中考數(shù)學(xué)《反比例函數(shù)》專題含解析 (二)

反比例函數(shù)

一、選擇題（共8小題）

1.如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點0與原點重合，頂點A、C分別在x軸、

y軸上，反比例函數(shù)尸K（kWO,x>0）的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點M、

X

N,ND_Lx軸，垂足為D,連接。M、ON、MN.下列結(jié)論：

?△OCN^AOAM；②ON=MN；③四邊形DAMN與△MON面積相等；④若NMON=45。,

MN=2,則點C的坐標(biāo)為（0,&+1）.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以

AB為邊在第一象限作正方形ABCD,點D在雙曲線尸巴（kWO）上.將正方形沿x軸負(fù)

X

方向平移a個單位長度后，點C恰好落在該雙曲線上，則a的值是（）

產(chǎn)處在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過

3.如圖，等邊三角形OAB的一邊OA在x軸上，雙曲線

OB邊的中點C,則點B的坐標(biāo)是（）

個單位長度后，與y軸交于點C,與雙曲線y=k(k>0,x>0)交于點B,若0A=3BC,

X

則k的值為()

獷

仁

QQ

A.3B.6C.4D.4

42

5.如圖，點A(a,1)、B(-1,b)都在雙曲線y=-3(x<0)上，點P、Q分別是x

X

軸、y軸上的動點，當(dāng)四邊形PABQ的周長取最小值時,PQ所在直線的解析式是()

A.y=xB.y=x+lC.y=x+2D.y=x+3

如圖，已知第一象限內(nèi)的點在反比例函數(shù)的圖象上,

6.Ay=2第二象限內(nèi)的點B在反

X

比例函數(shù)己的圖象上，且。AMB,8sA哼則k的值為

()

D.-273

7-如圖’在平面直角坐標(biāo)系中，NA0B=9。。，N0AB=3。。，反比例函數(shù)y葺的圖象經(jīng)

的圖象經(jīng)過點B,則下列關(guān)于m,n的關(guān)系正確的是()

C.m=-退nD.m=^n

33

8.如圖，A、B、C是反比例函數(shù)丫=更(k<0)圖象上三點，作直線I,使A、B、C至U直

X

線I的距離之比為3：1：1,則滿足條件的直線I共有()

A.4條B.3條C.2條D.1條

二、填空題

9.如圖，點P是反比例函數(shù)y=K(kVO)圖象上的點，PA垂直x軸于點A(-1,0),

X

點C的坐標(biāo)為(1,0),PC交y軸于點B,連結(jié)AB,已知AB=遙.

(1)k的值是；

(2)若M(a,b)是該反比例函數(shù)圖象上的點，且滿足NMBAVNABC,則a的取值范

圍是?

10.如圖，點Pl（XI,yi）,點P2（X2，V2），…，點Pn（Xn，Vn）在函數(shù)戶2（X>0）

X

的圖象上,△P1OA1,△P2A1A2，Z\P3A2A3,…，△PnAn”An都是等腰直角三角形，斜邊

0A1，A1A2、A2A3，AnuAn都在x軸上（n是大于或等于2的正整數(shù)），則點P3的坐

（用含n的式子表示）.

11.如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形，BC=2AB.A,B兩點的坐標(biāo)分別是（-1,

0),(0,2）,C,D兩點在反比例函數(shù)y=K（k<0）的圖象上，則k等于—.

X

12-在平面直角坐標(biāo)系x°y中,已知第一象限內(nèi)的點A在反比例函數(shù)"的圖象上,第

二象限內(nèi)的點B在反比例函數(shù)尸四的圖象上，連接OA、OB,若OA_LOB,OB=監(jiān)，

OA,

xd

則k=.

13.如圖，等腰直角三角形ABC頂點A在x軸上，ZBCA=90°,AC=BC=2?,反比例函

數(shù)y=W（x>0）的圖象分別與AB,BC交于點D,E.連結(jié)DE,當(dāng)△BDEsz^BCA時，點

E的坐標(biāo)為

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線I：y=-x-1,雙曲線丫=工，在I上取一

X

點Ai，過Ai作x軸的垂線交雙曲線于點Bi，過Bi作y軸的垂線交I于點A2,請繼續(xù)操

作并探究：過A2作x軸的垂線交雙曲線于點B2,過Bz作y軸的垂線交I于點A3,…，這

樣依次得到I上的點Al,A2,A3,…，An,...記點An的橫坐標(biāo)為an,若譏=2,則a2=，

a=；若要將上述操作無限次地進(jìn)行下去，則%不可能取的值是

15.如圖，菱形。ABC的頂點。是坐標(biāo)原點，頂點A在x軸的正半軸上，頂點B、C均

在第一象限，0A=2,ZAOC=60°.點D在邊AB上，將四邊形OABC沿直線0D翻折，使

點B和點C分別落在這個坐標(biāo)平面的點B，和U處，且/CDB，=60。.若某反比例函數(shù)的圖

象經(jīng)過點夕，則這個反比例函數(shù)的解析式為.

三、解答題(共15小題)

16.如圖，正方形AOCB在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點。為原點，點B在反比例函數(shù)產(chǎn)工

X

(x>0)圖象上，Z^BOC的面積為8.

（1）求反比例函數(shù)a四的關(guān)系式；

X

（2）若動點E從A開始沿AB向B以每秒1個單位的速度運動，同時動點F從B開始沿

BC向C以每秒2個單位的速度運動，當(dāng)其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點隨之停

止運動.若運動時間用t表示，4BEF的面積用S表示，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，

并求出當(dāng)運動時間t取何值時，^BEF的面積最大？

（3）當(dāng)運動時間為1?秒時，在坐標(biāo)軸上是否存在點P,使4PEF的周長最??？若存在,

請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

17.如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸上，點B的坐標(biāo)為（2,3）.雙

曲線y=K（x>0）的圖象經(jīng)過BC的中點D,且與AB交于點E,連接DE.

X

（1）求k的值及點E的坐標(biāo)；

（2）若點F是。C邊上一點，且△FBCsaDEB,求直線FB的解析式.

18.通過對蘇科版八（下）教材一道習(xí)題的探索研究，我們知道：一次函數(shù)y=x-l的

圖象可以由正比例函數(shù)y=x的圖象向右平移1個單位長度得到類似的，函數(shù)

y=*（k六0）的圖象是由反比例函數(shù)尸土8盧0）的圖象向左平移2個單位長度得到.靈

活運用這一知識解決問題.如圖，已知反比例函數(shù)尸?的圖象C與正比例函數(shù)y=ax（a

X

#0）的圖象I相交于點A（2,2）和點B.

（1）寫出點B的坐標(biāo)，并求a的值；

(2)將函數(shù)打9的圖象和直線AB同時向右平移n(n>0)個單位長度，得到的圖象分

X

別記為C和匕已知圖象C經(jīng)過點M(2,4).

①求n的值；

②分別寫出平移后的兩個圖象C和I，對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

19.如圖，一次函數(shù)y=kx+2的圖形與反比例函數(shù)y=@的圖象交于點P,點P在第一象限，

X

PA_Lx軸于點A,一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于點C、D,且548口=1，.

(1)求點D的坐標(biāo)；

(2)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

(3)根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)x>0時，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AABC的邊AC在x軸上，邊BC_Lx軸，雙曲線

y=K(x>0)與邊BC交于點D(4,m),與邊AB交于點E(2,n).

X

(1)求n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若BD=2,tanNBAC=5,求k的值和點B的坐標(biāo).

21.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線舄x總與x軸交于點A,與雙曲線行《在第一象

限內(nèi)交于點B,BC_l_x軸于點C,0C=2A0.求雙曲線的解析式.

22.如圖①，。為坐標(biāo)原點，點B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，sin

ZA0B=4.反比例函數(shù)y=K（k>0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點A,與BC交于點F.

（1）若OA=10,求反比例函數(shù)解析式；

（2）若點F為BC的中點，且AACIF的面積S=12,求0A的長和點C的坐標(biāo)；

（3）在（2）中的條件下，過點F作EF〃OB,交。A于點E（如圖②），點P為直線EF

上的一個動點，連接PA,P0.是否存在這樣的點P,使以P、0、A為頂點的三角形是

直角三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

23.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，P是反比例函數(shù)丫=絲（x>0）圖象

X

上任意一點，以P為圓心，P。為半徑的圓與坐標(biāo)軸分別交于點A、B.

（1）求證：線段AB為。P的直徑；

（2）求AAOB的面積；

（3）如圖2,Q是反比例函數(shù)丫=絲（x>0）圖象上異于點P的另一點，以Q為圓心,

X

Q0為半徑畫圓與坐標(biāo)軸分別交于點C、D.求證：DO?OC=BO?OA.

24.在平面直角坐標(biāo)系中，點A（-3,4）關(guān)于y軸的對稱點為點B,連接AB,反比例

函數(shù)y=k（x>0）的圖象經(jīng)過點B,過點B作BC，x軸于點C,點P是該反比例函數(shù)圖

X

象上任意一點，過點P作PD_Lx軸于點D,點Q是線段AB上任意一點，連接。Q、CQ.

（1）求k的值；

（2）判斷△QOC與APOD的面積是否相等，并說明理由.

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=k（x>0）的圖象和矩形ABCD在第一

X

象限，AD平行于x軸，且AB=2,AD=4,點A的坐標(biāo)為（2,6）.

（1）直接寫出B、C、D三點的坐標(biāo)；

（2）若將矩形向下平移，矩形的兩個頂點恰好同時落在反比例函數(shù)的圖象上，猜想這

是哪兩個點，并求矩形的平移距離和反比例函數(shù)的解析式.

r

26.如圖，已知直線y=4-x與反比例函數(shù)丫=皿（m>0,x>0）的圖象交于A,B兩點,

X

與x軸，y軸分別相交于C,D兩點.

（1）如果點A的橫坐標(biāo)為1,利用函數(shù)圖象求關(guān)于x的不等式4-XV皿的解集；

X

（2）是否存在以AB為直徑的圓經(jīng)過點P（1,0）?若存在，求出m的值；若不存在,

請說明理由.

27.如圖1,直線AB過點A（m,0）,B（0,n）,且m+n=20（其中m>0,n>0）.

（1）m為何值時，△OAB面積最大？最大值是多少？

（2）如圖2,在（1）的條件下，函數(shù)行上&>0）的圖象與直線AB相交于C、D兩點，

X

若^AOCA3^AOCD，求k的值，

（3）在（2）的條件下，將△OCD以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向平移，如圖3,

設(shè)它與AOAB的重疊部分面積為S,請求出S與運動時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式（0<t

28.如圖，已知雙曲線y=k經(jīng)過點D（6,1），點C是雙曲線第三象限上的動點，過C

X

作CA_Lx軸，過D作DBj_y軸，垂足分別為A,B,連接AB,BC.

（1）求k的值；

（2）若4BCD的面積為12,求直線CD的解析式;

（3）判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由.

29.如圖，將邊長為4的等邊三角形AOB放置于平面直角坐標(biāo)系xoy中，F(xiàn)是AB邊上

的動點（不與端點A、B重合），過點F的反比例函數(shù)丫=且（k>0,x>0）與0A邊交于

X

點E,過點F作FC_Lx軸于點C,連結(jié)EF、OF.

（1）若SMCF=?，求反比例函數(shù)的解析式;

（2）在（1）的條件下，試判斷以點E為圓心，EA長為半徑的圓與y軸的位置關(guān)系，并

說明理由;

（3）AB邊上是否存在點F,使得EFLAE?若存在，請求出BF：FA的值；若不存在,

請說明理由.

AV

5二

30.如圖1所示，已知y=@（x>0）圖象上一點P,PA_Lx軸于點A（a,0）,點B坐

X

標(biāo)為（0,b）（b>0）,動點M是y軸正半軸上B點上方的點，動點N在射線AP上,

過點B作AB的垂線，交射線AP于點D,交直線MN于點Q連接AQ,取AQ的中點為

C.

(1)如圖2,連接BP,求4PAB的面積；

(2)當(dāng)點Q在線段BD上時，若四邊形BQNC是菱形，面積為2?,求此時P點的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點Q在射線BD上時，且a=3,b=l,若以點B,C,N,Q為頂點的四邊形是平

行四邊形，求這個平行四邊形的周長.

反比例函數(shù)

參考答案與試題解析

一、選擇題

1.如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點。與原點重合，頂點A、C分別在x軸、

y軸上，反比例函數(shù)y=k（kWO,x>0）的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點M、

X

N,NDJ_x軸，垂足為D,連接OM、ON、MN.下列結(jié)論：

①△OCN四△OAM；②ON=MN；③四邊形DAMN與△MON面積相等；④若NMON=45。,

MN=2,則點C的坐標(biāo)為（0,72+1）.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【考點】反比例函數(shù)綜合題.

【專題】壓軸題；探究型.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義得到SAONC=SAOAM=2k,B[j|oC.NC=1

OA*AM,而OC=OA,則NC=AM,在根據(jù)"SAS”可判斷△OCN之△OAM；根據(jù)全等的性質(zhì)

得至IJON=OM,由于k的值不能確定，則NMON的值不能確定，無法確定△ONM為等

邊三角形，則ONWMN；根據(jù)SoND=SoAM=-^-k和SAQND+S

AA四邊形DAMN=S/^OAM+S^OMN，即可

得到s語DAMN=SAOMN;作NE1OM于E點，則AONE為等腰直角三角形，設(shè)NE=x,則

OM=ON=J5<,EM=V2X-X=（V2-1）X,在RtANEM中，利用勾股定理可求出總=2班,

所以O(shè)N2=（V2X）2=4+2M，易得aBIVIN為等腰直角三角形，得至UBN=^MN=?,設(shè)

正方形ABCO的邊長為a,在RtaOCN中，利用勾股定理可求出a的值為0+1,從而得

到C點坐標(biāo)為（0,V2+1）.

【解答】解：?.?點M、N都在y=K的圖象上,

X

=="

/?SA0NCSA0AM^-k,B[J-^-OC*NC=-^-OA,AM,

?.?四邊形ABCO為正方形，

.?.OC=OA,ZOCN=ZOAM=90°,

/.NC=AM,

...△OCN且△OAM,所以①正確;

，ON=OM,

???k的值不能確定,

AZMON的值不能確定,

...△ONM只能為等腰三角形，不能確定為等邊三角形,

.?.ONWMN,所以②錯誤;

SAOND=SAOAM='^k,

而S^OND+SDAMN=SAOAM+SAOMN>

四邊形DAMN與△MON面積相等，所以③正確;

作NELOM于E點，如圖,

VZMON=45",

???△ONE為等腰直角三角形，

，NE=OE,

設(shè)NE=x,貝ON=?x,

EM=?x-x=(V2_1)x,

在RtZ\NEM中，MN=2,

VMN2=NE2+EM2,即22=x2+[(b-1)x]2,

.".X2=2+y[2,

0N2=(A/^X)2=4+2、技,

"：CN=AM,CB=AB,

；.BN=BM,

.?.△BMN為等腰直角三角形,

，BN=與MN=V^,

設(shè)正方形ABCO的邊長為a,則OC=a,CN=a-

在RtAOCN中，VOC2+CN2=ON2,

/.a2+（a-5/2^2=4+2j^,解得ai=J^+l,a2=~1（舍去），

：.OC=y/2+l,

.??C點坐標(biāo)為（0,M+1），所以④正確.

故選c.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、比例

系數(shù)的幾何意義和正方形的性質(zhì)；熟練運用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何

計算.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以

AB為邊在第一象限作正方形ABCD,點D在雙曲線L四（kWO）上.將正方形沿x軸負(fù)

X

方向平移a個單位長度后，點C恰好落在該雙曲線上，則a的值是（）

【考點】反比例函數(shù)綜合題.

【分析】作CE_Ly軸于點E,交雙曲線于點G.作DF_Lx軸于點F,易證△OAB^^FDA

四△BEC,求得A、B的坐標(biāo)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以求得C、D的坐標(biāo)，從而利用

待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得G的坐標(biāo)，則a的值即可求解.

【解答】解：作CE_Ly軸于點E,交雙曲線于點G.作DF_Lx軸于點F.

在y=-3x+3中，令x=0,解得：y=3,即B的坐標(biāo)是（0,3）.

令y=0，解得：x=l,即A的坐標(biāo)是（1,0）.

則OB=3,OA=1.

VZBAD=90°,

.,.ZBAO+ZDAF=90°,

又,直角△ABO中，ZBAO+ZOBA=90",

/.ZDAF=ZOBA,

?在△OAB和4FDA中，

"ZDAF=Z0BA

,NB0A=NAFD，

AB=AD

/.△OAB^AFDA（AAS）,

同理，△OAB^^FDA?△BEC,

.*.AF=0B=EC=3,DF=OA=BE=1,

故D的坐標(biāo)是（4,1）,C的坐標(biāo)是（3,4）.代入y=K得：k=4,則函數(shù)的解析式是:

X

AOE=4,

則C的縱坐標(biāo)是4,把y=4代入y=邑得：x=l.即G的坐標(biāo)是（1,4）,

X

.\CG=2.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解

析式，正確求得C、D的坐標(biāo)是關(guān)鍵.

亞在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過

3.如圖，等邊三角形OAB的一邊0A在x軸上，雙曲線尸

X

0B邊的中點C,則點B的坐標(biāo)是()

A.(1,V3)B.(?,1)C.(2,273)D.(2/2)

【考點】反比例函數(shù)綜合題.

【分析】過點B作BDJ_X軸，垂足為D,設(shè)點B的坐標(biāo)為(a,b)(a>0),再求出b

和a的關(guān)系和C點的坐標(biāo)，由點C在雙曲線廠返上，求出a的值，進(jìn)而求出B點坐標(biāo).

X

【解答】解：過點B作BDLx軸，垂足為D,設(shè)點B的坐標(biāo)為(a,b)(a>0),

?.?三角形OAB是等邊三角形，

/.ZBOA=60o,

在RtABOD中，12060。=絲=k,

ODa

??b二9

???點C是0B的中點，

...點c坐標(biāo)為(?1，孕)，

?.?點c在雙曲線產(chǎn)返上，

X

a=2,

.?.點B的坐標(biāo)是(2,273)，

故選C.

【點評】本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是求出點B的坐標(biāo)，此題

難度不大.

4.如圖，直線丫寺與雙曲線yg(k>0,x>0)交于點A,將直線y=,x向上平移4

個單位長度后，與y軸交于點C,與雙曲線y=K(k>0,x>0)交于點B,若0A=3BC,

則k的值為()

【考點】反比例函數(shù)綜合題.

【專題】壓軸題；探究型.

【分析】先根據(jù)一次函數(shù)平移的性質(zhì)求出平移后函數(shù)的解析式，再分別過點A、B作AD

“軸，BELx軸，CFLBE于點F,再設(shè)A(3x,-1x),由于0A=3BC,故可得出B(x,

-j-x+4),再根據(jù)反比例函數(shù)中k=xy為定值求出x

【解答】解：???將直線y=5x向上平移4個單位長度后，與y軸交于點C,

...平移后直線的解析式為y=1x+4,

分別過點A、B作ADLx軸，BE，x軸，CFLBE于點F,設(shè)A(3x,-1x),

0A=3BC,BC〃OA,CF〃x軸,

△BCF^AAOD,

,.CF《OD,

.?點B在直線y=,x+4上，

B(x,yx+4),

.?點A、B在雙曲線y=K上，

X

,.3X?￡X=X?(yx+4),解得x=l,

39

\k=3Xlx4xi=4，

22

【點評】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，根據(jù)題意作出輔助線，設(shè)出A、B兩點的坐

標(biāo)，再根據(jù)k=xy的特點求出k的值即可.

5.如圖，點A(a,1)、B(-1,b)都在雙曲線y=-W(x<0)上，點P、Q分別是x

X

軸、y軸上的動點，當(dāng)四邊形PABQ的周長取最小值時，PQ所在直線的解析式是()

【考點】反比例函數(shù)綜合題.

【專題】綜合題；壓軸題.

［分析］先把A點坐標(biāo)和B點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)進(jìn)行中可確定點A的坐標(biāo)為（-3,1）、

B點坐標(biāo)為（-1,3）,再作A點關(guān)于x軸的對稱點C,B點關(guān)于y軸的對稱點D,根據(jù)

對稱的性質(zhì)得到C點坐標(biāo)為（-3,-1）,D點坐標(biāo)為（1,3）,CD分別交x軸、y軸

于P點、Q點，根據(jù)兩點之間線段最短得此時四邊形PABQ的周長最小，然后利用待定

系數(shù)法確定PQ的解析式.

【解答】解：分別把點A（a,1）>B（-1,b）代入雙曲線y=-W（x〈O）得a=-3,

X

b=3,則點A的坐標(biāo)為（-3,1）、B點坐標(biāo)為（-1,3）,

作A點關(guān)于x軸的對稱點C,B點關(guān)于y軸的對稱點D,所以C點坐標(biāo)為（-3,-1）,

D點坐標(biāo)為（1,3）,

連結(jié)CD分別交x軸、y軸于P點、Q點，此時四邊形PABQ的周長最小，

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,

把C（-3,-1）,D（1,3）分別代入

lk+b=3

解得尸,

lb=2

所以直線CD的解析式為y=x+2.

故選C.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定

系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式；熟練運用兩點之間線段最短解決有關(guān)幾何圖形局長最短的

問題.

6.如圖，已知第一象限內(nèi)的點A在反比例函數(shù)y=2的圖象上，第二象限內(nèi)的點B在反

X

比例函數(shù)y=K的圖象上，且OALOB,cosAdg,則k的值為（）

x3

A.-3B.-4C.--\/3D.-

【考點】反比例函數(shù)綜合題.

【專題】計算題；壓軸題.

【分析】過A作AE，x軸，過B作BF，x軸，由0A與0B垂直，再利用鄰補角定義得

到一對角互余，再由直角三角形BOF中的兩銳角互余，利用同角的余角相等得到一對角

相等，又一對直角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的三角形相似得到三角形BOF與三角形

OEA相似，在直角三角形AOB中，由銳角三角函數(shù)定義，根據(jù)cos/BAO的值，設(shè)出AB

與0A,利用勾股定理表示出0B,求出0B與0A的比值，即為相似比，根據(jù)面積之比

等于相似比的平方，求出兩三角形面積之比，由A在反比例函數(shù)y=2上，利用反比例函

X

數(shù)比例系數(shù)的幾何意義求出三角形AOE的面積，進(jìn)而確定出BOF的面積，再利用k的

集合意義即可求出k的值.

【解答】解：過A作AE_Lx軸，過B作BFJ_X軸，

VOA±OB,

，NAOB=90。，

.,.ZBOF+ZEOA=90°,

VZBOF+ZFBO=90°,

/.ZEOA=ZFBO,

VZBFO=ZOEA=90°,

.,.△BFO^AOEA,

在Rt^AOB中，cosZBAO-=^,

AB3

設(shè)AB=?,則OA=1,根據(jù)勾股定理得：BO=g,

/.OB：OA=V2：1，

SABFO：SAOEA=2：1,

???A在反比例函數(shù)y=2上，

X

??SAOEA=1>

SABFO=2,

則k=-4.

故選:B.

【點評】此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角

三角函數(shù)定義，勾股定理，以及反比例函數(shù)k的幾何意義，熟練掌握相似三角形的判定

與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，NAOB=90。，ZOAB=30°,反比例函數(shù)門』的圖象經(jīng)

1X

過點A,反比例函數(shù)丫2三的圖象經(jīng)過點B，則下列關(guān)于m,n的關(guān)系正確的是()

D.m=-n

3

【考點】反比例函數(shù)綜合題.

【專題】壓軸題.

【分析】過點B作BE_Lx軸于點E,過點A作AF_Lx軸于點F,設(shè)點B坐標(biāo)為(a,—),

a

點A的坐標(biāo)為(b,，證明△BOEsaOAF,利用對應(yīng)邊成比例可求出m、n的關(guān)系.

b

【解答】解：過點B作BE±x軸于點E,過點A作AF_Lx軸于點F,

?，.0A=A/^OB,

設(shè)點B坐標(biāo)為（a,△），點A的坐標(biāo)為（b,罕），

ab

貝UOE=-a,BE=—,OF=b,AF=1，

ab

VZBOE+ZOBE=90°,ZAOF+ZBOE=90°,

AZOBE=ZAOF,

XVZBEO=ZOFA=90",

.?.△BOEs△OAF,

-an]

嚼喘嚙，即MW而

bb

ab

解得：m=-J^ab,F

故可得：m=-3n.

故選A.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的綜合，解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合解析式設(shè)出點A、B的

坐標(biāo)，得出OE、BE、OF、AF的長度表達(dá)式，利用相似三角形的性質(zhì)建立m、n之間的

關(guān)系式，難度較大.

8.如圖，A、B、C是反比例函數(shù)丫=三(k<0)圖象上三點，作直線I,使A、B、C至U直

X

線I的距離之比為3：1：1,則滿足條件的直線I共有()

A.4條B.3條C.2條D.1條

【考點】反比例函數(shù)綜合題.

【專題】壓軸題.

【分析】如解答圖所示，滿足條件的直線有兩種可能：一種是與直線BC平行，符合條

件的有兩條，如圖中的直線a、b；還有一種是過線段BC的中點，符合條件的有兩條,

如圖中的直線c、d.

【解答】解：如解答圖所示，滿足條件的直線有4條，

故選：A.

【點評】本題考查了點到直線的距離、平行線的性質(zhì)等知識點，考查了分類討論的數(shù)學(xué)

思想.解題時注意全面考慮，避免漏解.

二、填空題

9.如圖，點P是反比例函數(shù)y=K(kVO)圖象上的點，PA垂直x軸于點A(-1,0),

X

點C的坐標(biāo)為(1,0),PC交y軸于點B,連結(jié)AB,已知AB=J^.

(1)k的值是-4；

(2)若M(a,b)是該反比例函數(shù)圖象上的點，且滿足NMBAVNABC,則a的取值范

n

圍是0Va＜2或11二遂＜a＜「+運.

--------2----21

【考點】反比例函數(shù)綜合題.

【專題】壓軸題.

【分析】(1)設(shè)P(-1,t).根據(jù)題意知，A(-1,0),B(0,2),C(1,0),

由此易求直線BC的解析式y(tǒng)=-2x+2.把點P的坐標(biāo)代入直線BC的解析式可以求得點P

的坐標(biāo)，由反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求得k的值；

(2)如圖，延長線段BC交拋物線于點M,由圖可知，當(dāng)xVa時，NMBAVNABC；作

C關(guān)于直線AB的對稱點C,連接BC并延長BU交雙曲線于點M，，當(dāng)xVa時，ZMBA

<ZABC.

【解答】解：(1)如圖，PA垂直x軸于點A(-1,0),

AOA=1,可設(shè)P(-1,t).

XVAB=V5>

OB=JAB2-032="/5T=2,

AB(0,2).

又：點C的坐標(biāo)為(1,0),

二直線BC的解析式是：y=-2x+2.

?.?點P在直線BC±,

，t=2+2=4

.?.點P的坐標(biāo)是(-1,4),

/.k=-4.

故答案為：-4；

解法二：用相似三角形

由題意易得4CPA?CBO,

.CO_Ch

?而下

.1.2

，AP=4,

，k=-4.

(2)分類討論

①如圖1,延長線段BC交雙曲線于點M.

由(1)知，直線BC的解析式是y=-2x+2,反比例函數(shù)的解析式是丫=-

X

<y=-2x+2

則，4.

y=-

X

解得，［廠2或卜二1(不合題意，舍去).

ly=-2Iy=4

根據(jù)圖示知，當(dāng)0Va<2時，NMBAVNABC；

②如圖，作C關(guān)于直線AB的對稱點U,連接BC并延長交雙曲線于點M，.

VA(-1,0),B(0,2),

直線AB的解析式為:y=2x+2.

直線CC是與直線AB垂直的，

根據(jù)兩條直線垂直，兩直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，即：kl?k2=-l

可設(shè)CC'解析式為：y=-1x+b,

VC(1,0),

/.b=1，

2

CC，解析式為：y=-?^■x+方，

?.?AC=AC'=2,

...設(shè)C點橫坐標(biāo)為：x,則縱坐標(biāo)為：-3x+5,

/.(-x-AO)2+(-&+5)2=(AC)2,

22

解得：x-x=l(不合題意舍去)，

1=52

.,.C（-圣，！■）,則易求直線BU的解析式為：y=&x+2,

5511

’2

,尸1丁+2

??，

4

y=一

X

解得：Xii而,X2=T1-恒

22_

則根據(jù)圖示知，當(dāng)二n一巡VaV「n+q^■時,NMBAVNABC.

22_

綜合①②知，當(dāng)0<aV2或"I；逐-VaC二"I'叵時,ZMBA<ZABC.

故答案是：0VaV2或1l-mtva〈R+遂.

22

八y

【點評】本題綜合考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)

特征以及分式方程組的解法.解答（2）題時，一定要分類討論，以防漏解.另外，解

題的過程中，利用了"數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想.

10.如圖，點Pl（X1，yi）,點P2（X2，丫2），…，點Pn（Xn，yn）在函數(shù)產(chǎn)［（x>0）

X

的圖象上,△P1OA1,AP2A1A2,AP3A2A3,△PnAn-lAn都是等腰直角三角形,斜邊

OA1、A1A2、A2A3,…，An.iAn都在x軸上（n是大于或等于2的正整數(shù)），則點P3的坐

標(biāo)是_（E+后，遙-而;點Pn的坐標(biāo)是_LVntVrr42_VrL.Vrr42_（用含n

【考點】反比例函數(shù)綜合題.

【專題】綜合題；壓軸題.

【分析】過點Pi作PiE_Lx軸于點E,過點Pz作PzF_Lx軸于點F,過點P3作P3GJ_x軸于

點G,根據(jù)△P10A1，△P2A1A2,AP3A2A3都是等腰直角三角形，可求出Pi，P2,P3的坐

標(biāo)，從而總結(jié)出一般規(guī)律得出點Pn的坐標(biāo).

【解答】解：過點P1作P]E_Lx軸于點E,過點P2作P2F_Lx軸于點F,過點P3作p3GJ_x

軸于點G,

?.?△PiOAi是等腰直角三角形，

.*.PIE=OE=AIE=TTOAI,

設(shè)點PI的坐標(biāo)為（a,a）,（a>0）,

將點Pi（a,a）代入丫=工，可得a=l,

X

故點Pl的坐標(biāo)為（1,1）,

則0Ai=2,

設(shè)點P2的坐標(biāo)為（b+2,b）,將點P2（b+2,b）代入丫=工，可得b=?-l,

故點P2的坐標(biāo)為（b+1,亞-1）,

則AIF=A2F=V2-1,OA2=OAI+AIA2=2V2，

設(shè)點P3的坐標(biāo)為（c+2&,c）,將點P3（c+2&,c）代入丫=工，可得c=?-0,

X

故點P3的坐標(biāo)為（M+M，?-加），

綜上可得：P1的坐標(biāo)為（1,1）,P2的坐標(biāo)為（正+1，1），P3的坐標(biāo)為（M+近，

?-&）,

總結(jié)規(guī)律可得：Pn坐標(biāo)為：（4+G，4-4W）.

故答案為：+近，V3-42），（4+4n-l，Vn-Vn-1）-

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的綜合，涉及了點的坐標(biāo)的規(guī)律變化，解答本題的關(guān)鍵

是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)解析式求出Pl，P2,P3的坐標(biāo)，從而總結(jié)出一

般規(guī)律，難度較大.

11.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BC=2AB.A,B兩點的坐標(biāo)分別是（-1,

0）,（0,2）,C,D兩點在反比例函數(shù)y=K（k<0）的圖象上，則k等于-12.

【考點】反比例函數(shù)綜合題.

【分析】設(shè)點C坐標(biāo)為（a,工），根據(jù)AC與BD的中點坐標(biāo)相同，可得出點D的坐標(biāo)，

a

將點D的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式可得出k關(guān)于a的表達(dá)式，再由BC=2AB=2&,可求出a

的值，繼而得出k的值.

【解答】解：設(shè)點C坐標(biāo)為（a,上），（k<0）,點D的坐標(biāo)為（x,y）,

a

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

...AC與BD的中點坐標(biāo)相同,

/.（限與）=（冬型），

22a22

貝Ux=a-1,y=k一

a

代入y=K,可得：k=2a-2a2①；

在Rt/XAOB中，AB=VOA2+OB2=V5?

，BC=2AB=2心

故BC2=（0-a）2+（--2）2=（2娓）2,

a

整理得：a4+k2-4ka=16a2,

將①k=2a-2a2,代入后化簡可得：a2=4,

Va<0,

a=-2,

：.k=-4-8=-12.

故答案為：-12.

方法二：

因為ABCD是平行四邊形，所以點C、D是點A、B分別向左平移a,向上平移b得到的.

故設(shè)點C坐標(biāo)是（-a,2+b）,點D坐標(biāo)是（-l-a,b）,（a>0,b>0）

根據(jù)K的幾何意義，|-a|x|2+b|=|-l-a|x|b|,

整理得2a+ab=b+ab,

解得b=2a.

過點D作x軸垂線，交x軸于H點，在直角三角形ADH中，

由已知易得AD=2&,AH=a,DH=b=2a.

AD2=AH2+DH2,即20=a2+4a2,

得a=2.

所以D坐標(biāo)是（-3,4）

所以|K|=12,由函數(shù)圖象在第二象限，

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及了平行四邊形的性質(zhì)、中點的坐標(biāo)及解

方程的知識，解答本題有兩個點需要注意：①設(shè)出點C坐標(biāo)，表示出點D坐標(biāo)，代入反

比例函數(shù)解析式；②根據(jù)BC=2AB=2泥，得出方程，難度較大，注意仔細(xì)運算.

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知第一象限內(nèi)的點A在反比例函數(shù)產(chǎn)工的圖象上，第

X

二象限內(nèi)的點B在反比例函數(shù)尸號的圖象上，連接OA、0B,若OA_LOB,OB=*OA,

則k=.

----2-

【考點】反比例函數(shù)綜合題.

【專題】壓軸題.

【分析】過點A作AE_Lx軸于點E,過點B作BF±x軸于點F,設(shè)點A的坐標(biāo)為（a,—）,

a

點B的坐標(biāo)為（b,4），判斷出△0BFS/\A0E,利用對應(yīng)邊成比例可求出k的值.

b

【解答】解：過點A作AE_Lx軸于點E,過點B作BF_Lx軸于點F,

設(shè)點A的坐標(biāo)為（a,工），點B的坐標(biāo)為（b,苫），

ab

VZAOE+ZBOF=90°,ZOBF+ZBOF=90°,

/.ZAOE=ZOBF,

XVZBFO=ZOEA=90°,

.'.△OBF^AAOE,

.?43善,即

OFBFOB今告J2

-bb

則工=-^b①，②，

ab

①X②可得：-2k=l,

解得：k=-1.

故答案為：-

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)，反比例函

數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特點，解答本題要求同學(xué)們能將點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長度.

13.如圖，等腰直角三角形ABC頂點A在x軸上，ZBCA=90°,AC=BC=2?,反比例函

數(shù)y=3（x>0）的圖象分別與AB,BC交于點D,E.連結(jié)DE,當(dāng)aBDEsaBCA時，點

X

E的坐標(biāo)為（尚~、歷，?）.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【分析】首先設(shè)點D的坐標(biāo)是（m,工），點E的坐標(biāo)是（n,之），應(yīng)用待定系數(shù)法求

mn

出直線AB的解析式是多少；然后根據(jù)△BDES^BCA,可得NBDE=NBCA=90。，推得直

線y=x與直線DE垂直，再根據(jù)點D、E