人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊學案：8 3 2　獨立性檢驗

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE18.3.2獨立性檢驗課標要求素養(yǎng)要求了解隨機變量χ2的意義，通過對典型案例分析，了解獨立性檢驗的基本思想和方法.通過運用列聯(lián)表進行獨立性檢驗，提升數(shù)學抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).自主梳理1.臨界值χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).忽略χ2的實際分布與該近似分布的誤差后，對于任何小概率值α，可以找到相應的正實數(shù)xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立.我們稱xα為α的臨界值，這個臨界值就可作為判斷χ2大小的標準.概率值α越小，臨界值xα越大.2.獨立性檢驗對于零假設H0：分類變量X和Y獨立基于小概率值α的檢驗規(guī)則是：當χ2≥xα時，我們就推斷H0不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；當χ2＜xα時，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認為X和Y獨立.這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗(testofindependence).下表給出了χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8283.應用獨立性檢驗解決實際問題的大致步驟(1)提出零假設H0：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋；(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計算χ2的值，并與臨界值xα比較；(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論；(4)在X和Y不獨立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律.獨立性檢驗類似于數(shù)學中的反證法，要確認“兩個變量有關系”這一結(jié)論成立的可信度，首先假設結(jié)論不成立，在假設下，我們構(gòu)造的統(tǒng)計量χ2應該很小，如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的χ2值很大，則在一定程度上說明假設不合理，再根據(jù)不合理的程度與臨界值的關系作出判斷.自主檢驗1.思考辨析，判斷正誤(1)χ2統(tǒng)計量也可以用來作相關性的度量，χ2越小說明變量之間越獨立，χ2越大說明變量之間越相關.(√)(2)概率值α越小，臨界值xα越大.(√)(3)獨立性檢驗的思想類似于反證法.(√)(4)獨立性檢驗的結(jié)論是有多大的把握認為兩個分類變量有關系.(√)2.如果根據(jù)小概率α＝0.01的χ2檢測試驗，認為H0成立，那么具體算出的數(shù)據(jù)滿足()附表：α0.050.0250.0100.0050.001xα3.8415.0246.6357.87910.828A.χ2＞6.635 B.χ2＞5.024C.χ2＞7.879 D.χ2＞3.841〖答案〗A3.某校為了研究“學生的性別”和“對待某一活動的態(tài)度”是否有關，運用2×2列聯(lián)表進行獨立性檢驗，經(jīng)計算χ2＝7.069，則認為“學生性別與支持某項活動有關系”的犯錯誤的概率不超過()A.0.1% B.1%C.99% D.99.9%〖答案〗B〖解析〗∵χ2＝7.069>6.635＝x0.01，∴認為“學生性別與支持某項活動有關系”的犯錯誤的概率不超過1%.4.在兩個學習基礎相當?shù)陌嗉墝嵭心撤N教學措施的實驗，測試結(jié)果見下表，則________在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下推斷實驗效果與教學措施有關(填“能”“不能”).班級成績合計優(yōu)、良、中差實驗班48250對比班381250合計8614100〖答案〗能〖解析〗χ2＝eq\f(100×（48×12－38×2）2,50×50×86×14)≈8.306>7.879＝x0.005，則能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“實驗效果與教學措施有關”.題型一有關“相關的檢驗”〖例1〗某校對學生課外活動進行調(diào)查，結(jié)果整理成下表，根據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，能否認為“喜歡體育還是文娛與性別有關系”？性別課外活動合計喜歡體育喜歡文娛男212344女62935合計275279解零假設為H0：喜歡體育還是喜歡文娛與性別沒有關系.∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，∴χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(79×（21×29－23×6）2,44×35×27×52)≈8.106>7.879＝x0.005.根據(jù)小概率值α＝0.005的χ2獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為喜歡體育還是喜歡文娛與性別有關系，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.思維升華獨立性檢驗的具體做法①根據(jù)實際問題的需要確定允許推斷“兩個分類變量有關系”犯錯誤的概率的上界α，然后查表確定臨界值xα.②利用公式χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)計算χ2.③如果χ2＞xα，則“X與Y有關系”這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠的證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關系”.〖訓練1〗打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患心臟病有關.下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)：打鼾心臟病合計患病未患病每一晚都打鼾30224254不打鼾2413551379合計5415791633根據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，能否認為每一晚都打鼾與患心臟病有關系？解零假設為H0：每一晚都打鼾與患心臟病無關系.由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得χ2＝eq\f(1633×（30×1355－224×24）2,254×1379×54×1579)≈68.033>10.828＝x0.001.根據(jù)小概率值α＝0.001的χ2獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為每一晚都打鼾與患心臟病有關系，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.題型二有關“無關的檢驗”〖例2〗為了探究學生選報文、理科與對外語的興趣是否有關，某同學調(diào)查了361名高二在校學生，調(diào)查結(jié)果如下：理科生對外語有興趣的有138人，無興趣的有98人，文科生對外語有興趣的有73人，無興趣的有52人.試根據(jù)小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，分析學生選報文、理科與對外語的興趣是否有關？解零假設為H0：選報文、理科與對外語的興趣無關.列出2×2列聯(lián)表對外語興趣選報文、理科合計理文有13873211無9852150合計236125361代入公式得χ2＝eq\f(361×（138×52－73×98）2,236×125×211×150)≈1.871×10－4.∵1.871×10－4＜2.706＝x0.1，根據(jù)小概率值α＝0.1的χ2獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，即選報文、理科與對外語的興趣無關.思維升華獨立性檢驗的關注點(1)步驟：列表，計算，判斷；(2)注意：①χ2計算公式較復雜，一是公式要清楚；二是代入數(shù)值時不能張冠李戴；三是計算時要細心；②判斷時把計算結(jié)果與臨界值比較，其值越大，有關的可信度越高.〖訓練2〗某教育機構(gòu)為了研究成年人具有大學?？埔陨蠈W歷(包括大學?？?和對待教育改革態(tài)度的關系，隨機抽取了392名成年人進行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示：學歷對教育改革態(tài)度合計積極支持不太贊成大學?？埔陨?9157196大學?？埔韵?9167196合計68324392對于教育機構(gòu)的研究項目，依據(jù)小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，根據(jù)上述數(shù)據(jù)能得出什么結(jié)論？解零假設為H0：成年人具有大學?？埔陨蠈W歷(包括大學?？?和對待教育改革態(tài)度無關.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得χ2＝eq\f(392×（39×167－157×29）2,196×196×68×324)≈1.78.因為1.78<2.706＝x0.1，根據(jù)小概率值α＝0.1的χ2獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，所以我們沒有理由說成年人具有大學?？埔陨蠈W歷(包括大學?？?和對待教育改革態(tài)度有關.題型三獨立性檢驗的綜合應用〖例3〗某高校共有學生15000人，其中男生10500人，女生4500人.為調(diào)查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層隨機抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間(單位：時)的樣本數(shù)據(jù).(1)應收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為〖0，2〗，(2，4〗，(4，6〗，(6，8〗，(8，10〗，(10，12〗.估計該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率.(3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，判斷是否能認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”.附：α0.1000.0500.0100.005xα2.7063.8416.6357.879χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).解(1)由分層隨機抽樣可得300×eq\f(4500,15000)＝90，所以應收集90位女生的樣本數(shù)據(jù).(2)由頻率分布直方圖得學生每周平均體育運動時間超過4小時的頻率為1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率的估計值為0.75.(3)由(2)知，300位學生中有300×0.75＝225(人)的每周平均體育運動時間超過4小時，75人的每周平均體育運動時間不超過4小時.樣本數(shù)據(jù)中有210份是關于男生的，90份是關于女生的，可得每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表如下：每周平均體育運動時間性別合計男生女生不超過4小時453075超過4小時16560225合計21090300零假設為H0：該校學生的每周平均體育運動時間與性別無關.結(jié)合列聯(lián)表可算得χ2＝eq\f(300×（45×60－30×165）2,75×225×210×90)≈4.762>3.841＝x0.05.根據(jù)小概率值α＝0.05的χ2獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.思維升華(1)解答此類題目的關鍵在于正確利用χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)計算χ2的值，再用它與臨界值xα的大小作比較來判斷假設檢驗是否成立，從而使問題得到解決.(2)此類題目規(guī)律性強，解題比較格式化，填表計算分析比較即可，要熟悉其計算流程，不難理解掌握.〖訓練3〗某校高三年級在一次全年級的大型考試中，數(shù)學成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學生中，物理、化學、總分成績優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，根據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，能否認為數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學、總分成績優(yōu)秀有關系？物理優(yōu)秀化學優(yōu)秀總分優(yōu)秀數(shù)學優(yōu)秀228225267數(shù)學非優(yōu)秀14315699注：該年級在此次考試中數(shù)學成績優(yōu)秀的有360人，非優(yōu)秀的有880人.解零假設為H0：數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學、總分成績優(yōu)秀都無關系.列出數(shù)學成績與物理成績的2×2列聯(lián)表如下：數(shù)學成績物理成績合計優(yōu)秀非優(yōu)秀優(yōu)秀228132360非優(yōu)秀143737880合計3718691240將表中數(shù)據(jù)代入公式，得χeq\o\al(2,1)＝eq\f(1240×（228×737－132×143）2,360×880×371×869)≈270.1>10.828＝x0.001.列出數(shù)學成績與化學成績的2×2列聯(lián)表如下：數(shù)學成績化學成績合計優(yōu)秀非優(yōu)秀優(yōu)秀225135360非優(yōu)秀156724880合計3818591240將表中數(shù)據(jù)代入公式，得χeq\o\al(2,2)＝eq\f(1240×（225×724－156×135）2,360×880×381×859)≈240.6>10.828＝x0.001.列出數(shù)學成績與總分成績的2×2列聯(lián)表如下：數(shù)學成績總分合計優(yōu)秀非優(yōu)秀優(yōu)秀26793360非優(yōu)秀99781880合計3668741240將表中數(shù)據(jù)代入公式，得χeq\o\al(2,3)＝eq\f(1240×（267×781－93×99）