人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)學(xué)案2：§8 1　成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE1§8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.2.了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.3.結(jié)合實(shí)例，會(huì)通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性．知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系1．相關(guān)關(guān)系的定義：兩個(gè)變量有關(guān)系，但沒(méi)有確切到可由其中一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．思考相關(guān)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？2．相關(guān)關(guān)系的分類(lèi)(1)按變量間的增減性分為相關(guān)和相關(guān)．①正相關(guān)：當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)的趨勢(shì)；②負(fù)相關(guān)：當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)的趨勢(shì)．(2)按變量間是否有線性特征分為相關(guān)和相關(guān)(曲線相關(guān))．①線性相關(guān)：如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在附近，我們稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)；②非線性相關(guān)或曲線相關(guān)：如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是相關(guān)，我們稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．知識(shí)點(diǎn)二相關(guān)關(guān)系的刻畫(huà)1．散點(diǎn)圖：為了直觀描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征，把每對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái)，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖，叫做散點(diǎn)圖．2．樣本相關(guān)系數(shù)(1)我們常用樣本相關(guān)系數(shù)r來(lái)確切地反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)的相關(guān)程度，其中r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2)\r(\i\su(i＝1,n,)(yi－\x\to(y))2)).(2)樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為．①若r>0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)；②若r<0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)；③當(dāng)|r|越接近時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；④當(dāng)|r|越接近時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱．題型探究探究一變量間相關(guān)關(guān)系的判斷例1.下列兩變量中具有相關(guān)關(guān)系的是()A．正方體的體積與邊長(zhǎng)B．人的身高與體重C．勻速行駛車(chē)輛的行駛距離與時(shí)間D．球的半徑與體積反思感悟兩個(gè)變量是否相關(guān)的兩種判斷方法(1)根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)：借助積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析判斷．(2)利用散點(diǎn)圖：通過(guò)散點(diǎn)圖，觀察它們的分布是否存在一定的規(guī)律，直觀地進(jìn)行判斷．如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響．跟蹤訓(xùn)練1.(1)對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖①，對(duì)變量u，v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖②.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)(2)兩個(gè)變量x，y與其線性相關(guān)系數(shù)r有下列說(shuō)法：①若r＞0，則x增大時(shí)，y也隨之相應(yīng)增大；②若r＜0，則x增大時(shí)，y也相應(yīng)增大；③若r＝1或r＝－1，則x與y的關(guān)系完全對(duì)應(yīng)(有函數(shù)關(guān)系)，在散點(diǎn)圖上各個(gè)散點(diǎn)均在一條直線上，其中正確的有()A．①② B．②③C．①③ D．①②③(3)有五組變量：①汽車(chē)的重量和汽車(chē)每消耗1升汽油所行駛的平均路程；②平均日學(xué)習(xí)時(shí)間和平均學(xué)習(xí)成績(jī)；③某人每日吸煙量和其身體健康情況；④正方形的邊長(zhǎng)和面積；⑤汽車(chē)的重量和百公里耗油量．其中兩個(gè)變量成正相關(guān)的是(A．①③ B．②④C．②⑤ D．④⑤探究二樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)例2.如圖是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和回歸直線，若去掉一個(gè)點(diǎn)使得余下的5個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)最大，則應(yīng)當(dāng)去掉的點(diǎn)是()A．D B．EC．F D．A反思感悟樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)r的絕對(duì)值越接近0，相關(guān)性越弱．(2)r的絕對(duì)值越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)．跟蹤訓(xùn)練2.(1)在一組數(shù)據(jù)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為－1，則所有的樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)滿足的方程可以是()A．y＝－eq\f(1,2)x＋1 B．y＝x－1C．y＝x＋1 D．y＝－x2(2)設(shè)兩個(gè)變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r，y關(guān)于x的回歸直線方程的回歸系數(shù)為eq\o(b,\s\up8(^))，回歸截距是eq\o(a,\s\up6(^))，那么必有()A.eq\o(b,\s\up8(^))與r的符號(hào)相同 B.eq\o(a,\s\up6(^))與r的符號(hào)相同C.eq\o(b,\s\up8(^))與r的符號(hào)相反 D.eq\o(a,\s\up6(^))與r的符號(hào)相同探究三樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算及應(yīng)用例3.某廠的生產(chǎn)原料耗費(fèi)x(單位：百萬(wàn)元)與銷(xiāo)售額y(單位：百萬(wàn)元)之間有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：x2468y30405070(1)計(jì)算x與y之間的相關(guān)系數(shù)，并求其回歸直線方程；(2)若實(shí)際銷(xiāo)售額不少于80百萬(wàn)元，則原料耗費(fèi)應(yīng)該不少于多少？反思感悟線性相關(guān)強(qiáng)弱的判斷方法(1)散點(diǎn)圖：散點(diǎn)圖只是粗略作出判斷，其圖象越接近直線，相關(guān)性越強(qiáng)．(2)樣本相關(guān)系數(shù)：樣本相關(guān)系數(shù)能夠較準(zhǔn)確的判斷相關(guān)的程度，其絕對(duì)值越大，相關(guān)性越強(qiáng)．跟蹤訓(xùn)練3.假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限x(單位：年)與所支出的維修費(fèi)用y(單位：萬(wàn)元)有如下統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2.23.85.56.57.0已知eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝90，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do6(i＝1))yeq\o\al(2,i)≈140.8，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do6(i＝1))xiyi＝112.3，eq\r(79)≈8.9，eq\r(2)≈1.4.(1)計(jì)算y與x之間的相關(guān)系數(shù)(精確到0.001)，并求出回歸直線方程；(2)根據(jù)回歸方程，預(yù)測(cè)假設(shè)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用約是多少萬(wàn)元？課堂小結(jié)1．知識(shí)清單：(1)相關(guān)關(guān)系．(2)散點(diǎn)圖．(3)正相關(guān)、負(fù)相關(guān)、線性相關(guān)、非線性相關(guān)．(4)樣本相關(guān)系數(shù)．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合．3．常見(jiàn)誤區(qū)：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不分，樣本相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值的大小與相關(guān)程度的關(guān)系．當(dāng)堂檢測(cè)1.兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越低，其線性相關(guān)系數(shù)的數(shù)值()A．越接近于－1 B．越接近于0C．越接近于1 D．越小2.如圖所示，給出了樣本容量均為7的A，B兩組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，已知A組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為r1，B組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為r2，則()A．r1＝r2 B．r1＜r2C．r1＞r2 D．無(wú)法判定3.對(duì)于線性相關(guān)系數(shù)r，敘述正確的是()A．r∈(－∞，＋∞)，且r越大，相關(guān)程度越大B．r∈(－∞，＋∞)，且|r|越大，相關(guān)程度越大C．r∈〖－1,1〗，且r越大，相關(guān)程度越大D．r∈〖－1,1〗，且|r|越大，相關(guān)程度越大4.變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則()A．r2<r1<0 B．0<r2<r1C．r2<0<r1 D．r2＝r15.如圖是依據(jù)某集團(tuán)1994年至2014年的出口貿(mào)易額的原始數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖．給出下列經(jīng)驗(yàn)公式：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋b；③y＝a·ebx.請(qǐng)依據(jù)該散點(diǎn)圖的特征，指出擬合程度最不好的經(jīng)驗(yàn)公式的序號(hào)：________．▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系1．思考〖答案〗不是．函數(shù)關(guān)系是唯一確定的關(guān)系．2．相關(guān)關(guān)系的分類(lèi)(1)正負(fù)①增加②減少(2)線性非線性①一條直線②線性知識(shí)點(diǎn)二相關(guān)關(guān)系的刻畫(huà)(2)〖－1,1〗①正②負(fù)③1④0題型探究探究一變量間相關(guān)關(guān)系的判斷例1.〖答案〗B〖解析〗選項(xiàng)A中正方體的體積為邊長(zhǎng)的立方，有固定的函數(shù)關(guān)系；選項(xiàng)C中勻速行駛車(chē)輛的行駛距離與時(shí)間成正比，也是函數(shù)關(guān)系；選項(xiàng)D中球的體積是eq\f(4,3)π與半徑的立方相乘，有固定函數(shù)關(guān)系．只有選項(xiàng)B中人的身高與體重具有相關(guān)關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練1.〖答案〗(1)C(2)C(3)C〖解析〗(1)由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷，變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)，故選C.(2)根據(jù)兩個(gè)變量的相關(guān)性與其相關(guān)系數(shù)r之間的關(guān)系知，①③正確，②錯(cuò)誤，故選C.(3)其中①③成負(fù)相關(guān)關(guān)系，②⑤成正相關(guān)關(guān)系，④成函數(shù)關(guān)系，故選C.探究二樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)例2.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，越接近1，則說(shuō)明兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)．因?yàn)辄c(diǎn)E到直線的距離最遠(yuǎn)，所以去掉點(diǎn)E，余下的5個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)最大．跟蹤訓(xùn)練2.〖答案〗(1)A(2)A〖解析〗(1)∵這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為－1，∴這一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…(xn，yn)線性相關(guān)，且是負(fù)相關(guān)，∴可排除D，B，C，故選A.(2)由公式可知eq\o(b,\s\up8(^))與r的符號(hào)相同．探究三樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算及應(yīng)用例3.解：(1)畫(huà)出(x，y)的散點(diǎn)圖如圖所示，由圖可知x，y有線性關(guān)系．eq\o(x,\s\up6(－))＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝47.5，eq\o(∑,\s\up8(4),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝120，eq\o(∑,\s\up8(4),\s\do6(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝9900，eq\o(∑,\s\up8(4),\s\do6(i＝1))xiyi＝1080，故相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up8(4),\s\do6(i＝1))xiyi－4\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r((\o(∑,\s\up8(4),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)(\o(∑,\s\up8(4),\s\do6(i＝1))y\o\al(2,i)－4\o(y,\s\up6(－))2)))＝eq\f(1080－4×5×47.5,\r((120－4×52)(9900－4×47.52)))≈0.9827.eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(4),\s\do6(i＝1))xiyi－4\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up8(4),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1080－4×5×47.5,120－4×52)＝6.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝47.5－6.5×5＝15.故回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋15.(2)由回歸直線方程知，當(dāng)eq\o(y,\s\up6(^))≥80，即6.5x＋15≥80時(shí)，x≥10.故原料耗費(fèi)應(yīng)不少于10百萬(wàn)元．跟蹤訓(xùn)練3.解：(1)∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5.eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do6(i＝1))xiyi－5eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝112.3－5×4×5＝12.3，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5eq\o(x,\s\up6(－))2＝90－5×42＝10，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do6(i＝1))yeq\o\al(2,i)－5eq\o(y,\s\up6(－))2＝140.8－125＝15.8，所以r＝eq\f(12.3,\r(10×15.8))＝eq\f(12.3,\r(158))＝eq\f(12.3,\r(2)×\r(79))≈eq\f(12.3,1.4×8.9)≈0.987.又eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(5),\s\do6(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up8(5),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝1.23.eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up