2025屆高考數(shù)學統(tǒng)考二輪復習第一部分送分考點自練自檢第2講平面向量復數(shù)教師用書教案理1

PAGE第2講平面對量、復數(shù)平面對量的基本運算授課提示：對應學生用書第4頁考情調(diào)研考向分析主要考查平面對量基本定理、向量加法、減法、數(shù)乘向量的坐標運算及平面對量共線的坐標表示，考查向量線性運算的綜合應用，考查學生的數(shù)學運算、直觀想象等素養(yǎng)，常與三角函數(shù)綜合交匯考查，突出向量的工具性．一般以選擇題、填空題形式考查，間或有與三角函數(shù)綜合在一起考查的解答題，屬于中檔題.1.線性運算．2.應用平行、垂直求參數(shù)值．3.與其他學問相結合.[題組練透]1．在△ABC中，點D在邊AB上，且eq\o(DA,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，設eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CB,\s\up6(→))＝n，則eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)m＋eq\f(2,3)n B.eq\f(2,3)m＋eq\f(1,3)nC.eq\f(1,3)m－eq\f(2,3)n D.eq\f(2,3)m－eq\f(1,3)n解析：因為在△ABC中，點D在邊AB上，且eq\o(DA,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝2(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))，即3eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋2eq\o(CB,\s\up6(→))，故eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，又eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CB,\s\up6(→))＝n，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)m＋eq\f(2,3)n.故選A.答案：A2．已知點D是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿意eq\o(AD,\s\up6(→))＝－3eq\o(DB,\s\up6(→))，若eq\o(CD,\s\up6(→))＝xeq\o(CA,\s\up6(→))＋yeq\o(CB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則x－y＝()A．－1 B．－2C．1 D．2解析：由題意，如圖所示，因為eq\o(AD,\s\up6(→))＝－3eq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(CB,\s\up6(→))，又因為eq\o(CD,\s\up6(→))＝xeq\o(CA,\s\up6(→))＋yeq\o(CB,\s\up6(→))，所以x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(3,2)，x－y＝－2，故選B.答案：B3．(2024·武漢模擬)已知向量a，b滿意|a|＝4，b在a上投影為－2，則|a－3b|的最小值為()A．12 B．10C.eq\r(10) D．2解析：b在a上投影為－2，即|b|cos〈a，b〉＝－2，∵|b|>0，∴cos〈a，b〉<0，又cos〈a，b〉∈[－1,0)，∴|b|min＝2.|a－3b|2＝a2－6a·b＋9b2＝|a|2－6|a||b|cos〈a，b〉＋9|b|2＝9|b|2∴|a－3b|min＝eq\r(9×4＋64)＝10，故選B.答案：B4．(2024·開封模擬)設向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a∥b，則x＝________.解析：由題得2x－(x＋1)＝0，所以x＝1.答案：1[題后悟通]快審題1.看到向量的線性運算，想到三角形和平行四邊形法則．2．看到向量平行，想到向量平行的條件準解題記牢向量共線問題的4個結論(1)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(2)直線的向量式參數(shù)方程：A，P，B三點共線?eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(O為平面內(nèi)任一點，t∈R)．(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2＝x2y1，當且僅當x2y2≠0時，a∥b?eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)平面對量的數(shù)量積授課提示：對應學生用書第5頁考情調(diào)研考向分析主要考查利用數(shù)量積的定義解決數(shù)量積的運算、投影、求模與夾角等問題，考查利用數(shù)量積的坐標表示求兩個向量的夾角、模以及推斷兩個平面對量的平行與垂直關系．一般以選擇題、填空題的形式考查，間或會在解答題中出現(xiàn)，屬于中檔題.1.數(shù)量積的運算．2.求模．3.求夾角．4.求范圍.[題組練透]1．(2024·東三省三校模擬)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝4，則(a－b)·b＝()A．－16 B．－13C．－12 D．－10解析：∵向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝4，∴a·b＝|a||b|cos60°＝2×4×eq\f(1,2)＝4，∴(a－b)·b＝a·b－b2＝4－16＝－12.故選C.答案：C2．(2024·長春模擬)已知向量a＝(cosθ－2，sinθ)，其中θ∈R，則|a|的最小值為()A．1 B．2C.eq\r(5) D．3解析：因為a＝(cosθ－2，sinθ)，所以|a|＝eq\r(cosθ－22＋sin2θ)＝eq\r(1－4cosθ＋4)＝eq\r(5－4cosθ)，因為θ∈R，所以－1≤cosθ≤1，故|a|的最小值為eq\r(5－4)＝1.故選A.答案：A3．(2024·?？谀M)已知向量a，b的夾角為60°，且a·b＝24，|b|＝6，則|a|＝________.解析：因為向量a，b的夾角為60°，且a·b＝24，|b|＝6，所以a·b＝|a||b|cos60°，即6|a|×cos60°＝24，解得|a|＝8.答案：8[題后悟通]快審題1.看到向量垂直，想到其數(shù)量積為零．2.看到向量的模與夾角，想到向量數(shù)量積的有關性質和公式．3.看到向量中的最值問題時，想到向量不等式、幾何意義，甚至建立坐標系構造函數(shù)關系求最值用妙法特例法妙解圖形中平面對量數(shù)量積問題解答有關圖形中的平面對量數(shù)量積問題，常采納特例法，如取直角三角形、矩形，再建立平面直角坐標系，求得相關點坐標計算求解避誤區(qū)兩個向量夾角的范圍是[0，π]，在運用平面對量解決問題時要特殊留意兩個向量夾角可能是0或π的狀況，如已知兩個向量的夾角為鈍角時，不僅要求其數(shù)量積小于零，還要求不能反向共線復數(shù)授課提示：對應學生用書第6頁考情調(diào)研考向分析主要考查復數(shù)的基本概念(復數(shù)的實部、虛部、共軛復數(shù)、復數(shù)的模等)，復數(shù)相等的充要條件，考查復數(shù)的代數(shù)形式的四則運算，重點考查復數(shù)的除法運算，與向量結合考查復數(shù)及其加法、減法的幾何意義，突出考查數(shù)學運算和直觀想象等素養(yǎng)．一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，難度為低檔.1.和復數(shù)相關的概念．2.復數(shù)的四則運算．3.復數(shù)的幾何意義.[題組練透]1．(2024·青島模擬)“a＝－2”是“復數(shù)z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)為純虛數(shù)”A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：當a＝－2時，z＝(－2＋2i)(－1＋i)＝－4i，則z為純虛數(shù)，可知“a＝－2”是“復數(shù)z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)為純虛數(shù)”的充分條件；當z＝(a＋2i)(－1＋i)＝(－a－2)＋(a－2)i為純虛數(shù)時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a－2＝0,a－2≠0))，解得a＝－2，可知“a＝－2”是“復數(shù)z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)為純虛數(shù)”的必要條件；綜上所述，“a＝－2”是“復數(shù)z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)為純虛數(shù)”的充要條件．故選C.答案：C2．(2024·桂林、崇左模擬)設z＝eq\f(4i－2,1＋3i)，則|z|＝()A.eq\r(2) B．2C．1＋i D．1－i解析：由題得z＝eq\f(4i－2,1＋3i)＝eq\f(4i－21－3i,1＋3i1－3i)＝eq\f(10＋10i,10)＝1＋i，所以|z|＝eq\r(2).故選A.答案：A3．(2024·濱州模擬)在復平面內(nèi)，表示復數(shù)z＝eq\f(1＋2i,1－i)的點位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：由復數(shù)除法運算，可得z＝eq\f(1＋2i,1－i)＝eq\f(1＋2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(－1＋3i,2)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，所以在復平面內(nèi)對應點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))，即位于其次象限，故選B.答案：B4．已知z＝1＋i，則eq\f(2i,z·\x\to(z))＝()A．－1 B．1C．－i D．i解析：由題意，復數(shù)z＝1＋i，則z·eq\x\to(z)＝(1＋i)(1－i)＝2，所以eq\f(2i,z·\x\to(z))＝eq\f(2i,2)＝i，故選D.答案：D[題后悟通]快審題1.看到復數(shù)的加、減、乘法運算，想到類比代數(shù)式的加、減、乘法運算；看到復數(shù)的除法運算，想到把分母實數(shù)化處理，即分子、分母同時乘以分母的共軛復數(shù)，再利用乘法法則化簡．2．看到復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點，想到復數(shù)的幾何意義；看到實數(shù)、純虛數(shù)