2025年中考數(shù)學(xué)高分拓展必刷題之圖形旋轉(zhuǎn)問題

年中考數(shù)學(xué)高分拓展必刷題中考圖形旋轉(zhuǎn)問題旋轉(zhuǎn)問題在近幾年中考、競賽試題中頻頻出現(xiàn)，這使得數(shù)學(xué)試題解題方法和技巧更加靈活多變。旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換中基本變換，由于旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置，而不改變其形狀大小，?這使得原來分散的已知條件和結(jié)論，通過旋轉(zhuǎn)變換幾何圖形重新組合，產(chǎn)生新圖形，?進(jìn)而揭示條件與結(jié)論之間內(nèi)在的聯(lián)系，找出解題的途徑。2.考點(diǎn)分類：考點(diǎn)分類見下表考點(diǎn)分類考點(diǎn)內(nèi)容考點(diǎn)解析與常見題型?？紵狳c(diǎn)正三角形旋轉(zhuǎn)與中心對稱選擇題以及中心對稱圖形證明題，圓的旋轉(zhuǎn)一般考點(diǎn)角度長度的計算，坐標(biāo)的變化填空題中利用旋轉(zhuǎn)求長度，三角函數(shù)冷門考點(diǎn)相似三角形相似與旋轉(zhuǎn)1.旋轉(zhuǎn)變換三要素有①___旋轉(zhuǎn)中心______②____旋轉(zhuǎn)角_________③_____旋轉(zhuǎn)方向________?2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①?旋轉(zhuǎn)前后的圖形__形狀大小不變_____；②?對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離__相等____；③?對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于___旋轉(zhuǎn)角____；??3.中心對稱的性質(zhì)：關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過__對稱中心____，而且被___平分_________；關(guān)于中心對稱的兩個圖形是___全等的___?4.中心對稱圖形：一個圖形繞著定點(diǎn)___旋轉(zhuǎn)180°_____后與__原圖形__重合，這個圖形成為中心對稱圖形。這個定點(diǎn)叫做該圖形的___對稱中心_________。過該點(diǎn)的直線__平分_____該圖形的面積。一、中考題型解析中考圖形旋轉(zhuǎn)問題在近幾年的中考中出現(xiàn)的頻率還是非常高的，一般以填空題或者解答題的形式出現(xiàn)，一般以角度的計算，或者求線段長度的問題為主，占4-6分左右，此類題目難度簡單，在后面的解答題目的小問中也有可能出現(xiàn)，一般與中心對稱圖形一起出現(xiàn)的比較多，占分8分左右，難度中等，需要學(xué)生對旋轉(zhuǎn)圖形前后的變化有充分的認(rèn)識與理解。二、典例精析★考點(diǎn)一：旋轉(zhuǎn)后求角的度數(shù)◆典例一：如圖，將△ABC繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)50°后得到△A′B′C′，若∠A=40°，∠B′=110°，則∠BCA′的度數(shù)是（）A．110°B．80°C．40°D．30°【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理?！究偨Y(jié)】抓住旋轉(zhuǎn)以后的旋轉(zhuǎn)角相等，再根據(jù)三角形內(nèi)角和180得出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系◆典例二：如圖，將△AOB繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，則∠AOB＇的度數(shù)是（）A.25°B.30°C.35°D.40°【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)?！窘馕觥扛鶕?jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后圖形全等以及對應(yīng)邊的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，從而得出答案：∵將△AOB繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，∴∠AOB′=∠A′OA－∠A′OB=45°－15°=30°。故選B?！舻淅喝鐖D，小紅做了一個實(shí)驗(yàn)，將正六邊形ABCDEF繞點(diǎn)F順時針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)A′B′C′D′E′F′的位置，所轉(zhuǎn)過的度數(shù)是（）A．60°B．72°C．108°D．120°【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和定理。★考點(diǎn)二：旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換◆典例一：平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，1)，將OA繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°得OB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A.(1，)B.(－1，)C.(0，2)D.(2，0)【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形的旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)值，全等三角形的判定和性質(zhì)?！窘馕觥咳鐖D，作AC⊥x軸于C點(diǎn)，BD⊥y軸于D點(diǎn)，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，1），∴AC=1，OC=。∴OA=?！唷螦OC=30°。∵OA繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°得OB，∴∠AOB=30°，OA=OB。∴∠BOD=30°?！郣t△OAC≌Rt△OBD（AAS）。∴DB=AC=1，OD=OC=。∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）。故選A。【總結(jié)】解決旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)問題，第一先在平面直角坐標(biāo)系中畫出旋轉(zhuǎn)前后的圖形，然后抓住特殊的旋轉(zhuǎn)角度構(gòu)造出直角三角形，利用直角三角形的定理，或者勾股定理來求出相關(guān)的線段長度，最終得出點(diǎn)坐標(biāo)?！舻淅喝鐖D，A(，1)，B(1，)．將△AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)l500得到△A′OB′，則此時點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（）．A．(－，－l)B．(－2，0)C．(－l，－)或（－2，0)D．(－，－1)或(－2，0)【考點(diǎn)】坐標(biāo)和圖形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征?！锟键c(diǎn)三：網(wǎng)格中的圖形旋轉(zhuǎn)問題◆典例一：如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，三角形ABC的頂點(diǎn)均落在格點(diǎn)上．（1）將△ABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△A1B1C1．在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1；（2）求線段OA在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形面積；（結(jié)果保留π）（3）求∠BCC1的正切值．【考點(diǎn)】網(wǎng)格問題，旋轉(zhuǎn)變換作圖，勾股定理，扇形面積，銳角三角函數(shù)的定義?！敬鸢浮拷猓海?）畫圖如下：（2）由勾股定理得，，線段OA在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形為以O(shè)A為半徑，為圓心角的扇形，∴。答：線段OA在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形面積為．（3）在Rt中，。答：∠BCC1的正切值是。◆典例二：如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，若將△ABC繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，則的長為（）A.B.C.7D.6【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長的計算?！窘馕觥扛鶕?jù)圖示知，∠BAB′=45°，∴的長為：。故選A。學(xué)@#科網(wǎng)★考點(diǎn)四：旋轉(zhuǎn)與等邊三角形◆典例一：如圖，O是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論：①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)O與O′的距離為4；③∠AOB=150°；④；⑤．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理。點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O″點(diǎn)．易知△AOO″是邊長為3的等邊三角形，△COO″是邊長為3、4、5的直角三角形。則。故結(jié)論⑤正確。綜上所述，正確的結(jié)論為：①②③⑤。故選A。◆典例二：如圖，在等邊三角形ABC中，AB=6，D是BC上一點(diǎn)，且BC=3BD，△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，則CE的長度為▲．【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)?！窘馕觥坑稍诘冗吶切蜛BC中，AB=6，D是BC上一點(diǎn)，且BC=3BD，根據(jù)等邊三角形三邊相等的性質(zhì)，即可求得BD=BC=AB=2。由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可求得CE=BD=2?！锟键c(diǎn)五：旋轉(zhuǎn)過程中的路徑問題◆典例一：如圖，Rt△ABC的邊BC位于直線l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由現(xiàn)在的位置向右滑動地旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A第3次落在直線l上時，點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長為▲（結(jié)果用含有π的式子表示）◆典例二：如圖，將邊長為cm的正方形ABCD沿直線l向右翻動（不滑動），當(dāng)正方形連續(xù)翻動6次后，正方形的中心O經(jīng)過的路線長是▲cm．（結(jié)果保留π）【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長的計算。學(xué)#2科網(wǎng)★考點(diǎn)六：旋轉(zhuǎn)過程中的面積問題◆典例一：如圖，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=6，BC=8，把△ABC繞AB邊上的點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于點(diǎn)E，若AD=BE，則△A′DE的面積為▲.【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！窘馕觥吭赗t△ABC中，由勾股定理求得AB=10，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AD=AD′，設(shè)AD=AD′=BE=x，則DE=10-2x，根據(jù)旋轉(zhuǎn)90°可證△A′DE∽△ACB，利用相似比求x，再求△A′DE的面積：在Rt△ABC中，∠C=900，AC=6，BC=8，由勾股定理求AB=。由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，設(shè)AD=A′D=BE=x，則DE=10-2x?！摺鰽BC繞AB邊上的點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′，∴∠A′=∠A，∠A′DE=∠C=90°。∴△A′DE∽△ACB，∴，即，解得x=3?！郤△A′DE=DE×A′D=×（10-2×3）×3=6?！舻淅喝鐖D，把一個斜邊長為2且含有300角的直角三角板ABC繞直角頂點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)900到△A1B1C，則在旋轉(zhuǎn)過程中這個三角板掃過的圖形的面積是（） A．πB．C．D．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，扇形面積。【解析】因?yàn)樾D(zhuǎn)過程中這個三角板掃過的圖形的面積分為三部分扇形ACA1、BCD和△ACD計算即可：1.如圖，兩個邊長相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的頂點(diǎn)E固定在正方形ABCD的對稱中心位置，正方形EFGH繞點(diǎn)E順時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)它們重疊部分的面積為S，旋轉(zhuǎn)的角度為θ，S與θ的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）A．B．C．D．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)問題的函數(shù)圖象，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。2.正方形繞其中心旋轉(zhuǎn)一定的角度與原圖形重合，則這個角至少為▲度．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)對稱圖形，正方形的性質(zhì)?！窘馕觥俊哒叫蔚膶蔷€把正方形分成四個全等的直角三角形，∴頂點(diǎn)處的周角被分成四個相等的角，360°÷4=90°。∴這個正方形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)90°的整數(shù)倍后，就能與它自身重合?！噙@個角度至少是90°。3.把二次函數(shù)y=（x﹣1）2+2的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到的圖象的解析式為▲．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。【解析】∵二次函數(shù)y=（x﹣1）2+2頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），∴繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）?！嘈D(zhuǎn)后的新函數(shù)圖象的解析式為y=﹣（x+1）2﹣2。學(xué)#@科網(wǎng)4.兩塊大小一樣斜邊為4且含有30°角的三角板如圖水平放置．將△CDE繞C點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)E點(diǎn)恰好落在AB上時，△CDE旋轉(zhuǎn)了▲度，線段CE旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積為▲．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積的計算。5.如圖，兩塊相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一塊繞直角頂點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)到△A′BC′的位置，點(diǎn)C′在AC上，A′C′與AB相交于點(diǎn)D，則C′D=▲.【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行的判定，三角形中位線的判定和性質(zhì)?！窘馕觥俊摺螦=30°，AC=10，∠ABC=90°，∴∠C=60°，BC=BC′=AC=5?！唷鰾CC′是等邊三角形。∴CC′=5?！摺螦′C′B=∠C′BC=60°，∴C′D∥BC?！郉C′是△ABC的中位線?！郉C′=BC=。6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OEFG的頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4，2)，將矩形OEFG繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F落在y軸上，得到矩形OMNP，OM與GF相交于點(diǎn)A．若經(jīng)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)的圖象交EF于點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為▲.7.如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把△AOB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°后得到△AO′B′，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)是▲．【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形的旋轉(zhuǎn)變化。8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x上，△ABO是直角三角形，∠ABO=900，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－1，2），將△