2025年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類(lèi)專(zhuān)題歸納之銳角三角函數(shù)和解直角三角形

年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類(lèi)專(zhuān)題歸納銳角三角函數(shù)和解直角三角形知識(shí)點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)

1.正弦、余弦、正切的定義

如圖、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果銳角A確定：

(1)sinA=，這個(gè)比叫做∠A的正弦.(2)cosA=，這個(gè)比叫做∠A的余弦.

(3)tanA=，這個(gè)比叫做∠A的正切.

備注

(1)正弦、余弦、正切是在一個(gè)直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段的比值，它只是一個(gè)數(shù)值，其大小只與銳角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形的大小無(wú)關(guān).

(2)sinA、cosA、tanA是一個(gè)整體符號(hào)，即表示∠A三個(gè)三角函數(shù)值，書(shū)寫(xiě)時(shí)習(xí)慣上省略符號(hào)“∠”，

但不能寫(xiě)成sin·A，對(duì)于用三個(gè)大寫(xiě)字母表示一個(gè)角時(shí)，其三角函數(shù)中符號(hào)“∠”不能省略，應(yīng)寫(xiě)成sin∠BAC，而不能寫(xiě)出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinA)2，而不能寫(xiě)成sinA2.

(4)三角函數(shù)有時(shí)還可以表示成等.

2.銳角三角函數(shù)的定義

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).

3.銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：

余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；

同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2A＋cos2A=1；tanA=

4.30°、45°、60°角的三角函數(shù)值∠A30°45°60°sinAcosAtanA1

知識(shí)點(diǎn)二、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．

解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：

角角關(guān)系：兩銳角互余，即∠A+∠B=90°；

邊邊關(guān)系：勾股定理，即；

邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即

備注

解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來(lái)只有下列兩種情形：

(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；

(2)已知一條邊和一個(gè)銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)．這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．

知識(shí)點(diǎn)三、解直角三角形的應(yīng)用

解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵.1.解這類(lèi)問(wèn)題的一般過(guò)程

(1)弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

(4)得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問(wèn)題的解.

2.常見(jiàn)應(yīng)用問(wèn)題

(1)坡度：；坡角:.

(2)方位角：

(3)仰角與俯角：

2．用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本方法是：

把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題(解直角三角形)，就是要舍去實(shí)際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點(diǎn)、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系．

借助生活常識(shí)以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題．

當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角三角形再求解?/p>

3．銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

用相似三角形邊的比的計(jì)算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計(jì)算是在直角三角形中解決問(wèn)題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過(guò)程簡(jiǎn)潔.

如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函數(shù)值相等進(jìn)行代換很簡(jiǎn)單：

∵∴

∵∴∵

∴1．（2024巴彥淖爾）南沙群島是我國(guó)固有領(lǐng)土，現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進(jìn)行捕魚(yú)作業(yè)，當(dāng)漁船航行至B處時(shí)，測(cè)得該島位于正北方向10（1）海里的C處，為了防止某國(guó)海巡警干擾，請(qǐng)求我A處的漁監(jiān)船前往C處護(hù)航．如圖，已知C位于A處的東北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，則A和C之間的距離為（）A．10海里 B．20海里 C．20海里 D．10海里2．（2024益陽(yáng)）如圖，小剛從山腳A出發(fā)，沿坡角為α的山坡向上走了300米到達(dá)B點(diǎn)，則小剛上升了（）A．300sinα米 B．300cosα米 C．300tanα米 D．米3．（2024蘇州）如圖，某海監(jiān)船以20海里/小時(shí)的速度在某海域執(zhí)行巡航任務(wù)，當(dāng)海監(jiān)船由西向東航行至A處時(shí)，測(cè)得島嶼P恰好在其正北方向，繼續(xù)向東航行1小時(shí)到達(dá)B處，測(cè)得島嶼P在其北偏西30°方向，保持航向不變又航行2小時(shí)到達(dá)C處，此時(shí)海監(jiān)船與島嶼P之間的距離（即PC的長(zhǎng)）為（）A．40海里 B．60海里 C．20海里 D．40海里4．（2024云南）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，則∠A的正切值為（）A．3 B． C． D．5．（2024貴陽(yáng)）如圖，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則tan∠BAC的值為（）A． B．1 C． D．6．（2024長(zhǎng)春）如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點(diǎn)A、B在同一水平面上）．為了測(cè)量A、B兩地之間的距離，一架直升飛機(jī)從A地出發(fā)，垂直上升800米到達(dá)C處，在C處觀察B地的俯角為α，則A、B兩地之間的距離為（）A．800sinα米 B．800tanα米 C．米 D．米7．（2024宜昌）如圖，要測(cè)量小河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)P，A的距離，可以在小河邊取PA的垂線PB上的一點(diǎn)C，測(cè)得PC＝100米，∠PCA＝35°，則小河寬PA等于（）A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米8．（2024重慶）如圖，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同學(xué)從建筑物底端B出發(fā)，先沿水平方向向右行走20米到達(dá)點(diǎn)C，再經(jīng)過(guò)一段坡度（或坡比）為i＝1：0.75、坡長(zhǎng)為10米的斜坡CD到達(dá)點(diǎn)D，然后再沿水平方向向右行走40米到達(dá)點(diǎn)E（A，B，C，D，E均在同一平面內(nèi)）．在E處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為24°，則建筑物AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）（）A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米9．（2024綿陽(yáng)）一艘在南北航線上的測(cè)量船，于A點(diǎn)處測(cè)得海島B在點(diǎn)A的南偏東30°方向，繼續(xù)向南航行30海里到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，測(cè)得海島B在C點(diǎn)的北偏東15°方向，那么海島B離此航線的最近距離是（）（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）（參考數(shù)據(jù)：1.732，1.414）A．4.64海里 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里10．（2024金華）如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，則竹竿AB與AD的長(zhǎng)度之比為（）A． B． C． D．11．（2024天津）cos30°的值等于（）A． B． C．1 D．12．（2024遼陽(yáng)）如圖，一艘輪船自西向東航行，航行到A處測(cè)得小島C位于北偏東60°方向上，繼續(xù)向東航行10海里到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得小島C在輪船的北偏東15°方向上，此時(shí)輪船與小島C的距離為_(kāi)__海里．（結(jié)果保留根號(hào)）13．（2024葫蘆島）如圖，某景區(qū)的兩個(gè)景點(diǎn)A、B處于同一水平地面上、一架無(wú)人機(jī)在空中沿MN方向水平飛行進(jìn)行航拍作業(yè)，MN與AB在同一鉛直平面內(nèi)，當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行至C處時(shí)、測(cè)得景點(diǎn)A的俯角為45°，景點(diǎn)B的俯角為30°，此時(shí)C到地面的距離CD為100米，則兩景點(diǎn)A、B間的距離為_(kāi)________米（結(jié)果保留根號(hào)）．14．（2024大連）如圖，小明為了測(cè)量校園里旗桿AB的高度，將測(cè)角儀CD豎直放在距旗桿底部B點(diǎn)6m的位置，在D處測(cè)得旗桿頂端A的仰角為53°，若測(cè)角儀的高度是1.5m，則旗桿AB的高度約為_(kāi)____m．（精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）15．（2024北京）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，∠BAC___∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）16．（2024廣西）如圖，從甲樓底部A處測(cè)得乙樓頂部C處的仰角是30°，從甲樓頂部B處測(cè)得乙樓底部D處的俯角是45°，已知甲樓的高AB是120m，則乙樓的高CD是____m（結(jié)果保留根號(hào)）17．（2024黃石）如圖，無(wú)人機(jī)在空中C處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為60°、45°，如果無(wú)人機(jī)距地面高度CD為米，點(diǎn)A、D、B在同一水平直線上，則A、B兩點(diǎn)間的距離是________米．（結(jié)果保留根號(hào)）18．（2024咸寧）如圖，航拍無(wú)人機(jī)從A處測(cè)得一幢建筑物頂部B的仰角為45°，測(cè)得底部C的俯角為60°，此時(shí)航拍無(wú)人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為110m，那么該建筑物的高度BC約為_(kāi)____m（結(jié)果保留整數(shù)，1.73）．19．（2024濰坊）如圖，一艘漁船正以60海里/小時(shí)的速度向正東方向航行，在A處測(cè)得島礁P在東北方向上，繼續(xù)航行1.5小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得島礁P在北偏東30°方向，同時(shí)測(cè)得島礁P正東方向上的避風(fēng)港M在北偏東60°方向．為了在臺(tái)風(fēng)到來(lái)之前用最短時(shí)間到達(dá)M處，漁船立刻加速以75海里/小時(shí)的速度繼續(xù)航行_______小時(shí)即可到達(dá)．（結(jié)果保留根號(hào)）20．（2024棗莊）如圖，某商店?duì)I業(yè)大廳自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為31°，AB的長(zhǎng)為12米，則大廳兩層之間的高度為_(kāi)____米．（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）【參考數(shù)據(jù)；sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601】21．（2024德州）如圖，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則∠BAC的正弦值是______．22．（2024廣元）如圖，雨后初睛，李老師在公園散步，看見(jiàn)積水水面上出現(xiàn)梯步上方樹(shù)的倒影，于是想利用倒影與物體的對(duì)稱(chēng)性測(cè)量這顆樹(shù)的高度，他的方法是：測(cè)得樹(shù)頂?shù)难鼋恰?、測(cè)量點(diǎn)A到水面平臺(tái)的垂直高度AB、看到倒影頂端的視線與水面交點(diǎn)C到AB的水半距離BC．再測(cè)得梯步斜坡的坡角∠2和長(zhǎng)度EF，根據(jù)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，如圖，AB＝2米，BC＝1米，EF＝4米，∠l＝60°，∠2＝45°．已知線段ON和線段OD關(guān)于直線OB對(duì)稱(chēng)．（以下結(jié)果保留根號(hào)）（1）求梯步的高度MO；（2）求樹(shù)高M(jìn)N．23．（2024甘孜州）某小區(qū)為了安全起見(jiàn)，決定將小區(qū)內(nèi)的滑滑板的傾斜角由45°調(diào)為30°，如圖，已知原滑滑板AB的長(zhǎng)為4米，點(diǎn)D，B，C在同一水平地面上，調(diào)整后滑滑板會(huì)加長(zhǎng)多少米？（結(jié)果精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732，2.449）24．（2024錦州）如圖，某消防隊(duì)在一居民樓前進(jìn)行演習(xí)，消防員利用云梯成功救出點(diǎn)B處的求救者后，又發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B正上方點(diǎn)C處還有一名求救者，在消防車(chē)上點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)B和點(diǎn)C的仰角分別為45°和65°，點(diǎn)A距地面2.5米，點(diǎn)B距地面10.5米，為救出點(diǎn)C處的求救者，云梯需要繼續(xù)上升的高度BC約為多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，1.4）25．（2024蘭州）如圖，斜坡BE，坡頂B到水平地面的距離AB為3米，坡底AE為18米，在B處，E處分別測(cè)得CD頂部點(diǎn)D的仰角為30°，60°，求CD的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）26．（2024青海）如圖，同學(xué)們利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)量三江源某河段某處的寬度．小宇同學(xué)在A處觀測(cè)對(duì)岸點(diǎn)C，測(cè)得∠CAD＝45°，小英同學(xué)在距點(diǎn)A處60米遠(yuǎn)的B點(diǎn)測(cè)得∠CBD＝30°，請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬（精確到0.01米，1.414，1.732）．27．（2024徐州）如圖，1號(hào)樓在2號(hào)樓的南側(cè)，兩樓高度均為90m，樓間距為AB．冬至日正午，太陽(yáng)光線與水平面所成的角為32.3°，1號(hào)樓在2號(hào)樓墻面上的影高為CA；春分日正午，太陽(yáng)光線與水平面所成的角為55.7°，1號(hào)樓在2號(hào)樓墻面上的影高為DA．已知CD＝42m．（1）求樓間距AB；（2）若2號(hào)樓共30層，層高均為3m，則點(diǎn)C位于第幾層？（參考數(shù)據(jù)：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）28．（2024撫順）如圖，BC是路邊坡角為30°，長(zhǎng)為10米的一道斜坡，在坡頂燈桿CD的頂端D處有一探射燈，射出的邊緣光線DA和DB與水平路面AB所成的夾角∠DAN和∠DBN分別是37°和60°（圖中的點(diǎn)A、B、C、D、M、N均在同一平面內(nèi)，CM∥AN）．（1）求燈桿CD的高度；（2）求AB的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）29．（2024盤(pán)錦）兩棟居民樓之間的距離CD＝30米，樓AC和BD均為10層，每層樓高3米．（1）上午某時(shí)刻，太陽(yáng)光線GB與水平面的夾角為30°，此刻B樓的影子落在A樓的第幾層？（2）當(dāng)太陽(yáng)光線與水平面的夾角為多少度時(shí)，B樓的影子剛好落在A樓的底部？30．（2024梧州）隨著人們生活水平的不斷提高，旅游已成為人們的一種生活時(shí)尚．為開(kāi)發(fā)新的旅游項(xiàng)目，我市對(duì)某山區(qū)進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)一瀑布．為測(cè)量它的高度，測(cè)量人員在瀑布的對(duì)面山上D點(diǎn)處測(cè)得瀑布頂端A點(diǎn)的仰角是30°，測(cè)得瀑布底端B點(diǎn)的俯角是10°，AB與水平面垂直．又在瀑布下的水平面測(cè)得CG＝27m，GF＝17.6m（注：C、G、F三點(diǎn)在同一直線上，CF⊥AB于點(diǎn)F）．斜坡CD＝20m，坡角∠ECD＝40°．求瀑布AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）31．（2024貴陽(yáng)）如圖①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究與之間關(guān)系的方法：∵sinA，sinB∴c，c∴根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識(shí)．在圖②的銳角△ABC中，探究、、之間的關(guān)系，并寫(xiě)出探究過(guò)程．32．（2024廣安）據(jù)調(diào)查，超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一．小強(qiáng)用所學(xué)知識(shí)對(duì)一條筆直公路上的車(chē)輛進(jìn)行測(cè)速，如圖所示，觀測(cè)點(diǎn)C到公路的距離CD＝200m，檢測(cè)路段的起點(diǎn)A位于點(diǎn)C的南偏東60°方向上，終點(diǎn)B位于點(diǎn)C的南偏東45°方向上．一輛轎車(chē)由東向西勻速行駛，測(cè)得此車(chē)由A處行駛到B處的時(shí)間為10s．問(wèn)此車(chē)是否超過(guò)了該路段16m/s的限制速度？（觀測(cè)點(diǎn)C離地面的距離忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73）33．（2024通遼）我市304國(guó)道通遼至霍林郭勒段在修建過(guò)程中經(jīng)過(guò)一座山峰，如圖所示，