函數(shù)的性質之單調性(精講)

[函數(shù)的性質之單調性(精講)

考點1.區(qū)間與無窮的概念

【知識點的認識】

設?！础?，①開區(qū)間：{^a<x<b]=(a,b)

②閉區(qū)間：{x\a^x^b}=[a9h]

③半開半閉區(qū)間:{x|qVxWb}=(〃，b]{x|a^x<Z>}=[a,b)

正無窮：在實數(shù)范圍內，表示某一大于零的有理數(shù)或無理數(shù)數(shù)值無限大的一種方式，沒有具體數(shù)

字，但是正無窮表示比任何一個數(shù)字都大的數(shù)值.符號為+8.數(shù)軸上可表示為向右箭頭無限遠的

點.

負無窮：某一負數(shù)值表示無限小的一種方式，沒有具體數(shù)字，但是負無窮表示比任何一個數(shù)字都

小的數(shù)值.符號為-8.

{x|Wx}=[a,+°°)

(x\a<x}—(a,+0°)

{小■}=(-8,0

{小<〃}=(-8,〃)

{x|xGR}=(-°O,+8)

【例題1】(2018秋?尋甸縣校級期中)區(qū)間(0,1)等于()

A.{0,1}B.{(0,1)}C.{x|0<x<l}D.[x\(^ic1)

【分析】根據(jù)區(qū)間的定義，即可得出區(qū)間(0,1)表示的集合是什么.

【解答】解：根據(jù)區(qū)間的定義知，區(qū)間(0,1)等于集合“I0VXV1}.

故選：C.

【點評】本題考查了區(qū)間的定義與應用問題，是基礎題.

【例題2】(2018秋?潮安區(qū)校級月考)下列集合不能用區(qū)間形式表示的是()

?A=｛1,2,3,4)

②｛x|x是三角形｝

③｛x|x>l,且xeQ｝

④0

⑤｛x|%,0,或x..3｝

⑥*|2<%，5,xwN｝

A.①②③B.③④⑤C.⑤⑥D.①②③④⑥

【分析】由區(qū)間可以表示一個或多個連續(xù)的實數(shù)集合逐一核對六個集合得答案.

【解答】解：對于①，集合A中的元素是不連續(xù)的四個實數(shù)，故不能用區(qū)間表示；

對于②，所有三角形構成的集合只能用描述法表示，不能用區(qū)間表示；

對于③，集合｛x|x>l,且xeQ｝中的元素不連續(xù)，不能用區(qū)間表示；

對于④，空集中不含任何元素，不能用區(qū)間表示；

對于⑤，集合或x..3｝可以區(qū)間表示為(-8,01IJ13,+<?)；

對于⑥，集合｛x|2<%,5,xeN｝中的元素不連續(xù)，不能用區(qū)間表示.

不能用區(qū)間表示的有①②③④⑥.

故選：D.

【點評】本題考查區(qū)間與無窮的概念，考查集合的表示方法，是基礎題.

【例題3】(2020秋?路北區(qū)校級期中)集合A=｛x|%,5且衣1｝用區(qū)間表示—(ro—DUQ—SL

【分析】由題意利用集合表示法，區(qū)間的定義，得出結論.

【解答】解：集合A=｛x|%,5且XH1｝用區(qū)間表示為(YO,1)U(1,5J,

故答案為：(-00,1)U(1,5].

【點評】本題主要考查集合表示法，區(qū)間的定義，屬于基礎題.

【例題4】(2018秋?峨山縣校級期中)集合｛x|-2,x<l或*>1｝用區(qū)間表示為_[-2rl)U(lr+oo)

【分析】由題意利用區(qū)間的定義和表示法，得出結論.

【解答】解：集合｛x|-2,x<l或x>l｝用區(qū)間表示為[-2,1)D(1,-HO),

故答案為：[-2,1)0(1,+00).

【點評】本題主要考查區(qū)間的定義和表示法，屬于基礎題.

【例題5】（2017秋?滄縣校級期中）用區(qū)間表示數(shù)集｛x|2<%,4｝=_（2-4]

【分析】根據(jù)區(qū)間的定義，可得答案.

【解答】解：數(shù)集｛x|2,4｝=（2,4],

故答案為：（2,4]

【點評】本題考查的知識點是區(qū)間的概念，難度不大，屬于基礎題.

舉「反三

【變式1】（2015秋?無為縣校級期中）集合｛打工.2｝表示成區(qū)間是（）

A.（2,+oo）B.[2,+00）C.（-oo,2）D.（―oo,2]

【分析】根據(jù)區(qū)間的定義，可得答案.

【解答]解:集合｛x|x..2｝表示成區(qū)間是衣,+oo）,

故選：B.

【點評】本題考查的知識點是區(qū)間與無窮的概念，難度不大，屬于基礎題.

【變式2](2014秋?縉云縣校級月考)不等式-&,x<15寫出區(qū)間形式是()

A.(15,-8)B.(-8,15]C.[-8,15)D.[-8,15]

【分析】寫成區(qū)間形式時，包含端點時用中括號，不包含用小括號.

【解答】解：不等式-的區(qū)間形式是[-8,15).

故選：C.

【點評】本題考查了區(qū)間的概念，屬于基礎題.

【變式3](2014秋?清流縣校級月考)下列四個區(qū)間能表示數(shù)集A={x|0,,x<5或x>10}的是()

A.(0,5)U(10.+oo)B.[0,5)U(10,-H?)

C.(5,0||Jll0,+oo)D.[0,5]|J(10,+oo)

【分析】根據(jù)區(qū)間的定義將集合表示為區(qū)間即可.

【解答】解：根據(jù)區(qū)間的定義可知數(shù)集4={》|0,,%<5或x>10}可以用區(qū)間[0,5)D(10,+oo)表示.

故選：B.

【點評】本題主要考查區(qū)間的定義，比較基礎.

【變式4】(2017秋?伊寧市校級月考)集合A={x|x..O且XH1}用區(qū)間表示—[0--+8)_.

【分析】根據(jù)區(qū)間的定義，結合已知中集合4={》|"0且XW1},可得答案.

【解答】解：集合A={x|x..O且xwl}用區(qū)間表示為：[0,1)D(1,+oo),

故答案為：[0,1)51，+℃).

【點評】本題考查的知識點是區(qū)間法表示集合，難度不大，屬于基礎題.

【變式5](2015秋?承德校級月考)用區(qū)間表示{x|x<0或x..l}=_(-8,0)|J[l

【分析】直接把集合寫成區(qū)間的形式，注意含有等于號的用閉區(qū)間，不含等于號的用開區(qū)間.

【解答】解：{x|x<0或x..l}=(-co,0)UU，+oo)>

故答案為：(-<?,O)|J[1,+00)

【點評】本題考查了區(qū)間與無窮的概念，是基礎的概念題，關鍵是注意無窮處應是開區(qū)間.

【變式6](2015秋?長安區(qū)校級月考)將下列集合用區(qū)間表示出來.

(1){x|x..1}=_[1,+00)_.

(2){x|2^ijc8)=.

⑶{yly=-}=-

X

【分析】直接把集合寫成區(qū)間的形式，注意含有等于號的用閉區(qū)間，不含等于號的用開區(qū)間.

【解答】解：(1){X|X..1}=[1,+00).

(2){x|2麴Jr8}=[2,8].

(3){y|y=i)=(-oo,0)D(0,+oo).

x

故答案為：(1)：[1,+oo),(2)：[2,8],(3)：(-00,0)50,+oo).

【點評】本題考查了區(qū)間與無窮的概念，是基礎的概念題，關鍵是注意無窮處應是開區(qū)間.

知識點精析

考點2.函數(shù)的單調性及單調區(qū)間

【知識點的認識】

一般地，設函數(shù)f（X）的定義域為/,如果對于定義域/內某個區(qū)間。上的任意兩個自變量XI,

X2,

當X1<X2時，都有了（XI）</（%2）,那么就說函數(shù)/（X）在區(qū)間O上是增函數(shù)；當X1<T2時，都有

/（XI）>/（★）,那么就說函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是減函數(shù).

若函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)/（X）在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性,

【例題1】（2021?河北區(qū)學業(yè)考試）已知函數(shù)f（x）=x2-丘-8在區(qū)間[5,20]上具有單調性，則實數(shù)左

的取值范圍是（）

A.（-oo,10]|Jl40,+oo）B.（-00,-40j|jL-10,+8）

C.[10,+oo）D.[40,+00）

【分析】根據(jù)題意，求出二次函數(shù)〃x）=x2-質-8的對稱軸，結合函數(shù)單調性的定義可得2,5或￡.20,

22

再求出人的取值范圍即可.

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/（x）=f-履-8為二次函數(shù)，其開口向上，對稱軸為x=t，

若函數(shù)=/-履-8在區(qū)間［5,20］上具有單調性，

則2,5或￡.20,解得幺,10或k.40,

22

所以實數(shù)4的取值范圍是（-8,10］U（40,+00）;

故選：A.

【點評】本題考查函數(shù)的單調性，涉及二次函數(shù)的性質，屬于基礎題.

【例題2】（2021秋?懷仁市校級月考）若函數(shù)y=x2+2,nr+l在［2,+oo）上單調遞增，則實數(shù)m的取值

范圍是（）

A.［-2,+oo）B.［2,+00）C.（-oo,2）D.（-oo,2］

【分析】根據(jù)題意，求出二次函數(shù)的對稱軸，結合二次函數(shù)的性質可得-科,2,解可得機的取值范圍，即

可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)丫=/+2如+1為開口向上的拋物線，對稱軸為*=-,“，

函數(shù)y=x2+2〃a+1在［2,+oo）上單調遞增，

則—，”,2,解得加..—2,即川的取值范圍為［-2,-KO）；

故選：A.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，涉及函數(shù)單調性和單調區(qū)間的定義，屬于基礎題.

【例題3】（多選）如圖是函數(shù)）=/⑴的圖象，則函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（）

【分析】根據(jù)函數(shù)單調性與圖象的關系進行判斷即可.

【解答】解：函數(shù)單調遞增，則對應圖象上升，

則f（x）的遞增區(qū)間為［-2,-1）,［0,1）,

故選：AC.

【點評】本題主要考查函數(shù)單調性的判斷，利用是單調性與圖象之間的關系是解決本題的關鍵，是基礎題.

【例題4】（2021春?涼州區(qū)校級期末）函數(shù)/（x）=x3-3x+l的單調減區(qū)間為

【分析】求函數(shù)的導函數(shù)，令導函數(shù)小于零，解此不等式即可求得函數(shù)y=f-3x+l的單調遞減區(qū)間.

【解答】解：令r（x）=3f-3<0

解得一1cx<1,

二.函數(shù)y=Y一3x的單調遞減區(qū)間是（-1,1）.

故答案為：

【點評】本題主要考查了學生利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，一般步驟是先求定義域，然后令/'（x）>0求出

單調增區(qū)間，令/'（x）<0求出單調減區(qū)間，屬于基礎題.

【例題5】（2020秋?河西區(qū)期末）函數(shù)f（x）=3x-x3的單調增區(qū)間為

【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)大于0,解不等式即可得到增區(qū)間.

【解答】解：函數(shù)/（尤）=3x—V的導數(shù)為r（x）=3—3V,

令_/”（x）>0,即有d<l,

解得，

則增區(qū)間為（-1,1）.

故答案為：（-1,1）.

【點評】本題考查函數(shù)的單調區(qū)間，考查導數(shù)的運用，考查運算能力，屬于基礎題.

【例題6】（2021春?徐匯區(qū)校級月考）函數(shù)/（X）=J2x-出的單調遞增區(qū)間是—[0一]]_.

【分析】根據(jù)復合函數(shù)單調性之間的關系進行求解即可.

【解答】解：^t=2x-x2,則y=?為增函數(shù)，

由2犬-/..0,得帽左2,即函數(shù)的定義域為[0,2],

函數(shù)r=2x-d的對稱軸為x=l,

要求/（X）的單調遞增區(qū)間，即求函數(shù)r=2x-x2的單調遞增區(qū)間，

?門=2x-V的單調遞增區(qū)間為[0,1],

函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為[0,1],

故答案為：[0,1]

【點評】本題主要考查函數(shù)單調遞增區(qū)間的求解，根據(jù)復合函數(shù)單調性之間的關系，利用換元法是解決本

題的關鍵.

【例題7】(2020秋?玄武區(qū)校級期中)函數(shù)y=，--2x_3的遞減區(qū)間是_(-00遞增區(qū)間

是—.

【分析】先求出該函數(shù)定義域為{xlx,-1,或x..3},可以看出該函數(shù)的單調區(qū)間和函數(shù)y=V-2x-3在定

義域上的單調區(qū)間一致，根據(jù)二次函數(shù)單調區(qū)間的求法即可得出該函數(shù)的單調區(qū)間.

【解答】解：解/一2X-3..0得，用，—1,或X..3；

函數(shù)y=/-2x-3在(-co,T]上單調遞減，在[3,+8)上單調遞增；

該函數(shù)的遞減區(qū)間為(YO,-1J,遞增區(qū)間為[3,+00).

故答案為：(-00,-1],[3,+00).

【點評】考查解一元二次不等式，復合函數(shù)單調區(qū)間的求法，以及二次函數(shù)單調區(qū)間的求法.

【變式1](2020秋?工農區(qū)校級期中)函數(shù)/(x)=T—的單調遞增區(qū)間是()

廠-2x

A.(-oo,1]B.(-oo,0),(0,1)C.(-oo,0)U(0,1)D.(l,+oo)

【分析】根據(jù)復合函數(shù)單調性原則“同增異減”，可得答案.

【解答】解：由「=犬-2》工0,

可知函數(shù)開口向上，對稱軸x=l,XK0且XH2.

可得(ro,0),(0,1)單調遞減，

原函數(shù)/(x)的單調遞增區(qū)間(-oo,0),(0,1).

故選：B.

【點評】本題考查復合函數(shù)的單調性：同增異減，注意函數(shù)的定義域，考查運算能力，屬于易錯題.

【變式2】(2020春?天津期末)下列函數(shù)中，在(0,+oo)上為增函數(shù)的是()

A.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3xC.f(x)=--D.f(x)=—|x|

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的單調性，綜合即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,/(x)=3-x為一次函數(shù)，在(0,+oo)上為減函數(shù)，不符合題意；

對于3,/(x)=V-3x為二次函數(shù)，在(0上)上為減函數(shù)，不符合題意；

2

對于C,為反比例函數(shù)，在(0,”)上為增函數(shù)，符合題意；

X

對于。，f(x)=-\x\,當x>0時，.f(x)=-x，則函數(shù)f(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，不符合題意;

故選：C.

【點評】本題考查函數(shù)單調性的判斷，關鍵是掌握常見函數(shù)的單調性，屬于基礎題.

【變式3](2020?北京模擬)函數(shù)y=J--5x+4的單調遞增區(qū)間是()

A.[—,+℃)B-[—,4)C.[4>+oo)D.Ll?-),l4,+oo)

【分析】解不等式，求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)二次函數(shù)的性質求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可.

【解答】解：令爐-5X+4..0,

解得:乂.4或％,1,

而函數(shù)>-5x+4的對稱軸是：x=|.

由復合函數(shù)同增異減的原則，

故函數(shù)y=Jx?-5x+4的單調遞增區(qū)間是[4,+oo),

故選：C.

【點評】本題考查了求函數(shù)的單調性問題，考查二次函數(shù)以及二次根式的性質，是一道基礎題.

【變式4】(2021?北京學業(yè)考試)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,”)上單調遞減的是()

A.y=x2B.y=4xC.y=2xD.y=(；)*

【分析】利用基本初等函數(shù)單調性的性質對四個選項逐一判斷即可.

【解答】解：對于A,y=V在區(qū)間(0,內)上單調遞增，故A錯誤；

對于3,y=6在區(qū)間(0,”)上單調遞增，故3錯誤；

對于C,y=2"在區(qū)間(0,—)上單調遞增，故C錯誤；

對于O,y=在區(qū)間(0,物)上單調遞減，故O正確，

故選：D.

【點評】本題考查基本初等函數(shù)單調性的性質與判斷，屬于基礎題.

【變式5]（多選）（2020秋?梅州期末）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,”）上單調遞減的是（）

A.y=xB.y=-C.y--x2D.y=（^）x

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的單調性，綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,y=x,是正比例函數(shù)，在區(qū)間（0,內）上單調遞增，不符合題意，

對于B,y=~,是反比例函數(shù)，在區(qū)間（0,長0）上單調遞減，符合題意，

x

對于C,y=是開口向下，對稱軸為y軸的二次函數(shù)，在區(qū)間（0,位）上單調遞減，符合題意，

對于。，y=是指數(shù)函數(shù)，在區(qū)間（0,收）上單調遞減，符合題意，

故選：BCD.

【點評】本題考查函數(shù)的單調性的判斷，注意常見函數(shù)的單調性，屬于基礎題.

【變式6]（2019秋?徐匯區(qū)校級期中）函數(shù)/。）=-丁+2》的單調遞增區(qū)間為_（YO「1]一

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得/（X）的對稱軸以及開口方向，結合二次函數(shù)的性質分析可得

答案.

【解答】解：根據(jù)題意，/（X）=-X2+2X=-（X-1）2+1,是開口向下的二次函數(shù)，其對稱軸為x=l,

故/（幻的單調遞增區(qū)間為（-8,1]：

故答案為：（-8,1].

【點評】本題考查函數(shù)單調性的判斷，涉及二次函數(shù)的性質，屬于基礎題.

【變式7】（2020?通州區(qū)校級開學）函數(shù)/（》）=—/+2|x|+3的單調減區(qū)間為—[TJ0L[1J+OO）_.

【分析】討論x>0,x<0,從而去掉絕對值號，在每種情況下，根據(jù)二次函數(shù)的單調區(qū)間的求法寫出每種

情況的/（x）的單調減區(qū)間即可得出了（x）在R上的單調減區(qū)間.

【解答】解：（1）x>0時，f（x）=-x2+2x+3；

此時f（x）的對稱軸為x=l;

此時/（X）的減區(qū)間為[1,+00）;

(2)x<0時，f(x)=-x2-2x+3；

/(X)此時的對稱軸為X=-1；

此時/(%)的減區(qū)間為[-1,0]；

綜上得，/(x)的單調減區(qū)間為[-1,0],[1,+00).

故答案為:[-1,0],[I,+oo).

【點評】考查含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值號，二次函數(shù)的單調性及單調區(qū)間，二次函數(shù)的對稱軸，

要熟悉二次函數(shù)的圖象.

【變式8](2019秋?思明區(qū)校級期中)函數(shù)f(x)=x\x-2\的單調減區(qū)間為_口_2]_.

【分析】根據(jù)所給的帶有絕對值的函數(shù)式，討論去掉絕對值，得到一個分段函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調性

即可得到減區(qū)間.

【解答】解：當x>2時，f(x)=x2-2x,

當用,2時，/(x)=-x2+2x,

這樣就得到一個分段函數(shù)/(x)=廠：2x'x>2.

[-X2+2元及,2

/(x)=9-2x的對稱軸為：x=\,開口向上，x>2時是增函數(shù)；

f(x)=-x2+2x,開口向下，對稱軸為x=l,

則x<l時函數(shù)是增函數(shù)，l<x<2時函數(shù)是減函數(shù).

即有函數(shù)的單調減區(qū)間是[1,2].

故答案為：口，2].

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，本題解題的關鍵是去掉絕對值，把函數(shù)化成基本初等函數(shù)，可以通過

函數(shù)的性質或者圖象得到結果.

知識點精析

考點3.函數(shù)單調性的性質與判斷

【知識點的認識】

一般地，設函數(shù)/(X)的定義域為/,如果對于定義域/內某個區(qū)間。上的任意兩個自變量XI,

X2,

當X1<X2時，都有一(XI)</(X2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間O上是增函數(shù)；當加>暇時，都有

/(XI)<f(X2),那么就說函數(shù)/(X)在區(qū)間。上是減函數(shù).

若函數(shù)/(X)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)/(X)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性,

區(qū)間D叫做y=/G)的單調區(qū)間.

7

【例題1】(2021?四川模擬)已知函數(shù)f(x)==(xe［2,6］),貝I")

x-1

A./(x)是單調遞增函數(shù)B.f(x)是奇函數(shù)

C.函數(shù)f(x)的最大值為/(2)D.f(3)<f(4)<f(5)

【分析】根據(jù)題意，先分析f(x)的單調性，據(jù)此分析選項，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，/(x)=^(xe［2,6］),在區(qū)間［2,6］上，/&)為減函數(shù),

x-1

據(jù)此分析選項：

對于A,/(x)在區(qū)間［2,6］上為減函數(shù)，力錯誤；

對于3,f(x)的定義域為［2,6］,不是奇函數(shù)，3錯誤；

對于C,f(x)在區(qū)間［2,6］上為減函數(shù)，則八幻的最大值為/(2),C正確；

對于O,f(x)在區(qū)間［2,6］上為減函數(shù)，則/(3)>f(4)>f(5),O錯誤；

故選：c.

【點評】本題考查函數(shù)的單調性和最值，注意分析函數(shù)的單調性，屬于基礎題.

4

【例題2】(2021春?白城期末)設函數(shù)/(x)=,nr+—+2在(0,+oo)上的最小值為7,則/(幻在(ro,0)上

X

的最大值為()

A.-9B.-7C.-5D.-3

【分析】令g(x)=/nr+g,則g(x)是定義域內的奇函數(shù)，由已知結合奇函數(shù)的性質即可求得了⑶在(-oo,0)

X

上的最大值.

【解答】解：令g(x)=;nr+q,則g(x)是定義域內的奇函數(shù)，

X

4

,Jf(x)=2+2在(0,丑0)上的最小值為7,g(x)在(0,內)內的最小值為5,

x

可得g(x)在(YO,0)上的最大值為-5,

貝ij/(x)在(-oo,0)上的最大值為—5+2=-3.

故選：D.

【點評】本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查函數(shù)奇偶性的應用，考查化歸與轉化思想，是中檔題.

【例題3】(多選)(2020秋?錦州期末)已知函數(shù)f(x)的定義域是［-1,5］,且.f(x)在區(qū)間［-1,2)±

是增函數(shù)，在區(qū)間［2,5］上是減函數(shù)，則以下說法一定正確的是()

A.f(2)>f(5)

B./(-1)=/(5)

C./(x)在定義域上有最大值，最大值是/(2)

D./(0)與/(3)的大小不確定

【分析】結合函數(shù)的單調性及函數(shù)是否在x=2處連續(xù)分別檢驗各選項即可判斷.

【解答】解：因為在區(qū)間［2,5］上是減函數(shù)，故f(2)>f(5)成立，A正確；

因為/(x)在區(qū)間［-1,2)上是增函數(shù)，在區(qū)間［2,5］上是減函數(shù)，但在x=2處不一定連續(xù)，故無法比較/(0)

與/(3)的大小，3不正確，。正確，

當函數(shù)在x=2處連續(xù)時，x=2處函數(shù)的最大值，當函數(shù)在x=2處不連續(xù)時，x=2時，函數(shù)不能取得最大

值，C錯誤；

故選：AD.

【點評】本題主要考查了函數(shù)的單調性與最值關系的判斷，屬于基礎題.

【例題4】(多選)(2021?芝景區(qū)校級開學)若函數(shù)/(x)="+(”>0且axl)在A上為單調

［3+(〃—l)x,x<0

函數(shù)，則。值可以是()

A.-B.-C.>/2D.2

33

【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調性的性質建立不等式關系進行求解即可.

【解答】解：?.?函數(shù)Ax)」""、'"'。(a>0且axl)在R上為單調函數(shù)，

l3+(n-l)x,x<0

a>1

①當/(九)為增函數(shù)時，則,

。+L.3

0<?<1

②當為減函數(shù)時，則<a-l<0,「.0vQVl,

3..ZZ+1

綜上，“值可以是1或2或2.

33

故選：ABD.

【點評】本題主要考查函數(shù)單調性的應用，根據(jù)分段函數(shù)單調性的性質建立不等式關系是解決本題的關鍵.

【例題5】(2018秋?鼓樓區(qū)校級月考)函數(shù)的單調增區(qū)間為_(-1,0)和U—+8)一

【分析】由題意畫出/(x)的圖象，數(shù)形結合，可得它的單調增區(qū)間.

【解答】解：函數(shù)/3=卜-1|=｛：］；：%二-1,

如圖所示：

故它的單調增區(qū)間(-1,0)和口，+00),

故答案為:(-1,0)和［1,+00).

【點評】本題主要考查函數(shù)的單調性、函數(shù)的圖象，屬于中檔題.

【例題6】(2020秋?楊浦區(qū)校級期末)若函數(shù)f(x)=*-在區(qū)間(0,+oo)是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)。的取

x+1

值范圍是_(0,+oo)_.

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調性的定義證明即可.

【解答】解：設

則/a)-/(x,)=Rax2*一々)

X,+1x2+\(X1+l)(x,+1)

若函數(shù)f(x)=工在區(qū)間(0,+oo)是嚴格增函數(shù)，

X+1

則/(國)-〃々)=「：'、尸)>0,

a+i)(芻+i)

x,+1>0,jc2+1>0,-x2>0,

.'.a>0,

故答案為：(0,+oo).

【點評】本題考查了函數(shù)的單調性的定義，考查定義的應用，是一道基礎題.

(2020秋?喀什市校級期末)已知

【例題7】是定義在R上的減函數(shù)，那么。的

取值范圍是[-,-).

-7-3一

【分析】由題意可得由此求得.的取值范圍?

【解答】解：由于是定義在R上的減函數(shù)，..他一：。

[-X+l,x.l[(3〃-1)+4a..-1+1

求得

73

故答案為：,g).

【點評】本題主要求函數(shù)的單調性的性質，屬于基礎題.

【例題8】(2021?三元區(qū)校級開學)已知函數(shù)人幻=:4，xe[3,5].

(1)判斷函數(shù)/(x)的單調性，并證明；

(2)求函數(shù)f(x)的值域.

【分析】(1)判斷函數(shù)f(x)是定義域[3,5]上的單調增函數(shù)，用定義證明即可;

(2)根據(jù)函數(shù)/(x)在定義域[3,5]上的單調性求出最值，即可求出/(x)的值域.

【解答】解：(1)函數(shù)/*)=士1=1一一—,xe[3,5],

x+2x+2

函數(shù)f(x)是定義域[3,5]上的單調增函數(shù)，證明如下：

任取內、毛€[3,5],且王<々，貝iJ/(X|)—/(x)=(l——^—)-(1——一：、/“：、

2%+2馬+2(西+2)(犬2+2)

因為?。?lt;入25,所以％-工2<0，%+2>0,x2+2>0,

所以/(5)-r(w)<0,即/&)</(/)，

所以/(x)是定義域[3,5]上的單調增函數(shù)；

(2)因為函數(shù)/(%)是定義域[3,5]上的單調增函數(shù),

3-12

且/(3)

3+25

f(5)5-1!-=-4；

5+27

所以/(X)的值域是［|,yl.

【點評】本題考查了函數(shù)的定義與性質的應用問題，也考查了運算求解能力與推理證明能力，是基礎題.

舉一反三

【變式1](2021春?瑤海區(qū)月考)設函數(shù)/")=卜'-3'，％，",若“幻無最大值，則實數(shù)〃的取值范圍

[-2x,x>a

是()

A.(TO,—1)B.(-oo,-1JC.(-oo,2]D.(-1,2]

【分析】利用分段函數(shù)的解析式，作出函數(shù)8。)=與1-3;1:直線〃(x)=-2x的圖象，利用導數(shù)研究函數(shù)g(x)

的性質，結合圖象分析求解即可.

【解答】解：因為八幻=卜,-3樂蒼,J

[-2x,x>a

作出函數(shù)g(x)=與x3-3x直線〃(x)=-2x的圖象，

它們的交點時A(-l,2),0(0,0),B(l,-2),

由g'(x)=3f—3,則令g，(x)=0,可得x=—l或x=l,

當x<-l或x>l時，g\x)>0,則g(x)單調遞增，

當時，g'(x)<0,則g(x)單調遞減，

所以x=-1是g(x)的極大值點，x=1是g(x)的極小值點,

由圖象可知，當...-1時，f(x)有最大值f(-l)=2,

當a<-l時，有/一3a<-2a,此時/(x)無最大值，

故實數(shù)。的取值范圍為(-oo,-l).

故選：A.

【點評】本題考查了函數(shù)最值的理解和應用，分段函數(shù)的理解和應用，解題的關鍵是利用數(shù)形結合法轉化

為兩個函數(shù)圖象的關系進行研究，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題.

。11

【變式2](2021?江蘇一模)若〃x)=x是R上的單調函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍為

-x+3a,x<1

4-oo)_?

qxi

【分析】若/(x)=X是R上的單調函數(shù)，根據(jù)第二段函數(shù)為減函數(shù)，故第一段也應該為減函數(shù)，

一x+3a,x<1

且x=l時，第二段的函數(shù)值不小于第一段的函數(shù)值，進而構造關于a的不等式組，解不等式組可得實數(shù)。的

取值范圍.

【解答】解：?."(x)=3"是R上的單調函數(shù)，

-X4-3?,X<1

廣，

1—1+3a..u

解得：a」，

2

故實數(shù)a的取值范圍為［L+00),

2

故答案為：［；,+00)

【點評】本題考查的知識點是分段函數(shù)的單調性，其中根據(jù)已知構造關于。的不等式組，是解答的關鍵.

【變式3】(2020秋?金安區(qū)校級月考)已知=:3)x+7a-2,x<l在R上單調遞減，則實數(shù)。的

［-ax~+x,x..1

取值范一圍是_停9,3)_.

【分析】當函數(shù)y=(a-3)x+7〃-2在(YO,1)上單調遞減，且函數(shù)y=-62+*在(l,+oo)上單調遞減，且分段

點處左邊界不小于右邊界時，單調遞減.

【解答】解：若函數(shù)y=3-3)x+7a-2在(-8,1)上單調遞減，則”一3<0,得”3；

一。<0

若函數(shù)y=-ax2+x在(1,內)上單調遞減，則1,得

丁,，12

2a

a<3

故，若/(x)在R上遞減，貝IJ,解得$,a<3.

(a—3)+7a—2…—a+1

故答案為：［2,3).

3

【點評】本題考查利用函數(shù)單調性求參數(shù)，屬于基礎題.

【變式4］(2020秋?鼎城區(qū)校級期中)/(x)是定義在R上的單調遞減函數(shù)，且/(7-加)</(2加+1),

則實數(shù)機的取值范圍是_(-oo,2)

【分析】由已知結合函數(shù)的單調性即可直接求解.

【解答】解：因為/(x)是定義在R上的單調遞減函數(shù)，且/(7-加)<〃2加+1),

所以7—機>2m+1,

解得，m<2.

故答案為：(YO,2).

【點評】本題主要考查了函數(shù)單調性在求解不等式中的應用，屬于基礎試題.

【變式5】(2020秋?沙市區(qū)校級期中)已知函數(shù)/(x)=x|x|,若/(2〃+1)../(4-〃)，則a的取值范圍是

[1,-KX))_.

【分析】畫出函數(shù)/(X)的圖象，結合函數(shù)的單調性得到關于〃的不等式，解出即可.

fx0

【解答】解：由題意f(x)=,

-x",x<0

顯然函數(shù)f(x)在R遞增，

若/(2a+l)../(4—a),

貝i]2a+L.4-a,解得：a.A,

故答案為：[1,-HO).

【點評】本題考查了函數(shù)的單調性問題，考查轉化思想以及數(shù)形結合思想，是一道基礎題.

【變式6](2020?和平區(qū)校級開學)函數(shù)y=-x?+4x+3,xe[0,3]的單調遞增區(qū)間是_[0-2]

【分析】由已知結合二次函數(shù)的性質即可直接求解.

【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)的性質可知，y=-f+4x+3的開口向下，對稱軸x=2,

所以3]的單調遞增區(qū)間[0,21，

故答案為：[0，2]

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)性質的簡單應用，屬于基礎試題.

【變式7](2021?江州區(qū)校級開學)已知f(x)=x+±

(I)證明：/(x)在[2,+8)單調遞增;

（II）解不等式：f（x2-2x+4）?f（7）.

【分析】（/）用定義證明函數(shù)的單調性即可.

（〃）由（/）知函數(shù)/（x）在[2,+8）上單調遞增，利用函數(shù)單調性，由y值的大小轉化為比較x的大小即可.

【解答】證明：（/）▼%，x2G[2,4-00）,且大<%2，

則/（與）-/。,）=%+巴一電一3=宜二里匆上二少，

X]x2x1x2

x2G[2,+8）,/.—4>0,x1x2>0,又,.?X]VJC2,

..（3一3）（平2-4）<。即八大）</（馬），

中2

.?./3）在[2,+8）單調遞增.

解：（//）?.,x2-2x+4=（x-1）2+3..3,x2-2x+4e[2,+oo）,

在[2,+oo）單調遞增，所以要使f，-2x+4）,J（7）,

則要使％2-2x+4,,7,即丁-2x-20,3,

.?.不等式/，-2x+4）,J（7）的解集為[-1,3].

【點評】本題考查函數(shù)的單調性的判斷及應用，考查運算能力，屬于基礎題.

【變式8】（2020秋?溫州期末）已知函數(shù)7?（X）=X2-X+4-2（X>0）.

X

（I）用定義證明/（尢）在（0,1）內單調遞減；

（II）證明/（X）存在兩個不同的零點內,，且玉+%>2.

【分析】（I）利用函數(shù)單調性的定義進行證明即可.

（II）判斷當X>1時為增函數(shù)，利用函數(shù)與方程的關系，結合零點存在定理判斷兩個零點的范圍進行判斷

即可.

【解答】解：（I）設0<%<工2<1，

則/（玉）—/（毛）=片—玉----2—x^+x,-------i"2=x；—x；+X,—x,H-------=（玉+々）（玉一乂）+（工2一N）+-

X1--工2大工2'X|X2

=（工2一%）口■*------（芭+工2）]

g

?/0<X]<x2<1,

x2-xi>0,O<X|X><1,0<Xj4-x2<2,>1,

中2

則1H------（%+X2）>0，

%七

即（巧）>0,得/（芭）>/（入2），即/。）在（0,1）內單調遞減.

（II）證明:同理可知當％>1時,/（?在（l,+oo）上為增函數(shù),

f（1）=1-1+1-2=-1<0,

f(2)=4—2+——2=—?

22

必有一個根不￡（g，1）,另外一個根/七弓，2）,

13

則百+￡>—+^=2.

【點評】本題主要考查函數(shù)與方程的應用，以及函數(shù)單調性的判斷，利用函數(shù)單調性的定義以及利用函數(shù)

與方程的關系結合函數(shù)零點判斷條件是解決本題的關鍵.綜合性較強，有一定的難度.

知識點精析

考點4.函數(shù)的最值及其幾何意義

【知識點的認識】

函數(shù)最大值或最小值是函數(shù)的整體性質，從圖象上看，函數(shù)的最大值或最小值是圖象最高點

或最低點的縱坐標，求函數(shù)的最值一般是先求出極值在求出端點的值，然后進行比較可得.

（啰?例題精講

【例題1】（2020秋?連云港期末）函數(shù)y=x+*_,xe（-2,+oo）的最小值是（）

x+2

A.4B.6C.8D.16

【分析】利用基本不等式即可求解最小值.

【解答】解：函數(shù)丫=%+旦=》+2+工-2..2、/（》+2）-^--2=6,當且僅當x+2=4,即x=2時，取

x+2x+2Vx+2

等號；

故選：B.

【點評】本題主要考查函數(shù)最值的求解，利用基本不等式的性質即可求解，屬于基礎題.

【例題2】（多選）（2020秋?雨花區(qū)校級月考）若xeR,/*）是y=2-V,y=x這兩個函數(shù)中的較小

者，則/（%）（）

A.最大值為2B.最大值為1C.最小值為-1D.