《機器人技術-建模、仿真及應用》課件 第二章機器人運動學

ROBOT機器人技術——建模、仿真及應用機器人運動學第二章目錄數學基礎PART.1運動學分析PART.2數學基礎PART.1位置與位姿齊次變化仿真實例數學基礎位置描述對于直角坐標系{A}，空間任一點的位置可用3×1階的列矢量來表示(也稱位置矢量)：式中：Px、Py、Pz是點P在坐標系{A}中的三個位置坐標分量。數學基礎位置描述向量可以由3個起始和終止的坐標來表示。P=（

PX

-OX

）

i

+（PY

-OY

）

j

+（

PZ

-OZ

）

k

若O為原點：式中：Px、Py、Pz是向量在坐標系{A}中的三個位置坐標分量。向量的3個分量也可寫成矩陣形式。(PX=cos

，PY=cos

，PZ=cos)（，，J為機械臂的雅可比矩陣（6×n矩陣））（為關節(jié)速度對末端執(zhí)行速度的3*n作用矩陣）雅可比矩陣取一個自由度為n的機械臂，其正運動學方程如下：（旋轉矩陣R和位移矢量P都是關于變量

的矩陣方程）將末端執(zhí)行器的線速度

和角速度

表示為所有關節(jié)速度

的函數：（為關節(jié)角速度對末端執(zhí)行速度的3*n作用矩陣）兩個方程的緊湊形式：數學基礎矢量u、v、w的坐標方向用齊次坐標表示。例位置描述數學基礎姿態(tài)描述規(guī)定空間某剛體B的方位，設一坐標系{B}與此剛體固連，物體相對于參考坐標系{A}的姿態(tài)相對于參考坐標系{A}的方向余弦組成的3×3矩陣旋轉矩陣：用矢量兩兩之間的余弦則表示為：數學基礎姿態(tài)描述對應于x、y或z軸做旋轉角為的旋轉變換，其旋轉矩陣分別為：旋轉矩陣應具有以下幾個特點：1）3個主矢量兩兩垂直；2）9個元素中，只有3個是獨立的；3）3個單位主矢量滿足6個約束條件，即：4）旋轉矩陣為正交矩陣，并且滿足以下條件，即：數學基礎齊次變化齊次坐標是指在原有三維坐標的基礎上，增加一維坐標而形成四維坐標。如：空間點p的齊次坐標為p=(4,6,8,w)4、6、8分別對應p點在空間坐標系中的x、y、z軸坐標，w為其對應的比例因子。p=（4,6,8,1）和p=(8,12,16,2）表示的是同一個p點。當比例因子w≠0時p點的齊次坐標的形式是不唯一的當比例因子w=0時該齊次坐標表示某一向量如：x=（1，0，0，0）表示坐標系的x軸單位向量。y=（0，1，0，0）表示坐標系的y軸單位向量。z=（0，0，1，0）表示坐標系的z軸單位向量。對應于x、y、z軸做轉角位

的旋轉變換，分別可得：數學基礎齊次變化平移齊次坐標變換

對已知矢量

進行平移變換所得的矢量

為：

旋轉齊次坐標變換Rot表示旋轉矩陣。齊次變換平移齊次變換動坐標系{A}相對于固定坐標系的X0、Y0、Z0軸作(–1，2，2)平移后到{A

}；動坐標系{A}相對于自身坐標系的X、Y、Z軸分別作(–1，2，2)平移后到{A

}。A的矩陣表達式如下。寫出坐標系{A

}、{A

}的矩陣表達式。例齊次變換平移齊次變換動坐標系{A}相對于固定坐標系的X0、Y0、Z0軸作(–1，2，2)平移后到{A

}；動坐標系{A}相對于自身坐標系的X、Y、Z軸分別作(–1，2，2)平移后到{A

}。A的矩陣表達式如下。寫出坐標系{A

}、{A

}的矩陣表達式。例動坐標系{A}的平移變換算子：齊次變換旋轉齊次變換已知坐標系中點U的位置矢量U=[7321]T，繞Z軸旋轉90°，再繞Y軸旋轉90°，求旋轉變換后所得的點W。例數學基礎齊次變化平移與旋轉齊次坐標組合變換根據平移齊次坐標變換和旋轉齊次坐標變換，空間某點由矢量

描述，其中i、j、k分別為x、y、z軸上的單位矢量，然后對應于x、y、z軸做轉角為的旋轉變換，分別可得：齊次變換復合變換已知坐標系中點U的位置矢量U=[7321]T，將此點繞Z軸旋轉90°，再繞Y軸旋轉90°，最后再作4i-3j+7k的平移，求變換后所得的點E。例數學基礎仿真實例平移坐標變換實例T0=transl(0,0,0)T1=transl(1,2,1)trplot(T0,'color','r')holdontrplot(T1,'color','g')axis([-33-33-33])tranimate(T0,T1)例代碼：坐標系由原點(0,0,0)分別沿x、y、z軸平移1、2、1個單位。數學基礎仿真實例平移坐標變換實例T0=rotz(0)T0=rotz(0)T1=rotz(pi/4)trplot(T0,'color','r')axis([-11-11-11]);oldontranimate(T0,T1,'color','b')例代碼：坐標系在原點位置繞z軸旋轉45°。數學基礎仿真實例先平移再旋轉實例T0=transl(0,0,0)T1=transl(1,2,1)trplot(T0,'color',‘r’)；holdon；trplot(T1,'color','g')axis([-33-33-33])tranimate(T0,T1)T2=T1T3=T2*trotz(pi/2)trplot(T2,'color','r')holdontrplot(T3,'color','g')axis([-33-33-33])tranimate(T2,T3)平移旋轉例代碼：坐標系從原點位置(0,0,0)先分別沿著x、y、z軸平移1、2、1個單位，再繞z軸逆時針旋轉90°。數學基礎仿真實例先旋轉再平移實例T0=trotz(0)T1=trotz(pi/2)trplot(T0,'color','r’);holdon；trplot(T1,'color','g')tranimate(T0,T1)T2=T1T3=transl(1,2,1)*T2trplot(T2,'color','r’);holdon；trplot(T3,'color','g')axis([-33-33-33])tranimate(T2,T3)平移旋轉例代碼：坐標系從原點位置(0,0,0)先繞z軸逆時針旋轉90°，再分別沿著x、y、z軸平移1、2、1個單位。數學基礎仿真實例旋轉和平移同時進行實例T1=transl(0,0,0)T2=transl(1,2,1)T3=trotz(pi/2)T4=T2*T3trplot(T1,'color','r')holdontrplot(T4,'color','g')axis([-33-33-33])tranimate(T4,'color','b')例代碼：坐標系從原點位置分別沿著x、y、z軸平移1、2、1個單位，同時繞z軸逆時針旋轉90°。運動學分析PART.2正運動學分析D-H參數法正運動學仿真逆運動學分析逆運動學仿真運動學分析正運動學分析機器人本體，是機器人賴以完成作業(yè)任務的執(zhí)行機構。機械臂多采用關節(jié)式機械結構，一般具有6個自由度，其中3個用來確定末端執(zhí)行器的位置，另外3個則用來確定末端執(zhí)行裝置的方向。機械臂上的末端執(zhí)行裝置可以根據操作需要換成焊槍、吸盤、扳手等作業(yè)工具。運動學分析D-H參數法連桿n坐標系（簡稱n系）坐標原點位于i關節(jié)軸線上，是關節(jié)i的關節(jié)軸線與i-1和i關節(jié)軸線公垂線的交點；Z軸與i關節(jié)軸線重合；X軸與公垂線重合，從關節(jié)i-1指向關節(jié)i；Y軸按右手螺旋法則確定。運動學分析D-H參數法每個連桿可以由四個參數所描述名稱含義“

”號性質轉角以

方向看，

和

之間的夾角右手法則常量長度沿著

方向，

和

之間的距離與

正向一致常量關節(jié)角以

方向看，

和

之間的夾角右手法則轉動關節(jié)為變量移動關節(jié)為常量距離沿著

方向，

和

之間的距離沿

正向為正轉動關節(jié)為常量移動關節(jié)為變量在D-H法分析中，連桿坐標系

相對于

的變換

稱為連桿變換矩陣，連桿變換矩陣

相當于坐標系

經過以下變換得到：運動學分析D-H參數法1)繞

軸旋轉，使得與平行，如圖a)所示；2)沿軸移動，使得與在同一直線上，如圖b）11所示；3)繞軸旋轉，使得轉到與平行，如圖c）所示；4)沿軸移動，使得連桿坐標系的原點與的原點11重合，如圖d)所示。由此可得旋轉變換矩陣為：D-H法矩陣變換過程運動學分析D-H參數法如圖所示的平面三連桿機構，已知手臂長

、和，關節(jié)變量、和，試求末端執(zhí)行器位姿矩陣。例i1000200300解：建立機械臂各桿的坐標系，列出D-H參數。運動學分析D-H參數法如圖所示的平面三連桿機構，已知手臂長

、和，關節(jié)變量、和，試求末端執(zhí)行器位姿矩陣。例==運動學分析正運動學仿真調用MATLAB機器人工具箱，使用D-H參數法設置三連桿機械臂桿長分別為30、50、40；關節(jié)角、連桿偏距、連桿轉角都為0。例a1=30;a2=50;a3=40;L(1)=Link([00a10])L(2)=Link([00a20])L(3)=Link([00a30])robot=SerialLink(L)teach(robot)代碼：運動學分析正運動學仿真調用MATLAB機器人工具箱，使用D-H參數法設置三連桿機械臂連桿1的桿長為30，連桿轉角為90°，關節(jié)角為0°，連桿偏距為0；連桿2的桿長為50，連桿轉角為0，關節(jié)角為0°，連桿偏距為20；連桿3的桿長為40，連桿轉角都為0，關節(jié)角為0°，連桿偏距為0。例L_1=30;L_2=50;L_3=40;L(1)=Link([00L_1pi/2])L(2)=Link([020L_20])L(3)=Link([00L_30])Robot=SerialLink(L);teach(Robot)代碼：運動學分析逆運動學分析實質：已知BTH求解θ，從而確定與末端位置有關的所有關節(jié)的位置——實際工程問題已知操作機桿件的幾何參數，給定操作機末端執(zhí)行器相對于參考坐標系的期望位置和姿態(tài)（位姿），操作機能否使其末端執(zhí)行器達到這個預期的位姿？若能達到，那么操作機是否存在不同形態(tài)可滿足條件？逆向運動學逆運動學分析可解性解的存在問題取決于操作末端的工作空間（Workspace）工作空間：操作臂末端執(zhí)行器所能到達的范圍，取決于機器人結構、桿件參數或手部位姿。工作域外逆解不存在具有轉動和移動關節(jié)的機器人，在單一串聯鏈中共有個6自由度或小于6個自由度時是可解的。通解是數值解，非解析表達式，是利用數值迭代原理求解得到，計算量比求解析解大得多。要使機器人有解析解，設計時就要使機器人的結構盡量簡單，而且盡量滿足連續(xù)三個旋轉關節(jié)的旋轉軸交會于一點，或連續(xù)三個關節(jié)軸互相平行的充分條件。（Pieper準則）逆向運動學多解性對于給定位置與姿態(tài)，具有多組解。造成運動學逆解多解是由于解反三角函數方程產生的。PUMA560機器人的四個逆解避免碰撞的一個可能實現的解逆運動學分析逆向運動學逆運動學分析求解方法逆解形式求解方法閉式解close-formsolution用解析函數式表示解求解速度快代數法幾何法數值解numericalsolution利用迭代性質求解求解速度慢數值法逆向運動學逆運動學分析代數法根據正運動學分析，設機械臂腕關節(jié)的位置坐標為姿態(tài)角

，機械臂執(zhí)行端坐標為

?；贒-H坐標系的機械臂運動學方程如下：平面三連桿機械臂代數法求逆運動學可知：逆向運動學逆運動學分析由矩陣兩邊對應相等，結合上式，可得腕部坐標

的表達式為：即：上式有解的條件是等式右邊值的區(qū)間為[-1,1]，如果此約束條件不滿足，則表明目標點超出了機械臂的可達工作空間，其逆運動學方程無解。代數法逆向運動學逆運動學分析代數法假設目標點在機械臂的工作空間內，則：由式

和式

可得：上式的求解應用了雙變量反正切公式，用

計算根據

和

的符號來判別求得的角所在的象限。根據

帶入式，

得：逆向運動學逆運動學分析代數法進而可求得：結合求出的

與，可得：

則三個關節(jié)角運用代數法全部解出。逆向運動學逆運動學分析幾何法平面三連桿機械臂幾何法求逆運動學所示，桿長

，桿長、坐標系1的原點、坐標系的原點的連線組成三角形，由余弦定理可得：由，得計算圖中的

和逆向運動學逆運動學分析幾何法即：結合

和，得即坐標3能夠達到相同位置時，連桿機構的另一種可能情況，此時則有：逆向運動學逆運動學仿真封閉式解法：以KUKAKR5