蘇教版學(xué)高中數(shù)學(xué)必修五不等式不等關(guān)系講義

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的一些不等關(guān)

系，了解不等式(組)的實(shí)際背景.通過實(shí)際問題抽象出不等式

2.會用不等式(組)表示不等關(guān)系.(重點(diǎn))(組)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

3.會比較數(shù)(或式)的大小.(難點(diǎn))

自主預(yù)習(xí)。擢新Ml

NINHUYUXITAZXIZNHI

—新知初探

1.不等關(guān)系

在現(xiàn)實(shí)生活中，不等關(guān)系主要有以下幾種類型：

(1)用不等式表示常量與常量之間的不等關(guān)系，

如"神舟"十一號飛船的質(zhì)量大于"嫦娥四號"衛(wèi)星的質(zhì)量；

(2)用不等式表示變量與常量之間的不等關(guān)系，

如兒童的身高小于或等于1.4m;

(3)用不等式表示函數(shù)與函數(shù)之間的不等關(guān)系，

如當(dāng)時，銷售收入以x)大于成本g(x);

(4)用不等式表示一組變量之間的不等關(guān)系，

如購置課桌的費(fèi)用60x與購置椅子的費(fèi)用3Oy的和不超過2000元.

2.不等式

(1)不等式的定義

用數(shù)學(xué)符號"="">""<"">""4"連接兩個數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的丕簍天系，含有這

些不等號的式子叫做不等式.

(2)關(guān)于*5和awb的含義

a.不等式*6應(yīng)讀作："a大于或等于“，其含義是>6或a=6,等價于“a不小于"，即若

a>b或a=5中有一^P正確,則*6正確.

b.不等式能。應(yīng)讀作："a小于或等于“，其含義是或a=b,等價于"a不大于b1,即若

a<b或a=b中有一個正確，貝!］84。正確.

(3)不等式中常用符號語言

大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于

><><<>><

3.比較大小

(1)比較實(shí)數(shù)a,6大小的文字?jǐn)⑹?/p>

1如果升6是正數(shù)，那么a>b;

2如果等于0,那么a=6;

3如果是負(fù)數(shù)，那么a<b,反之也成立.

(2)比較實(shí)數(shù)a,。大小的符號表示

1a—b>O=a>b;

2a—b=gajb;

3a—b〈b=a￡b.

思考：試用不等式表示下列關(guān)系：

(1)a大于6ab

(2)a小于6ab

(3)a不超過6ab

(4)a不小于6ab

［提示］(1)>(2)<(3)<(4)>

f初試

1.人類能聽到的聲音頻率x不低于80Hz且不高于2000Hz,用不等式表示為.

80Hz<%<2000Hz[”不低于80Hz"即"280Hz";"不高于2000Hz"即"42000

Hz".］

2.某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量/應(yīng)不高于2.5%,蛋白質(zhì)的含量「應(yīng)不少于

2.3%,用不等式組表示上述關(guān)系為.

［答案］錯誤!

合作探究。提素養(yǎng)

HEZUOTANJIUTISUYANG

1/用不等式表示不等關(guān)系

【例1】某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本.據(jù)市場調(diào)查，若單價每提高0.1

元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本.若把提價后雜志的定價設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收

入仍不低于20萬元呢？

思路探究：總收入=單價x銷售量，總收入一成本=利潤.

［解］設(shè)提價后雜志社的定價為x元，則銷售的總收入為8一錯誤!x0.2x萬元，那么不等關(guān)系"銷

售的總收入仍不低于20萬元"可以表示為不等式8一錯誤!x0.2x>20.

規(guī)律方法

用不等式表示不等關(guān)系的注意事項(xiàng)

1利用不等式表示不等關(guān)系時，應(yīng)注意必須是具有相同性質(zhì)，可以比較大小的兩個量才可用，沒

有可比性的兩個量之間不能用不等式來表示.

2在用不等式表示實(shí)際問題時一定要注意單位統(tǒng)一.

提醒：利用不等式表示不等關(guān)系時的注意點(diǎn)：

1必須是具有相同性質(zhì)，可以比較大小的兩個量才可用不等式來表示，沒有可比性的兩個量之間

不能用不等式來表示.

2在用不等式表示實(shí)際問題時，一定要注意單位統(tǒng)一.

頌矚尉1嗾?

1.一個兩位數(shù)，個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，且這個兩位數(shù)大于50，可用不等關(guān)系表示為

10b+a>50[該兩位數(shù)為10ZJ+a,由題意可知106+a>50.]

\類型2_用_不_等__式_組__表_示_不__等_關(guān)__系____

【例2】某礦山車隊(duì)有4輛載重為10t的甲型卡車和7輛載重為6t的乙型卡車，且有9名駕駛

員，此車隊(duì)每天至少要運(yùn)360t礦石至冶煉廠.已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天

可往返8次，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式.

思路探究：

「I卡車數(shù)量與駕駛員人數(shù)的關(guān)系

車隊(duì)每天運(yùn)礦石的數(shù)基

--?---

變量II關(guān)系I一|甲型卡車的數(shù)量

-I乙型卡車的藪亶

［解］設(shè)每天派出甲型卡車X輛，乙型卡車y輛，

則錯誤!即錯誤！

規(guī)律方法

用不等式組表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系時，要做到：

1閱讀要用心，讀懂題意，尋找不等關(guān)系的根源，這是解決實(shí)際問題的基本的一步.

2對題中關(guān)鍵字、關(guān)鍵句要留心，多加注意.

3要將所有不等關(guān)系都表示為不等式.

頷跟編訓(xùn)編■

2.如圖所示，在一個面積為350平方米的矩形地基上建造一個倉庫，四周是綠地.倉庫的長L大

于寬〃的4倍，寫出L與小的關(guān)系.

［解］由題意，得錯誤！

必型實(shí)數(shù)大小的比較

［探究問題］

1.如果a,6之間的大小關(guān)系分別為a>b,a=b,a<b,那么a-b分別與0的關(guān)系？反之呢？

住是示］若a>6,則a—b>G,反之也成立；

若a=6,則a—b=0,反之也成立；

若,則a—b<G,反之也成立.

2.若a>b,則錯誤！〉1嗎？反之呢？

［提示］若a>6,當(dāng)6<0時，錯誤！<1,即錯誤！>1;

若錯誤！>1，則錯誤!一1>0,即錯誤！>0,

..a—Z?>0,6>0或a—b<0,b<0,

即錯誤！>1>/a>6,反之也不成立.

【例3】已知x<1,比較x3—1與2x2—2x的大小.

思路探究：錯誤!一錯誤!錯誤!錯誤!—錯誤！

［解］x3—1—(2x2—2x)

=x3-2%2+21

=(x3—x2)—(x2—2x+1)

=>2(—1)—(—1)2

=(x—1)(X2-X+1)

={x—1)錯誤！，

■.-%<1―1<0,又.錯誤！2+錯誤！>0,

二(-1)錯誤！<0,

“3—1<2/—2x

［母題探究］

1.(變條件)本例條件"x<1"變?yōu)?相1",比較短一1與2%2-2x的大小.

［解］X3—1—(2x2—2x)=(汁1)(x2—X+1)={x—1)錯誤！，

??%>1，二一120,又(一錯誤！)2+錯誤！>0,

二(-1)錯誤！20,

:.x^—l>2x2—2x.

2.(變條件)本例條件"x<1"變?yōu)?%>2",比較/與2x的大小.

［解］?.錯誤！=錯誤”，又%>2,二錯誤！>1,

錯誤！。錯誤!0=1，二*>28.

規(guī)律方法

1.作差法比較兩個數(shù)大小的步驟及變形方法

(1)作差法比較的步驟：作差一變形一定號一結(jié)論.

(2)變形的方法：1因式分解；2配方；3通分；4對數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；5分母或分子有理化;

⑥分類討論.

2.作商法比較大小的步驟及適用范圍

(1)作商法比較大小的三個步驟：

1作商變形；

2與1比較大??；

3得出結(jié)論.

(2)作商法比較大小的適用范圍：

1要比較的兩個數(shù)同號；

2比較"幕、指數(shù)、對數(shù)、含絕對值"的兩個數(shù)的大小時，常用作商法.

二課堂小結(jié)二

1.比較兩個實(shí)數(shù)的大小，只要求出它們的差就可以了.

a—b>Q=a>b;a—b=G=a=b;a—b<b=a<b.

2.作差法比較大小的一般步驟

第一步：作差；

第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將"差"化成"和"或"積"

第三步：定號，就是確定是大于0,等于0,還是小于0(不確定的要分情況討論)；

最后得結(jié)論.

概括為"三步一結(jié)論"，這里的"定號"是目的，"變形”是關(guān)鍵.

當(dāng)堂達(dá)標(biāo)“同雙基

DANGTANGDABIAQGUSHUAN

1.判斷正誤

(1)不等式X>2的含義是指x不小于2.()

(2)某高速公路對行駛的各種車輛的速度，的最大限速為120km/h,行駛過程中，同一車道上

的車間距d不得小于100m.用不等式表示為錯誤！()

［答案］(1)V(2)V

2.下面列出的不等式中，正確的是（）

A.a不是負(fù)數(shù)，可表示成a>0

B.x不大于3,