高等數(shù)學(xué)（第三版）課件：不定積分的概念與性質(zhì)

不定積分的概念與性質(zhì)

一、不定積分的概念二、基本積分公式三、不定積分的性質(zhì)

例如:

，

是函數(shù)在上的原函數(shù).

，sinx是cosx在上的一個原函數(shù).

又如d(secx)=secxtanxdx,所以secx是secxtanx的一個原函數(shù).定義設(shè)f(x)

在區(qū)間上有定義,如果對任意的都有

F'(x)=f(x)

或

dF(x)=f(x)dx則稱F(x)為

f(x)在該區(qū)間上的一個原函數(shù).1.原函數(shù)的概念一、不定積分的概念

（1）一個函數(shù)具備什么條件,能保證它的原函數(shù)一定存在？（2）如果存在，是否唯一？若不唯一，彼此之間有何關(guān)系？問題:答案:

(1)如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數(shù)一定存在．具體理由將在下一章給出．

(2)若函數(shù)f(x)

在區(qū)間I上存在原函數(shù)，則其任意兩個原函數(shù)只差一個常數(shù)項.證設(shè)F(x)，G(x)是f(x)在區(qū)間I上的任意兩個原函數(shù).所以

F'(x)=G'(x)=f(x)，即G(x)=F(x)＋C0

(

C0為某常數(shù)).所以有G(x)－F(x)=C0

，于是

[G(x)－F(x)]'=G'(x)－F'(x)=f(x)－f(x)=0定義2如果函數(shù)F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，那么f(x)的全體原函數(shù)F(x)＋C(C為任意常數(shù))稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分.記作其中記號稱為積分號，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量，C為積分常數(shù).即2.不定積分的概念例1

求解解例2

求例3

求解

函數(shù)f(x)的原函數(shù)圖形稱為f(x)的積分曲線,不定積分表示的不是一個原函數(shù),而是無窮多個(全部)原函數(shù),通常說成一族函數(shù),反映在幾何上則是一族曲線,這族曲線稱為f(x)的積分曲線族.圖5.13.不定積分的幾何意義

在相同的橫坐標(biāo)處,所有積分曲線的斜率均為k,因此,在每一條積分曲線上,以x為橫坐標(biāo)的點處的切線彼此平行（圖5.1）.f(x)為積分曲線在(x,f(x))處的切線斜率.例3,于這點的橫坐標(biāo)，求此曲線方程，設(shè)曲線通過點(2.3),且其上任一點的切線斜率等.

解

，，依題意可知設(shè)所求的曲線方程為xy'xfy==

)(=1+2

2xy因此所求曲線

的

方

程為特別地，有4不定積分與微分的關(guān)系微分運算與積分運算互為逆運算.

二、基本積分公式例4

計算下列積分解例5計算下列積分解(1)(2)

三、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1

被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分號的前面.性質(zhì)2可以推廣到有限多個函數(shù)的情形，即性質(zhì)2

兩個函數(shù)的和(或差)的不定積分等于各函數(shù)不定積分的和(或差)，即例6

求解

注

逐項積分后，每個積分結(jié)果中均含有一個任意常數(shù)．由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此只要寫出一個任意常數(shù)即可例7

求解例8

求解例9

求解例10