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文檔簡介
2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之圓(2022年1月)
一.選擇題(共10小題)
I.(2021秋?東城區(qū)校級期末)如圖,圓心角NAOB=100°,則NACB的度數(shù)是()
A.50°B.100°C.120°D.130°
2.(2021秋?武昌區(qū)校級期末)由所有到已知點。的距離大于或等于2,并且小于或等于3
的點組成的圖形的面積為()
A.4TlB.9TTC.5ITD.13K
3.(2021秋?南崗區(qū)校級期末)如圖,。0的直徑AB=6,8是的弦,CD1AB,垂足
為P,且BP:AP=]:5,則8的長為()
4.(2021秋?東城區(qū)校級期末)如圖,。。的半徑為5,弦A8的長是8,則圓心。到弦A8
5.(2021秋?瑞安市期末)如圖,。0是正△ABC的外接圓,△OOE是頂角為120°的等腰
三角形,點。與圓心重合,點。,E分別在圓弧上,若。。的半徑是6,則圖中陰影部
分的面積是()
A.4TtB.12n-9J3C.12n-D.24n-943
2
6.(2021秋?富??h期末)如圖,四邊形A8C£>內(nèi)接于。0,若/AOC=140°,則/AOC
7.(2021秋?富裕縣期末)如圖所示,圓錐的底面圓的半徑為5,母線長為30,一只蜘蛛從
底面圓周上一點月出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到A點的最短路程是()
8.(2021秋?黔西南州期末)如圖,四邊形ABCO是半徑為2的。。的內(nèi)接四邊形,連接
OA,OC.若NAOC:ZABC=4:3,則函的長為()
9.(2021秋?富??h期末)如圖所示,以A8為直徑的半圓,繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,點4
旋轉(zhuǎn)到點A',且AB=4,則圖中陰影部分的面積是()
336
10.(2021秋?武昌區(qū)校級期末)某地有一座圓弧形拱橋,它的跨度(弧所對的弦的長)24〃?,
拱高(弧的中點到弦的距離)4米,則求拱橋的半徑為()
A.16”?B.20/7/C.24mD.28,〃
二.填空題(共7小題)
11.(2021秋?海淀區(qū)校級期末)如圖,點A,B,C,。在。。上,C是弧的中點,若/
ODC=50°,則N8AC的度數(shù)為
12.(2021秋?南崗區(qū)校級期末)如圖,將量角器和含30°角的一塊直角三角板緊靠著放在
同一平面內(nèi),使。,C,8在一條直線上,且。C=28C,過點A作量角器圓弧所在圓的
13.(2021秋?瑞安市期末)如圖,AO是。0的直徑,8c于E,若£>£=3,8c=8,
則。O的半徑為
14.(2021秋?龍江縣校級期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABOC是正方形,點
A的坐標(biāo)為(1,1),1二是以點B為圓心,8A為半徑的圓弧;工~^是以點。為圓心,
OA1為半徑的圓弧,XR是以點C為圓心,。2為半徑的圓弧,公示是以點A為圓心,
2334
A43為半徑的圓弧,繼續(xù)以點8、。、C、A為圓心按上述作法得到的曲線A4iA2A34tA5…
稱為正方形的“漸開線”,那么點A2021的坐標(biāo)是.
15.(2021秋?海淀區(qū)校級期末)如圖,PA,P8是。。的兩條切線,AC是。。的直徑,ZP
=50°,則/區(qū)4c的度數(shù)是.
16.(2021秋?哪西縣期末)如圖,在邊長為2的正方形ABC。中,AE是以為直徑的半
圓的切線,則圖中陰影部分的面積為.
17.(2021秋?營口期末)如圖,A3是。。的直徑,O為圓心,點C是半圓。上的點,若/
CAB=4ZC8A,點。是BC上任意一點,則NBOC的度數(shù)為度.
三.解答題(共8小題)
18.(2021秋?武昌區(qū)校級期末)如圖,在。。中,AB=AC=2n,/BAC=60°,求OA的
長度.
19.(2021秋?韓城市期末)如圖,在△ABC中,以4B為直徑的。0交BC于點力,與CA
的延長線交于點E,。0的切線。尸與AC垂直,垂足為點尸.
(1)求證:AB=AC;
(2)若AC=6,ZBAE=6Q°,求俞的長.
20.(2021秋?臨江市期末)如圖所示,正三角形ABC、正方形ABC。、正五邊形ABCDE分
別是。。的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形,點M、N分別從點8、C開始,以相
同的速度在上逆時針運動.
(1)求圖①中NAP8的度數(shù);
(2)圖②中乙4尸8的度數(shù)是,圖③中/APB的度數(shù)是
(3)若推廣到一般的正〃邊形情況,請寫出/APB的度數(shù)是.
①②③
21.(2021秋?武昌區(qū)校級期末)請用無刻度直尺按要求畫圖,不寫畫法,保留畫圖痕跡.(用
虛線表示畫圖過程,實線表示畫圖結(jié)果)
(1)如圖1,在正方形網(wǎng)格中,有一圓經(jīng)過了兩個小正方形的頂點A,B,請畫出這個圓
的圓心;
(2)如圖2,8c為OO的弦,畫一條與BC長度相等的弦;
(3)如圖3,△ABC為。0的內(nèi)接三角形,。是AB中點,E是AC中點,請畫出NBAC
的角平分線.
圖1
22.(2021秋?龍鳳區(qū)期末)如圖,。。是AABC的外接圓,40是OO的直徑,F(xiàn)是延
長線上一點,連接CO,CF,且C尸是OO的切線.
(1)求證:ZDCF=ZCAD.
(2)探究線段CF,FD,胡的數(shù)量關(guān)系并說明理由;
(3)若cosB=g,AD—2,求F£)的長.
5
B
A
23.(2021秋?道里區(qū)期末)四邊形A8CQ為矩形,點A,8在。0上,連接OC,OD.
圖1圖2圖3
(1)如圖1,求證:0c=0。;
(2)如圖2,點E在O。上,DE//OC,求證:D4平分NEDO;
(3)如圖3,在(2)的條件下,OE與。。相切,0。交。。于點凡點G在弧BF上,
弧FG=MAE,連接8G,若8G=3&,DF=2,求AB的長.
24.(2021秋?南崗區(qū)校級期末)如圖,四邊形ABC。內(nèi)接于。0,NC=NB.
圖1圖2圖3
(1)如圖1,求證:AB=CDx
(2)如圖2,連接BO并延長分別交00和CD于點F、E,若CD=EB,CDVEB,求
tanZCBF;
(3)如圖3,在(2)的條件下,在8尸上取點G,連接CG并延長交。。于點/,交AB
于H,EF:BG=l:3,EG=2,求GH的長.
25.(2021秋?香坊區(qū)期末)已知:80為。。的直徑,四邊形ACDE為。。的內(nèi)接四邊形,
分別連接BE、AD,BE交AC于點、H,且AE=CZ).
(1)如圖1,求證:BE±AC;
(2)如圖2,延長BE交CD的延長線于點凡BE交AD于點G,連接CE,求證:NBGD
-NFEC;
(3)如圖3,在(2)的條件下,AC交8。于點歷,若。G=EF,tan/AOB=返,EG
2
=2?,求OM的長.
圖1圖2圖3
2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之圓(2022年1月)
參考答案與試題解析
選擇題(共10小題)
1.(2021秋?東城區(qū)校級期末)如圖,圓心角乙408=100°,則NACB的度數(shù)是()
A.50°B.100°C.120°D.130°
【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系;圓周角定理.
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì);推理能力.
【分析】NAPB為窟所對的圓周角,如圖,先根據(jù)圓周角定理得到NAPB=50°,然后
根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求/ACB的度數(shù).
【解答】解:NAPB為篇所對的圓周角,如圖,
V100°=50°,
22
而NP+NACB=180°,
/.ZACB=180°-50°=130°.
故選:D.
【點評】本題考查了圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都
等于這條弧所對的圓心角的一半.也考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).
2.(2021秋?武昌區(qū)校級期末)由所有到已知點。的距離大于或等于2,并且小于或等于3
的點組成的圖形的面積為()
A.4TTB.9nC.5TTD.13K
【考點】圓的認(rèn)識.
【專題】與圓有關(guān)的計算;運算能力.
【分析】根據(jù)題意、利用圓的面積公式計算即可.
【解答】解:由所有到己知點0的距離大于或等于2,并且小于或等于3的點組成的圖
形的面積為以3為半徑的圓與以2為半徑的圓組成的圓環(huán)的面積,
即nX32-IT><22=5IT,
故選:C.
【點評】本題考查的是圓的認(rèn)識、圓的面積的計算,掌握圓的面積公式是解題的關(guān)鍵.
3.(2021秋?南崗區(qū)校級期末)如圖,OO的直徑48=6,。是。。的弦,垂足
為P,且BP:AP=\:5,則CQ的長為()
C.2疾D.V5
【考點】勾股定理;垂徑定理.
【專題】等腰三角形與直角三角形;圓的有關(guān)概念及性質(zhì);運算能力;推理能力.
【分析】先由。0的直徑AB=6得08=3,再由BP:AP=\:5得BP=1,則。尸=2,
連接OC,由垂徑定理的C£>=2PC,然后由勾股定理求出PC的長,即可得出結(jié)論.
【解答】解::。。的直徑43=6,
J.OB=^-AB—3,
2
,:BP:AP=\:5,
6
:.OP=OB-BP=2,
連接OC,
':CD±AB,
:.CD=2PC,ZOPC=90°,
:.CD=2PC=2后,
【點評】本題考查的是垂徑定理及勾股定理,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形
是解答此題的關(guān)鍵.
4.(2021秋?東城區(qū)校級期末)如圖,的半徑為5,弦A8的長是8,則圓心。到弦AB
【考點】勾股定理;垂徑定理.
【專題】等腰三角形與直角三角形;圓的有關(guān)概念及性質(zhì);運算能力;推理能力.
【分析】連接。4,由垂徑定理得再由勾股定理求出即可.
2
【解答】解:連接04
;OO的半徑為5,
/.OA=5,
NOMA=90°,MA=MB=1AB=4,
2
OM=V0A2-AM2=V52-42=3,
故選:C.
【點評】此題考查了垂徑定理與勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,
構(gòu)造直角三角形解決問題.
5.(2021秋?瑞安市期末)如圖,00是正△ABC的外接圓,△OOE是頂角為120°的等腰
三角形,點。與圓心重合,點。,E分別在圓弧上,若QO的半徑是6,則圖中陰影部
分的面積是()
A.4nB.12TT-973C.12ir-9TD.24n-973
2
【考點】等腰三角形的性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì);含30度角的直角三角形;三角形的外
接圓與外心;扇形面積的計算.
【專題】與圓有關(guān)的計算;推理能力.
【分析】連接OA、OB,過點。作于”,根據(jù)圓周角定理求出NAOB,進(jìn)而求
出根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OH,根據(jù)余弦的定義求出AH,根據(jù)垂徑定理求
出A8,根據(jù)扇形面積公式、三角形的面積公式計算,得到答案.
【解答】解:連接。A、OB,過點。作0H_LA8于,,
:△ABC為等邊三角形,
/.ZC=60°,
,/AOB=2/C=120°,
":OA=OB,
:.ZOAB=30°,
.?.OH=」OA=3,AH=OA-COSZOAB
22
':OH1AB,
:.AB=2AH=6辰
??S叩影部分=S埼形AO8=S-OB=12°兀-"-X6,\/3X3=12n-9A/3>
3602
故選:B.
H
【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心,掌握圓周角定理、扇形面積公式是解題
的關(guān)鍵.
6.(2021秋?富??h期末)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于O。,若NADC=140°,則NAOC
的度數(shù)為()
A.25°B.80°C.130°D.100°
【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系;圓周角定理;圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì);推理能力.
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出的度數(shù),根據(jù)圓周角定理計算即可.
【解答】解:???四邊形ABCD內(nèi)接于。0,
AZB+ZADC=180°,
VZAZ)C=140",
/.ZB=40",
由圓周角定理得,NAOC=2NB=80°,
故選:B.
【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理,掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互
補是解題的關(guān)鍵.
7.(2021秋?富??h期末)如圖所示,圓錐的底面圓的半徑為5,母線長為30,一只蜘蛛從
底面圓周上一點A出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到A點的最短路程是()
A.8B.lCh/2C.30D.2Ch/2
【考點】平面展開-最短路徑問題;圓錐的計算.
【專題】與圓有關(guān)的計算:運算能力.
【分析】由于圓錐的底面周長也就是圓錐的側(cè)面展開圖的弧長,利用弧長公式即可求得
側(cè)面展開圖的圓心角,進(jìn)而構(gòu)造等邊三角形求得相應(yīng)線段即可.
【解答】解:圓錐的側(cè)面展開圖,如圖所示:
?圓錐的底面周長=2irX5=10n,
設(shè)側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為/?.
.,.mX39=]0n,
180
解得"=60,
,最短路程為:AA'=30.
故選:C.
"A'
【點評】本題考查的是平面展開-最短路徑問題,此類問題應(yīng)先根據(jù)題意把立體圖形展
開成平面圖形后,再確定兩點之間的最短路徑.一般情況是兩點之間,線段最短.在平
面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題.
8.(2021秋?黔西南州期末)如圖,四邊形A8CD是半徑為2的OO的內(nèi)接四邊形,連接
OA,0C.若NAOC:ZABC=4:3,則箴的長為()
A.—ITB.—itC.—nD.—n
5555
【考點】圓周角定理;圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì);弧長的計算.
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì);與圓有關(guān)的計算;運算能力.
【分析】設(shè)/A0C=4x°,/ABC=3x°,由圓周角定理得出/A0C=2/£>,求出/£)
=2%°,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形得出NABC+/O=180°,求出x,求出乙4OC=144°,再
根據(jù)弧長公式求出即可.
【解答】解:設(shè)NA0C=4x°,ZABC=3x°,
由圓周角定理得:/AOC=2/O,
四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形,
/.ZASC+ZD=180°,
**?3x+2x=180,
解得:x=36,
即NAOC=144°,
.?.冠的長為144兀x2=二死
1805
故選:A.
【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),弧長公式和圓周角定理等知識點,能求出/
AOC的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵.
9.(2021秋?富裕縣期末)如圖所示,以AB為直徑的半圓,繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,點A
旋轉(zhuǎn)到點A',且AB=4,則圖中陰影部分的面積是()
AB
336
【考點】扇形面積的計算;旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【專題】與圓有關(guān)的計算;應(yīng)用意識.
【分析】根據(jù)圖形可知,陰影部分的面積是半圓的面積與扇形ABA'的面積之和減去半
圓的面積.
2
【解答】解:由圖可得,圖中陰影部分的面積為:,§QKX3.+lx-rrX22-lxnX22
36022
旦,
3
故選:B.
【點評】本題考查扇形面積的計算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用數(shù)
形結(jié)合的思想解答.
10.(2021秋?武昌區(qū)校級期末)某地有一座圓弧形拱橋,它的跨度(弧所對的弦的長)24m,
拱高(弧的中點到弦的距離)4米,則求拱橋的半徑為()
A.16/77B.20mC.24mD.28/n
【考點】垂徑定理的應(yīng)用.
【專題】等腰三角形與直角三角形;圓的有關(guān)概念及性質(zhì);運算能力;推理能力;應(yīng)用
意識.
【分析】設(shè)圓弧形拱橋的圓心為O,跨度為A8,拱高為CD連接04OD,設(shè)拱橋的
半徑為R米,由垂徑定理得AO=LB=12(米),再由勾股定理得出方程,解方程即可.
2
【解答】解:設(shè)圓弧形拱橋的圓心為O,跨度為A3,拱高為CZ),連接OA、OD,如圖:
設(shè)拱橋的半徑為R米,
由題意得:ODVAB,C£>=4米,43=24米,
則A£>=BD=LB=12(米),OD=(R-4)米,
2
在RtZXAOO中,由勾股定理得:/?2=122+(R-4)2,
解得:R=20,
即橋拱的半徑R為20〃?,
故選:B.
c
A
\D:
、I
、、■
、、■
、、*
0
【點評】該題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用,熟練掌握垂徑定理,山勾
股定理得出方程是解題的關(guān)鍵.
二.填空題(共7小題)
11.(2021秋?海淀區(qū)校級期末)如圖,點4,B,C,。在上,C是弧俞的中點,若N
OOC=50°,則/B4C的度數(shù)為40°.
【考點】垂徑定理;圓心角、弧、弦的關(guān)系;圓周角定理.
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì).
【分析】連接08,如圖,先利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出/COD=80°,
再根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到N8OC=/COL>=8()°,然后根據(jù)圓周角定理得到/
8AC的度數(shù).
【解答】解:連接OB,如圖,
':OC=OD,
:.ZOCD^ZODC=50°,
AZCOD=180°-50°-50°=80°,
是弧前的中點,即立=而,
:.ZBOC=ZCOD=^0°,
NBAC=2/3OC=40°.
2
故答案為:40.
A
/7D
C
【點評】本題考查了圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都
等于這條弧所對的圓心角的一半.也考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系.
12.(2021秋?南崗區(qū)校級期末)如圖,將量角器和含30°角的一塊直角三角板緊靠著放在
同一平面內(nèi),使O,C,B在一條直線上,且。C=28C,過點A作量角器圓弧所在圓的
【考點】含30度角的直角三角形;圓周角定理;切線的性質(zhì).
【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系:推理能力.
【分析】首先設(shè)半圓的圓心為O,連接OE,OA,由題意易得AC是線段OB的垂直平分
線,即可求得NAOC=/ABC=60°,又由AE是切線,證明RtZ\AOE絲RtZiAOC,繼而
求得/AOE的度數(shù),則可求得答案.
:.OC=BC,
':ZACB=90°,BPACVOB,
:.OA=BA,
:.NA0C=ZABC,
VZBAC=30°,
:.ZAOC=ZABC=60°,
是切線,
AZAE(9=90°,
AZAEO=ZACO=90°,
在RtAAOE和RtAAOC中,
fAO=AOi
1OE=OC'
;.RtZ\AOE絲RtZiAOC(HL),
.../AOE=/AOC=60°,
NCAE=360°-90°-90°-ZAOE-ZAOC=6^.
故答案為:60.
【點評】此題考查了切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì).此
題難度適中,解題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
13.(2021秋?瑞安市期末)如圖,是OO的直徑,ADLBC于E,若DE=3,BC=8,
則OO的半徑為空.
一6一
【考點】勾股定理;垂徑定理.
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì):推理能力.
【分析】連接OC,如圖,設(shè)。。的半徑為r,先根據(jù)垂徑定理得到CE=BE=4,再利用
勾股定理得到(r-3)2+42=/,然后解方程即可.
【解答】解:連接OC,如圖,設(shè)。。的半徑為r,
VAD1BC,
:.CE=BE=LBC=4,
2
在Rt^OCE中,0-3)2+42=,,
解得r=25.
6
即。。的半徑為空.
6
故答案為:25
【點評】本題考查了垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧?也
考查了勾股定理.
14.(2021秋?龍江縣校級期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形A80C是正方形,點
A的坐標(biāo)為(1,1),國是以點B為圓心,BA為半徑的圓弧;匕芯是以點。為圓心,
04為半徑的圓弧,工篇是以點C為圓心,。2為半徑的圓弧,不總是以點A為圓心,
A43為半徑的圓弧,繼續(xù)以點3、0、C、A為圓心按上述作法得到的曲線A4iA2A3A4A53
稱為正方形的“漸開線”,那么點42021的坐標(biāo)是(2021,0).
【考點】規(guī)律型:點的坐標(biāo);弧長的計算.
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì);推理能力.
【分析】根據(jù)題意分別寫出Ai…卷的坐標(biāo),根據(jù)規(guī)律解答.
【解答】解:觀察,找規(guī)律:A(1,1),Ai(2,0),4(0,-2),心(-3,1),A4
(1,5),A5(6,0),A6(0,-6),Ai(-7,1),A8(1,9)…,
.?.A4〃=(1,4〃+l),4〃+i=(4〃+2,0),A4“+2=(0,-(4/7+2)),4〃+3=(-(4n+3),
1).
72021=505X4+1,
;.A2O21的坐標(biāo)為(2021,0).
故答案為:(2021,0).
【點評】本題考查了規(guī)律型中的點的坐標(biāo),解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出“/UNI,4〃+1),
A4”+I(4〃+2,0),A4.+2(0,-(4〃+2)),4”+3(-(4〃+3),1)”這一規(guī)律,解決該題
型題目時,結(jié)合畫弧的方法以及部分點的坐標(biāo)尋找出來點的排布規(guī)律是關(guān)鍵.
15.(2021秋?海淀區(qū)校級期末)如圖,PA,PB是。O的兩條切線,AC是。。的直徑,NP
=50°,則NB4C的度數(shù)是25°.
CB
【考點】圓周角定理;切線的性質(zhì).
【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系;推理能力.
【分析】連接BC,OB,根據(jù)圓周角定理先求出NC,再求NBAC.
【解答】解:連接8C,OB,
:AC是的直徑,
8c=90°,
":PA.P8是。。的切線,A、B為切點,
...NOAP=NO8P=90°,
:.ZAOB=\SO°-ZP=130°,
由圓周角定理知,/C=2/4O8=65°,
:.ZBAC=900-NC=25°
故答案為:25
【點評】本題考查了切線的性質(zhì),圓周角定理,熟練掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半
徑是解題的關(guān)鍵.
16.(2021秋?那西縣期末)如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,4E是以為直徑的半
圓的切線,則圖中陰影部分的面積為_王衛(wèi)
【考點】正方形的性質(zhì);切線的性質(zhì);扇形面積的計算.
【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系;與圓有關(guān)的計算;推理能力.
【分析】根據(jù)切線長定理得到EC=EF,根據(jù)勾股定理列式求出CE,根據(jù)扇形面積公式
計算,得到答案.
【解答】解:假設(shè)AE與以BC為直徑的半圓切于點F,則AB=AF,
???四邊形A8C。為正方形,
ZBCD=90°,
;?EC與BC為直徑的半圓相切,
:?EC=EF,
:.DE=2-CEfAE=2+CE,
在中,AE1=AD1+DE1,即(2+CE)2=22+(2-CE)2,
解得:CE=1,
2
.".D£=2-A=2,
22
???陰影部分的面積=22--IXTTXI2-1X2X1=IZ2L,
2222
故答案為:
2
【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、扇形面積計算,掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半
徑是解題的關(guān)鍵.
17.(2021秋?營口期末)如圖,A2是的直徑,O為圓心,點C是半圓。上的點,若/
C48=4NC8A,點。是箴上任意一點,則/ADC的度數(shù)為108度.
【考點】圓周角定理.
【專題】與圓有關(guān)的計算:推理能力.
【分析】利用圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理求出NA=72°,可得結(jié)論.
【解答】解:???AB是直徑,
/.ZACB=90°,
:.ZA+ZABC=90°,
■:ZCAB=4ZABC,
:.5ZABC=90a,
,/ABC=18°,NA=72°,
VZCDB+ZA=180°,
/.ZBDC=108°,
故答案為:108.
【點評】本題考查圓周角定理,三角形內(nèi)角和定理等知識,解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定
理,屬于中考??碱}型.
三.解答題(共8小題)
18.(2021秋?武昌區(qū)校級期末)如圖,在。。中,AB=AC=2n,ZBAC=60°,求OA的
長度.
A
【考點】圓周角定理;弧長的計算.
【專題】與圓有關(guān)的計算;應(yīng)用意識.
【分析】首先根據(jù)圓周角定理求出/BOC=120°,再利用圓心角、弧、弦的關(guān)系定理以
及周角定義得到NAOB=NAOC=120。,然后根據(jù)弧長公式即可求出OA的長度.
【解答】解:?.?/BAC=60°,
AZBOC=120°,
vAB=AC=2n,
ZAOB=/AOC=360"-NB0C=120°,
2
...120"A=2m
180
.?.04=3.
故OA的長度為3.
【點評】本題考查了弧長公式,圓周角定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系定理以及周角定義,
求出NAOB=NAOC=120°是解題的關(guān)鍵.
19.(2021秋?韓城市期末)如圖,在△ABC中,以48為直徑的。0交BC于點力,與C4
的延長線交于點E,的切線。尸與AC垂直,垂足為點凡
(1)求證:AB=AC;
(2)若AC=6,ZBA£=60°,求益的長.
【考點】圓周角定理;切線的性質(zhì);弧長的計算.
【專題】等腰三角形與直角三角形;圓的有關(guān)概念及性質(zhì);與圓有關(guān)的位置關(guān)系:運算
能力;推理能力.
【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得出尸,即可得出OO〃AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)和
等腰三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論;
(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出乙40。=/班£=60°,然后利用弧長公式即可求得.
【解答】(1)證明:如圖,連接。。,
是00的切線,
:.OD1DF,
':DFLAC,
:.OD//AC,
:.ZODB=ZACB,
':OB=OD,
:.NODB=NOBD,
:.ZOBD=ZACB,
:.AB=AC;
(2)解:'J0D//AC,ZBAE=60",
二NAOD=NBAE=60°
\"AB=AC=6,
:.OA=3,
7T
二篇的長=以*3_=7T.
180
E
【點評】本題考查了圓的切線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),平行線的性質(zhì),弧長的計算,
掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵.
20.(2021秋?臨江市期末)如圖所示,正三角形ABC、正方形ABC。、正五邊形ABCOE分
別是。。的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形,點”、N分別從點8、C開始,以相
同的速度在OO上逆時針運動.
(1)求圖①中NAP8的度數(shù);
(2)圖②中NAP8的度數(shù)是90°,圖③中NAP8的度數(shù)是72。
(3)若推廣到一般的正〃邊形情況,請寫出NAPB的度數(shù)是一塞二
①②③
【考點】圓的綜合題.
【專題】正多邊形與圓;推理能力.
【分析】根據(jù)對頂角相等和三角形內(nèi)角和外角的關(guān)系解答即可.
【解答】解:(1);.△ABC是正三角形,
AZABC=60°,
?.?點M、N分別從點從C開始以相同的速度在。。上逆時針運動,
二NCBN,
:.4APN=NABN+NBAM=NABN+NCBN=N4BC=60°
;.NAPB=180°-ZAP7V=18O°-60°=120°;
(2)90°;72°;
(3)由(1)可知,所在多邊形的外角度數(shù),故在圖"中,膽2
n
【點評】此題是一道規(guī)律探索題,體現(xiàn)了探索發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律:通過計算得出特殊多邊
形中的角NAPN的度數(shù),然后得出"邊形的N4PN的度數(shù).
21.(2021秋?武昌區(qū)校級期末)請用無刻度直尺按要求畫圖,不寫畫法,保留畫圖痕跡.(用
虛線表示畫圖過程,實線表示畫圖結(jié)果)
(1)如圖1,在正方形網(wǎng)格中,有一圓經(jīng)過了兩個小正方形的頂點A,B,請畫出這個圓
的圓心;
(2)如圖2,BC為OO的弦,畫一條與BC長度相等的弦;
(3)如圖3,△ABC為。。的內(nèi)接三角形,。是A8中點,E是AC中點,請畫出NBAC
的角平分線.
圖1
【考點】圓的綜合題.
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì);尺規(guī)作圖;幾何直觀;應(yīng)用意識.
【分析】(1)根據(jù)圓周角是直角,這個圓周角所對的弦是直徑,畫出兩條直徑即可得出
答案.
(2)連接08,0C,延長80交。。于。,延長C0交。。于A,連接A。,線段AO即
為所求作.
(3)連接CD,BE交于點T,作直線AT交BC于R,連接OR,延長OR交。。于F,
作射線AF,射線AF即為所求作.
點O即為所求作.
圖1
(2)如圖,線段AQ即為所求作.
(3)如圖,射線AF即為所求作.
A
D,E
3~<
圖3
【點評】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計,圓周角定理,三角形的外心,角平分線的判定等
知識,解題的關(guān)鍵是理解題意,靈活運用所學(xué)知識解決問題,屬于中考??碱}型.
22.(2021秋?龍鳳區(qū)期末)如圖,。0是AABC的外接圓,AO是。。的直徑,F(xiàn)是AO延
長線上一點,連接CD,CF,且C尸是。0的切線.
(1)求證:ZDCF=ACAD.
(2)探究線段CF,FD,用的數(shù)量關(guān)系并說明理由;
(3)若cosB=3,AD=2,求尸£)的長.
5
【考點】圓的綜合題.
【專題】圖形的相似;推理能力.
【分析】(1)根據(jù)切線的判定,連接OC,證明出OCLFC即可,利用直徑所得的圓周
角為直角,三角形的內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)可得答案;
(2)可證明△/COs△切c,即可得出結(jié)論;
(3)由cosB=3,根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義和勾股定理可得CO:AC:AC=3:4:5,
5
再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出答案.
【解答】(1)證明:如圖,連接。C,
':AD是。0的直徑,
/.ZACD=90°,
:.ZOCD+ZOCA=90°,
???FC是的切線,
.*.ZDCF+ZOC£)=90°,
?,.ZOCA+ZDCF,
*:OC=OA,
:.ZCAD=ZOCA,
:?NDCF=/CAD;
(2)解:FC?=FD,FA,理由如下:
*:ZFCD=ZFAC,ZF=ZF,
.,.△FCD^AMC,
?-?—-FC_-—FDf
FAFC
:.FC2=FD'FA;
(3)解:,:ZB=ZADC,cosB=芻,
5
.".cosZADC——,
5
在RtAACD中,
VcosZy4DC=-=-^5-,
5AD
?型=3,
,?而了
由(2)知△FC£>s△硼c,
?.?-C--D---_---F-C---_---F--D--_-—3f
ACFAFC4
:.Fd=FD*FA,
設(shè)FD=3x,則FC=4x,AF=3x+2,
又,;FC2=FD?FA,
即(4x)2=3X(3X+2),
解得x=6(取正值),
7
.".FD=3x=^-.
7
B
,A
C
【點評】本題考查切線的判定和性質(zhì),圓周角定理,直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三
角形,掌握切線的判定方法,直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的性質(zhì)是正確解答
的前提.
23.(2021秋?道里區(qū)期末)四邊形ABCC為矩形,點48在。。上,連接OC,OD.
圖1圖2圖3
(1)如圖1,求證:OC=O£>;
(2)如圖2,點E在。。上,DE//OC,求證:D4平分/ECO;
(3)如圖3,在(2)的條件下,DE與OO相切,0。交。。于點尸,點G在弧8尸上,
弧連接BG,若BG=3五,DF=2,求A3的長.
【考點】圓的綜合題.
【專題】幾何綜合題;線段、角、相交線與平行線;圖形的全等;等腰三角形與直角三
角形;矩形菱形正方形;圓的有關(guān)概念及性質(zhì);與圓有關(guān)的位置關(guān)系;運算能力;推
理能力.
【分析】(1)連接OA,OB,如圖,證明△AO力絲△BOC即可得出結(jié)論;
(2)過點O作OM_LC£>于點M,利用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的三線合一即可得出
結(jié)論:
(3)連接08,OG,AG,OE,EF,設(shè)£F與AO交于點“,利用切線的性質(zhì)定理可得
OELDE,進(jìn)而得到OC±OE;利用弦切角定理和(2)的結(jié)論可得/A”E=45°;利用
平行線的性質(zhì)可得/GAQ=NAHE=45°,利用圓周角定理可得/BOG=2/8AG=
90°,利用勾股定理可求得圓的半徑為3,利用勾股定理可求。E的長;過點。作。
C。于點N,利用矩形的性質(zhì)可得£W=0E=3,ON=DE=4,在RtaCCN中,利用勾股
定理可求得CD的長,則AB可得.
【解答】(1)證明:連接。4,0B,如圖,
?:OA=OB,
:.NOAB=4OBA.
?;四邊形ABC。是矩形,
:.AD=BC,ZDAB=ZABC=90°,
ZDAO=90a-AOAB,NOBC=90°-NOBA,
:.ZOAD^ZOBC.
在△OAO和△08C中,
rOA=OB
<N0AD=N0BC,
,AD=BC
:./\OAD^/\OBC(SAS).
:.OD=OC.
(2)過點。作OMLCD于點M,如圖,
NDOM=NCOM=L/COD.
2
'COMVCD,ADYCD,
J.OM//AD.
:.NOOM=ZADO=AZCOD.
2
':DE//OC,
:.NODE=NCOD.
ZADO=^ZODE.
2
即DA平分NED。;
(3)解:連接OB,OG,AG,OE,EF,設(shè)EF與AO交于點H,如圖,
YOE是圓的切線,
:.OE±DE.
,COC//DE,
:.OE±OC.
:.ZEOF+ADOC^90°.
.,.AZEOF+AZCOD=45°.
22
/FED為弦切角,
:.NFED=LNEOF.
2
由(2)得:D4平分NE。。,NEDO=NCOD,
:.ZEDA^1ZCOD.
2
ZAHE=NFED+NADE,
:.ZAHE^^ZEOD+1.ZCOD=45O.
22
?弧FG=M4E,
C.AG//EF.
:.ZGAD=ZAHE=45°.
VZBAD=90°,
AZBAG=90°-ZGAD=45°.
,/ZBAG=AZBOG,
2
:.ZBOG=90°.
?:OB=OG,GB=3圾,
A0B2-K)G2=(3V2)2-
:.0B=0G=3.
即圓的半徑為3.
:.OE=OF=3.
:.OO=OF+FD=3+2=5.
.".£>E=^OD2_OE2=4.
過點。作DNLCO于點N,
則四邊形EON。為矩形.
:.DN=OE=3,ON=DE=4.
":OC=OD=5,
:.CN=OC-ON=5-4=1.
在RtaCOV中,
CD=VDN2-H:N2=V32+12=^-
:.AB=CD=yflQ.
【點評】本題是一道圓的綜合題,主要考查了矩形的判定與性質(zhì),圓周角定理,弦切角
定理,圓的切線的性質(zhì),平行線的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰三角形的判定與性質(zhì)全
等三角形的判定與性質(zhì),通過恰當(dāng)?shù)奶砑虞o助線使已知條件之間產(chǎn)生聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.
24.(2021秋?南崗區(qū)校級期末)如圖,四邊形ABC。內(nèi)接于00,NC=NB.
圖1圖2圖3
(1)如圖1,求證:AB=CD;
(2)如圖2,連接80并延長分別交。。和CO于點尸、E,若CD=EB,CDLEB,求
tanZCBF;
(3)如圖3,在(2)的條件下,在B尸上取點G,連接CG并延長交。0于點/,交AB
于H,EF:BG=1:3,EG=2,求G”的長.
【考點】圓的綜合題.
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì);圖形的相似;解直角三角形及其應(yīng)用;運算能力;推理
能力.
【分析】(1)先證AZ)〃BC,進(jìn)而可證四邊形A8CC是等腰梯形,進(jìn)而命題得證;
(2)根據(jù)垂徑定理得,CE=/cD,根據(jù)銳角三角函數(shù)得出結(jié)果;
(3)連接CF,ZBCF=900,ZBEC=90°,可證/EC/u/CBE,故可得』L」,
CE2
設(shè)EF=x,CE=2x,則BE=4x,BG=3EF=3x,得出EG=BE-8G=x,于是EF=EG
=x=3,因為NECG=NECF=NCBE,進(jìn)而證得NHBG=/BCH,于是
從而.?.跑圖一^==3,進(jìn)一步得出GH的值.
BHCH675275
【解答】(1)證明:;四邊形ABCD是的內(nèi)接
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