2025年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類專題歸納之三角形

年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類專題歸納三角形知識點(diǎn)一、三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)1．三角形三邊的關(guān)系：定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊．2．三角形按“邊”分類：3．三角形的重要線段：（1）三角形的高從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．備注：三角形的三條高所在的直線相交于一點(diǎn)的位置情況有三種：銳角三角形交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)；鈍角三角形交點(diǎn)在三角形外．（2）三角形的中線三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線．備注：一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，叫做三角形的重心．中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形．（3）三角形的角平分線三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線．備注：一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心．4．三角形的穩(wěn)定性

如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．

知識點(diǎn)二、三角形的內(nèi)角和與外角和1．三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．推論：1．直角三角形的兩個(gè)銳角互余2．有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形2．三角形外角性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．3．三角形的外角和：三角形的外角和等于360°．判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）直角三角形（HL）性質(zhì)對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊上的中線、高線、角平分線對應(yīng)相等備注判定三角形全等必須有一組對應(yīng)邊相等知識點(diǎn)三、全等三角形的判定與性質(zhì)

知識點(diǎn)四、全等三角形的證明思路知識點(diǎn)五、全等三角形證明方法運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題．可以適當(dāng)總結(jié)證明方法．1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等．(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．(3)等式性質(zhì)．2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明．(2)證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等．(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明．(4)同角（等角）的余角（補(bǔ)角）相等．(5)對頂角相等．3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法；可通過證明兩個(gè)三角形全等，得到對應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明．4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長中線法；(3)作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形．5．證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個(gè)角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件．（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件．（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì)．知識點(diǎn)六、線段垂直平分線與角平分線1．線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．2．角平分線的性質(zhì)（1）角的平分線的性質(zhì)定理

角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．

（2）角的平分線的判定定理

角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．3、與角平分線有關(guān)的輔助線在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段．知識點(diǎn)七、等腰三角形1．等腰三角形

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形．（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）．特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°．（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）．2．等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形．（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°．（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形．3．直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．知識點(diǎn)八、勾股定理及勾股定理的逆定理1．勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．（即：）2．勾股定理的應(yīng)用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；（3）求作長度為的線段．3．勾股定理的逆定理（1）原命題與逆命題如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題．（2）勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形．應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的基本步驟：①首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長為；②驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系，若，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形，反之，則不是直角三角形．4．勾股數(shù)滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形．常見的勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41．如果()是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形．觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1．較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2．較長的直角邊與對應(yīng)斜邊相差1．3．假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為，且，那么存在成立．（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）知識點(diǎn)九、三角形的中位線1．連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．2．定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．1．（2024貴州貴陽）如圖，在△ABC中有四條線段DE，BE，EF，F(xiàn)G，其中有一條線段是△ABC的中線，則該線段是（）A．線段DE B．線段BE C．線段EF D．線段FG2．頂角為30°的等腰三角形三條中線的交點(diǎn)是該三角形的（）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．中心3．已知一個(gè)三角形的兩邊長分別為8和2，則這個(gè)三角形的第三邊長可能是（）A．4 B．6 C．8 D．104．(2024湖南長沙)下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm5．（2024湖北黃石）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE、BF分別是∠BAC、∠ABC的平分線，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，則∠EAD+∠ACD＝（）A．75° B．80° C．85° D．90°6．（2024廣西防城港）如圖，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，則∠ECD等于（）A．40° B．45° C．50° D．55°7．（2024貴州黔西南州）下列各圖中a、b、c為三角形的邊長，則甲、乙、丙三個(gè)三角形和左側(cè)△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙8．（2024山東東營）如圖，點(diǎn)E在△DBC的邊DB上，點(diǎn)A在△DBC內(nèi)部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．給出下列結(jié)論：①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正確的是（）A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④9．(2024山東臨沂)如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是點(diǎn)D、E，AD＝3，BE＝1，則DE的長是（）A． B．2 C．2 D．10．如圖，在∠MON中，以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑作弧，交射線OM于點(diǎn)A，交射線ON于點(diǎn)B，再分別以A，B為圓心，OA的長為半徑作弧，兩弧在∠MON的內(nèi)部交于點(diǎn)C，作射線OC．若OA＝5，AB＝6，則點(diǎn)B到AC的距離為（）A．5 B． C．4 D．11．(2024黑龍江大慶)如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，則∠MAB＝（）A．30° B．35° C．45° D．60°12．（2024湖北黃岡）如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC，AC于點(diǎn)D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，則∠BAD為（）A．50° B．70° C．75° D．80°13．(2024浙江湖州)如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線．若AB＝AC，∠CAD＝20°，則∠ACE的度數(shù)是（）A．20° B．35° C．40° D．70°14．（2024福建A卷）如圖，等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點(diǎn)E在線段AD上，∠EBC＝45°，則∠ACE等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°15．（2024山東淄博）如圖，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，則BC的長為（）A．4 B．6 C． D．816．(2024湖北黃岡)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高，CE為AB邊上的中線，AD＝2，CE＝5，則CD＝（）A．2 B．3 C．4 D．217．（2024陜西）如圖，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足為D，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，則AE的長為（）A． B．2 C． D．318．（2024四川瀘州）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab＝8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為（）A．9 B．6 C．4 D．319．(2024湖南長沙)我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題目：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大？題中“里”是我國市制長度單位，1里＝500米，則該沙田的面積為（）A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米20．（2024湖北荊州）如圖，兩條直線l1∥l2，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，頂點(diǎn)A、B分別在l1和l2上，∠1＝20°，則∠2的度數(shù)是（）A．45° B．55° C．65° D．75°21．(2024四川攀枝花)如圖，等腰直角三角形的頂點(diǎn)A、C分別在直線a、b上，若a∥b，∠1＝30°，則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．15° C．10° D．20°22．（2024內(nèi)蒙古包頭）如圖，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的頂點(diǎn)D，E分別在BC，AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE．若∠C+∠BAC＝145°，則∠EDC的度數(shù)為（）A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°23．（2024江蘇蘇州）如圖，在△ABC中，延長BC至D，使得CDBC，過AC中點(diǎn)E作EF∥CD（點(diǎn)F位于點(diǎn)E右側(cè)），且EF＝2CD，連接DF．若AB＝8，則DF的長為（）A．3 B．4 C．2 D．324．(2024四川綿陽)如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC邊上的中線BE，AD垂直相交于O點(diǎn)，則AB＝_______．25．（2024甘肅白銀）已知a，b，c是△ABC的三邊長，a，b滿足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，c為奇數(shù)，則c＝___．26．（2024江蘇泰州）已知三角形兩邊的長分別為1、5，第三邊長為整數(shù)，則第三邊的長為___．27．（2024四川巴中）如圖，在△ABC中，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC＝110°，則∠A＝_____．28．（2024湖南永州）一副透明的三角板，如圖疊放，直角三角板的斜邊AB、CE相交于點(diǎn)D，則∠BDC＝_____．29．在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝50°，則∠C＝______．30．（2024浙江金華）如圖，△ABC的兩條高AD，BE相交于點(diǎn)F，請?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及輔助線），你添加的條件是_______．31．（2024浙江衢州）如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，BF＝CE，AB∥DE，請?zhí)砑右粋€(gè)條件，使△ABC≌△DEF，這個(gè)添加的條件可以是_______（只需寫一個(gè)，不添加輔助線）．32．（2024廣東深圳）如圖，四邊形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且點(diǎn)E，A，B三點(diǎn)共線，AB＝4，則陰影部分的面積是___．33．如圖，AC＝BC，請你添加一對邊或一對角相等的條件，使AD＝BE．你所添加的條件是_______________．34．（2024湖南永州）現(xiàn)有A、B兩個(gè)大型儲油罐，它們相距2km，計(jì)劃修建一條筆直的輸油管道，使得A、B兩個(gè)儲油罐到輸油管道所在直線的距離都為0.5km，輸油管道所在直線符合上述要求的設(shè)計(jì)方案有___種．35．（2024山東德州）如圖，OC為∠AOB的平分線，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，則點(diǎn)C到射線OA的距離為___．36．如圖，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則△BCE的周長是____．37．在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D、E是邊AB上兩點(diǎn)，且CE所在直線垂直平分線段AD，CD平分∠BCE，BC＝2，則AB＝___．38．（2024四川南充）如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，則∠C＝____度．39．(2024貴州遵義)如圖，△ABC中．點(diǎn)D在BC邊上，BD＝AD＝AC，E為CD的中點(diǎn)．若∠CAE＝16°，則∠B為____度．40．（2024天津，17，3分）如圖，在邊長為4的等邊△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，EF⊥AC于點(diǎn)F，G為EF的中點(diǎn)，連接DG，則DG的長為________．41．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D為AC的中點(diǎn)，若∠C＝55°，則∠ABD＝____°．42．（2024湖北荊州，15，3分）為了比較1與的大小，可以構(gòu)造如圖所示的圖形進(jìn)行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1．通過計(jì)算可得1___．（填“＞”或“＜”或“＝”）43．如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P、Q分別為邊BC、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，則AQ＝_______．44．(2024云南，6，3分)在△ABC中，AB，AC＝5，若BC邊上的高等于3，則BC邊的長為_____．45．（2024山東東營）如圖所示，圓柱的高AB＝3，底面直徑BC＝3，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對角C處捕食，則它爬行的最短距離是（）A． B． C． D．46．（2024廣西賀州，18，3分）如圖，正方形ABCD的邊長為12，點(diǎn)E在邊AB上，BE＝8，過點(diǎn)E作EF∥BC，分別交BD、CD于G、F兩點(diǎn)．若點(diǎn)P、Q分別為DG、CE的中點(diǎn)，則PQ的長為________．47．（2024云南曲靖，11，3分）如圖：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，點(diǎn)D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，連接D