2024-2025學年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學九年級（上）期中數(shù)學試卷（含解析）

-2025學年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題：共8個小題，每小題3分，共24分．1．（3分）拋物線的頂點坐標是A． B． C． D．2．（3分）用配方法解方程，變形后結果正確的是A． B． C． D．3．（3分）圖中的五角星圖案，繞著它的中心旋轉(zhuǎn)后，能與自身重合，則的值至少是A． B． C． D．4．（3分）若關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值為A．4 B． C． D．25．（3分）將拋物線的圖象向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線是A． B． C． D．6．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，頂點的橫、縱坐標都是整數(shù)．若將以某點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)得到，其中、、分別和、、對應，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標是A． B． C． D．7．（3分），，，三點都在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關系為A． B． C． D．8．（3分）四位同學在研究二次函數(shù)時，甲同學發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的對稱軸是直線；乙同學發(fā)現(xiàn)當時，；丙同學發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為；丁同學發(fā)現(xiàn)是一元二次方程的一個根，已知這四位同學中只有一位同學發(fā)現(xiàn)的結論是錯誤的，則該同學是A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空題：共8個小題，每小題3分，共24分．9．（3分）方程的根是．10．（3分）請寫出一個開口向上，并且與軸交于點的拋物線的表達式是．11．（3分）如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，若，則的度數(shù)．12．（3分）如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點，，則的解是．13．（3分）杭州亞運會的吉祥物“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”組合名為“江南憶”，出自唐朝詩人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因．吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．經(jīng)統(tǒng)計，某商店吉祥物“江南憶”6月份的銷售量為1200件，8月份的銷售量為1452件，設吉祥物“江南憶”6月份到8月份銷售量的月平均增長率為，則可列方程為．14．（3分）若一元二次方程有一個解為，則．15．（3分）汽車剎車后行駛的距離（單位：關于行駛的時間（單位：的函數(shù)解析式是，汽車剎車后到停下來前進了米．16．（3分）車間里有五臺車床同時出現(xiàn)故障．已知第一臺至第五臺修復的時間如表：車床代號修復時間（分鐘）15829710若每臺車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟損失10元，修復后即可投入生產(chǎn)．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一臺車床，則下列三個修復車床的順序：①；②；③中，經(jīng)濟損失最少的是（填序號）；（2）若由兩名修理工同時修理車床，且每臺車床只由一名修理工修理，則最少經(jīng)濟損失為元．三.解答題：共52分，第17-24題，每題5分，第25-26題，每題6分．解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．（5分）解方程：．

18．（5分）若是關于的一元二次方程的根，求代數(shù)式的值．

19．（5分）如圖，是直角三角形，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)．（1）試作出旋轉(zhuǎn)后的，其中與是對應點；（2）在作出的圖形中，已知，，求的長．20．（5分）已知拋物線圖象上部分點的橫坐標與縱坐標的對應值如下表：0123500（1）并畫出圖象；（2）求此拋物線的解析式；（3）結合圖象，直接寫出當時的取值范圍．

21．（5分）已知關于的一元二次方程是．（1）求證：無論取何值，方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程的一個實數(shù)根是另一個實數(shù)根的兩倍，求的值．

22．（5分）景區(qū)內(nèi)有一塊米的矩形郁金香園地（數(shù)據(jù)如圖所示，單位：米），現(xiàn)在其中修建一條花道（陰影所示），供游人賞花．若改造后觀花道的面積為12平方米，求的值．23．（5分）數(shù)學活動課上，老師提出一個探究問題：制作一個體積為，底面為正方形的長方體包裝盒（如圖，當?shù)酌孢呴L為多少時，需要的材料最?。ǖ酌孢呴L不超過，且不考慮接縫）．某小組經(jīng)討論得出：材料最省，就是盡可能使得長方體的表面積最?。旅媸撬麄兊奶骄窟^程，請補充完整：（1）設長方體包裝盒的底面邊長為，表面積為．可以用含的代數(shù)式表示長方體的高為，根據(jù)長方體的表面積公式：長方體表面積底面積側面積．得到與的關系式：；（2）列出與的幾組對應值：（說明：表格中相關數(shù)值精確到十分位）0.511.522.5380.542.031.228.531.3（3）在圖2的平面直角坐標系中，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數(shù)的圖象；（4）結合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：長方體包裝盒的底面邊長約為時，需要的材料最?。?/p>

24．（5分）在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸為直線，點，，，在拋物線上．（1）當時，直接寫出與的大小關系；（2）若對于，都有，求的取值范圍．

25．（6分）在中，，，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）如圖1，當時，則（用含有的式子表示）；（2）如圖2，當時，作的角平分線交的延長線于點．交于點，連接．①依題意在圖2中補全圖形，并求的度數(shù)；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關系，并證明．26．（6分）對于平面直角坐標系xOy內(nèi)的點P和圖形M，給出如下定義：如果點P繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P′，點P′落在圖形M上或圖形M圍成的區(qū)域內(nèi)，那么稱點P是圖形M關于原點O的“伴隨點”．已知點A（1，1），B（3，1），C（3，2）．（1）在點P1（﹣2，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，點是線段AB關于原點O的“伴隨點”；（2）如果點D（m，2）是△ABC關于原點O的“伴隨點”，直接寫出m的取值范圍；（3）已知拋物線y＝﹣（x﹣1）2+n上存在△ABC關于原點O的“伴隨點”，求n的最大值和最小值．

參考答案一、選擇題：共8個小題，每小題3分，共24分．1．（3分）拋物線的頂點坐標是A． B． C． D．解：的頂點坐標為．故選：．2．（3分）用配方法解方程，變形后結果正確的是A． B． C． D．解：．故選：．3．（3分）圖中的五角星圖案，繞著它的中心旋轉(zhuǎn)后，能與自身重合，則的值至少是A． B． C． D．解：該圖形被平分成五部分，旋轉(zhuǎn)72度的整數(shù)倍，就可以與自身重合，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少為，故選：．4．（3分）若關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值為A．4 B． C． D．2解：關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，△，解得．故選：．5．（3分）將拋物線的圖象向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線是A． B． C． D．解：拋物線的頂點坐標為，向左平移2個單位，再向下平移3個單位，平移后的拋物線的頂點坐標為，得到的拋物線是．故選：．6．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，頂點的橫、縱坐標都是整數(shù)．若將以某點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)得到，其中、、分別和、、對應，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標是A． B． C． D．解：如圖，點即為所求，．故選：．7．（3分），，，三點都在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關系為A． B． C． D．解：二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，點，，在對稱軸的左側，由隨的增大而增大，有，由，，離對稱軸的遠近可得，，，因此有，故選：．8．（3分）四位同學在研究二次函數(shù)時，甲同學發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的對稱軸是直線；乙同學發(fā)現(xiàn)當時，；丙同學發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為；丁同學發(fā)現(xiàn)是一元二次方程的一個根，已知這四位同學中只有一位同學發(fā)現(xiàn)的結論是錯誤的，則該同學是A．甲 B．乙 C．丙 D．丁解：當甲同學的結論正確，即當函數(shù)的對稱軸是直線時，，即；當乙同學的結論正確，即當時，時，，可得；當丙同學的結論正確，即當函數(shù)的最小值為時，，可得；當丁同學的結論正確，即當時，一元二次方程的一個根時，，可得；根據(jù)和不能同時成立，可知乙同學和丁同學中有一位的結論是錯誤的，假設丁同學的結論錯誤，聯(lián)立和，得，，不滿足，故假設不成立；假設乙同學的結論錯誤，聯(lián)立和，得，，此時滿足，故假設成立；故選：．二、填空題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分．9．（3分）方程的根是0或6．解：即，得或．10．（3分）請寫出一個開口向上，并且與軸交于點的拋物線的表達式是（答案不唯一）．解：拋物線的解析式為．故答案為：（答案不唯一）．11．（3分）如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，若，則的度數(shù)．解：，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，，，，，故答案為：．12．（3分）如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點，，則的解是或8．解：二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點，，方程的解是或8，故答案為：或8．13．（3分）杭州亞運會的吉祥物“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”組合名為“江南憶”，出自唐朝詩人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因．吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．經(jīng)統(tǒng)計，某商店吉祥物“江南憶”6月份的銷售量為1200件，8月份的銷售量為1452件，設吉祥物“江南憶”6月份到8月份銷售量的月平均增長率為，則可列方程為．解：根據(jù)題意得：．故答案為：．14．（3分）若一元二次方程有一個解為，則．解：一元二次方程的一個解為0，且，解得．故答案為：．15．（3分）汽車剎車后行駛的距離（單位：關于行駛的時間（單位：的函數(shù)解析式是，汽車剎車后到停下來前進了米．解：，汽車剎車后到停下來前進了米．故答案為：．16．（3分）車間里有五臺車床同時出現(xiàn)故障．已知第一臺至第五臺修復的時間如表：車床代號修復時間（分鐘）15829710若每臺車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟損失10元，修復后即可投入生產(chǎn)．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一臺車床，則下列三個修復車床的順序：①；②；③中，經(jīng)濟損失最少的是①（填序號）；（2）若由兩名修理工同時修理車床，且每臺車床只由一名修理工修理，則最少經(jīng)濟損失為元．解：（1）要經(jīng)濟損失最少，就要使總停產(chǎn)的時間盡量短，然先修復時間短的，即按7、8、10、15、29分鐘順序修復，故選：①；（2）一名修理工修8分鐘和15分鐘，共需23分鐘，一名修理工修7分鐘和10分鐘和29分鐘共需46鐘，五臺機器停產(chǎn)的總時間為：（分鐘），（元故答案為：1010．三.解答題：共52分，第17-24題，每題5分，第25-26題，每題6分．解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．（5分）解方程：．解：原方程可變形為或，．18．（5分）若是關于的一元二次方程的根，求代數(shù)式的值．解：將代入得，，．19．（5分）如圖，是直角三角形，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)．（1）試作出旋轉(zhuǎn)后的，其中與是對應點；（2）在作出的圖形中，已知，，求的長．解：（1）如圖所示；（2），，，．由旋轉(zhuǎn)而成，，．20．（5分）已知拋物線圖象上部分點的橫坐標與縱坐標的對應值如下表：0123500（1）并畫出圖象；（2）求此拋物線的解析式；（3）結合圖象，直接寫出當時的取值范圍．解：（1）根據(jù)列表畫出拋物線圖象如下，（2）設二次函數(shù)的解析式為，由題意得：當時，，，時，，當時，，，解得，拋物線的解析式為；（3），當時，當時，，當時，，由圖象可得，當時，．21．（5分）已知關于的一元二次方程是．（1）求證：無論取何值，方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程的一個實數(shù)根是另一個實數(shù)根的兩倍，求的值．【解答】（1）證明：△，無論取何值，此方程總有兩個實數(shù)根；（2）解：設方程有兩個實數(shù)根，，，，且，，，或．22．（5分）景區(qū)內(nèi)有一塊米的矩形郁金香園地（數(shù)據(jù)如圖所示，單位：米），現(xiàn)在其中修建一條花道（陰影所示），供游人賞花．若改造后觀花道的面積為12平方米，求的值．解：根據(jù)題意，得，整理，得，解得：，，園地的寬為5米，而，不合題意，舍去．答：的值為1．23．（5分）數(shù)學活動課上，老師提出一個探究問題：制作一個體積為，底面為正方形的長方體包裝盒（如圖，當?shù)酌孢呴L為多少時，需要的材料最?。ǖ酌孢呴L不超過，且不考慮接縫）．某小組經(jīng)討論得出：材料最省，就是盡可能使得長方體的表面積最?。旅媸撬麄兊奶骄窟^程，請補充完整：（1）設長方體包裝盒的底面邊長為，表面積為．可以用含的代數(shù)式表示長方體的高為，根據(jù)長方體的表面積公式：長方體表面積底面積側面積．得到與的關系式：；（2）列出與的幾組對應值：（說明：表格中相關數(shù)值精確到十分位）0.511.522.5380.542.031.228.531.3（3）在圖2的平面直角坐標系中，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數(shù)的圖象；（4）結合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：長方體包裝盒的底面邊長約為時，需要的材料最?。猓海?）由題意，；故答案為：；（2）當時，；故答案為：28.0；（3）函數(shù)圖象如圖所示：（4）觀察圖象可知，當約為時，需要的材料最?。蚀鸢笧椋?.2．24．（5分）在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸為直線，點，，，在拋物線上．（1）當時，直接寫出與的大小關系；（2）若對于，都有，求的取值范圍．解：（1）由題意，當時，對稱軸為直線．又拋物線，拋物線開口向上．拋物線上的點離對稱軸越近函數(shù)值越?。执藭r，，．點離對稱軸的距離大于點離對稱軸的距離．．（2）由題意，對于，都有，又拋物線上的點離對稱軸越近函數(shù)值越小，，到對稱軸的距離大于點到對稱軸的距離，小于點到對稱軸的距離，．①當時，．若，．又，且．．若，．．又，且．且．此時無解．②當時，．若，．．又，．．若，．．又，且．且．此時無解．綜上，或．25．（6分）在中，，，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）如圖1，當時，則（用含有的式子表示）；（2）如圖2，當時，作的角平分線交的延長線于點．交于點，連接．①依題意在圖2中補全圖形，并求的度數(shù)；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關系，并證明．解：（1）將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，，故答案為：；（2）①如圖所示：，，，，；②，理由如下：如圖2，過點作于，，平分，，，，，，，，，，，，，，又，，，，，．26．（6分）對于平面直角坐標系xOy內(nèi)的點P和圖形M，給出如下定義：如果點P繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P′，點P′落在圖形M上或圖形M圍成的區(qū)域內(nèi)，那么稱點P是圖形M關于原點O的“伴隨點”．已知點A（1，1），B（3，1），C（3，2）．（1）在點P1（﹣2，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，點P2和P3是線段AB關于原點O的“伴隨點”；（2）如果點D（m，2）是△ABC關于原點O的“伴隨點”，直接寫出m的取值范圍；（3）已知拋物線y＝﹣（x﹣1）2+n上存在△ABC關于原點O的“伴隨點”，求n的最大值和最小值．解：（1）∵A（1，1），B（3，1），∴AB∥x軸，如圖1，點P1（﹣2，0），P2（﹣