年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-第九章解直角三角形第二節(jié)解直角三角形及其應(yīng)用課件

第二節(jié)解直角三角形及其應(yīng)用考點一解直角三角形的應(yīng)用例1(2018·湖南岳陽中考)圖1是某小區(qū)入口實景圖，圖2是該入口抽象成的平面示意圖．已知入口BC寬3.9米，門衛(wèi)室外墻AB上的O點處裝有一盞路燈，點O與地面BC的距離為3.3米，燈臂OM長為1.2米(燈罩長度忽略不計)，∠AOM＝60°.(1)求點M到地面的距離；(2)某搬家公司一輛總寬2.55米，總高3.5米的貨車從該入口進入時，貨車需與護欄CD保持0.65米的安全距離，此時，貨車能否安全通過？若能，請通過計算說明；若不能，請說明理由．(參考數(shù)據(jù)：≈1.73，結(jié)果精確到0.01米)【分析】(1)構(gòu)建直角△OMN，求ON的長，相加可得BN的長，即點M到地面的距離；(2)左邊根據(jù)要求留0.65米的安全距離，即取CE＝0.65，車寬EH＝2.55，計算高GH的長即可，與3.5作比較，可得結(jié)論．【自主解答】(1)如圖，過M作MN⊥AB于N，交BA的延長線于N.在Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，∴ON＝OM＝0.6，∴NB＝ON＋OB＝3.3＋0.6＝3.9，∴點M到地面的距離是3.9米．(2)取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9－2.55－0.65＝0.7.如圖，過H作GH⊥BC，交OM于G，過O作OP⊥GH于P.∵∠GOP＝30°，∴tan30°＝∴GP＝OP≈∴GH＝3.3＋0.404＝3.704≈3.70＞3.5，∴貨車能安全通過．1.(2018·貴州遵義中考)如圖，吊車在水平地面上吊起貨物時，吊繩BC與地面保持垂直，吊臂AB與水平線的夾角為64°，吊臂底部A距地面1.5m．(計算結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)(1)當(dāng)?shù)醣鄣撞緼與貨物的水平距離AC為5m時，吊臂AB的長為

m；(2)如果該吊車吊臂的最大長度AD為20m，那么從地面上吊起貨物的最大高度是多少？(吊鉤的長度與貨物的高度忽略不計)解：(1)11.4(2)如圖，過點D作DH⊥地面于H，交水平線于點E.在Rt△ADE中，∵AD＝20m，∠DAE＝64°，EH＝1.5m，∴DE＝sin64°·AD≈20×0.9＝18(m)，即DH＝DE＋EH＝18＋1.5＝19.5(m)．答：如果該吊車吊臂的最大長度AD為20m，那么從地面上吊起貨物的最大高度是19.5m.考點二利用解直角三角形解決測量問題例2(2018·海南中考)如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為測量一棵古樹BH和教學(xué)樓CG的高，先在A處用高1.5米的測角儀測得古樹頂端H的仰角∠HDE為45°，此時教學(xué)樓頂端G恰好在視線DH上，再向前走7米到達B處，又測得教學(xué)樓頂端G的仰角∠GEF為60°，點A，B，C三點在同一水平線上．(1)計算古樹BH的高；(2)計算教學(xué)樓CG的高．(參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7)【分析】(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題；(2)作HJ⊥CG于G，則△HJG是等腰三角形，四邊形BCJH是矩形，設(shè)HJ＝GJ＝BC＝x.構(gòu)建方程即可解決問題．【自主解答】(1)由題意知四邊形ABED是矩形，可得DE＝AB＝7(米)，AD＝BE＝1.5(米)．在Rt△DEH中，∵∠EDH＝45°，∴HE＝DE＝7(米)，∴BH＝EH＋BE＝8.5(米)．(2)如圖，作HJ⊥CG于G，則△HJG是等腰三角形，四邊形BCJH是矩形，設(shè)HJ＝GJ＝BC＝x.2．(2018·四川宜賓中考)某游樂場一轉(zhuǎn)角滑梯如圖所示，滑梯立柱AB，CD均垂直于地面，點E在線段BD上，在C點測得點A的仰角為30°，點E的俯角也為30°，測得B，E間距離為10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高．(結(jié)果保留根號)解：如圖，作CH⊥AB于H，則四邊形HBDC為矩形，∴BD＝CH.由題意得∠ACH＝30°，∠CED＝30°.設(shè)CD＝x米，則AH＝(30－x)米．3.(2018·天津中考)如圖，甲、乙兩座建筑物的水平距離BC為78m，從甲的頂部A處測得乙的頂部D處的俯角為48°，測得底部C處的俯角為58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC(結(jié)果取整數(shù))．(參考數(shù)據(jù)：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60)解：如圖，作AE⊥CD交CD的延長線于E，則四邊形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝78，AB＝CE.在Rt△ACE中，EC＝AE·tan58°，在Rt△AED中，DE＝AE·tan48°，∴CD＝EC－DE＝AE·tan58°－AE·tan48°≈78×1.6－78×1.11≈38(m)．答：甲、乙建筑物的高度AB為125m，DC為38m.考點三利用解直角三角形解決航海問題例3(2018·廣西桂林中考)如圖所示，在某海域，一艘指揮船在C處收到漁船在B處發(fā)出的求救信號，經(jīng)確定，遇險拋錨的漁船所在的B處位于C處的南偏西45°方向上，且BC＝60海里；指揮船搜索發(fā)現(xiàn)，在C處的南偏西60°方向上有一艘海監(jiān)船A，恰好位于B處的正西方向．于是命令海監(jiān)船A前往搜救，已知海監(jiān)船A的航行速度為30海里/小時，問漁船在B處需要等待多長時間才能得到海監(jiān)船A的救援？(參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45.結(jié)果精確到0.1小時)【分析】延長AB交南北軸于點D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可．【自主解答】如圖，∵A在B的正西方，延長AB交南北軸于點D，則AB⊥CD于點D.∵∠BCD＝45°，BD⊥CD，∴BD＝CD.解決方向角問題的方法方向角問題應(yīng)結(jié)合實際問題抽象出示意圖并構(gòu)造三角形，還要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果這些元素不在同一個三角形中或者在同一個斜三角形中，就需要添加輔助線．在解題的過程中，有時需要設(shè)未知數(shù)，通過構(gòu)造方程(組)來求解．這類題目主要考查學(xué)生解決實際問題的能力．4．(2018·四川綿陽中考)一艘在南北航線上的測量船，于A點處測得海島B在點A的南偏東30°方向，繼續(xù)向南航行30海里到達C點時，測得海島B在C點的北偏東15°方向，那么海島B離此航線的最近距離是()(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位．參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414)A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里B5．(2018·湖南湘潭中考)隨著航母編隊的成立，我國海軍日益強大.2018年4月12日，中央軍委在南海海域隆重舉行海上閱兵，在閱兵之前我軍加強了海上巡邏，如圖，我軍巡邏艦在某海域航行到A處時，該艦在觀測點P的南偏東45°的方向上，且與觀測點P的距離PA為400海里；巡邏艦繼續(xù)沿正北方向航行一段時間后，到達位于觀測點P的北偏東30°方向上的B處，問此時巡邏艦與觀測點P的距離PB為多少海里？(參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，結(jié)果精確到1海里)解：在△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝45°，則AC＝PC.∵AP＝400海里，∴由勾股定理知，AP2＝AC2＋PC2＝2PC2，即4002＝2PC2，故PC＝200海里．又∵在直角△BPC中，∠PCB＝90°，∠BPC＝60°，∴PB＝2PC＝400≈566(海里)．答：此時巡邏艦與觀測點P的距離PB約為566海里．考點四利用解直角三角形解決坡度問題例4(2018·重慶中考B卷)如圖，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同學(xué)從建筑物底端B出發(fā)，先沿水平方向向右行走20米到達點C，再經(jīng)過一段坡度(或坡比)為i＝1∶0.75、坡長為10米的斜坡CD到達點D，然后再沿水平方向向右行走40米到達點E(A，B，C，D，E均在同一平面內(nèi))．在E處測得建筑物頂端A的仰角為24°，則建筑物AB的高度約為(參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45)(

)A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米【分析】作BM⊥ED交ED的延長線于M，CN⊥DM于N.首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根據(jù)tan24°＝，構(gòu)建方程即可解決問題．【自主解答】如圖，作BM⊥ED交ED的延長線于M，CN⊥DM于N.在Rt△CDN中，∵設(shè)CN＝4k，DN＝3k，∴CD＝10，∴(3k)2＋(4k)2＝100，∴k＝2，∴CN＝8，DN＝6.∵四邊形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝8，BC＝MN＝20，EM＝MN＋DN＋DE＝66.在Rt△AEM中，tan24°＝，∴0.45＝，∴AB＝21.7(米)．故選A.解決坡度、坡角問題時的注意點首先要認(rèn)真讀題，弄清題意，理解坡度、坡角的實際意義及坡度與坡角的關(guān)系，其次是從圖中確定要解的直角三角形，充分使用坡度、坡角提供的相關(guān)數(shù)據(jù)，正確選擇關(guān)系式．6.(2018·貴州安順中考)如圖是某市一座人行天橋的示意圖，天橋離地面的高BC是10米，坡面AC的傾斜角∠CAB＝45°，在距A點10米處有一建筑物HQ.為了方便行人推車過天橋，市政府部門決定降低坡度，使新坡面DC的傾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D處與建筑物之間需留下至少3米寬的人行道，問該建筑物是否需要拆除？(計算最后結(jié)果保留一位小數(shù))．(參考數(shù)據(jù)：＝1.414，＝1.732)解：由題意知AH＝10米，BC＝10米，在Rt△ABC中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10米．在Rt△DBC中，∵∠CDB＝30°，∴DB＝＝10(米)．∵DH＝AH－DA＝AH－(DB－AB)＝10－10＋10＝20－10≈2.7(米)，2.7<3，∴建筑物需要拆除．7.(2018·江蘇泰州中考)日照間距系數(shù)反映了房屋日照情況．如圖1，當(dāng)前后房屋都朝向正南時，日照間距系數(shù)＝L∶(H－H1)，其中L為樓間水平距離，H為南側(cè)樓房高度，H1為北側(cè)樓房底層窗臺至地面高度．如圖2，山坡EF朝北，EF長為15m，坡度為i＝1∶0.75，山坡頂部平地EM上有一高為22.5m的樓房AB，底部A到E點的距離為4m.(1)求山坡EF的水平寬度FH；(2)欲在AB樓正北側(cè)山腳的平地FN上建一樓房CD，已知該樓底層窗臺P處至地面C處的高度為0.9m，要使該樓的日照間距系數(shù)不低于1.25，底部C距F處至少多遠(yuǎn)？解：(1)在Rt△EFH中，∵∠H＝90°，∴tan∠EFH＝i＝1∶0.75＝＝.設(shè)EH＝4x，則FH＝