人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步講義-1.1空間向量及其運(yùn)算(含解析)

洪創(chuàng)教育精品文檔工作室洪創(chuàng)教育精品文檔工作室1.1空間向量及其運(yùn)算知識(shí)梳理知識(shí)梳理1、空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個(gè)平面的向量2、空間向量的有關(guān)定理〔1〕共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.在平面中A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)〔2〕共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點(diǎn)3、空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律〔1〕數(shù)量積及相關(guān)概念①兩向量的夾角：兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，那么∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，假設(shè)〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么稱a與b互相垂直，記作a⊥b.②非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.〔2〕空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律：①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.知識(shí)典例知識(shí)典例題型一空間向量根本關(guān)系例1向量互為相反向量，＝3，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕A． B．為實(shí)數(shù)0C．與方向相同 D．＝3【答案】D【詳解】向量互為相反向量，那么模相等、方向相反..應(yīng)選：D.穩(wěn)固練習(xí)穩(wěn)固練習(xí)1、以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔〕A．任何三個(gè)不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底B．空間的基底有且僅有一個(gè)C．兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底D．基底中基向量與基底基向量對(duì)應(yīng)相等【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量根本定理判斷選項(xiàng)可解.【詳解】項(xiàng)中應(yīng)是不共面的三個(gè)向量構(gòu)成空間向量的基底,所以錯(cuò).項(xiàng)，空間基底有無(wú)數(shù)個(gè),所以錯(cuò).項(xiàng)中因?yàn)榛撞晃ㄒ唬藻e(cuò).應(yīng)選.2、在以下命題中：①假設(shè)、共線，那么、所在的直線平行；②假設(shè)、所在的直線是異面直線，那么、一定不共面；③假設(shè)、、三向量?jī)蓛晒裁妫敲?、、三向量一定也共面；④三向量、、，那么空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為.其中正確命題的個(gè)數(shù)為〔〕A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【詳解】①假設(shè)、共線，那么、所在的直線平行或重合；所以①錯(cuò)；②因?yàn)橄蛄渴强梢宰杂梢苿?dòng)的量，因此即使、所在的直線是異面直線，、也可以共面；所以②錯(cuò)；③假設(shè)、、三向量?jī)蓛晒裁妫驗(yàn)閮善矫娴年P(guān)系不確定，因此、、三向量不一定共面；所以③錯(cuò)；④假設(shè)三向量、、共面，假設(shè)向量不在該平面內(nèi)，那么向量不能表示為，所以④錯(cuò).應(yīng)選：A.題型二空間向量的表示例2如圖，在平行六面體中，與的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，那么以下向量中與相等的向量是〔〕A． B．C． D．【答案】C解：因?yàn)?，所以，在平行六面體中，，應(yīng)選：C【點(diǎn)睛】穩(wěn)固練習(xí)穩(wěn)固練習(xí)1、在四面體中，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，那么等于〔〕A． B．C． D．【答案】B解：在四面體中，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，所以，即.應(yīng)選：B.2、在四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，假設(shè)記，，，那么______.【答案】解：在四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，那么.故答案為：.題型三基底問(wèn)題例3〔多項(xiàng)選擇〕設(shè)，，是空間一個(gè)基底，那么()A．假設(shè)⊥，⊥，那么⊥B．那么，，兩兩共面，但，，不可能共面C．對(duì)空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使D．那么＋，＋，＋一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)基底的概念，對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，與都垂直，夾角不一定是，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)基底的概念可知，，兩兩共面，但，，不可能共面.對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)空間向量的根本定理可知，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，由于，，是空間一個(gè)基底，所以，，不共面.假設(shè)＋，＋，＋共面，設(shè)，化簡(jiǎn)得，即，所以，，共面，這與矛盾，所以＋，＋，＋不共面，可以作為基底.所以D選項(xiàng)正確.應(yīng)選：BCD穩(wěn)固練習(xí)穩(wěn)固練習(xí)1、有以下命題：①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；②為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)一定共面；③向量是空間的一個(gè)基底，那么向量也是空間的一個(gè)基底．其中正確的命題是〔〕A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；所以不正確．反例：如果有一個(gè)向量為零向量，共線但不能構(gòu)成空間向量的一組基底，所以不正確．②為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)一定共面；這是正確的．③向量是空間的一個(gè)基底，那么向量不共面，也是空間的一個(gè)基底；所以正確．應(yīng)選：C．2、以下關(guān)于空間向量的命題中，正確的有______.①假設(shè)向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，那么；②假設(shè)非零向量，，滿足，，那么有；③假設(shè)，，是空間的一組基底，且，那么，，，四點(diǎn)共面；④假設(shè)向量，，，是空間一組基底，那么，，也是空間的一組基底.【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)空間向量根本定理，能作為基底的向量一定是不共面的向量，由此分別分析選擇.【詳解】對(duì)于①：假設(shè)向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，只能兩個(gè)向量為共線向量，即，故①正確；對(duì)于②：假設(shè)非零向量，，滿足，，那么與不一定共線，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：假設(shè)，，是空間的一組基底，且，那么，即，可得到，，，四點(diǎn)共面，故③正確；對(duì)于④：假設(shè)向量，，，是空間一組基底，那么空間任意一個(gè)向量，存在唯一實(shí)數(shù)組，使得，那么，，也是空間的一組基底，故④正確.故答案為：①③④題型四共面問(wèn)題例4點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O，都有，那么的值是()A．1 B．0 C．3 D．【答案】D【解析】試題分析：因，那么M、A、B、C四點(diǎn)共面，必有，解得，應(yīng)選D．考點(diǎn)：空間向量的共面問(wèn)題．穩(wěn)固練習(xí)穩(wěn)固練習(xí)1、正方體ABCD－A1B1C1D1中，假設(shè)點(diǎn)F是側(cè)面CD1的中心，且那么m，n的值分別為()A．，－ B．－，－ C．－， D．，【答案】A由于，所以.應(yīng)選：A【點(diǎn)睛】2、設(shè)是平面內(nèi)不共線的向量，假設(shè)A，B，D三點(diǎn)共線，那么____.【答案】【解析】【分析】由A、B、D三點(diǎn)共線、共線向量定理得關(guān)于的方程，即可得答案；【詳解】，又A、B、D三點(diǎn)共線，由共線向量定理得，，故答案為：.題型四數(shù)量積例4a、b是異面直線，且a⊥b，分別為取自直線a、b上的單位向量，且，那么實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)__.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)向量垂直數(shù)量積為0，可得關(guān)于的方程，解方程即可得答案；【詳解】由，得，∴，∴，∴.故答案為：6.穩(wěn)固練習(xí)穩(wěn)固練習(xí)如下圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，類比平面向量有關(guān)運(yùn)算，如何求向量與的數(shù)量積？并總結(jié)求兩個(gè)向量數(shù)量積的方法.【答案】答案見(jiàn)解析【解析】【分析】運(yùn)用向量的減法表示向量＝－，再由向量數(shù)量積的定義分別求·和·可得答案.【詳解】∵＝－，∴·＝·－·

＝|cos〈〉－|cos〈〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16.題型五異面直線夾角例5⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?AB、?BC的對(duì)角線都分別相互垂直且相等，假設(shè)AB＝a，求異面直線與AC所成的角.【答案】60°【解析】【分析】根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，利用向量法求得，以及對(duì)應(yīng)的模長(zhǎng)，那么問(wèn)題得解.【詳解】如下圖.因?yàn)楣室驗(yàn)锳B⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，故故又故.而，故可得，又∵異面直線所成的角是銳角或直角，∴異面直線BA1與AC成60°角.穩(wěn)固練習(xí)穩(wěn)固練習(xí)如圖，三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于1，，，求異面直線與所成角的余弦值．【答案】．【分析】根據(jù)空間向量的夾角公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)?，所以．所以異面直線與所成角的余弦值為．題型六線段長(zhǎng)度求解例6：如圖，在的二面角的棱上有兩點(diǎn)，直線分別在這個(gè)二面用的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直，，那么__________．【答案】【解析】，所以，所以，故填：.穩(wěn)固練習(xí)穩(wěn)固練習(xí)平行六面體，，，，，設(shè)，，；〔1〕試用、、表示；〔2〕求的長(zhǎng)度；【答案】〔1〕；〔2〕.【分析】〔1〕根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法那么，由此能求出結(jié)果．〔2〕由．，，由此能求出的長(zhǎng)度．【詳解】解：〔1〕．〔2〕．，，，，設(shè)，，；，的長(zhǎng)度為．題型七共面證明例7如圖，、、、、、、、、為空間的個(gè)點(diǎn)，且，，，，，，.求證：〔1〕、、、四點(diǎn)共面，、、、四點(diǎn)共面；〔2〕；〔3〕.證明：〔1〕∵，，∴A、B、C、D四點(diǎn)共面．∵，，∴E、F、G、H四點(diǎn)共面．〔2〕，∴.〔3〕.穩(wěn)固練習(xí)穩(wěn)固練習(xí)如圖，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線上，且．求證：向量共面．【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】由題意，在上取點(diǎn)，使，從而可證，，從而可證向量，，共面．【詳解】證明：如圖，在上取點(diǎn)，使，又，，又，，同理，，故由、、共面可知，向量，，共面．穩(wěn)固提升穩(wěn)固提升1、以下命題中，假命題是〔〕A．同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比擬大小B．兩個(gè)相等的向量，假設(shè)起點(diǎn)相同，那么終點(diǎn)也相同C．只有零向量的模等于0D．共線的單位向量都相等【答案】D【詳解】A.向量是有向線段，不能比擬大小.真命題.B.兩向量相等：方向相同，模長(zhǎng)相等.起點(diǎn)相同，那么終點(diǎn)也相同.真命題.C.零向量：模長(zhǎng)為0的向量.真命題.D.共線的單位向量是相等向量或相反向量.假命題.應(yīng)選：D.2、對(duì)于空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，有如下關(guān)系：，那么〔〕A．四點(diǎn)，，，必共面 B．四點(diǎn)，，，必共面C．四點(diǎn)，，，必共面 D．五點(diǎn)，，，，必共面【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，判定，，共面，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，即，根?jù)共面向量根本定理，可得，，共面，所以，，，，四點(diǎn)共面．應(yīng)選：B．3、在以下命題中：①假設(shè)向量共線，那么所在的直線平行；②假設(shè)向量所在的直線是異面直線，那么一定不共面；③假設(shè)三個(gè)向量?jī)蓛晒裁?，那么三個(gè)向量一定也共面；④三個(gè)向量，那么空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為.其中正確命題的個(gè)數(shù)為〔〕A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】此題考查向量的知識(shí)點(diǎn)；對(duì)于①：根據(jù)兩向量共線定義知道，兩向量共線有可能兩向量所在的直線重合，所以此命題錯(cuò)誤；對(duì)于②：兩個(gè)向量可以平移到一個(gè)平面內(nèi)，所以此命題錯(cuò)誤；對(duì)于③：假設(shè)三個(gè)向量?jī)蓛晒裁?，這三個(gè)向量有可能不共面，所以此命題錯(cuò)誤；對(duì)于④：根據(jù)空間向量的根本定理知道，這三個(gè)向量要不共面才可以，所以此命題錯(cuò)誤，所以選A4、設(shè)向量不共面,那么以下可作為空間的一個(gè)基底的是()A． B．C． D．【答案】C選項(xiàng)A,B中的三個(gè)向量都是共面向量，所以不能作為空間的一個(gè)基底.選項(xiàng)D中，，根據(jù)空間向量共面定理得這三個(gè)向量共面，所以不能作為空間的一個(gè)基底.選項(xiàng)C中不共面,故可作為空間的一個(gè)基底.應(yīng)選：C.5、如圖，在空間四邊形ABCD中，〔〕A． B．1 C．0 D．不確定【答案】C【詳解】.應(yīng)選：C.6、在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè),,,A1C1與B1D1的交點(diǎn)為E,那么=_____.【答案】-a+b+c【詳解】如圖,)=)=故答案為7、在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD中點(diǎn)，假設(shè)=，=，=，那么=_____．

【答案】【詳解】解：=(+)=+)=+=．故答案為：.8、假設(shè)，，,,假設(shè)不共面,當(dāng)時(shí),α+β+γ=____.【答案】3【解析】【分析】由,所以故有α+β+γ=3.【詳解】由,所以故有α+β+γ=3.故答案為39、如下圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點(diǎn)，P，Q是MN的三等分點(diǎn)，用向量，，表示和【答案】；【解析】【分析】根據(jù)向量的加法、減法法那么及條件，先求出，，，，再結(jié)合圖形，運(yùn)用向量加法，用空間向量根本定理表示出待求向量．【詳解】因?yàn)镸，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點(diǎn)，P，Q是MN的三等分點(diǎn)，所以，，，所以======；======10、如下圖，在平行六面體中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且用基底表示以下向量.〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕..連接〔1〕是的中點(diǎn)〔2〕是的中點(diǎn)〔3〕是的中點(diǎn)〔4〕點(diǎn)在上，且【點(diǎn)睛】此題考查空間向量根本定理，屬于根底題11、如圖，三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于1，．〔1〕設(shè)，，，用向量，，表示，并求出的長(zhǎng)度；〔2〕求異面直線與所成角的余弦值．【答案】〔1〕；；〔2〕.