人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)學(xué)案：7 3 1　離散型隨機(jī)變量的均值

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE17.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過(guò)具體實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量的分布列及均值的概念.2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值.通過(guò)研究離散型隨機(jī)變量的分布列及均值，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).自主梳理1.離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))xipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱為期望.均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.2.兩點(diǎn)分布的期望一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.3.離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)設(shè)X的分布列為P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n.一般地，下面的結(jié)論成立：E(aX＋b)＝aE(X)＋b.1.均值是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù)，反映或刻畫(huà)的是隨機(jī)變量取值的平均水平，它是概率意義下的平均值，不同于相應(yīng)數(shù)值的平均數(shù).2.E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)，即兩個(gè)隨機(jī)變量和的均值等于均值的和.自主檢驗(yàn)1.思考辨析，判斷正誤(1)隨機(jī)變量X的均值E(X)是個(gè)變量，其隨X的變化而變化.(×)〖提示〗隨機(jī)變量X的均值E(X)是個(gè)定值，不隨X的變化而變化.(2)隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值相同.(×)〖提示〗隨機(jī)變量的均值與樣本的均值并非等價(jià)，因?yàn)闃颖敬淼氖遣糠值那闆r，不能完全與整體等價(jià).(3)若隨機(jī)變量X的均值E(X)＝2，則E(2X)＝4.(√)(4)對(duì)于結(jié)論E(aX＋b)＝aE(X)＋b，當(dāng)a＝0時(shí)，E(b)＝b，即常數(shù)的均值就是這個(gè)常數(shù)本身.(√)2.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123Peq\f(2,13)eq\f(5,13)eq\f(6,13)則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝()A.eq\f(30,13) B.eq\f(27,13)C.2 D.eq\f(25,13)〖答案〗A〖解析〗E(X)＝1×eq\f(2,13)＋2×eq\f(5,13)＋3×eq\f(6,13)＝eq\f(30,13).3.袋中有10個(gè)大小相同的小球，其中記為0號(hào)的有4個(gè)，記為n號(hào)的有n個(gè)(n＝1，2，3).現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取到球的標(biāo)號(hào)，則E(X)等于()A.2 B.eq\f(3,2)C.eq\f(4,5) D.eq\f(7,5)〖答案〗D〖解析〗由題意，可知X的所有可能取值為0，1，2，3.P(X＝0)＝eq\f(2,5)，P(X＝1)＝eq\f(1,10)，P(X＝2)＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(3,10).∴E(X)＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(1,10)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(3,10)＝eq\f(7,5).4.口袋中有編號(hào)分別為1，2，3的三個(gè)大小和形狀相同的小球，從中任取2個(gè)，則取出的球的最大編號(hào)X的期望為_(kāi)_________.〖答案〗eq\f(8,3)〖解析〗X＝2，3.P(X＝2)＝eq\f(1,Ceq\o\al(2,3))＝eq\f(1,3)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,3))＝eq\f(2,3).故E(X)＝2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).題型一利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值〖例1〗袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機(jī)取出4只球，設(shè)取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，試求得分X的均值.解取出4只球顏色及得分分布情況是：4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1紅3黑得5分，因此，P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝7)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝8)＝eq\f(Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(0,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(1,35)，故X的分布列如下：X5678Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)∴E(X)＝5×eq\f(4,35)＋6×eq\f(18,35)＋7×eq\f(12,35)＋8×eq\f(1,35)＝eq\f(44,7)(分).思維升華求離散型隨機(jī)變量的均值關(guān)鍵是寫(xiě)出分布列，一般分為四步：(1)確定X的可能取值；(2)計(jì)算出P(X＝k)；(3)寫(xiě)出分布列；(4)利用E(X)的計(jì)算公式計(jì)算E(X).〖訓(xùn)練1〗某衛(wèi)視綜藝節(jié)目中有一個(gè)環(huán)節(jié)叫“超級(jí)猜猜猜”，規(guī)則如下：在這一環(huán)節(jié)中嘉賓需要猜三道題目，若三道題目中猜對(duì)一道題目可得1分，若猜對(duì)兩道題目可得3分，要是三道題目完全猜對(duì)可得6分，若三道題目全部猜錯(cuò)，則扣掉4分.如果嘉賓猜對(duì)這三道題目的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，且三道題目之間相互獨(dú)立.求某嘉賓在該“猜題”環(huán)節(jié)中所得分?jǐn)?shù)的分布列與均值.解根據(jù)題意，設(shè)X表示“該嘉賓所得分?jǐn)?shù)”，則X的可能取值為－4，1，3，6.∴P(X＝－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,9)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(7,18)，P(X＝3)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(7,18)，P(X＝6)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,18)＝eq\f(1,9).∴X的分布列為X－4136Peq\f(1,9)eq\f(7,18)eq\f(7,18)eq\f(1,9)∴E(X)＝(－4)×eq\f(1,9)＋1×eq\f(7,18)＋3×eq\f(7,18)＋6×eq\f(1,9)＝eq\f(16,9)(分).題型二離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)〖例2〗已知隨機(jī)變量X的分布列為：X－2－1012Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,5)meq\f(1,20)若Y＝－2X，則E(Y)＝__________.〖答案〗eq\f(17,15)〖解析〗由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋m＋eq\f(1,20)＝1,解得m＝eq\f(1,6)，∴E(X)＝(－2)×eq\f(1,4)＋(－1)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,20)＝－eq\f(17,30).由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，即E(Y)＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,30)))＝eq\f(17,15).〖遷移1〗(變?cè)O(shè)問(wèn))本例條件不變，若Y＝2X－3,求E(Y).解由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b及E(X)＝－eq\f(17,30)得，E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,30)))－3＝－eq\f(62,15).〖遷移2〗(變條件，變?cè)O(shè)問(wèn))本例條件不變，若Y＝aX＋3,且E(Y)＝－eq\f(11,2)，求a的值.解∵E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－eq\f(17,30)a＋3＝－eq\f(11,2)，∴a＝15.思維升華離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題的解題思路若給出的隨機(jī)變量Y與X的關(guān)系為Y＝aX＋b，a，b為常數(shù)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y).也可以利用X的分布列得到Y(jié)的分布列，關(guān)鍵是由X的取值計(jì)算Y的取值，對(duì)應(yīng)的概率相等，再由定義法求得E(Y).〖訓(xùn)練2〗已知隨機(jī)變量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表，則m的值為()X1234Peq\f(1,4)mneq\f(1,12)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閅＝12X＋7，則E(Y)＝12E(X)＋7，即E(Y)＝12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×\f(1,4)＋2·m＋3·n＋4×\f(1,12)))＋7＝34.所以2m＋3n＝eq\f(5,3)，①又eq\f(1,4)＋m＋n＋eq\f(1,12)＝1，所以m＋n＝eq\f(2,3)，②由①②可解得m＝eq\f(1,3).題型三離散型隨機(jī)變量均值的應(yīng)用〖例3〗某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,5).現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立.(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬(wàn)元.求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和均值.解記E＝“甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功”，F(xiàn)＝“乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功”.由題設(shè)知P(E)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(E,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，P(F)＝eq\f(3,5)，P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,5)，且事件E與F，E與eq\o(F,\s\up6(－))，eq\o(E,\s\up6(－))與F，eq\o(E,\s\up6(－))與eq\o(F,\s\up6(－))都相互獨(dú)立.(1)記H＝“至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功”，則eq\o(H,\s\up6(－))＝eq\a\vs4\al(\o(E,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(F,\s\up6(－)))，于是P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝P(eq\o(E,\s\up6(－)))P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，故所求的概率為P(H)＝1－P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,15)＝eq\f(13,15).(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X萬(wàn)元，則X的可能取值為0，100，120，220.因?yàn)镻(X＝0)＝P(eq\a\vs4\al(\o(E,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(F,\s\up6(－))))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，P(X＝100)＝P(eq\o(E,\s\up6(－))F)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)，P(X＝120)＝P(Eeq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，P(X＝220)＝P(EF)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)，故X的分布列為X0100120220Peq\f(2,15)eq\f(1,5)eq\f(4,15)eq\f(2,5)均值為E(X)＝0×eq\f(2,15)＋100×eq\f(1,5)＋120×eq\f(4,15)＋220×eq\f(2,5)＝140(萬(wàn)元).思維升華解答實(shí)際問(wèn)題時(shí)，(1)把實(shí)際問(wèn)題概率模型化；(2)利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相應(yīng)均值.〖訓(xùn)練3〗某公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請(qǐng)兩位專家獨(dú)立地對(duì)每位學(xué)生的創(chuàng)業(yè)方案進(jìn)行評(píng)審.假設(shè)評(píng)審結(jié)果為“支持”和“不支持”的概率都是eq\f(1,2).若某人獲得兩個(gè)“支持”，則給予10萬(wàn)元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲得一個(gè)“支持”，則給予5萬(wàn)元的資助；若未獲得“支持”，則不予資助.令X表示該公司的資助總額.(1)寫(xiě)出X的分布列；(2)求均值E(X).解(1)X的所有取值為0，5，10，15，20，25，30.P(X＝0)＝eq\f(