高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)課件：等差、等比數(shù)列

等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式等差、等比數(shù)列的運(yùn)用等差、等比數(shù)列的應(yīng)用數(shù)列的通項(xiàng)與求和高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)四：等差、等比數(shù)列要點(diǎn)·疑點(diǎn)·考點(diǎn)課前熱身

能力·思維·方法

延伸·拓展誤解分析第1課時(shí)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式要點(diǎn)·疑點(diǎn)·考點(diǎn)3.在等差(比)數(shù)列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n…成等差(比)數(shù)列.其中Sn為前n項(xiàng)的和.1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和

等比數(shù)列前n項(xiàng)和2.如果某個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，則返回2.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4=18-a5，則S8等于（）A.18B.36C.54D.72課前熱身1.在某報(bào)《自測(cè)健康狀況》的報(bào)道中，自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白()內(nèi).年齡(歲)3035404550556065收縮壓(水銀柱毫米)110115120125130135(

)145舒張壓(水銀柱毫米)707375788083(

)8814085D5.在等差數(shù)列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．則其前6項(xiàng)的和S6為()(A)5(p+q)/4(B)3(p+q)/2(C)p+q(D)2(p+q)4.等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)的乘積為Tn，若Tn=1，T2n=2，則T3n的值為()(A)3(B)4(C)7(D)8

DB3.設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和.若{Sn}是等差數(shù)列，則q=___1

返回能力·思維·方法1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n2+3n+2，求通項(xiàng)an的表達(dá)式，并指出此數(shù)列是否為等差數(shù)列.【解題回顧】公式

給出了數(shù)列的項(xiàng)

與和之間的關(guān)系，很重要.在利用這個(gè)關(guān)系時(shí)必須注意：(1)公式對(duì)任何數(shù)列都適用；(2)n＝1的情形要單獨(dú)討論.2.已知等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)的和為Sn，且S3，S9，S6成等差數(shù)列.(1)求q3的值；(2)求證a2，a8，a5成等差數(shù)列.【解題回顧】本題方法較多，用等比數(shù)列Sn公式時(shí)一定要注意討論q.

【解題回顧】在等差數(shù)列{an}中：(1)項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)，則S偶-S奇＝nd，S奇/S偶＝an

/

an+1；(2)項(xiàng)數(shù)為2n-1時(shí)，則S奇-S偶＝an，S奇/

S偶＝n/(n-1)，S2n-1=(2n-1)an，當(dāng){an}為等比數(shù)列時(shí)其結(jié)論可類似推導(dǎo)得出．3.一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32∶27，求公差d.4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=32n-n2，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和S’n．【解題回顧】一般地，數(shù)列{an}與數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Sn與：當(dāng)ak≥0時(shí)，有；當(dāng)ak＜0時(shí)，(k=1，2，…，n).若在a1，a2,…，an中，有一些項(xiàng)不小于零，而其余各項(xiàng)均小于零，設(shè)其和分別為S+、S-，則有Sn=S++S-，所以返回【解題回顧】這是一道高考題，開放程度較大，要注意含有字母的代數(shù)式的運(yùn)算，特別要注意對(duì)公比q=1的討論.

延伸·拓展5.數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)的和，是否存在正常數(shù)c，使得對(duì)任意的n∈N+成立?并證明你的結(jié)論.返回誤解分析1.用公式an=Sn-Sn-1解決相關(guān)問題時(shí)，一定要注意條件n≥2，因n=1時(shí)，a1=S1.2.等比數(shù)列的和或利用等比數(shù)列求和公式

解題時(shí)，若忽視q=1的討論.常會(huì)招致“對(duì)而不全”.返回要點(diǎn)·疑點(diǎn)·考點(diǎn)課前熱身

能力·思維·方法

延伸·拓展誤解分析第2課時(shí)等差、等比數(shù)列的運(yùn)用要點(diǎn)·疑點(diǎn)·考點(diǎn)1.差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值設(shè)Sn是{an}的前n項(xiàng)和，則{an}為等差數(shù)列

Sn=An2+Bn，其中A、B是常數(shù).{an}為等差數(shù)列，若a1＞0，d＜0，則Sn有最大值，n可由

確定若a1＜0，d＞0，則Sn有最小值，n可由

確定.an

≥0an+1≤0an≤0an+1≥02.遞推數(shù)列可用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)或

求數(shù)列的通項(xiàng)公式.返回課前熱身1.{an}為等比數(shù)列，{bn}為等差數(shù)列，且b1=0,Cn＝an+bn，若數(shù)列{Cn}是1，1，5，…則{Cn}的前10項(xiàng)和為___________.2.如果b是a，c的等差中項(xiàng)，y是x與z的等比中項(xiàng)，且x，y，z都是正數(shù)，則(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=_______.3.下列命題中正確的是()A.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn=n2+2n-1，則{an}為等差數(shù)列B.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn=3n-c，則c=1是{an}為等比數(shù)列的充要條件C.數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列D.等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則公比q大于190或294340B4.等差數(shù)列{an}中，a1＞0，且3a8=5a13，則Sn中最大的是()(A)S10(B)S11(C)S20(D)S21

5.等差數(shù)列{an}中，Sn為數(shù)列前n項(xiàng)和，且Sn/Sm＝n2/m2(n≠m)，則an/

am值為()(A)m/n(B)(2m-1)/n(C)2n/(2n-1)(D)(2n-1)/(2m-1)返回CD能力·思維·方法【解題回顧】這是2000年高考題，因是填空題，本題也可由條件求出a1=1，a2=1/2，a3=1/3，a4=1/4…后，猜想an=1/n1.設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3,…)，則它的通項(xiàng)公式是an=1/n.

2.一個(gè)首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列中，前3項(xiàng)和等于前11項(xiàng)和，問此數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大?

【解題回顧】另外，本例還可通過(guò)考查項(xiàng)的符號(hào)確定n取何值時(shí)Sn取得最大值，即尋求這樣的一項(xiàng)：使得這項(xiàng)及它前面所有項(xiàng)皆取正值或0，而它后面所有各項(xiàng)皆取負(fù)值，則第一項(xiàng)起到該項(xiàng)的和為最大.這是尋求Sn最大值或最小值的基本方法之一.還有在學(xué)習(xí)研究中我們不難發(fā)現(xiàn)在等差數(shù)列{an}中，若a1＞0，且Sp=Sq(p≠q)，(1)當(dāng)p+q為偶數(shù)時(shí)，則n=p+q2時(shí)，Sn取得最大值；(2)當(dāng)p+q為奇數(shù)時(shí)，則n=p+q-12或p+q+12時(shí)Sn取得最大值這一規(guī)律.3.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＞0，公比q＞0.設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn=an+1+an+2(n∈N*)，數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別記為An與Bn，試比較An與Bn的大小.【解題回顧】遇到涉及等比數(shù)列的和的問題時(shí)，要根據(jù)題意作具體分析，不要貿(mào)然使用求和公式，如本例就是直接利用數(shù)列前n項(xiàng)和的定義，從而避免了運(yùn)用求和公式所帶來(lái)的繁雜運(yùn)算.【解題回顧】本例解法一是依據(jù)等差數(shù)列均勻分段求和后組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列；解法二是依據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列；解法三是利用數(shù)列的求和定義及等差數(shù)列中兩項(xiàng)的關(guān)系，熟記等差數(shù)列的這些性質(zhì)?？善鸬胶?jiǎn)化解題過(guò)程的作用.

4.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10=100，S100=10，試求S110.返回延伸·拓展【解題回顧】題設(shè)中有a1+2a2+…+nan，應(yīng)將其看做數(shù)列{nan}的和Sn．而本題要證an+1-an為常數(shù)，故應(yīng)在等式中消去a1+2a2+…+(n-1)an-1，即消去Sn-1，因此，利用Sn-Sn-1，就達(dá)到了用{bn}中的項(xiàng)表示an的目的.作差法是解決與數(shù)列和有關(guān)的問題的常用方法.返回5.已知數(shù)列{an}和{bn}滿足(n∈N+)，試證明：{an}成等差數(shù)列的充分條件是{bn}成等差數(shù)列.1.在利用an≥0，an+1≤0或an≤0、an+1≥0求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí)，符號(hào)不能丟掉.誤解分析2.在能力·思維·方法4中，如果數(shù)不清項(xiàng)數(shù)，看不清下標(biāo)，將會(huì)出錯(cuò).返回要點(diǎn)·疑點(diǎn)·考點(diǎn)課前熱身

能力·思維·方法

延伸·拓展誤解分析第3課時(shí)等差、等比數(shù)列的應(yīng)用要點(diǎn)·疑點(diǎn)·考點(diǎn)1.復(fù)利公式按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y=a(1+r)x

2.產(chǎn)值模型

原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y=N(1+p)x

3.單利公式

利息按單利計(jì)算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y=a(1+xr)返回1.某種細(xì)胞開始有2個(gè)，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去一個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去一個(gè)…，按此規(guī)律，6小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是()(A)63(B)65(C)67(D)71課前熱身2.某產(chǎn)品的成本每年降低q%，若三年后成本是a元，則現(xiàn)在的成本是()(A)a(1+q%)3元(B)a(1-q%)3元(C)a(1-q%)-3元(D)a(1+q%)-3元3.某債券市場(chǎng)發(fā)行的三種債券：A種面值100元，一年到期本利共獲103元．B種面值50元，半年到期，本利共50.9元，C種面值為100元，但買入時(shí)只需付97元，一年到期拿回100元，則三種投資收益比例便從小到大排列為()(A)BAC(B)ACB(C)ABC(D)CAB

BCBD根據(jù)某市城區(qū)家庭抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)，1998得初至2002年底，每戶家庭消費(fèi)支出總額每年平均增加680元，其中食品消費(fèi)支出總額每年平均增加100元.1998年初該市城區(qū)家庭剛達(dá)到小康，且該年每戶家庭消費(fèi)支出總額為8600元，則該市城區(qū)家庭達(dá)到富裕的是()(A)1999年底(B)2000年底(C)2001年底(D)2002年底4.國(guó)際上常用恩格爾系數(shù)(記作n)來(lái)衡量一個(gè)國(guó)家和地區(qū)人民生活水平的狀況，它的計(jì)算公式為，各種類型家庭的n如下表所示：食品消費(fèi)支出總額消費(fèi)支出總額n=×100%n≤30%最富裕30%＜n≤40%富裕40%＜n≤50%小康50%＜n≤60%溫飽n＞60%貧困n家庭類型5.某林場(chǎng)年初有森林木材存量Sm3，木材以每年25%的增長(zhǎng)率生長(zhǎng)，而每年末要砍伐固定的木材量為xm3.為實(shí)現(xiàn)經(jīng)過(guò)2次砍伐以后木材存量增長(zhǎng)50%，則x的值應(yīng)是()(A)(B)(C)(D)C返回能力·思維·方法1.一梯形的上、下底長(zhǎng)分別是12cm，22cm，若將梯形的一腰10等分，過(guò)每一個(gè)分點(diǎn)作平行于底邊的直線，求這些直線夾在兩腰之間的線段的長(zhǎng)度的和.【解題回顧】本題易誤認(rèn)為答案是187cm，即將梯形的上、下底也算在了其中.2.某電子管廠2015年全年生產(chǎn)真空電子管50萬(wàn)個(gè)，計(jì)劃從2016年開始每年的產(chǎn)量比上一年增長(zhǎng)20%，問從哪一年開始，該廠的真空電子管年產(chǎn)量超過(guò)200萬(wàn)個(gè)?【解題回顧】本題容易忽視不等式1.2n-1×50＜200.3.某村2016年底全村共有1000人，全年工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值為840萬(wàn)元.(1)若從2017年起該村每年的工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值較上年增加14萬(wàn)元，每年人口較上年凈增數(shù)相同，要使該村人均產(chǎn)值年年都增長(zhǎng)，那么該村每年人口的凈增不超過(guò)多少人?(2)若從2017年起該村每年工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值較上年增長(zhǎng)10%，每年人口較上年凈增10人，則到2017年該村能否實(shí)現(xiàn)年人均產(chǎn)值較2016年翻一番(增加一倍)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展目標(biāo)?【解題回顧】本題(2)用到了近似估算法.【解題回顧】本題第(1)小題得到1.2n=7/3后，也可通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)求n，同理第(2)小題得1.2n＝6后，也可兩邊取對(duì)數(shù).4.某林場(chǎng)去年有木材貯量2萬(wàn)m3，從今年開始，林場(chǎng)加大了對(duì)生產(chǎn)的投入量，預(yù)測(cè)林場(chǎng)的木材貯量將以每年20%的速度增長(zhǎng)，每年年底砍伐1000m3的木材出售作為再生產(chǎn)的資金補(bǔ)貼，問：(1)多少年后木材貯量達(dá)到翻番的目標(biāo)?(2)多少年后木材貯量達(dá)到翻兩番的目標(biāo)?延伸·拓展【解題回顧】從數(shù)字角度看，本例是解決與數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用問題.必須認(rèn)真審題，弄清題意，解決問題的關(guān)鍵在于理解復(fù)利的概念及其運(yùn)算，形成用數(shù)學(xué)的意識(shí).5.某下崗職工準(zhǔn)備開辦一個(gè)商店，要向銀行貸款若干，這筆貸款按復(fù)利計(jì)算(即本年利息計(jì)入下一年的本金生息)，利率為q(0＜q＜1).據(jù)他估算，貸款后每年可償還A元，30年后還清.①求貸款金額；②若貸款后前7年暫不償還，從第8年開始，每年償還A元，仍然在貸款后30年還清，試問：這樣一來(lái)，貸款金額比原貸款金額要少多少元?返回1.數(shù)列應(yīng)用題的誤解往往是由審題不清，誤解題意引起的，因此仔細(xì)審題，準(zhǔn)確地找出模型是解題關(guān)鍵.誤解分析2.數(shù)列應(yīng)用題的計(jì)算往往較復(fù)雜，需認(rèn)真仔細(xì).返回要點(diǎn)·疑點(diǎn)·考點(diǎn)課前熱身

能力·思維·方法

延伸·拓展誤解分析第4課時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)與求和要點(diǎn)·疑點(diǎn)·考點(diǎn)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，重點(diǎn)應(yīng)掌握以下幾種方法：

1.倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法.2.錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法.3.分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，或把數(shù)列的項(xiàng)“集”在一塊重新組合，或把整個(gè)數(shù)列分成兩部分，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一求和方法稱為分組轉(zhuǎn)化法.4.裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱

為裂項(xiàng)相消法.5.公式法求和：所給數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于n的多項(xiàng)式，此時(shí)求和可采用公式法求和，常用的公式有：返回課前熱身1.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+1，則an=_________________.2.已知{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-4n+1，則|a1|+|a2|+…|a10|=()(A)67(B)65(C)61(D)56

3.一個(gè)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)和的2倍，又它的首項(xiàng)為1，且中間兩項(xiàng)的和為24，則此等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()(A)12(B)10(C)8(D)6AC5.數(shù)列的前n項(xiàng)之和為Sn，則Sn的值得等于()(A)(B)(C)(D)4.計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制進(jìn)行處理的，二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，如(1101)2表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么將二進(jìn)制數(shù)(111…11)2位轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是(