2023屆陜西省咸陽市乾縣第一中學高三下學期一模文科數(shù)學試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1咸陽市乾縣一中2023屆高三年級第一次模擬考試數(shù)學文科時間120分鐘滿分150分第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12道小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據集合交集運算求解即可.〖詳析〗解：因為，，所以故選：C2.已知復數(shù)的共軛復數(shù)為，則在復平面上對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據復數(shù)與共軛復數(shù)關系，復數(shù)的幾何意義即可解決.〖詳析〗由題知，，所以共軛復數(shù)為在復平面上對應的點為，在第一象限，故選：A3.已知兩個單位向量的夾角是，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據向量模的運算法則運算求解即可.〖詳析〗解：因為兩個單位向量的夾角是，所以，故選：A4.古希臘大哲學家芝諾提出一個有名的悖論，其大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏龜?shù)馁惻苤?，他的速度是烏龜速度?0倍，烏龜在他前面100米爬行，他在后面追，但他不可能追上烏龜，原因是在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發(fā)點，當阿喀琉斯追了100米時，烏龜已在他前面爬行了10米，而當他追到烏龜爬行的10米時，烏龜又向前爬行了1米，就這樣，烏龜會制造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間制造出一個距離，不管這個距離有多小，只要烏龜不停地向前爬行，阿喀琉斯就永遠追不上烏龜．“試問在阿喀琉斯與烏龜?shù)母傎愔校敯⒖λ古c烏龜相距0.01米時，烏龜共爬行了（）A.11.1米 B.10.1米 C.11.11米 D.11米〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據給定條件，利用等比數(shù)列通項及前n項和公式計算作答.〖詳析〗依題意，烏龜爬行的距離依次排成一列構成等比數(shù)列，，公比，，所以當阿喀斯與烏龜相距0.01米時，烏龜共爬行的距離.故選：C5.若滿足約束條件,則的最小值為（）A. B.0 C.4 D.1〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據幾何意義，數(shù)形結合求解即可.〖詳析〗解：如圖，作出約束條件的平面區(qū)域，如圖所示陰影部分，將目標函數(shù)變形得，所以，根據其幾何意義，當直線過點時，其截距最小，所以，的最小值為.故選：A6.設F為拋物線C：的焦點，點A在C上，且A到C焦點的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2，則p＝（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據給定條件，求出拋物線C的焦點坐標及準線方程，再利用定義求解作答.〖詳析〗拋物線C：的焦點，準線方程，顯然點A的橫坐標為2，由拋物線定義得：，所以.故選：B7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出s＝（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據給定的程序框圖，運行程序，依次計算判斷作答.〖詳析〗執(zhí)行程序，第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；第四次循環(huán)：，退出循環(huán)，輸出，所以.故選：A8.已知α，β是兩個不同平面，a，b是兩條不同直線，則下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗分別利用線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，面面垂直的性質定理判斷即可.〖詳析〗對于,若，，則或，故錯誤，對于,若，，時，可能與相交，但不垂直，即不一定，故錯誤，對于,由平面與平面垂直性質定理可知，若，，，時，則，若時，直線與平面不垂直，故錯誤，對于C.若，則兩平面的法向量互相垂直，因為，，所以，正確

故選：C.9.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據給定條件，利用正弦定理求出邊長a，再判斷三角形形狀，求出面積作答.〖詳析〗在中，由正弦定理得：，因此，則，而，即有是正三角形，所以的面積.故選：B10.如圖，中，，為的中點，將沿折疊成三棱錐，則該棱錐體積最大值為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據題意易得平面，進而得三棱錐的體積為即可得〖答案〗.〖詳析〗解：因為在中，，為的中點，所以，，所以，在折疊成的三棱錐中，，因平面，所以平面，所以，三棱錐的體積為，當且僅當時等號成立，所以，該棱錐體積最大值為故選：B11.雙曲線的兩個焦點為，點在雙曲線上，且滿足，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗設，進而根據向量垂直的坐標表示得，再根據點在雙曲線上待定系數(shù)求解即可.〖詳析〗解：由題，設，因為所以，因為，所以，解得因為，解得，所以，雙曲線的離心率為.故選：A12.已知定義在上的偶函數(shù)滿足：當時，，且，則方程實根個數(shù)為（）A.6 B.8 C.9 D.10〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由題知函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，在上單調遞增，再令，易得在上為偶函數(shù)，進而作出函數(shù)與的圖象，數(shù)形結合求解即可.〖詳析〗解：因為函數(shù)滿足，所以，，即函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，因為當時，，所以，當時，恒成立，所以，函數(shù)在上單調遞增，因為為定義在上的偶函數(shù)，令，則定義域為，，所以函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，因為因為，所以所以，作出函數(shù)，圖象如圖，由圖象可知，當時，函數(shù)與圖象有4個交點，所以，由偶函數(shù)的對稱性可知，當時，函數(shù)與圖象有4個交點，所以，方程實根個數(shù)為個.故選：B〖『點石成金』〗關鍵點『點石成金』：本題解題的關鍵在于結合題意，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，得到函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且在上單調遞增，進而作出函數(shù)圖象，數(shù)形結合求解.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4道小題，每小題5分，共20分．13.某校有高三學生1200名，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣法從中抽取200名學生進行核酸檢測，用電腦對這1200名學生隨機編號1，2，3，…，1200，已知隨機抽取的一個學生編號為10，則抽取的學生最大編號為____.〖答案〗1198〖解析〗〖祥解〗根據系統(tǒng)抽樣法求出分段間隔和最大編號.〖詳析〗根據系統(tǒng)抽樣法可知，分段間隔為6，編號共分為200段，編號10屬于第2段，所以最大編號在第200段，號碼為10＋6×(200－2)＝1198．故〖答案〗為：1198.14.圓心在軸，半徑為1，且過點的圓的標準方程是_____.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗設圓心坐標為，進而結合題意得，再求圓的標準方程即可.〖詳析〗由題，可設圓心坐標為，因為所求圓的圓心在軸，半徑為1，且過點，所以，，解得，所以，圓心坐標為，半徑為1，所以，所求圓的標準方程為故〖答案〗為：15.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則____.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗由輔助角公式得，再根據余弦函數(shù)的性質求解即可.〖詳析〗解：，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，解得，因為，所以，故〖答案〗為：16.已知函數(shù)，則不等式的解集為______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由題意結合函數(shù)的〖解析〗式分類討論求解不等式的解集即可.〖詳析〗解：當時，，解得，當時，，即，解得，綜上，不等式的解集為.故〖答案〗為：三、解答題：本大題共6道小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．22題23題選作一題，多做按照第一題計分.17.已知數(shù)列的前項之積為.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）設公差不為0的等差數(shù)列中，，___________，求數(shù)列的前項和.請從①；②這兩個條件中選擇一個條件，補充在上面的問題中并作答.注：如果選擇多個條件分別作答，則按照第一個解答計分.〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）根據當時，計算并檢驗成立即可得〖答案〗；（2）根據等差數(shù)列基本計算得，進而，再分組求和即可.〖小問1詳析〗解：當時，當時，綜上，；〖小問2詳析〗解：若選①，設等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得所以，，所以，，所以，所以，若選②，設等差數(shù)列的公差為，因為，所以，又因為，所以，解得所以，，所以，，所以，所以，18.某學校為研究高三學生的身體素質與體育鍛煉時間的關系，對該校400名高三學生(其中女生220名)平均每天體育鍛煉時間進行調查，得到下表：平均每天體育鍛煉時間（分鐘）人數(shù)4072881008020將日平均體育鍛煉時間在40分鐘以上的學生稱為“鍛煉達標生”，調查知女生有40人為“鍛煉達標生”.（1）完成下面2列聯(lián)表，試問：能否有%以上的把握認為“鍛煉達標生”與性別有關?鍛煉達標生鍛煉不達標合計男女合計400附：，其中.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828（2）在“鍛煉達標生”中用分層抽樣方法抽取5人進行體育鍛煉體會交流，再從這5人中選出2人作重點發(fā)言，這2人中至少有一名女生的概率.〖答案〗（1）表格見〖解析〗，有%以上的把握認為“鍛煉達標生”與性別有關（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用題意完成列聯(lián)表，然后計算，與臨界值進行比較即可；（2）根據分層抽樣抽取男生3人，女生2人，然后列舉出抽取兩人的基本事件和至少有一名女生的事件，即可求解〖小問1詳析〗鍛煉達標生鍛煉不達標合計男60120180女40180220合計100300400故有%以上的把握認為“鍛煉達標生”與性別有關.〖小問2詳析〗“鍛煉達標生”中男女人數(shù)之比為，故抽取的男生有3人，女生有2人，用表示男生，用表示女生，基本事件有共10個，其中至少有一名女生的事件有共7個，故所求概率為.19.如圖，直三棱柱中，，為上的中點.（1）證明：平面平面;（2）若，求點到平面的距離.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）分別取的中點，連接，進而證明，再證明平面即可證明結論；（2）由題知平面，進而根據等體積法計算即可得〖答案〗.〖小問1詳析〗證明：分別取的中點，連接所以，，因為為上的中點，所以，所以，，所以，四邊形是平行四邊形，即因為，是的中點，所以，因為在直三棱柱中,平面，平面，所以，因為平面所以平面又所以平面，而平面所以平面平面；〖小問2詳析〗解：因為在直三棱柱中,平面，平面，所以，因為，所以，即,因為平面所以平面，即平面，設點到面的距離為所以，在三棱錐中，因為，即因為，所以在中，，得所以，，得所以，點到平面的距離為.20.已知橢圓離心率為，它的四個頂點構成的四邊形的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）設過點的直線與圓相切且與橢圓交于、兩點，求的最大值．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據已知條件可得出關于、、的方程，解出、的值，可得出橢圓的方程；（2）分析可知，直線不與軸平行或重合，設直線的方程為，利用直線與圓相切可得出，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式以及基本不等式可求得的最大值.〖小問1詳析〗解：橢圓的四個頂點構成的四邊形的面積為，由題意可得，解得，．所以，橢圓的方程為．〖小問2詳析〗解：若直線與軸平行或重合，此時直線與圓相交，不合乎題意，設直線的方程為，由題意可得，即.聯(lián)立消去得，即，．設、，則，．所以，．令，則，則，當且僅當時等號成立，此時，．故的最大值為．〖『點石成金』〗方法『點石成金』：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調性或三角函數(shù)的有界性等求最值．21.已知函數(shù).（1）求在點處的切線方程;（2）求證：當時，.〖答案〗（1）（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）根據導數(shù)的幾何意義直接求解即可；（2）由題知，進而構造函數(shù)，研究最小值即可證明；〖小問1詳析〗解：由題知，，，所以，切點為，斜率為，所以，所求切線為.〖小問2詳析〗證明：，即令，則令，，則在恒成立，所以，在上單調遞增，有，所以，在恒成立，即在上單調遞增，所以，，即，綜上，當時，.22.在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為．（1）寫出曲線的直角坐標方程；（2）設直線與曲線交于兩點，若，求的值．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據極坐標與直角坐標方程的互化求解即可；（2）根據直線的參數(shù)方程的幾何意義求解即可.〖小問1詳析〗解：曲線：，所以，曲線的直角坐標方程為．〖小問2詳析〗解：法1：將直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入曲線的直角坐標方程得：，整理得，設方程的實數(shù)根為，所以，，所以一正一負，所以，由直線的參數(shù)方程幾何意義得：．法2：由（1）知曲線表示圓，圓心為，半徑為直線（t為參數(shù)）化為直角坐標方程為，所以，曲線的圓心到直線的距離為，所以，直線與曲線相交，因為，即點在圓內，所以，．23.已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）設的最小值為m，且，求證．〖答案〗（1）；（2）證明見〖解析〗.〖解析〗分析〗（1）用分段函數(shù)表示函數(shù)，再分段解不等式作答.（2）利用（1）的結論，利用均值不等式“1”的妙用推理作答.〖小問1詳析〗依題意，函數(shù)，因此不等式化為：或或，解得或或，所以不等式的解集為．〖小問2詳析〗由（1）知，，即有，因此，當且僅當，即，，時等號成立，所以．高考模擬試題PAGEPAGE1咸陽市乾縣一中2023屆高三年級第一次模擬考試數(shù)學文科時間120分鐘滿分150分第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12道小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據集合交集運算求解即可.〖詳析〗解：因為，，所以故選：C2.已知復數(shù)的共軛復數(shù)為，則在復平面上對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據復數(shù)與共軛復數(shù)關系，復數(shù)的幾何意義即可解決.〖詳析〗由題知，，所以共軛復數(shù)為在復平面上對應的點為，在第一象限，故選：A3.已知兩個單位向量的夾角是，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據向量模的運算法則運算求解即可.〖詳析〗解：因為兩個單位向量的夾角是，所以，故選：A4.古希臘大哲學家芝諾提出一個有名的悖論，其大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏龜?shù)馁惻苤?，他的速度是烏龜速度?0倍，烏龜在他前面100米爬行，他在后面追，但他不可能追上烏龜，原因是在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發(fā)點，當阿喀琉斯追了100米時，烏龜已在他前面爬行了10米，而當他追到烏龜爬行的10米時，烏龜又向前爬行了1米，就這樣，烏龜會制造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間制造出一個距離，不管這個距離有多小，只要烏龜不停地向前爬行，阿喀琉斯就永遠追不上烏龜．“試問在阿喀琉斯與烏龜?shù)母傎愔校敯⒖λ古c烏龜相距0.01米時，烏龜共爬行了（）A.11.1米 B.10.1米 C.11.11米 D.11米〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據給定條件，利用等比數(shù)列通項及前n項和公式計算作答.〖詳析〗依題意，烏龜爬行的距離依次排成一列構成等比數(shù)列，，公比，，所以當阿喀斯與烏龜相距0.01米時，烏龜共爬行的距離.故選：C5.若滿足約束條件,則的最小值為（）A. B.0 C.4 D.1〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據幾何意義，數(shù)形結合求解即可.〖詳析〗解：如圖，作出約束條件的平面區(qū)域，如圖所示陰影部分，將目標函數(shù)變形得，所以，根據其幾何意義，當直線過點時，其截距最小，所以，的最小值為.故選：A6.設F為拋物線C：的焦點，點A在C上，且A到C焦點的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2，則p＝（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據給定條件，求出拋物線C的焦點坐標及準線方程，再利用定義求解作答.〖詳析〗拋物線C：的焦點，準線方程，顯然點A的橫坐標為2，由拋物線定義得：，所以.故選：B7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出s＝（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據給定的程序框圖，運行程序，依次計算判斷作答.〖詳析〗執(zhí)行程序，第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；第四次循環(huán)：，退出循環(huán)，輸出，所以.故選：A8.已知α，β是兩個不同平面，a，b是兩條不同直線，則下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗分別利用線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，面面垂直的性質定理判斷即可.〖詳析〗對于,若，，則或，故錯誤，對于,若，，時，可能與相交，但不垂直，即不一定，故錯誤，對于,由平面與平面垂直性質定理可知，若，，，時，則，若時，直線與平面不垂直，故錯誤，對于C.若，則兩平面的法向量互相垂直，因為，，所以，正確

故選：C.9.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據給定條件，利用正弦定理求出邊長a，再判斷三角形形狀，求出面積作答.〖詳析〗在中，由正弦定理得：，因此，則，而，即有是正三角形，所以的面積.故選：B10.如圖，中，，為的中點，將沿折疊成三棱錐，則該棱錐體積最大值為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據題意易得平面，進而得三棱錐的體積為即可得〖答案〗.〖詳析〗解：因為在中，，為的中點，所以，，所以，在折疊成的三棱錐中，，因平面，所以平面，所以，三棱錐的體積為，當且僅當時等號成立，所以，該棱錐體積最大值為故選：B11.雙曲線的兩個焦點為，點在雙曲線上，且滿足，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗設，進而根據向量垂直的坐標表示得，再根據點在雙曲線上待定系數(shù)求解即可.〖詳析〗解：由題，設，因為所以，因為，所以，解得因為，解得，所以，雙曲線的離心率為.故選：A12.已知定義在上的偶函數(shù)滿足：當時，，且，則方程實根個數(shù)為（）A.6 B.8 C.9 D.10〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由題知函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，在上單調遞增，再令，易得在上為偶函數(shù)，進而作出函數(shù)與的圖象，數(shù)形結合求解即可.〖詳析〗解：因為函數(shù)滿足，所以，，即函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，因為當時，，所以，當時，恒成立，所以，函數(shù)在上單調遞增，因為為定義在上的偶函數(shù)，令，則定義域為，，所以函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，因為因為，所以所以，作出函數(shù)，圖象如圖，由圖象可知，當時，函數(shù)與圖象有4個交點，所以，由偶函數(shù)的對稱性可知，當時，函數(shù)與圖象有4個交點，所以，方程實根個數(shù)為個.故選：B〖『點石成金』〗關鍵點『點石成金』：本題解題的關鍵在于結合題意，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，得到函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且在上單調遞增，進而作出函數(shù)圖象，數(shù)形結合求解.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4道小題，每小題5分，共20分．13.某校有高三學生1200名，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣法從中抽取200名學生進行核酸檢測，用電腦對這1200名學生隨機編號1，2，3，…，1200，已知隨機抽取的一個學生編號為10，則抽取的學生最大編號為____.〖答案〗1198〖解析〗〖祥解〗根據系統(tǒng)抽樣法求出分段間隔和最大編號.〖詳析〗根據系統(tǒng)抽樣法可知，分段間隔為6，編號共分為200段，編號10屬于第2段，所以最大編號在第200段，號碼為10＋6×(200－2)＝1198．故〖答案〗為：1198.14.圓心在軸，半徑為1，且過點的圓的標準方程是_____.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗設圓心坐標為，進而結合題意得，再求圓的標準方程即可.〖詳析〗由題，可設圓心坐標為，因為所求圓的圓心在軸，半徑為1，且過點，所以，，解得，所以，圓心坐標為，半徑為1，所以，所求圓的標準方程為故〖答案〗為：15.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則____.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗由輔助角公式得，再根據余弦函數(shù)的性質求解即可.〖詳析〗解：，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，解得，因為，所以，故〖答案〗為：16.已知函數(shù)，則不等式的解集為______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由題意結合函數(shù)的〖解析〗式分類討論求解不等式的解集即可.〖詳析〗解：當時，，解得，當時，，即，解得，綜上，不等式的解集為.故〖答案〗為：三、解答題：本大題共6道小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．22題23題選作一題，多做按照第一題計分.17.已知數(shù)列的前項之積為.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）設公差不為0的等差數(shù)列中，，___________，求數(shù)列的前項和.請從①；②這兩個條件中選擇一個條件，補充在上面的問題中并作答.注：如果選擇多個條件分別作答，則按照第一個解答計分.〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）根據當時，計算并檢驗成立即可得〖答案〗；（2）根據等差數(shù)列基本計算得，進而，再分組求和即可.〖小問1詳析〗解：當時，當時，綜上，；〖小問2詳析〗解：若選①，設等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得所以，，所以，，所以，所以，若選②，設等差數(shù)列的公差為，因為，所以，又因為，所以，解得所以，，所以，，所以，所以，18.某學校為研究高三學生的身體素質與體育鍛煉時間的關系，對該校400名高三學生(其中女生220名)平均每天體育鍛煉時間進行調查，得到下表：平均每天體育鍛煉時間（分鐘）人數(shù)4072881008020將日平均體育鍛煉時間在40分鐘以上的學生稱為“鍛煉達標生”，調查知女生有40人為“鍛煉達標生”.（1）完成下面2列聯(lián)表，試問：能否有%以上的把握認為“鍛煉達標生”與性別有關?鍛煉達標生鍛煉不達標合計男女合計400附：，其中.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828（2）在“鍛煉達標生”中用分層抽樣方法抽取5人進行體育鍛煉體會交流，再從這5人中選出2人作重點發(fā)言，這2人中至少有一名女生的概率.〖答案〗（1）表格見〖解析〗，有%以上的把握認為“鍛煉達標生”與性別有關（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用題意完成列聯(lián)表，然后計算，與臨界值進行比較即可；（2）根據分層抽樣抽取男生3人，女生2人，然后列舉出抽取兩人的基本事件和至少有一名女生的事件，即可求解〖小問1詳析〗鍛煉達標生鍛煉不達標合計男60120180女40180220合計100300400故有%以上的把握認為“鍛煉達標生”與性別有關.〖小問2詳析〗“鍛煉達標生”中男女人數(shù)之比為，故抽取的男生有3人，女生有2人，用表示男生，用表示女生，基本事件有共10個，其中至少有一名女生的事件有共7個，故所求概率為.19.如圖，直三棱柱中，，為上的中點.（1）證明：平面平面;（2）若，求點到平面的距離.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）分別取的中點，連接，進而證明，再證明平面即可證明結論；（2）由題知平面，進而根據等體積法計算即可得〖答案〗.〖小問1詳析〗證明：分別取的中點，連接所以，，因為為上的中點，所以，所以，，所以，四邊形是平行四邊形，即因為，是的中點，所以，因為在直三棱柱中,平面，平面，所以，因為平面所以平面又所以平面，而平面所以平面平面；〖小問2詳析〗解：因為在直三棱柱中,平面，平面，所以，因為，所以，即,因為平面所以平面，即平面，設點到面的距離為所以，在三棱錐中，因為，即因為，所以在中，，得所以，，得所以，點到平面的距離為.20.已知橢圓離心率為，它的四個頂點構成的四邊形的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）設過點的直線與圓相切且與橢圓交于、兩點，求的最大值．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據已知條件可得出關于、、的方程，解出、的值，可得出橢圓的方程；（2）分析可知，直線不與軸平行或重