解析2021屆福建省三明市普通高中高三畢業(yè)班三模數(shù)學試卷

2021屆福建省三明市普通高中高三畢業(yè)

班三模數(shù)學試題

一、單選題

1.已知集合人={,—l<x<3},B={x|2x-l<0},則406=（）

A.sx|—l<x<——?B.<x|—l<x<—z

^x|——<x<3

C.

答案：B

【分析】化簡集合3,根據(jù)交集的概念運算可得結(jié)果.

解：B={x|2x-l<0}={x|x<1},

A^\B={x|一1<x<g}.

故選：B

2.已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z滿足目-z=2+4i,則z在復平面內(nèi)對應的點的坐標

為（）

A.（3,4）B.（-3,4）C.（3,T）D.（―3,T）

答案：C

【分析】設2=。+初（a力eR）,則由已知可得（而行"一a）—4=2+4"從而得

"2,可求出。泊的值，進而可得答案

-b=4

解：解：設2=。+初（a/eR）,則由|z|—z=2+4"得

J/+/一（^+4）=2+4,，即（J/+/一a）一次=2+4z-

y/a2+b2-a=2a—3

所以<解得

—b=4b=Y

所以z=3—4，，所以z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為（3,T）,

故選：C

3.某市長期追蹤市民的經(jīng)濟狀況，依照訂立的標準將市民分為高收入和低收入兩類.

統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明該市高收入市民人口一直是低收入市民人口的兩倍,且高收入市民中每年

有40%會轉(zhuǎn)變?yōu)榈褪杖胧忻?那么該市每年低收入市民中轉(zhuǎn)變?yōu)楦呤杖胧忻竦陌俜直?/p>

是（）

A.60%B.70%C.80%D.90%

答案：C

【分析】設原來低收入市民人口為。，則高收入市民人口為2a,設該市每年低收入市

民中轉(zhuǎn)變?yōu)楦呤杖胧忻竦陌俜直葹閄%,然后由題意列方程可求得結(jié)果

解：解：設原來低收入市民人口為。，則高收入市民人口為2a,設該市每年低收入市

民中轉(zhuǎn)變?yōu)楦呤杖胧忻竦陌俜直葹椋?，

則由題意可得2a-2a-40%+a-x°/o=2（a-a-x°/o+2a-40%）,

解得x=80,

故選：C

4.（1+2磯必一2『展開式中V的系數(shù)為（）

A.-160B.-80C.80D.160

答案：A

【分析】由于（公-2）5展開式中x的次數(shù)均為偶次，所以（l+2x）（》2—2『展開式中V

的系數(shù)為（x2-2）5展開式中一系數(shù)的2倍，從而可求出答案

解：解：因為（必-2）5展開式中x的次數(shù)均為偶次，

所以（1+2x）（x2-2『展開式中x5的系數(shù)為（%2-2）5展開式中x4系數(shù)的2倍,

（犬_2）5展開式的通項公式為心嚴（_2），=G（—2）Y°-2"令10—2r=4,

得廠=3,

所以（l+2x）H-2）5展開式中V的系數(shù)為2C；（-2）3=-160,

故選：A

5.若函數(shù)y=/（x）的大致圖象如圖所示，則/（無）的解析式可能是（）

A./卜）=后B./（》）=而

C-"常小）=二

答案：C

【分析】利用排除法，取特殊值分析判斷即可得答案

解:解:由圖可知，當xe（O,l）時，f（x）＜0,

1

所以排除B,對于D,

1

/'(g)=3~=g〉0,所以排除D,

Y11

當x＞0時，對于A,/（%）=^=1+——，此函數(shù)是由尸—向右平移1個單位,

x-1X-1尤

再向上平移1個單位，所以尤＞1時，恒成立，而圖中，當時，f（x）可

以小于1，所以排除A,

故選：C

6.“干支紀年法”是中國歷法上使用的紀年方法.甲，乙，丙，T,戊，己，庚，辛，壬,

癸被稱為“十天干”，子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥被稱為“十二

地支”.“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字開始，兩者按干支順序相配，其相配順序

為：甲子，乙丑，……，癸酉，甲戌，乙亥，……壬戌，癸亥，甲子，……，周而復始,

循環(huán)記錄，此為干支紀年法.十三屆全國人大四次會議審查的《國民經(jīng)濟和社會發(fā)展第

十四個五年規(guī)劃和2035年遠景目標綱要（草案）》提出，展望2035年，中國將基本實

現(xiàn)社會主義現(xiàn)代化.已知1901年是“干支紀年法”中的辛丑年，那么2035年是“干支紀年

法”中的（）

A.甲寅年B.乙卯年C.丙辰年D.丁巳年

答案：B

【分析】根據(jù)干支紀年法，知60年為一循環(huán)，然后由1901年至2035年，利用周期求

解.

解：由題意得干支紀年法，60年為一循環(huán)，

因為2035-1901=134,

所以經(jīng)歷了2個60年循環(huán)，又經(jīng)歷了14年，

則“十天干”中的“辛”過了14年后為“乙”，

“十二地支”中的“丑”過了14年后為“卯”，

故選：B

7.某市原來都開小車上班的唐先生統(tǒng)計了過去一年每一工作日的上班通行時間，并進

行初步處理，得到頻率分布表如下（T表示通行時間，單位為分鐘）：

通行時間15<T<2020<T<2525<r<3030<T<3535<T<40

頻率0.10.30.30.20.1

該市號召市民盡量減少開車出行，以綠色低碳的出行方式支持節(jié)能減排.唐先生積極響

應政府號召，準備每天從騎自行車和開小車兩種出行方式中隨機選擇一種.如果唐先生

選擇騎自行車，當天上班的通行時間為30分鐘.將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計總體的

思想，對唐先生上班通行時間的判斷，以下正確的是（）

A.開小車出行的通行時間的中位數(shù)為27.5分鐘

B.開小車出行兩天的總通行時間少于40分鐘的概率為0.01

C.選擇騎自行車比開小車平均通行時間至少會多耗費5分鐘

D.若選擇騎自行車和開小車的概率相等，則平均通行時間為28.5分鐘

答案：D

【分析】對于A,由頻率分布表可知中位數(shù)在［25,30）內(nèi)，若設中位數(shù)為則有

03

0.1+0.3+—（a-25）=0.5,從而可求出中位數(shù)進行判斷；對于B,由頻率分布表可

知開小車出行兩天的總通行時間少于40分鐘的概率為1；對于C,由頻率分布表求出開

小車平均通行時間，然后再比較即可；對于D,直接求解平均時間即可

解：解：對于A,由頻率分布表可知中位數(shù)在［25,30）內(nèi)，若設中位數(shù)為則有

Q3Q0

0.1+0.3+—（?-25）=0.5,解得a=？-w27.5,所以A錯誤；

對于B,由頻率分布表可知開小車出行兩天的總通行時間少于40分鐘的概率為1,所以

B錯誤；

對于C,由頻率分布表可得開小車平均通行時間為

0.1X17.5+0.3X22.5+0.3X27.5+0.2x32.5+0.1x37.5=27,所以選擇騎自行車比

開小車平均通行時間至少會多耗費3分鐘，所以C錯誤；

27+30

對于D,由上面的計算可知平均通行時間為———=28.5,所以D正確，

2

故選：D

8.在三棱錐S—ABC中，側(cè)棱&4,SB,SC兩兩垂直，且5A+SB=SC=2.設

=該三棱錐的表面積為函數(shù)y=/(x),以下判斷正確的是()

A./(尤)為常數(shù)B./(九)有極小值

C./(%)有極大值D./(%)是單調(diào)函數(shù)

答案：A

【分析】根據(jù)位置和長度關(guān)系先寫出△出LB/S4cAs5C的面積，再根據(jù)三角形的面積

公式S=ACsin/BAC求解出S^ABC,由此可計算出/(%)的解析式并進行判

斷.

解：由已知條件可知：xe(O,2),

17Y—Y21

CX

因為5SAB=--x-（2-x）=——，%=5-2=

22乙

S^sbc=/，（2-X），2=2-x,

AB=7&42+SB2=V2x2-4x+4，AC=\ls^+SC2=7x2+4

BC=y/SB2+SC2=J（2-H+4=V^2-4X+8，

研+3—叱

所以cosABAC-

2ABAC

J（九2+4）（2x2-4%+4）—九4

所以sin/BAC

J九2+4?,2尤2—4%+4

所以

+4（X-2）2+X2（X-2）2

sinABAC-

yjx2+4-V2x2-4x+4^x2+4-V2x2-4x+4

所以sm/BAC=/6萼12)+加一尤=-2x+4，

VX2+4-V2X2-4X+4VX2+4-A/2X2-4X+4

1元2—9Y+4

所以，

s△ADRCC=2-ABACsinZBAC=-------2------

CCI1.j.(\2x—x-與x~-2x+4

所以/(x)=——Fx+2—xH-------------=4,

所以/(九)為常數(shù)函數(shù)，

故選：A.

關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵在于I"。的求解，通過借助勾股定理、三角形的面積公

式以及同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系，求解出S-BC關(guān)于》的表示，本例對于計算能力要

求很高.

二、多選題

9.設P是鉆內(nèi)部(不含邊界)的一點，以下可能成立的是()

A.OP=-OA+-OBB.OP=-OA+-OB

5555

C.OP=-OA+-ABD.OP=-OA+-AB

5555

答案：AC

【分析】作出圖示，根據(jù)向量的平行四邊形法則逐項進行判斷即可.

解：對于A：如下圖所示，可知尸在△Q45內(nèi)部，故成立；

對于B：如下圖所示，可知P在AOAB外部，故不成立;

如下圖所示，可知P在△。鉆內(nèi)部，故成立;

如下圖所示，可知P在△。鉆外部，故不成立;

故選：AC.

關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是采用圖示結(jié)合向量的平行四邊形法則進行說明，其中

CD選項中的向量關(guān)系式要根據(jù)AB=AO+OB進行化簡.

10.對于給定的異面直線加、"，以下判斷正確的是（）

A.存在平面々，使得nLa

B.存在直線/,使得/同時與加、〃垂直且相交

C.存在平面e、0,使得根ua,〃u，，且?！ǚ?/p>

D.對于任意點A,總存在過A且與〃2、〃都相交的直線

答案：BC

【分析】利用反證法可判斷A選項的正誤；利用兩異面直線存在公垂線可判斷B選項

的正誤；利用面面平行的性質(zhì)可判斷C選項的正誤；假設點A既不在直線m上，也不

在直線”上，則點A與直線加可確定平面a,結(jié)合圖形可判斷D選項的正誤.

解：對于A選項，若存在平面a,使得則相/小，與題設條件矛盾，

假設不成立，A選項錯誤；

對于B選項，作直線。，使得a〃八且。門7〃=A,則直線。、加確定平面戊，如下圖

所示：

過點A作直線〃，使得b_La.

①若力與九相交，則直線b即為所求作的直線/,

?raua,mua,所以，b±a,b±m(xù),?：n//a,所以，bl.n,

即直線/同時與切、”垂直且相交；

②若直線〃與〃異面，過直線“作平面夕，使得初/尸,

設直線b與加確定的平面為7,且夕n7=/,由線面平行的性質(zhì)定理可得

?：bA-a,貝"_La,〈aua,：.l_La,,/alIn,:.lLn,同理可知，l上m,

由圖可知，mCy=B,,；luB,Iuy,貝1]/。772=3,同理可知，直線/與〃也相

交.

此時，存在直線I,使得/同時與m、n垂直且相交.

綜上所述，存在直線/,使得/同時與加、〃垂直且相交，B選項正確；

對于C選項，作直線加，使得直線而與“相交且加〃H7,直線加與“確定平面少，

作直線n,,使得直線n'與m相交且“〃/，直線m與n'確定平面?,

mlM,mU。，m'u0,所以，〃〃/，,同理可得力〃，，

因為直線加與〃'相交，且直線加與"'確定平面a,所以，al1/3,

因此，存在平面a、夕，使得根ua,nu/3,且?！?，C選項正確;

對于D選項，若點A既不在直線加上，也不在直線〃上，則點A與直線加可確定平面

當nila時，無法找到過點A的直線同時與加、”相交，D選項錯誤.

故選：BC.

方法點睛：對于空間線面位置關(guān)系的組合判斷題，解決的方法是“推理論證加反例推斷”,

即正確的結(jié)論需要根據(jù)空間線面位置關(guān)系的相關(guān)定理進行證明，錯誤的結(jié)論需要通過舉

出反例說明其錯誤，在解題中可以以常見的空間幾何體（如正方體、正四面體等）為模

型進行推理或者反駁.

-x+1

11.已知%>0,y〉0,且2%+y=l,則——可能取的值有（）

孫

A.9B.10C.11D.12

答案：BCD

x+1x+2x+y31/31、

【分析】由題意可知——=--------=—+—=—+—（2x+y）,化簡后利用基本

町xyyxxj

不等式可求得其最小值，從而可得答案

解：解：因為尤>0,y>0,且2x+y=l,

x+1x+2x+y31

所以——=--------二—+—

xyxyyx

(3i)

(2x+y)

bx)

6xy.

=——+—+5

y%

忖.*2礙5,當且僅當曾

即丫=應取等號,

故選：BCD

12.瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同

一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉

22

線”.直線1與y軸及雙曲線一-方=1（?！?/〉o）的兩條漸近線的三個不同交點構(gòu)

成集合且〃恰為某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若/的斜率為1,則該雙

曲線的離心率可以是（）

A.叵B.立C.V2D.V10

52、v

答案：ABD

【分析】設/：y=x+m,分別與兩條漸近線和y軸聯(lián)立求出的坐標，求出

|AB|、|AP|、|再分類討論重心、垂心和外心，并根據(jù)重心到外心的距離是重

心到垂心距離的一半列式求出。泊的關(guān)系，再根據(jù)離心率公式可求出結(jié)果.

解：設/：y=x+m,

am

y=x+mx=--

b-a/日“ambm

由＜b，得＜,，得），

y=-xbmb-ab-a

ay~~

b-a

am

y—x+mx----------

ambm

由＜b，得＜小，得B(—），

y=——xbmb+ab+Q

ay~

b+a

y=x+mx=0

由＜,得，得P(0,加)，

x=Qy-m

amam2bmbm2_242ab|m\

|AB|=J(----+------)+c)=\b2-a2\

b-ab-\-ab-ab+a

Vb-ab-a\b-a\

|BP1=/—士+(2——)2=邑-

Vb+ab+ab+a

若A為重心、6為外心、P為垂心，貝ij|AB|=!|AP|,

2

”…2^2ab\m\1y/2a\m\,,科/口…皿小山一、生

所以一z~~^=------------L，化簡得a=3b，此時雙曲線的曷心率

\b2-a2\2\b-a\

若A為重心、3為垂心、尸為外心，貝。|AP|=」|AB|,

2

yj2a\m\12^2ab\m\"?口八十為一

所以2_L=-x—4~~化簡得〃=0不成立；

\b-a\2|Z?2-tz2|

若3為重心、A為垂心、尸為外心，則|BP|=L|AB|,

2

士,^2a\m\12yj2ab\m\號/口?fa小生―、.

所以-------L=-x―-~1，化n簡得a=2b，此時雙曲線的禺心率

b+a2厲―昌

T_Vs

廠三'

若3為重心，P為垂心、A為外心，則|R4|=」|3P|,

2

2yl2ab\m\1y/2a\m\號/口〃“…不以心生一、.

—-------=—x-----------，化n間倚a—5b,止匕時雙曲線的禺心率

廳―2b+a

[~TV26

e=AIT---=-----；

V255

若尸為重心、A為垂心、3為外心，則|BP|=L|AP|,

2

所以立也也21,化簡得3=3。或。=3人,

b+a2\b-a\

此時雙曲線的離心率e=Ji工§=J而或e=Jg=半

若尸為重心，3為垂心、A為外心，貝!][4尸]=」|3尸|,

2

所以41a\m\=j_*41a\m\，化簡得/,=—3。或。=—3b都不成立.

\b-a\2b+a

綜上所述：e=警或e=乎或e=M或e=*

故選：ABD

關(guān)鍵點點睛：求雙曲線離心率的關(guān)鍵是得到瓦c的等量關(guān)系，求出三個交點坐標后,

分類討論重心、垂心和外心，根據(jù)重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半可得所要

的等量關(guān)系..

三、填空題

,711

13.已知sin（5■—o），貝！Icos2a=.

_7

答案：——

【分析】先利用誘導公式求得cosa的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos"的值.

7112127

解：解：sin(----a)=cosa=—,，cos2a=2cosa-l=2x(—)—1=——.

2339

7

故答案為：-

本題主要考查誘導公式及二倍角的余弦公式的運用，考查運算求解能力，屬于基礎題型.

14.若拋物線丁=。必上的點P(〃2)到焦點的距離為3,則。=.

答案：v

【分析】首先求出拋物線的準線方程，根據(jù)拋物線的定義到焦點的距離等于到準線的距

離，得到方程，解得即可；

解：解：拋物線y=a/,即/二工V，準線方程為y=—'-,點尸(加,2)到焦點的距

a4〃

離為3,所以2—1解得。=工

I4czJ4

故答案為：-

4

15.函數(shù)/(力=111%+2%—6零點的一個近似值為.(誤差不超過0.25)

備注：自然對數(shù)的底數(shù)2.72.

答案：2.45(可填(2.36,2.54)中的任一實數(shù))

【分析】按照二分法求零點近似值的步驟可求得結(jié)果.

解：因為/'(2)=ln2+4-6=ln2-2<0,/(e)=lne+2e-6=2e—5^。.44>。，

/W(e)<0,

所以/Xx)在(2,e)內(nèi)有零點，止匕時e—2”2.72—2=0.72>0.25,不滿足精確度，

2+e

因為/(^^)?/(2.36)=In2.36+2x2.36-6=In2.36-1.28<0,

/(2.36)/(e)<0,

所以/(x)在(2.36,e)內(nèi)有零點，此時e—2.36“0.36>0.25,不滿足精確度，

因為

以25-7(2-54)=In2.54+2x2.54-6=In2.54-0.92?0.93-0.92=0.01

>0,/(2.36)/(2.54)<0,

所以/(x)在(2.36,2.54)內(nèi)有零點，止匕時2.54-2.36=0.18<0.25,符合精確度,

所以函數(shù)/(x)=lnx+2x—6零點的一個近似值為一^^=2.45,

故答案為：2.45(可填(2.36,2.54)中的任一實數(shù))

16.已知數(shù)列｛??｝滿足4+1=4+，則4+%021的最大值為.

答案：1+也

2

【分析】由G?+l=\+也”_屋,移項，左右兩邊平方，可得

(。〃+2-4)(4+2+?！啊?)=0,整理即可得。+2=4,數(shù)列是周期為2的數(shù)列,代入

〃=1,得出4,生的等量關(guān)系式，令得到二次不等式，根據(jù)二次函數(shù)的性

質(zhì)即可求得最大值

解：解：由題意得;Wa“Wl,由%=；+J4得=4-a：,

2

所以??+,-??+i+一4=一；，

a

所以n+2—%+2+4+J—4+1=一；，

兩式相減得(?！?2-a“)(a”+2+an-1)=0,

1113

因為所以當%=5時，an+l=1,an+2=-,此時。2+4021=5，

aa

當?！?gt;5時,n+2~~,n+2+。〃>1，所以〃〃+2+%-1。。，所以?！?2=，

所以數(shù)列｛g｝是以2為周期的周期數(shù)列，所以。2+出021=4+%，

所以由凡+:一?！?1+%/-〃〃=一；，得%2+%2一出一%,

21

(〃2+-(。2+4)-2。]。2=-W，

令4+4=乙則產(chǎn)T+；=2qa2<2x[^^]=2x^,即2/—4+1<0,

解得0<，<2鏟=1+等，當且僅當囚=g=-=4=2乎時取等號，

所以q+a2的最大值為1+立，即出+a202i的最大值為1+變，

22

故答案為：1+二

2

關(guān)鍵點點睛：此題考查數(shù)列的周期性，二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，考查計算能力，解題的

關(guān)鍵是由an+l=—+44-a；,移項，左右兩邊平方，可得

（%+2—4）（4+2+4—1）=0，從而可得4+2=an,得數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，

從而有4+。2021=。1+。2，只要求出6+%的最大值即可，屬于中檔題

四、解答題

17.在①sin2c=0cosC，②c（2+cos3）=百Z?sinC,③bsinA+百acosB=0這

三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的三角形存在，求該三角形的面

積；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在AMC,它的內(nèi)角A,民。所對的邊分別為a,b,c,且力=7,c=5,

?

答案：答案見解析.

【分析】選擇①，利用二倍角正弦公式得2sinCcosC=>^cosC，通過邊與角的關(guān)系知

cosCwO,進而得sinC=』3,再利用正弦定理計算得sin5>l,出現(xiàn)矛盾，故不存

2

在；

27r

選擇②，由正弦定理結(jié)合逆用兩角和差化積公式計算得5=——，利用余弦定理可得

3

a=3,再利用面積公式得解；

27r

選擇③，利用正弦定理結(jié)合同角之間的關(guān)系得到3=3-,利用余弦定理可得。=3,

再利用面積公式得解；

解：選擇①sin2c=6cosC

由sin2C二百cosC，得2$111。85。=百（：05。?

若cosC=0,?「?！辏?,乃），C=￡,與cvZ?矛盾，cosC0,sinC=-

ch

若這樣的△ABC存在，根據(jù)正弦定理，由——二——,

sinCsinB

得sin5=2吧色=拽>1,與sinBWl矛盾.

c10

所以，若選擇條件①，則問題中的三角形不存在.

選擇②c(2+cosB)=CbsinC

在△A4C中，根據(jù)正弦定理，得sinC(2+cosR)=百sinBsinC.

vC,則sinC>0,2+cosB=6sinB，即百sin3-cos5=2,整理

為sin(5—看卜1.

cf兀r兀5兀7C71

0<B<71,——<B——<—,B——=—

66662-T

根據(jù)余弦定理，a2+c2-2accosB=b2結(jié)合Z?=7,c=5,

「?“2+5。-24=0,解得：Q=3或a=—8(舍去).

△ABC的面積為8=L〃csinB="Y^.

24

選擇③Z?sinA+gacosB=0

在AABC中，根據(jù)正弦定理，得sinBsinA+A/3sinACOSB=0，即

sinA卜inB+班cos5)=0.

vAG(O,^),則sinA>0,，sinB+退COS3=0.

sinB2〃

_Be(0,TT),sinB〉0,cosB/0,=tanB=-------=—s/3，B=—.

cosB3

根據(jù)余弦定理，a2+c2-2?ccosB=b~結(jié)合Z?=7,c=5,

?2+5?—24=0，解得：。=3或a=-8(舍去).

AABC1的面積為S=4acsinB=

24

方法點睛：在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理

或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

(1)若式子含有sin%的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；

(2)若式子含有a,b,c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；

(3)若式子含有cosx的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；

(4)代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；

(5)含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；

(6)同時出現(xiàn)兩個自由角(或三個自由角)時，要用到A+8+C=〃.

18.設等差數(shù)列｛風｝的前幾項和為S“，且也｝為等比數(shù)列，滿足儂］=2,邑=6,

S3=12,4+a=3.

⑴求｛%｝,也｝的通項公式；

（2）設的=的，求數(shù)列｛g｝的前〃項和7“.

r\n+l

答案：(1)an=2n，bn=2"-'；(2)Tn=-——1.

【分析】（1）根據(jù)題目條件解得數(shù)列的首項，公差，公比，即可求得通項公式；

（2）將（1）中求得的通項代入小,化簡得到可以裂項的形式，利用裂項求和法求得前

n項和.

解：（1）設｛4｝的公差為d,｛2｝的公比為公

2q+d=6,

由星=6,S=12得：＜

33al+3d=12.

=2,

解得：＜

d=2.

所以4?=2+2(〃-1)=2〃.

24二2,

又由〃6=2,4+a=3得：＜

(1+q)=3.

解得

所以4=2")

(2)由(1)知，S“+i=(〃+1)(〃+2).

(2(n+l)-(n+2))2"

(n+l)(n+2)

n+2n+1

所以，=q+。2+q+…G

r2221(2322、/2〃+i2"、

—+一+…+---

32J14、〃+2

上」

n+2

方法點睛：求得數(shù)列通項公式后，若能拆成如題所述形式，可以使用裂項求和的方法求

得前〃項和.

19.如圖1,在平面四邊形ABC。中，BCMAB,CD=2AD,且△A3。為等邊

三角形.設E為A。中點，連結(jié)3E,將△ABE沿BE折起，使點A到達平面BCDE上

方的點P,連結(jié)PC,PD,設歹是PC的中點，連結(jié)5斤，如圖2.

（2）若二面角P—鹿—。為60°，設平面P5c與平面。￡）￡的交線為/,求/與平面

PC。所成角的正弦值.

答案：（1）證明見解析；（2）勺叵.

65

【分析】解法一：（1）設DE,C5的延長線交于點。，由長度關(guān)系可確定

由角度關(guān)系可確定3為CQ中點，由三角形中位線性質(zhì)知5B〃PQ,由線面平行的判定

定理可證得結(jié)論；

（2）由二面角平面角定義可確定NPEZ>=60°，由此得到圖形中的長度關(guān)系，以3為

坐標原點可建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法可求得結(jié)果；

解法二：（1）取CD的中點為G,由三角形中位線性質(zhì)得FG〃尸由長度和角度關(guān)

系可證得BG//DE,由面面平行判定和性質(zhì)可證得結(jié)論；

（2）由二面角平面角定義可確定NPE￡>=60°,由此得到圖形中的長度關(guān)系，以OE中

點。為坐標原點可建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法可求得結(jié)果.

解：解法一：（1）在平面BCDE內(nèi)，設DE,CB的延長線交于點Q,連結(jié)尸。,

在△BCD中，設應＞=1,則5c=6，CD=2,

:.BD~+BC2=CD~，：.BDLBC,且NBDC=NBDE=60°，

.-.ZBQD=ZBCD=30°,：.DQ=DC,則3為CQ中點，

?.?歹是PC中點，萬〃P。，又跖仁平面「DE，PQu平面PDE，

:.BF〃平面PDE.

（2）1?在圖1中，E是A。中點，即AE=DE,△A3。為等邊三角形，」.BELAE,

,在圖2中，DE上BE,PE±BE，DEIPE=E,￡）石,「石（=平面「￡）石，

..班，平面PDE,又5Eu平面BCDE,

二平面平面。DE,且NPED是二面角P—鹿―￡＞的平面角，即

APED=60°，

BD1

PD=PE=DE=——=-.

22

連結(jié)PO,則尸OJ_DE,PO=B,

設。為OE中點,且尸0,平面BCDE.

4

過3作B77/OP,則37,平面BCDE.

以3為坐標原點,分別以BC,BD,BT為x軸，V軸，z軸建立空間直角坐標系.

則5(0,0,0),C(V3,0,0),0(0,1,0),2(-73,0,0),E

7

op~T，8,

加:字—g3成=而+子,一｝一￡

?.?5?？?。石=。，?.?平面Men平面P0E=PQ；

設平面尸CD的一個法向量為〃=（Xo，yo，z（）），

n-DC=A/3X-y0=0

nLDC0

由<--得：＜n-DP=-^-x-—y+z=0

nLDP000

8840

令%=1,解得：%=8，Zo=l,."=（1,上,1）；

設尸。與平面PCD所成角為a,

……，吁”—=好

sina

則65

1邛。嗣x

陋小x

2

即/與平面PCD所成角的正弦值為生叵.

65

解法二：（1）取CD的中點為G,連結(jié)尸G,BG,

?.?F是PC中點、，：.FG〃PD.

又FG<z平面PDE,?Du平面P￡）E,bG〃平面產(chǎn)。￡；

設5。=1,則5C=6，CD=2,

:.BD2+BC2^CD2，:.BD±BC,典NBDC=65，：.BG=DG=CG=BD,

則ZDBG=ZBDE=60°，,BGHDE,

又BGa平面PDE,DEu平面PDE,3G〃平面PDE；

■：FG^BG=G,56,尸6<=平面896,二平面96〃平面?！辏┦?

???BFc=平面BFG,BFH平面PDE.

(2)?.?在圖1中，E是A。中點，即AE=DE,△A3。為等邊三角形，BELAE,

,在圖2中，DE工BE,PE上BE，DEIPE=E,￡)石,「石(=平面?！?石,

:.BE工平面PDE,又5Eu平面BCDE,

二平面平面。DE,且NPED是二面角P—鹿―￡＞的平面角，即

ZPED=60°，

BD1

PD=PE=DE=——

22

設。為。E中點，"為6。中點，連結(jié)尸0,OM.

則OMLDE,POLDE,則尸0,平面3cDE.

以。為坐標原點，分別以OM,OD,OP為x軸，V軸，z軸建立空間直角坐標系.

則力,別,尸卜,0,口V字一：,。；,q@,o],'曰,

DP=,DC=(73,1,0),BF=0，/9.

?--BF//平面PDE,BFu平面PBC,平面PBCA平面PDE=I.

BF//1，,BF與平面PC。所成角即為l與平面PC。所成角；

設平面PCD的一個法向量為〃=(%,%,z0),

n-DC=6x。+%=0

nLDC

由＜得：<_一16

n±DPn-DP=——yH-----z=0

〔4?°n4n°

令Zo=l,解得:%=#),%=-1,二〃=(一1,6,1);

設5b與平面PC。所成角為a,

而海一叵JL647195

則sma=|cos<‘卜網(wǎng)W音茴

65，

即I與平面PCD所成角的正弦值為生叵.

65

方法點睛：利用空間向量法求解直線A3與平面a所成角的基本步驟為:

（1）建立空間直角坐標系，利用坐標表示出所需的點和向量；

\AB-n\

（2）求得平面a的法向量百，設所求角為。，則sind=一|

IA4H

71

（3）根據(jù)Oe0,-可求得線面所成角的大小.

20.雙敗淘汰制是一種競賽形式，與普通的單敗淘汰制輸?shù)粢粓黾幢惶蕴煌?，參賽?/p>

只有在輸?shù)魞蓤霰荣惡蟛艈适帄Z冠軍的可能.在雙敗淘汰制的比賽中，參賽者的數(shù)量

一般是2的次方數(shù)，以保證每一輪都有偶數(shù)名參賽者.第一輪通過抽簽，兩人一組進行

對陣，勝者進入勝者組，敗者進入負者組.之后的每一輪直到最后一輪之前，勝者組的

選手兩人一組相互對陣，勝者進入下一輪，敗者則降到負者組參加本輪負者組的第二階

段對陣；負者組的第一階段，由之前負者組的選手（不包括本輪勝者組落敗的選手）兩

人一組相互對陣，敗者被淘汰（已經(jīng)敗兩場），勝者進入第二階段，分別對陣在本輪由

勝者組中降組下來的選手，勝者進入下一輪，敗者被淘汰.最后一輪，由勝者組最終獲

勝的選手（此前從未敗過，記為A）對陣負者組最終獲勝的選手（敗過一場，記為3）,

若A勝則A獲得冠軍，若B勝則雙方再次對陣，勝者獲得冠軍.某圍棋賽事采用雙敗淘

汰制，共有甲、乙、丙等8名選手參賽.第一輪對陣雙方由隨機抽簽產(chǎn)生，之后每一場

對陣根據(jù)賽事規(guī)程自動產(chǎn)生對陣雙方，每場對陣沒有平局.

（1）設“在第一輪對陣中，甲、乙、丙都不互為對手”為事件加，求M的概率；

2

（2）已知甲對陣其余7名選手獲勝的概率均為解決以下問題：

①求甲恰在對陣三場后被淘汰的概率；

②若甲在第一輪獲勝，設甲在該項賽事的總對陣場次為隨機變量求J的分布列.

一、4_4_

答案：（1）—；（2）①^―；②答案見解析.

727

【分析】（1）先求出8人平均分成四組的方法數(shù)，再求出甲，乙，丙都不分在同一組的

方法數(shù)，從而可求得答案；

（2）①甲恰在對陣三場后淘汰，有兩種情況：“勝，敗，敗”和“敗，勝，敗”，然后利

用互斥事件的概率公式求解即可

②由題意可得Je{3,4,5,6,7},然后求出各自對應的概率，從而可得J的分布列

解：(1)8人平均分成四組，共有08c6?。2

種方法,

其中甲，乙，丙都不分在同一組的方法數(shù)為用,

看

P(A)

所以「C；C；C；C；

A：

4

一7

(2)①甲恰在對陣三場后淘汰，這三場的結(jié)果依次是“勝，敗，敗”或“敗，勝，敗”,

211121

故所求的概率為一乂一乂一+彳義:義一

333333

4

27

②若甲在第一輪獲勝，{3,4,5,6,7}.

當J=3時，表示甲在接下來的兩場對陣都敗，即尸偌=3)=gxg=：

當自=4時，有兩種情況:

2228

(i)甲在接下來的3場比賽都勝，其概率為一義一x二=一；

33327

(ii)甲4場對陣后被淘汰，表示甲在接下來的3場對陣1勝1敗，且第4場敗,

2114

概率為Cj?—x—x—=—,

33327

844

所以P（J=4）=—+——=一

,727279

當&=5時，有兩種情況:

2214

(i)甲在接下來的2場對陣都勝，第4場敗，概率為一><—><—=一;

33327

(ii)甲在接下來的2場對陣1勝1敗，第4場勝，第5場敗，

概率為=

所以P4