數(shù)學(xué)示范教案：向量在幾何中的應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7(），\s\do5（整體設(shè)計(jì)))教學(xué)分析1．本節(jié)的目的是讓學(xué)生加深對(duì)向量的認(rèn)識(shí),更好地體會(huì)向量這個(gè)工具的優(yōu)越性．教學(xué)中,主要是通過例子說明向量在幾何中的應(yīng)用．對(duì)于向量方法，就思路而言，幾何中的向量方法完全與幾何中的代數(shù)方法一致，不同的只是用“向量和向量運(yùn)算”來(lái)代替“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算”．這就是把點(diǎn)、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量，對(duì)這些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論，然后把這些計(jì)算結(jié)果翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、面的相應(yīng)結(jié)果．代數(shù)方法的流程圖可以簡(jiǎn)單地表述為：則向量方法的流程圖可以簡(jiǎn)單地表述為:這就是本節(jié)給出的用向量方法解決幾何問題的“三步曲”,也是本節(jié)的重點(diǎn)．2．研究幾何可以采取不同的方法，這些方法包括:綜合方法——不使用其他工具，對(duì)幾何元素及其關(guān)系直接進(jìn)行討論；解析方法—-以數(shù)（代數(shù)式)和數(shù)（代數(shù)式)的運(yùn)算為工具,對(duì)幾何元素及其關(guān)系進(jìn)行討論；向量方法——以向量和向量的運(yùn)算為工具,對(duì)幾何元素及其關(guān)系進(jìn)行討論;分析方法——以微積分為工具，對(duì)幾何元素及其關(guān)系進(jìn)行討論，等等．前三種方法都是中學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的內(nèi)容．有些平面幾何問題，利用向量方法求解比較容易．使用向量方法要點(diǎn)在于用向量表示線段或點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)與線之間的關(guān)系，建立向量等式,再根據(jù)向量的線性相關(guān)與無(wú)關(guān)的性質(zhì)，得出向量的系數(shù)應(yīng)滿足的方程組,求出方程組的解，從而解決問題．使用向量方法時(shí)，要注意向量起點(diǎn)的選取，選取得當(dāng)可使計(jì)算過程大大簡(jiǎn)化．三維目標(biāo)1．通過書中例子，了解向量在平面幾何中的應(yīng)用,理解向量與直線平行、垂直的概念，直線斜率與直線方向向量間的關(guān)系．2．明了平面幾何圖形中的有關(guān)性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示，會(huì)求經(jīng)過一點(diǎn)且與已知向量平行的直線方程．3．通過本節(jié)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生深刻理解向量在處理有關(guān)平面幾何問題中的優(yōu)越性，活躍學(xué)生的思維,發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，并體會(huì)向量在幾何和現(xiàn)實(shí)生活中的意義．教學(xué)中要求盡量引導(dǎo)學(xué)生使用信息技術(shù)這個(gè)現(xiàn)代化手段．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):用向量方法解決實(shí)際問題的基本方法;向量法解決幾何問題的“三步曲"．教學(xué)難點(diǎn)：如何將幾何等實(shí)際問題化歸為向量問題．課時(shí)安排1課時(shí)eq\o(\s\up7（),\s\do5(教學(xué)過程）)導(dǎo)入新課思路1.(直接導(dǎo)入)向量的概念和運(yùn)算都有著明確的物理背景和幾何背景，當(dāng)向量和平面坐標(biāo)系結(jié)合后，向量的運(yùn)算就完全可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來(lái)了極大的方便．本節(jié)專門研究平面幾何中的向量方法．思路2。（情境導(dǎo)入)由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì),如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)，因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問題．下面通過幾個(gè)具體實(shí)例，說明向量方法在平面幾何中的運(yùn)用．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題))（1）平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型，如圖1,你能觀察、發(fā)現(xiàn)并猜想出平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩鄰邊長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系嗎？圖1（2)你能利用所學(xué)知識(shí)證明你的猜想嗎？能利用所學(xué)的向量方法證明嗎？試一試可用哪些方法？(3）你能總結(jié)一下利用平面向量解決平面幾何問題的基本思路嗎?活動(dòng)：（1)教師引導(dǎo)學(xué)生猜想平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩鄰邊長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系．利用類比的思想方法，猜想平行四邊形有沒有相似關(guān)系．指導(dǎo)學(xué)生猜想出結(jié)論:平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和．(2）教師引導(dǎo)學(xué)生探究證明方法，并點(diǎn)撥學(xué)生對(duì)各種方法分析比較，平行四邊形是學(xué)生熟悉的重要的幾何圖形，在平面幾何的學(xué)習(xí)中,學(xué)生得到了它的許多性質(zhì)，有些性質(zhì)的得出比較麻煩,有些性質(zhì)的得出比較簡(jiǎn)單．讓學(xué)生體會(huì)研究幾何可以采取不同的方法,這些方法包括綜合方法、解析方法、向量方法．(3）由于平面幾何經(jīng)常涉及距離(線段長(zhǎng)度）、夾角問題，而平面向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積主要涉及向量的模以及向量之間的夾角,因此我們可以用向量方法解決部分幾何問題．解決幾何問題時(shí)，先用向量表示相應(yīng)的點(diǎn)、線段、夾角等幾何元素．然后通過向量的運(yùn)算,特別是數(shù)量積來(lái)研究點(diǎn)、線段等元素之間的關(guān)系．最后再把運(yùn)算結(jié)果“翻譯"成幾何關(guān)系，得到幾何問題的結(jié)論．這就是用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”，即①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．討論結(jié)果:略eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例)）例1如圖2，已知平行四邊形ABCD中,E,F在對(duì)角線BD上，并且BE＝FD,求證：四邊形AECF是平行四邊形．圖2證明：由已知可設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o（DC,\s\up6(→））＝a，eq\o(BE,\s\up6(→)）＝eq\o（FD，\s\up6(→)）＝b，則eq\o（AE，\s\up6（→))＝eq\o（AB,\s\up6(→））＋eq\o（BE，\s\up6(→））＝a＋b，eq\o(FC,\s\up6（→））＝eq\o（FD，\s\up6（→)）＋eq\o（DC,\s\up6（→)）＝b＋a。因?yàn)閍＋b＝b＋a，所以eq\o（AE，\s\up6(→))＝eq\o(FC，\s\up6（→))，即邊AE，F(xiàn)C平行且相等．因此,四邊形AECF是平行四邊形．點(diǎn)評(píng)：解完此例后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)選擇基底，用向量證明幾何問題的思路.變式訓(xùn)練如圖3，AD、BE、CF是△ABC的三條高．求證：AD、BE、CF相交于一點(diǎn)．圖3證明:設(shè)BE、CF相交于H，并設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6（→)）＝c,eq\o(AH，\s\up6（→)）＝h，則eq\o(BH，\s\up6（→））＝h－b，eq\o(CH，\s\up6(→))＝h－c，eq\o(BC,\s\up6(→）)＝c－b.因?yàn)閑q\o（BH，\s\up6（→））⊥eq\o(AC，\s\up6（→））,eq\o(CH,\s\up6（→）)⊥eq\o(AB,\s\up6（→)），所以(h－b）·c＝0,（h－c）·b＝0，即（h－b）·c＝(h－c)·b.化簡(jiǎn)得h·（c－b）＝0。所以eq\o（AH,\s\up6（→））⊥eq\o(BC，\s\up6（→）)。所以AH與AD共線，即AD、BE、CF相交于一點(diǎn)H。例2求證：平行四邊形對(duì)角線互相平分．活動(dòng)：在初中時(shí)，這個(gè)定理用三角形全等判定定理和平行線的性質(zhì)證明過．這里，我們用向量運(yùn)算的方法再證一次．雖然證明過程看上去并不簡(jiǎn)單,但證明過程給我們提供了用向量證明幾何問題的一般方法．本例教師可直接講解．證明：如圖4，已知ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M,圖4設(shè)eq\o（AM，\s\up6(→))＝xeq\o（AC,\s\up6（→）)，eq\o(BM，\s\up6（→)）＝y(tǒng)eq\o（BD,\s\up6（→）），則eq\o（AM，\s\up6(→）)＝xeq\o(AC，\s\up6(→))＝xeq\o（AB，\s\up6(→)）＋xeq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AM，\s\up6（→））＝eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o（BM，\s\up6（→))＝eq\o(AB，\s\up6（→))＋yeq\o(BD，\s\up6(→)）＝eq\o（AB,\s\up6(→）)＋y（eq\o（AD，\s\up6(→)）－eq\o（AB，\s\up6(→））)＝(1－y)eq\o（AB，\s\up6(→）)＋yeq\o(AD，\s\up6(→））.于是，我們得到eq\o（AM，\s\up6（→）)關(guān)于基底{eq\o(AB，\s\up6（→)），eq\o(AD,\s\up6（→）)｝的兩個(gè)分解式．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1－y，，x＝y(tǒng)，)）解此方程組，得x＝eq\f(1，2)，y＝eq\f（1,2）.所以點(diǎn)M是AC和BD的中點(diǎn)，即對(duì)角線AC和BD在交點(diǎn)M處互相平分．點(diǎn)評(píng)：從例2的證明可以看出，證明方法與代數(shù)學(xué)中的解應(yīng)用題方法（設(shè)未知數(shù)，列方程)基本一致．這里，也是先設(shè)未知數(shù)，由題中給出的條件，列出向量表達(dá)式，再選基底向量，列出同一向量的兩個(gè)分解式,由向量分解的唯一性轉(zhuǎn)化為方程組求解．例3已知正方形ABCD(圖5)，P為對(duì)角線AC上任意一點(diǎn),PE⊥AB于點(diǎn)E,PF⊥BC于點(diǎn)F，連接DP，EF.求證：DP⊥EF。圖5證明：選擇正交基底{eq\o（AB,\s\up6（→))，eq\o(AD,\s\up6（→）)}，在這個(gè)基底下，有eq\o(AB，\s\up6（→))＝(1,0)，eq\o(AD,\s\up6(→）)＝（0，1)，由已知，可設(shè)eq\o(AP，\s\up6(→)）＝（a，a)，得eq\o(EB,\s\up6（→）)＝(1－a，0),eq\o（BF,\s\up6(→))＝（0，a),eq\o(EF，\s\up6(→））＝（1－a,a)，eq\o（DP，\s\up6(→））＝eq\o(AP,\s\up6（→))－eq\o（AD，\s\up6（→）)＝（a，a－1)．因?yàn)閑q\o（DP，\s\up6（→))·eq\o（EF，\s\up6(→））＝（1－a,a）·（a，a－1)＝（1－a）a＋a（a－1)＝0，所以eq\o(DP，\s\up6(→））⊥eq\o(EF,\s\up6(→））.因此DP⊥EF.變式訓(xùn)練如圖6，在Rt△ABC中，已知BC＝a.若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn),問:eq\o（PQ，\s\up6(→))與eq\o（BC，\s\up6（→))的夾角θ取何值時(shí),eq\o（BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ，\s\up6（→）)的值最大?并求出這個(gè)最大值．圖6解：方法一，如圖6.∵eq\o(AB，\s\up6（→)）⊥eq\o（AC，\s\up6（→))，∴eq\o(AB，\s\up6(→))·eq\o（AC,\s\up6（→）)＝0.∵eq\o(AP,\s\up6（→))＝－eq\o(AQ，\s\up6(→)）,eq\o(BP,\s\up6(→））＝eq\o（AP,\s\up6（→）)－eq\o（AB,\s\up6（→）），eq\o(CQ,\s\up6（→）)＝eq\o(AQ,\s\up6(→)）－eq\o（AC,\s\up6（→)），∴eq\o(BP，\s\up6（→））·eq\o（CQ,\s\up6(→）)＝（eq\o(AP,\s\up6(→））－eq\o(AB，\s\up6(→)）)·（eq\o（AQ，\s\up6（→)）－eq\o（AC,\s\up6（→））)＝eq\o（AP，\s\up6(→）)·eq\o（AQ，\s\up6(→））－eq\o（AP，\s\up6(→）)·eq\o(AC，\s\up6（→)）－eq\o（AB,\s\up6（→))·eq\o(AQ，\s\up6（→）)＋eq\o（AB，\s\up6(→）)·eq\o（AC,\s\up6(→)）＝－a2－eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o（AC，\s\up6（→）)＋eq\o(AB,\s\up6(→）)·eq\o（AP,\s\up6(→）)＝－a2＋eq\o(AP，\s\up6（→）)·（eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o（AC,\s\up6（→)））＝－a2＋eq\f(1,2)eq\o(PQ,\s\up6（→)）·eq\o(BC，\s\up6(→)）＝－a2＋a2cosθ。故當(dāng)cosθ＝1,即θ＝0，eq\o(PQ,\s\up6(→））與eq\o（BC，\s\up6(→))的方向相同時(shí)，eq\o(BP，\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6（→))最大,其最大值為0。方法二:如圖7.圖7以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),兩直角邊所在的直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)｜AB｜＝c，|AC|＝b,則A（0，0），B(c，0)，C(0，b)，且|PQ｜＝2a，|BC｜＝a.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y),則Q（－x,－y)．∴eq\o(BP,\s\up6(→)）＝(x－c,y）,eq\o(CQ，\s\up6(→)）＝(－x，－y－b），eq\o（BC，\s\up6（→））＝(－c，b)，eq\o(PQ，\s\up6（→)）＝(－2x，－2y）．∴eq\o（BP,\s\up6（→)）·eq\o（CQ，\s\up6(→））＝（x－c）（－x)＋y(－y－b）＝－(x2＋y2）＋cx－by.∵cosθ＝eq\f(\o（PQ，\s\up6(→)）·\o(BC,\s\up6（→）)，|\o(PQ,\s\up6（→)）｜|\o（BC,\s\up6(→）)|）＝eq\f（cx－by，a2),∴cx－by＝a2cosθ。∴eq\o(BP,\s\up6（→)）·eq\o(CQ，\s\up6（→)）＝－a2＋a2cosθ。故當(dāng)cosθ＝1，即θ＝0，eq\o（PQ，\s\up6(→）)與eq\o（BC，\s\up6（→))的方向相同時(shí)，eq\o(BP,\s\up6（→)）·eq\o(CQ，\s\up6（→）)最大，其最大值為0。例4求通過點(diǎn)A（－1,2）,且平行于向量a＝(3,2）的直線方程(圖8)．圖8活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生分析本例條件，可由向量確定直線斜率．教師可借此講解：在解析幾何初步中，我們用一條直線的傾斜角或斜率確定直線的方向．現(xiàn)在看一看直線的傾斜角、斜率與平行于這條直線的向量之間的關(guān)系．設(shè)直線l的傾斜角為α(圖8），斜率為k,A（x1，y1）∈l，P（x,y)∈l，向量a＝(a1，a2)平行于l,由直線斜率和正切函數(shù)的定義,可得k＝eq\f（y－y1，x－x1）＝eq\f(a2,a1)＝tanα。如果知道直線的斜率k＝eq\f(a2,a1），則向量（a1，a2)一定與該直線平行．解：由題意知直線的斜率k＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(2,3).∴所求直線的方程為y－2＝eq\f(2，3）（x＋1)．整理，得2x－3y＋8＝0。5已知直線l:Ax＋By＋C＝0，n＝（A，B）．求證：向量n⊥l(圖9）．圖9證明：設(shè)（x0，y0)為直線l的方程的一個(gè)解,則Ax0＋By0＋C＝0.①對(duì)l的方程和①式兩邊作差，整理，得A（x－x0）＋B（y－y0）＝0。由向量垂直的條件,得向量n＝(A，B)與向量（x－x0，y－y0）垂直．由于動(dòng)點(diǎn)(x，y）的集合就是直線l，所以n⊥l。點(diǎn)評(píng)：本例所證結(jié)論，使我們得到直線一般方程Ax＋By＋C＝0中，變量x，y的系數(shù)構(gòu)成向量(A,B）的幾何解釋．即向量(A，B)與直線l垂直，向量(－B,A)與l平行．這樣，直線間的位置關(guān)系，即平行、垂直、夾角，就可轉(zhuǎn)化為向量問題來(lái)處理。6求通過A（2,1），且與直線l:4x－3y＋9＝0平行的直線方程（圖10)．圖10解：因?yàn)橄蛄?4，－3)與直線l垂直，所以向量n＝（4，－3）與所求的直線垂直．設(shè)P（x，y）為一動(dòng)點(diǎn),則eq\o（AP,\s\up6（→)）＝（x－2，y－1）．點(diǎn)P在所求直線上，當(dāng)且僅當(dāng)n·eq\o（AP,\s\up6（→)）＝0.轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，即4（x－2)＋（－3)(y－1）＝0.整理，得4x－3y－5＝0.這就是所求的直線方程．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)）)1．由學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)有：平行四邊形向量加、減法的幾何模型，用向量方法解決平面幾何問題的步驟．要提醒學(xué)生理解領(lǐng)悟它的實(shí)質(zhì),達(dá)到熟練掌握的程度．2．本節(jié)都學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)方法：向量法，向量法與幾何法、解析法的比較，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的化歸的思想方法,深切體會(huì)向量的工具性這一特點(diǎn)．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業(yè)）)課本本節(jié)習(xí)題2-4A組1,2,3，B組1，2。eq\o（\s\up7(),\s\do5(設(shè)計(jì)感想）)1．本節(jié)是對(duì)研究平面幾何方法的探究與歸納，設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是：充分使用多媒體這個(gè)現(xiàn)代化手段，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、歸納、猜想、論證等一系列思維活動(dòng)．本節(jié)知識(shí)方法容量較大，思維含量較高，教師要把握好火候，恰時(shí)恰點(diǎn)地激發(fā)學(xué)生的智慧火花．2．由于本節(jié)知識(shí)方法在高考大題中得以直接的體現(xiàn),特別是與其他知識(shí)的綜合更是高考的熱點(diǎn)問題．因此在實(shí)際授課時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注向量知識(shí)、向量方法與本書的三角、后續(xù)內(nèi)容的解析幾何等知識(shí)的交匯,提高學(xué)生綜合解決問題的能力．3．平面向量的運(yùn)算包括向量的代數(shù)運(yùn)算與幾何運(yùn)算．相比較而言，學(xué)生對(duì)向量的代數(shù)運(yùn)算要容易接受一些，但對(duì)向量的幾何運(yùn)算往往感到比較困難，無(wú)從下手．向量的幾何運(yùn)算主要包括向量加減法的幾何運(yùn)算，向量平行與垂直的充要條件及定比分點(diǎn)的向量式等，它們?cè)谔幚砥矫鎺缀蔚挠嘘P(guān)問題時(shí),往往有其獨(dú)到之處，教師可讓學(xué)有余力的學(xué)生課下繼續(xù)探討，以提高學(xué)生的思維發(fā)散能力．eq\o(\s\up7（），\s\do5（備課資料））一、利用向量解決幾何問題的進(jìn)一步探討用平面向量的幾何運(yùn)算處理平面幾何問題有其獨(dú)到之處，特別是處理線段相等，線線平行，垂直，點(diǎn)共線，線共點(diǎn)等問題，往往簡(jiǎn)單明了，少走彎路，同時(shí)避免了復(fù)雜，煩瑣的運(yùn)算和推理，可以收到事半功倍的效果．現(xiàn)舉幾例以供教師、學(xué)生進(jìn)一步探究使用．1．簡(jiǎn)化向量運(yùn)算例1如圖11所示，O為△ABC的外心，H為垂心，求證:eq\o（OH，\s\up6(→))＝eq\o（OA，\s\up6（→))＋eq\o（OB，\s\up6(→）)＋eq\o（OC，\s\up6（→)）.圖11證明：如圖11，作直徑BD，連接DA，DC,有eq\o(OB,\s\up6（→))＝－eq\o(OD，\s\up6(→)），且DA⊥AB,DC⊥BC,AH⊥BC，CH⊥AB，故CH∥DA，AH∥DC，得四邊形AHCD是平行四邊形．從而eq\o（AH，\s\up6（→))＝eq\o(DC，\s\up6（→）).又eq\o(DC,\s\up6（→）)＝eq\o（OC，\s\up6（→））－eq\o（OD，\s\up6（→))＝eq\o(OC，\s\up6(→）)＋eq\o（OB，\s\up6（→)),得eq\o(OH，\s\up6（→)）＝eq\o(OA，\s\up6（→））＋eq\o（AH,\s\up6(→))＝eq\o（OA，\s\up6(→）)＋eq\o（DC,\s\up6(→)）,即eq\o(OH，\s\up6（→)）＝eq\o(OA,\s\up6（→）)＋eq\o(OB,\s\up6（→)）＋eq\o（OC,\s\up6（→）)。2．證明線線平行例2如圖12，在梯形ABCD中，E，F(xiàn)分別為腰AB，CD的中點(diǎn)．求證:EF∥BC，且｜eq\o（EF,\s\up6(→))｜＝eq\f(1,2）(|eq\o（AD，\s\up6（→）)|＋|eq\o(BC，\s\up6（→））｜）。圖12證明：連接ED，EC，∵AD∥BC，可設(shè)eq\o(AD，\s\up6（→））＝λeq\o（BC，\s\up6(→）)（λ〉0),又E,F是中點(diǎn),∴eq\o(EA,\s\up6（→）)＋eq\o(EB，\s\up6（→))＝0，且eq\o(EF，\s\up6（→)）＝eq\f（1,2）（eq\o（ED,\s\up6(→）)＋eq\o（EC,\s\up6(→)))．而eq\o（ED，\s\up6（→））＋eq\o（EC，\s\up6（→))＝eq\o(EA，\s\up6（→））＋eq\o（AD,\s\up6(→）)＋eq\o(EB,\s\up6（→））＋eq\o（BC，\s\up6（→）)＝eq\o（AD，\s\up6(→）)＋eq\o(BC,\s\up6(→））＝（1＋λ)eq\o(BC，\s\up6（→）)，∴eq\o（EF,\s\up6（→))＝eq\f（1＋λ,2）eq\o(BC,\s\up6(→)).EF與BC無(wú)公共點(diǎn),∴EF∥BC。又λ〉0，∴|eq\o(EF，\s\up6（→）)｜＝eq\f（1,2)（｜eq\o(BC，\s\up6(→）)|＋｜λeq\o（BC，\s\up6(→））｜）＝eq\f（1，2）（|eq\o(AD,\s\up6(→))|＋｜eq\o(BC，\s\up6(→））|）．3．證明線線垂直例3如圖13，在△ABC中，由A與B分別向?qū)匓C與CA作垂線AD與BE，且AD與BE交于H，連接CH，求證：CH⊥AB.圖13證明：由已知AH⊥BC,BH⊥AC，有eq\o(AH，\s\up6（→））·eq\o（BC，\s\up6（→）)＝0，eq\o(BH，\s\up6(→）)·eq\o（AC,\s\up6（→）)＝0.又eq\o(AH,\s\up6（→))＝eq\o（AC,\s\up6(→))＋eq\o(CH，\s\up6(→）),eq\o(BH,\s\up6（→))＝eq\o(BC，\s\up6(→)）＋eq\o（CH,\s\up6（→）)，故有(eq\o(AC，\s\up6（→)）＋eq\o（CH,\s\up6（→)))·eq\o(BC，\s\up6（→)）＝0，且（eq\o（BC,\s\up6(→))＋eq\o（CH，\s\up6（→）)）·eq\o(AC，\s\up6(→))＝0,兩式相減，得eq\o(CH,\s\up6（→))·(eq\o（CB，\s\up6（→)）－eq\o(CA，\s\up6（→）))＝0，即eq\o（CH,\s\up6（→））·eq\o（AB，\s\up6（→)）＝0,∴eq\o（CH,\s\up6（→))⊥eq\o(AB,\s\up6（→)）。4．證明線共點(diǎn)或點(diǎn)共線例4求證：三角形三中線共點(diǎn)，且該點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等于各該中線長(zhǎng)的eq\f（2,3)。已知:△ABC的三邊中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)(如圖14)．圖14求證：AE，BF，CD共點(diǎn)，且eq\f(AG，AE）＝eq\f(BG，BF)＝eq\f(CG，CD)＝eq\f(2，3）.證明：設(shè)AE，BF相交于點(diǎn)G，eq\o（AG，\s\up6（→))＝λ1eq\o(GE，\s\up6(→）)，由定比分點(diǎn)的向量式有eq\o(BG，\s\up6(→））＝eq\f(\o(BA，\s\up6（→)）＋λ1\o（BE，\s\up6（→））,1＋λ1）＝eq\f（1，1＋λ1）eq\o(BA，\s\up6(→))＋eq\f(λ1，21＋λ1)eq\o(BC，\s\up6(→)），又F是AC的中點(diǎn),eq\o(BF,\s\up6(→））＝eq\f（1,2)（eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→）)）,設(shè)eq\o（BG，\s\up6（→）)＝λ2eq\o(BF，\s\up6(→))，則eq\f（1，1＋λ1）eq\o（BA,\s\up6(→）)＋eq\f（λ1，21＋λ1)eq\o（BC，\s\up6(→））＝eq\f（λ2，2)eq\o（BA，\s\up6（→))＋eq\f(λ2,2)eq\o（BC,\s\up6（→))，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（1，1＋λ1)＝\f（λ2,2），，\f（λ1,21＋λ1)＝\f(λ2，2）.））∴eq\f(1,1＋λ1）＝eq\f(λ1,21＋λ1）λ1＝2，λ2＝eq\f(2,3）,即eq\f(AG,AF)＝eq\f(BG，BF)＝eq\f(2,3).又eq\o（CG,\s\up6（→））＝eq\f(\o(CA，\s\up6（→）)＋λ1\o（CE,\s\up6(→)),1＋λ1)＝eq\f（1，3)(eq\o(CA，\s\up6（→))＋2eq\o（CE,\s\up6（→））)＝eq\f（2,3)·eq\f（1，2)（eq\o（CA，\s\up6（→）)＋eq\o(CB,\s\up6（→）))＝eq\f（2,3)eq\o(CD，\s\up6(→）)，∴C，G,D共線，且eq\f（AG,AE)＝eq\f(BG,BF)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3）。二、備用習(xí)題1。如圖15,半圓的直徑AB＝6,O為圓心,C為半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則（eq\o（PA，\s\up6(→）)＋eq\o（PB,\s\up6（→))）·eq\o（PC,\s\up6(→）)的最小值為（）圖15A。eq\f（9,2）B．9C．－eq\f（9，2)D．－92．有一邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，設(shè)eq\o（AB,\s\up6(→))＝a,eq\o(BC,\s\up6（→））＝b，eq\o（AC，\s\up6(→）)＝c，則|a－b＋c｜＝________。3．已知|a｜＝2，|b｜＝eq\r(2),a與b的夾角為45°，則使λb－a與a垂直的λ＝________。4．在等邊△ABC中，eq\o（AB,\s\up6(→）)＝a，eq\o(BC，\s\up6（→）)＝b，eq\o（CA，\s\up6(→））＝c，且|a｜＝1,則a·b＋b·c＋c·a＝________.5．已知三個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→）)＝(k，12)，eq\o(OB,\s\up6（→））＝(4，5），eq\o（OC，\s\up6（→)）＝(10，k)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k＝________。6．如圖16所示,已知矩形ABCD，AC是對(duì)角線，E是AC的中點(diǎn),過點(diǎn)E作MN交AD于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N，試運(yùn)用向量知識(shí)證明AM＝CN.圖167．已知四邊形ABCD滿足｜eq\o(AB,\s\up6(→))｜2＋｜eq\o(BC，\s\up6(→）)｜2＝|eq\o(AD,\s\up6（→）)｜2＋｜eq\o（DC,\s\up6（→））|2，M為對(duì)角線AC的中點(diǎn)．求證：｜eq\o(MB,\s\up6(→)）|＝|eq\o(MD,\s\up6(→）)|。8．求證:如果一個(gè)角的兩邊平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．參考答案：1．D2.23。24。－eq\f(3,2）5.－2或116．證明：建立如圖17所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)BC＝a,BA＝b,則C（a，0)，A（0，b），E（eq\f(a，2）,eq\f（b,2))．圖17又設(shè)M(x2，b），N（x1，0),則eq\o（AM,\s\up6（→))＝(x2，0)，eq\o(CN,\s\up6（→））＝（x1－a,0）．∵eq\o(ME，\s\up6（→))∥eq\o（EN，\s\up6(→))，eq\o（ME,\s\up6（→）)＝(eq\f（a,2)－x2，－eq\f(b,2)），eq\o(EN，\s\up6(→)）＝（x1－eq\f(a,2），－eq\f(b,2)），∴(eq\f(a,2)－x2）×(－eq\f(b，2）)－（x1－eq\f(a，2）)×（－eq\f（b,2））＝0.∴x2＝a－x1.∴｜eq\o(AM，\s\up6（→)）｜＝eq\r(x\o\al(2,2）)＝|x2|＝｜a－x1｜＝|x1－a|.而|eq\o(CN,\s\up6(→))｜＝eq\r（x1－a2）＝｜x1－a|，∴|eq\o(AM,\s\up6（→)）｜＝｜eq\o(CN，\s\up6(→))|,即AM＝CN.7．證明：設(shè)eq\o（AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6（→))＝b,eq\o（CD,\s\up6（→))＝c，eq\o(DA,\s\up6(→））＝d，∵a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－（c＋d）．∴a2＋b2＋2a·b＝c2＋d2＋2c·d.①∵｜eq\o（AB,\s\up6（→)）｜2＋｜eq\o（BC，\s\up6(→))｜2＝｜eq\o(AD,\s\up6(→)）｜2＋