-2).

X

(1)畫(huà)出AABC的外接圓。P,并指出點(diǎn)D與。P相的位置關(guān)系；

(2)E點(diǎn)是y軸上的一點(diǎn)，若直線DE與。P相切，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【變式訓(xùn)練】

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于P、Q兩點(diǎn)給出如下定義：若點(diǎn)P到x、y軸的距離中的最大值等于點(diǎn)Q到

x、y軸的距離中的最大值，則稱P、Q兩點(diǎn)為"等距點(diǎn)"，如圖中的P、Q兩點(diǎn)即為"等距點(diǎn)”.

②若點(diǎn)B在直線y=x+6上，且A、B兩點(diǎn)為"等距點(diǎn)"，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

(2)直線/：y=kx-3(k>0)與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)D.

①若71(-1,ti)、T2(4,t2)是直線/上的兩點(diǎn)，且71、萬(wàn)為"等距點(diǎn)”，求k的值；

②當(dāng)k=l時(shí)，半徑為r的。。上存在一點(diǎn)M,線段CD上存在一點(diǎn)N,使得M、N兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，直接寫(xiě)

出r的取值范圍.

【能力提升】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(1,3)、B(3,3)、C(4,2).

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、8、C三點(diǎn)的G)M,并寫(xiě)出圓心M的坐標(biāo);

(2)若。(1,4),試判斷直線8D與0M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：點(diǎn)的軌跡

【典型例題】

如圖，點(diǎn)4(-4,3),將/ABC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。得到A4'B'C'.

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出ZJA'B'C',并寫(xiě)出點(diǎn)4'的坐標(biāo)；

(2)求旋轉(zhuǎn)過(guò)程中a點(diǎn)的軌跡長(zhǎng).

【變式訓(xùn)練】

閱讀理解：在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)p、Q的坐標(biāo)分別是p(X1,yi)>

Q(x2,丫2)，貝UP、Q這兩點(diǎn)間的距離為|PQ|=J(Xi-?)2+01-丫2/.如P(1-2),Q(3,4),則

IPQ|=7(1-3)2+(2-4)2=2V2.

對(duì)于某種兒何圖形給出如下定義：符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)形成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡.如平

面內(nèi)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線.

解決問(wèn)題：如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx6交y軸于點(diǎn)A,點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,

過(guò)點(diǎn)B作直線I平行于x軸.

(1)到點(diǎn)A的距離等于線段AB長(zhǎng)度的點(diǎn)的軌跡是;

(2)若動(dòng)點(diǎn)C(x,y)滿足到直線I的距離等于線段CA的長(zhǎng)度，求動(dòng)點(diǎn)C軌跡的函數(shù)表達(dá)式；

問(wèn)題拓展：(3)若(2)中的動(dòng)點(diǎn)C的軌跡與直線y=kx弓交于E、F兩點(diǎn)，分別過(guò)E、F作直線I的垂線，垂

足分別是M、N,求證：①EF是△AMN外接圓的切線；②右+之為定值.

【能力提升】

在數(shù)學(xué)上，我們把符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形叫做滿足該條件的點(diǎn)的軌跡.例如：動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)滿

足(m,m-1),所有符合該條件的點(diǎn)組成的圖象在平面直角坐標(biāo)系xOy中就是一次函數(shù)y=x-1的圖象.即

點(diǎn)P的軌跡就是直線y=x-1.

(1)若m、n滿足等式mn-m=6,則(m,n-1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中的軌跡是；

(2)若點(diǎn)P(X,y)到點(diǎn)A(0,1)的距離與到直線y=-l的距離相等，求點(diǎn)P的軌跡；

(3)若拋物線y=[/上有兩動(dòng)點(diǎn)M、N滿足MN=a(a為常數(shù)，且a24),設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q,求點(diǎn)Q

到x軸的最短距離.

對(duì)點(diǎn)端稱

1.如圖，將回0沿弦A8折疊，AB恰好經(jīng)過(guò)圓心°，若回。的半徑為6,則AB的長(zhǎng)為()

o

AB

A.44B.RC.2〃D.6兀

2.如圖，AB為。。的直徑，直線E尸與相切于點(diǎn)O,直線AC交取于點(diǎn)”、交。。于點(diǎn)C,連

接A。、0D,則下列結(jié)論第誤的是（）

A.希AHIIOD,則A3平分N84H；B.若AO平分N8AH，則b;

C.若AH_LEF，則AO平分NBAH；D.若DH2=CH-AH，則A”,所.

3.如圖，在。0中，點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上，將弧BC沿折疊后剛好經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)￡）.若。0的半徑為

5,AB=4也,則AC的長(zhǎng)是（）

25410萬(wàn)

B.-------C.-------D.4%

43

4.如圖，已知AABC,。為AC上一點(diǎn),以。8為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且與8C、OC交于點(diǎn)E、D,

設(shè)NC=e，/A=〃，則（）

A.若。+/=80°,則弧OE的度數(shù)為10。

B.若a+〃=80°,則弧。石的度數(shù)為20。

C.若a/=80°,則弧。七的度數(shù)為30。

D.若a/=80°,則弧。七的度數(shù)為40。

5.如圖，AB為的直徑，C為圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線與直徑AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,若ZADC=20°,

則的度數(shù)為（）

6.如圖，MBC是等腰直角三角形，AC=8C=2,以斜邊AB上的點(diǎn)。為圓心的圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)E、

F,與AB分別相交于點(diǎn)G、H,且EH的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,則8的長(zhǎng)為（）

7.如圖，已知回。的半徑為10,A、8是囪。上的兩點(diǎn)，0406=90°,C是射線。8上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AC并延

長(zhǎng)交回。于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作。A3。。交。B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.當(dāng)班從30。增大到60。時(shí)，弦AD在圓內(nèi)掃過(guò)的面

積是（)

100萬(wàn)._/-50萬(wàn)64萬(wàn)，，rr50萬(wàn)__/r

A.----------25V3B.-------C.---------16V3D.----------25V3

3333

8.如圖，在矩形ABC。中，BC=8,以AB為直徑作回。，將矩形ABC。繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)，使所得矩形A8C'。'的邊

C,。與回。相切，切點(diǎn)為E,邊AB與回。相交于點(diǎn)F.若BF=8,則CD長(zhǎng)為（）

A.9B.10C.873D.12

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的與X軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是OO

4

上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸為弦AB的中點(diǎn)，直線丁=一§尤+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C,E，則APCE面積的

10.如圖，AA6C內(nèi)接于。0,其外角平分AD交。0于D,OM_LAC于M,則結(jié)論①=②

AC+AB=2aV^③AC—AB=2AM④S△A加=S△A8c中正確的是()

A.①B.①②③C.③④D.①②③④

11.如圖，在扇形BCO中，N88=15()。，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于弧6。點(diǎn)A，得扇形84C,

若BC=4,則圖中陰影部分的面積為.

12.如圖，內(nèi)接于回。，E是邊8C的中點(diǎn)，連接0E并延長(zhǎng)交回。于點(diǎn)D,連接CD,若團(tuán)88=26。，則回

A=°.

D

13.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，以點(diǎn)A為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，再以為直徑畫(huà)半圓,

若陰影部分的面積分別為、，與，貝汁邑―5=.

DC

14.如圖，AB是OO的直徑，弦CD_LA6,NC=30。，CD=273.則圖中陰影部分的面積為S陰影=

15.如圖，在扇形。鉆中，已知NAOB=90°,0A=2,過(guò)的中點(diǎn)C作，CELOB,垂

足分別為。、E，則圖中陰影部分的面積為

16.己知，如圖，A8是回。的直徑，點(diǎn)P在8A的延長(zhǎng)線上，弦CD交AB于E,連接。D、PC、BC,QAOD=2

MBC,E1P=0D,過(guò)E作弦G甩8C交圓于G、F兩點(diǎn)，連接CF、BG.則下列結(jié)論：

①CDMB；②PC是回。的切線；③。DI3GF；④弦CF的弦心距等于gBG.其中正確的是—（只需填序號(hào)）

B

17.如圖，銳角AABC內(nèi)接于。。，AH_13c于點(diǎn)”，直徑MN_LBC,MN交AB于點(diǎn)、D,

A￡>:30=5:12,連結(jié)AM，BM，已知圓的半徑為13,5c=24,貝iJCH=,四邊形AMBC的面

積為_(kāi)______

18.如圖，的弦A3、8相交于點(diǎn)E，C為弧AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。。的切線交AB的延長(zhǎng)線于

253

點(diǎn)、F,連接AC,若ACUDF,的半徑為——，BE=-AE,則CE=.

19.如圖，在半徑為3亞的國(guó)。中，AB是直徑，AC是弦，。是AC的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E.若E是BD

的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是

20.如圖，己知的半徑為2,弦A8=2有，點(diǎn)P為優(yōu)弧APB上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)/為△PAB的內(nèi)心，當(dāng)點(diǎn)P

從點(diǎn)A向點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)/移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為

21.如圖，四邊形A5C。內(nèi)接于OO,AC是直徑，AB=BC,過(guò)點(diǎn)8作BF//AC交。。的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)、F.

（1）求證：8尸是的切線；

（2）若AC=26，CD=‘A￡）,求8廠的值.

2

22.我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.例如線段AB的最小覆蓋圓就是

以線段A6為直徑的圓.銳角三角形的最小覆蓋圓是該三角形的外接圓.

（1）分別在圖1，圖2中作出的最小覆蓋圓.（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

（2）根據(jù)（1）中的作圖，鈍角三角形的最小覆蓋圓是

H

（3）某地要修建一個(gè)5G基站，服務(wù)四個(gè)村莊E、F、G、H（其位置如圖3所示），為使信號(hào)可以覆蓋四個(gè)

村莊，且基站所需發(fā)射功率最?。ň嚯x越小，所需功率越?。?，此基站應(yīng)建在何處？請(qǐng)說(shuō)明理由.

23.已知，如圖，AB是回。的直徑，點(diǎn)C為囪。上一點(diǎn)，OF0BC于點(diǎn)F,交回。于點(diǎn)E,AE與8c交于點(diǎn)H,點(diǎn)

。為。E的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且I3ODB=MEC.

（1）求證：BD是回。的切線；

3

（2）若回。的半徑為5,sin^=-,求的長(zhǎng).

24.如圖，A0是。。的半徑，04_149且04=40，8是半圓。上一點(diǎn)，連接AB，作過(guò)

點(diǎn)C作半圓O的切線CE，交A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，切點(diǎn)為E，連接

（1）當(dāng)跖回"時(shí)，求證：CE=OP；

（2）當(dāng)NR4P=度時(shí)，oABCO為菱形.

25.如圖，已知以AB為直徑的。。中，點(diǎn)。，。在AB的同側(cè)，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，連接8。，過(guò)點(diǎn)O

作。E_L8C于點(diǎn)E，。尸_LA3于點(diǎn)F.

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)已知A5=l(),30=8,求8C的長(zhǎng).

26.如圖，在四邊形A8CD中，AB=AC,/ADB=90°,過(guò)人民