2024-2025學年高中數(shù)學第三講三排序不等式學案含解析新人教A版選修4-5

PAGE三排序不等式考綱定位重難突破1.了解排序不等式的數(shù)學思想和背景．2.了解排序不等式的結(jié)構(gòu)與基本原理．3.理解排序不等式的簡潔應用.重點：排序不等式的結(jié)構(gòu)與基本原理.難點：排序不等式的簡潔應用.授課提示：對應學生用書第32頁[自主梳理]一、依次和、亂序和、反序和的概念設(shè)a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn為兩組實數(shù)，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，則稱ai與bi(i＝1,2，…，n)的相同依次相乘所得積的和a1b1＋a2b2＋…anbn為依次和，和a1c1＋a2c2＋…＋ancn為亂序和，相反依次相乘所得積的和a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1為反序和．二、排序不等式(排序原理)設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實數(shù)，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，則a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，當且僅當a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn時，反序和等于依次和，此不等式簡記為反序和≤亂序和≤依次和．[雙基自測]1．已知a，b，c∈R＋，則a5＋b5＋c5與a3b2＋b3c2＋c3a2A．a(chǎn)5＋b5＋c5>a3b2＋b3c2＋c3B．a(chǎn)5＋b5＋c5≥a3b2＋b3c2＋c3C．a(chǎn)5＋b5＋c5<a3b2＋b3c2＋c3D．a(chǎn)5＋b5＋c5≤a3b2＋b3c2＋c3解析：取兩組數(shù)a3，b3，c3和a2，b2，c2，由排序不等式，得a5＋b5＋c5≥a3b2＋b3c2＋c3a2.答案：B2．設(shè)兩組數(shù)1,2,3,4和4,5,6,7的依次和為A，反序和為B，則A＝________，B＝________.解析：A＝1×4＋2×5＋3×6＋4×7＝4＋10＋18＋28＝60.B＝1×7＋2×6＋3×5＋4×4＝7＋12＋15＋16＝50.答案：60503．有4人各拿一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿每個人的水桶分別須要5s,4s,3s,7s，每個人接完水后就離開，則他們等候的總時間最短為________s.解析：由題意知，等候的時間最短為3×4＋4×3＋5×2＋7＝41.答案：41授課提示：對應學生用書第32頁探究一利用排序不等式證明不等式[例1]設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.[證明]由題意不妨設(shè)a≥b≥c>0，由不等式的單調(diào)性，知ab≥ac≥bc，eq\f(1,c)≥eq\f(1,b)≥eq\f(1,a).由排序不等式，知ab×eq\f(1,c)＋ac×eq\f(1,b)＋bc×eq\f(1,a)≥ab×eq\f(1,b)＋ac×eq\f(1,a)＋bc×eq\f(1,c)，即所證不等式eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c成立．1．利用排序不等式證明不等式時，若已知條件中已給出兩組量的大小關(guān)系，則須要分析清晰依次和、亂序和及反序和．利用排序不等式證明即可．2．若在解答數(shù)學問題時，涉及一些可以比較大小的量，它們之間并沒有預先規(guī)定大小依次．那么在解答問題時，我們可以利用排序原理將它們按肯定依次排列起來，繼而用不等關(guān)系來解題．1．設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：eq\f(a12,bc)＋eq\f(b12,ac)＋eq\f(c12,ab)≥a10＋b10＋c10.證明：不妨設(shè)a≥b≥c>0，則a12≥b12≥c12，eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ac)≥eq\f(1,ab)>0，∴由依次和≥亂序和，得eq\f(a12,bc)＋eq\f(b12,ac)＋eq\f(c12,ab)≥eq\f(a12,ab)＋eq\f(b12,bc)＋eq\f(c12,ac)＝eq\f(a11,b)＋eq\f(b11,c)＋eq\f(c11,a). ①又∵a11≥b11≥c11，eq\f(1,c)≥eq\f(1,b)≥eq\f(1,a)，∴由亂序和≥反序和，得eq\f(a11,b)＋eq\f(b11,c)＋eq\f(c11,a)≥eq\f(a11,a)＋eq\f(b11,b)＋eq\f(c11,c)＝a10＋b10＋c10， ②由①②兩式得：eq\f(a12,bc)＋eq\f(b12,ac)＋eq\f(c12,ab)≥a10＋b10＋c10.探究二利用排序不等式求最值[例2]設(shè)a，b，c為隨意正數(shù)，求eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)的最小值．[解析]不妨設(shè)a≥b≥c，則a＋b≥a＋c≥b＋c，eq\f(1,b＋c)≥eq\f(1,c＋a)≥eq\f(1,a＋b)，由排序不等式得，eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)≥eq\f(b,b＋c)＋eq\f(c,c＋a)＋eq\f(a,a＋b)eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)≥eq\f(c,b＋c)＋eq\f(a,c＋a)＋eq\f(b,a＋b)上述兩式相加得：2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b＋c)＋\f(b,c＋a)＋\f(c,a＋b)))≥3，即eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)≥eq\f(3,2).當且僅當a＝b＝c時，eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)取最小值eq\f(3,2).利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值時，先要對待證不等式及已知條件細致分析，視察不等式的結(jié)構(gòu)，明確兩個數(shù)組的大小依次，分清依次和、亂序和及反序和，由于亂序和是不確定的，依據(jù)須要寫出其中的一個即可．一般最值是依次和或反序和．2．設(shè)0<a≤b≤c且abc＝1.試求eq\f(1,a3b＋c)＋eq\f(1,b3a＋c)＋eq\f(1,c3a＋b)的最小值．解析：令S＝eq\f(1,a3b＋c)＋eq\f(1,b3a＋c)＋eq\f(1,c3a＋b)，則S＝eq\f(abc2,a3b＋c)＋eq\f(abc2,b3a＋c)＋eq\f(abc2,c3a＋b)＝eq\f(bc,ab＋c)·bc＋eq\f(ac,ba＋c)·ac＋eq\f(ab,ca＋b)·ab.由已知可得：eq\f(1,ab＋c)≥eq\f(1,ba＋c)≥eq\f(1,ca＋b)，ab≤ac≤bc.∴S≥eq\f(bc,ab＋c)·ac＋eq\f(ac,ba＋c)·ab＋eq\f(ab,ca＋b)·bc＝eq\f(c,ab＋c)＋eq\f(a,ba＋c)＋eq\f(b,ca＋b).又S≥eq\f(bc,ab＋c)·ab＋eq\f(ac,ba＋c)·bc＋eq\f(ab,ca＋b)·ac＝eq\f(b,ab＋c)＋eq\f(c,ba＋c)＋eq\f(a,ca＋b)，兩式相加得：2S≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥3·eq\r(3,\f(1,abc))＝3.∴S≥eq\f(3,2)，即eq\f(1,a3b＋c)＋eq\f(1,b3a＋c)＋eq\f(1,c3a＋b)的最小值為eq\f(3,2).探究三利用排序不等式解決實際問題[例3]若某網(wǎng)吧的3臺電腦同時出現(xiàn)了故障，對其修理分別須要45min,25min和30min，每臺電腦耽擱1min，網(wǎng)吧就會損失0.05元．在只能逐臺修理的條件下，按怎么樣的依次修理，才能使經(jīng)濟損失降到最??？[解析]設(shè)t1，t2，t3為25,30,45的任一排列，由排序原理知3t1＋2t2＋t3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，所以依據(jù)修理時間由小到大的依次修理，可使經(jīng)濟損失降到最?。门判虿坏仁浇鉀Q實際問題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，構(gòu)造排序不等式的模型．3．某座大樓共有n層，在每層有一個辦公室，每個辦公室的人員步行上下樓，他們的速度分別為v1，v2，…，vn(他們各不相同)，為了能使得辦公室的人員上下樓梯所用的時間總和最小，應當如何支配？(假設(shè)每兩層樓的樓梯長都一樣)解析：設(shè)兩層樓間的樓梯長為s，則第一層須要走的路程為s，其次層須要走的路程為2s，…，第n層須要走的路程為ns.不妨設(shè)v′1>v′2>…>v′n為v1，v2，…，vn從大到小的排列，明顯eq\f(1,v′1)<eq\f(1,v′2)<…<eq\f(1,v′n)，由排序不等式，可得nseq\f(1,v′1)＋(n－1)seq\f(1,v′2)＋…＋seq\f(1,v′n)的和最小，所以將速度快的放在高層，速度慢的放在低層，可使上下樓的時間最短．在運用排序不等式時不能精確找到相應有序數(shù)組致誤[典例]一般地，對于n個正數(shù)a1，a2，…，an，幾何平均數(shù)Gn＝eq\r(n,a1a2…an)，算術(shù)平均數(shù)An＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)，利用排序不等式可以推斷Gn，An的大小關(guān)系為________．[解析]令bi＝eq\f(ai,Gn)(i＝1,2，…，n)，則b1b2…bn＝1，故可取x1≥x2≥…≥xn>0，使得b1＝eq\f(x1,x2)，b2＝eq\f(x2,x3)，…，bn－1＝eq\f(xn－1,xn)，bn＝eq\f(xn,x1).由排序不等式有：b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(x1,x2)＋eq\f(x2,x3)＋…＋eq\f(xn,x1)≥x1·eq\f(1,x1)＋x2·eq\f(1,x2)＋…＋xn·eq\f(1,xn)＝n，當且僅當x1＝x2＝…＝xn時取等號，所以eq\f(a1,Gn)＋eq\f(a2,Gn)＋…＋eq\f(an,Gn)≥n，即eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥Gn，即An≥Gn.[答案]An≥Gn[規(guī)律探究](1)利用排序不等式的關(guān)鍵是正確地找尋兩組有序?qū)崝?shù)組，構(gòu)造的恰當是正確解題的前提，如本例中構(gòu)造的兩組數(shù)，恰好能夠解決反序和為n，使得問題得以解決．(2)利用排序不等式求解完成后，肯定要說明等號成立的條件，若取不到等號也應當說明緣由，使得解題更加清晰和精確．(3)運用排序不等式的解題步驟是①構(gòu)造兩組有序數(shù)組使之滿意排序不等式的條件；②運用排序不等式得到不等關(guān)系；③找出等號成立的條件并以此得出證明的結(jié)論.[隨堂訓練]對應學生用書第34頁1．設(shè)正實數(shù)a1，a2，a3的任一排列為a′1，a′2，a′3，則eq\f(a1,a′1)＋eq\f(a2,a′2)＋eq\f(a3,a′3)的最小值為()A．3 B．6C．9 D．12解析：設(shè)a1≥a2≥a3>0，則eq\f(1,a3)≥eq\f(1,a2)≥eq\f(1,a1)>0，由排列不等式可知eq\f(a1,a′1)＋eq\f(a2,a′2)＋eq\f(a3,a′3)≥eq\f(a1,a1)＋eq\f(a2,a2)＋eq\f(a3,a3)＝3.當且僅當a′1＝a1，a′2＝a2，a′3＝a3時等號成立．答案：A2．設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，E＝eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a3a1,a2)，F(xiàn)＝a1＋a2＋a3，則E，F(xiàn)的大小關(guān)系是()A．E<F B．E≥FC．E＝F D．E≤F解析：不妨設(shè)a1≥a2≥a3>0，于是eq\f(1,a1)≤eq\f(1,a2)≤eq\f(1,a3)，a2a3≤a3a1≤a1a2.由排序不等式：依次和≥亂序和，得eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a3a1,a2)≥eq\f(1,a2)·a2a3＋eq\f(1,a3)·a3a1＋eq\f(1,a1)·a1a2＝a3＋a1＋a2，即eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a3a1