廣東省陽江市江城區(qū)2024屆九年級下學期中考一模數(shù)學試卷(含答案)

2024年廣東省陽江市江城區(qū)中考數(shù)學一模試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）下列實數(shù)中，最大的是（）A． B． C．0 D．|﹣3|答案：D．2．（3分）剪紙文化是我國最古老的民間藝術之一．下列剪紙圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．答案：A．3．（3分）機器人的研發(fā)是當今時代研究的重點．中國科學院寧波材料技術與工程研究所研發(fā)的新型DNA工業(yè)納米機器人，其大小僅約100納米．已知1納米＝10?9米，則100納米用科學記數(shù)法表示為（）A．1×10?7米 B．1×10?8米 C．﹣1×107米 D．1×10?11米答案：A．4．（3分）下列計算正確的是（）A．a3?a6＝a18 B．（﹣2a）3＝﹣8a3 C．a8÷a4＝a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣1答案：B．5．（3分）在平面直角坐標系中，將A（3，﹣1）先向左平移3個單位，再向上平移2個單位后得到點A，則A的坐標是（）A．（6，1） B．（0，1） C．（0，﹣3） D．（6，﹣3）答案：B．6．（3分）下列圖形中不是正方體的表面展開圖的是（）A． B． C． D．答案：B．7．（3分）若扇形的半徑為3，圓心角為60°，則此扇形的弧長是（）A．π B．π C．π D．2π答案：B．8．（3分）小聰利用最近學習的數(shù)學知識，給同伴出了這樣一道題：假如從點A出發(fā)，沿直線走6米后向左轉θ，接著沿直線前進6米后，再向左轉θ……如此下去，當他第一次回到A點時，發(fā)現(xiàn)自己走了72米，θ的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．60° D．72°答案：A．9．（3分）已知x2+2x﹣2＝0，計算的值是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．答案：A．10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點D落在BC邊上的點F處，若AB＝6，BC＝10，則tan∠EAF的值為（）A． B． C． D．答案：D．二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分。11．（3分）請寫出一個y隨x的增大而增大的一次函數(shù)的表達式：答案不唯一，如y＝x．12．（3分）如圖，在一束平行光線中插入一張對邊平行的紙板．如果圖中∠1是70°，那么∠2的度數(shù)是110°．13．（3分）已知a+b＝5，ab＝4，則多項式a2b+ab2的值為20．14．（3分）某地為了解決市民看病貴的問題，決定下調藥品的價格，某種藥品經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，由每盒200元下調至162元．若這種藥品平均每次降價的百分率為x，則可列得方程為200（1﹣x）2＝162．【分析】設這種藥品平均每次降價的百分率為x，根據(jù)該藥品的原價及經(jīng)過兩次降價后的價格，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點M，N，連接MN，與AC，AB分別交于點D，E．連接BD．若∠A＝15°，BD＝2，則△ADB的面積為1．16．（3分）如圖，點M坐標為（0，1），點A坐標為（1，0），以點M為圓心，MA為半徑作⊙M，與x軸的另一個交點為B，點C是⊙M上的一個動點，連接BC，AC，點D是AC的中點，連接OD，則線段OD的最大值為．三、解答題（一）：本大題共3小題，第17題10分，第18、19題各7分，共24分．17．（10分）（1）計算：；（2）解不等式組．解：（1）原式＝1+4﹣2＝3；（2），解不等式①得：x＞1；解不等式②得：x＜2；∴不等式組的解集為1＜x＜2．18．（7分）某社區(qū)積極響應正在開展的“創(chuàng)文活動”，安排甲、乙兩個工程隊對社區(qū)進行綠化改造．已知甲工程隊每天能完成的綠化改造面積是乙工程隊每天能完成的綠化改造面積的2倍，并且甲工程隊完成400平方米的綠化改造比乙工程隊完成400平方米的綠化改造少用4天．分別求甲、乙兩工程隊每天能完成綠化改造的面積．解：設乙工程隊每天能完成的綠化改造面積是x平方米，則甲工程隊每天能完成的綠化改造面積是2x平方米，根據(jù)題意得：，解得：x＝50．經(jīng)檢驗x＝50是所列方程的解，且符合題目要求，此時2x＝100，答：甲、乙兩工程隊每天能完成的綠化改造面積分別是100平方米和50平方米．19．（7分）已知某蓄電池的電壓為定值，使用該蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關系，它的圖象如圖所示．（1）求出這個反比例函數(shù)的解析式；（2）如果以此蓄電池為電的用電器限制電流不能超過10A，求出用電器可變電阻應控制在什么范圍．解：（1）電流I是電阻R的反比例函數(shù)，設I＝，∵圖象經(jīng)過（8，6），∴1.8＝6＝，解得：k＝8×6＝48，∴這個反比例函數(shù)的解析式為I＝；（2）∵I≤3，I＝，∴≤10，∴R≥4.8，即用電器可變電阻應控制在4.8歐以上的范圍內．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題8分，共24分．20．（8分）為提高學生的國家安全意識，某校九年級舉行了國家安全知識競賽活動．現(xiàn)從參賽學生中分別隨機抽取15名男生和15名女生的競賽成績作為樣本，對樣本競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（競賽成績用x表示，共分成4個組，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），得到如圖所示的統(tǒng)計圖表．其中女生樣本成績在C組中的數(shù)據(jù)為85，88，87．男、女生樣本成績對比統(tǒng)計表統(tǒng)計量平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)男生888999女生88a98（1）填空：a＝87，b＝20；（2）若被抽取的15名女生中有且只有1人得最低分，學校準備從樣本成績?yōu)?0分以下的女生中抽取2人談話，用列表法或畫樹狀圖的方法計算得分最低的女生被抽到的概率．解：（1）由題意得，b%＝3÷15×100%＝20%，∴b＝20．女生樣本成績在D組的人數(shù)為15×40%＝6（人），將15名女生樣本成績按照從大到小的順序排列，排在第8名的成績?yōu)?7，∴a＝87．故答案為：87；20．（2）女生樣本成績在A組的人數(shù)為15×（1﹣20%﹣20%﹣40%）＝3（人），將這3名女生按分數(shù)從大到小分別記為A，B，C，列表如下：ABCA（A，B）（A，C）B（B，A）（B，C）C（C，A）（C，B）共有6種等可能的結果，其中得分最低的女生被抽到的結果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），共4種，∴得分最低的女生被抽到的概率為＝．21．（8分）如圖，在△ABC中，O是邊AD上的一點，以點O為圓心，OD的長為半徑，⊙O恰好與邊AB相切于點B，與邊AD交于點C，連接BC．（1）求證：△ABC∽△ADB．（2）若AB＝5，AC＝3，求⊙O的半徑．（1）證明：連接OB，∵AB與圓相切于B，∴OB⊥AB，∴∠ABC+∠CBO＝90°，∵CD是圓的直徑，∴∠CBD＝90°，∴∠D+∠OCB＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠D＝∠ABC，∵∠CAB＝∠BAD，∴△ABC∽△ADB．（2）解：∵△ABC∽△ADB，∴AB：AD＝AC：AB，∵AB＝5，AC＝3，∴5：AD＝3：5，∴AD＝，∴CD＝AD﹣AC＝，∴⊙O的半徑是CD＝．22．（8分）圖1是安裝在傾斜屋頂上的熱水器，圖2是安裝熱水器的側面示意圖．已知屋面AE的傾斜角∠EAD為22°，長為3米的真空管AB與水平線AD的夾角為37°，安裝熱水器的鐵架豎直管CE的長度為0.5米．（1）真空管上端B到水平線AD的距離．（2）求安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度（結果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4）解：（1）過B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，sin∠BAF＝，則BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈3×＝1.8（米）．答：真空管上端B到AD的距離約為1.8米；（2）在Rt△ABF中，cos∠BAF＝，則AF＝ABcos∠BAF＝3×cos37°≈2.4（米），∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，∴四邊形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝1.3米，在Rt△EAD中，tan∠EAD＝，則AD＝≈＝3.25（米），∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.4≈0.9（米），答：安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度約為0.9米．五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分．23．（12分）如圖1，在邊長為5的正方形ABCD中，點E是線段BC上一動點，連接AE，以AE為邊在直線AE右側作正方形AEFG．（1）如圖1，若EF與CD交于點H，且∠EHD＝125°，求∠BAG的度數(shù)；（2）連接DG，求證：C、D、G三點共線；（3）如圖2，當點E是線段BC中點，連接CF，求線段CF的長．（1）解：∵四邊形AEFG是正方形，∴∠AEF＝∠EAG＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠DAE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEH﹣∠EHD＝360°﹣90°﹣90°﹣125°＝55°，∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠BAG＝∠EAG+∠BAE＝90°+35°＝125°；（2）證明：連接DG，∵四邊形ABCD，AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴∠B＝∠ADG＝90°，∴∠ADC+∠ADG＝180°，∴C、D、G三點共線；（3）解：過點F作FK⊥BC，交BC的延長線于點K，連接CF，則∠EKF＝90°，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，∴AE＝EF，∠B＝∠AEF＝90°，∴∠B＝∠EKF，∵∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠FEK＝90°，∴∠BAE＝∠FEK，∴△AEB≌△EFK（AAS），∴BE＝FK，AB＝EK＝5，∵點E是線段BC的中點，∴BE＝EC＝×5＝，∴FK＝CK＝，∵∠CKF＝90°，∴△CFK是等腰直角三角形，∴CF＝FK＝．24．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）設點P是直線BC上方拋物線上一點，求出△PBC的最大面積及此時點P的坐標；（3）若點M是拋物線對稱軸上一動點，點N為坐標平面內一點，是否存在以BC為邊，點B、C、M、N為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）由題意得，拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），則﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為：y＝﹣x+3，如圖，過點P作y軸的平行線交CB于點H，設點P（x，﹣x2+2x+3），則點H（x，﹣x+3），則△PBC的面積＝S△PHC+S△PHB＝PH×OB＝（﹣x2+2x+x﹣3）＝﹣（x﹣）2+≤，即△PBC的面積的最大值為，此時點P（，）；（3）存在，理由：∵B（3，0），C（0，3），∴拋物線的解析