數(shù)學(xué)物理方法-第4章-留數(shù)定理

第4章留數(shù)定理

⒈留數(shù)的定義：設(shè)是的孤立奇點(diǎn)，是包圍在內(nèi)的閉曲線，且不包含的另外奇點(diǎn)，則在點(diǎn)的留數(shù)（Residue）定義為（如圖4.1）

（逆時針）在點(diǎn)的留數(shù)等于在的環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)的負(fù)一次冪的系數(shù)。一、留數(shù)與留數(shù)定理4.1留數(shù)定理z0CC圖4.1留數(shù)定理：如圖4.2所示，設(shè)在閉曲線上解析，在所圍的區(qū)域內(nèi)除有限個孤立奇點(diǎn)外無其它奇點(diǎn)，則:

（逆時針）b1b2b3bnl圖4.2【說明】：①邏輯循環(huán)：由積分定義留數(shù)，再由留數(shù)求積分；定理似乎沒有意義，不能回答所提出的問題。②洛朗級數(shù)的展開可以采用非積分的辦法進(jìn)行，而且級數(shù)具有唯一性，所以留數(shù)可以有其它的方法求得，因此留數(shù)定理有重大意義。二、極點(diǎn)處留數(shù)的計算設(shè)z0是f(z)的m階極點(diǎn)，則，特例單極點(diǎn)，三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)⒈無窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)的定義：如果是的奇點(diǎn)，則定義函數(shù)在無限遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域的洛朗級的負(fù)一次冪的系數(shù)的相反數(shù)為函數(shù)在無限遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)。如圖4.3所示，如果函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)解析，是該鄰域內(nèi)的一條簡單閉曲線（為順時針，繞行走，點(diǎn)在左手側(cè)），則：如圖4.3所示，如果函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)解析，是該鄰域內(nèi)的一條簡單閉曲線（為順時針，繞行走，點(diǎn)在左手側(cè)），則：例1例1.確定函數(shù)在有限遠(yuǎn)的極點(diǎn)。求出函數(shù)在這些極點(diǎn)的留數(shù)。解函數(shù)在有限遠(yuǎn)極點(diǎn)

這些極點(diǎn)為單極點(diǎn)，其留數(shù)為例2例2.確定函數(shù)在有限遠(yuǎn)的極點(diǎn)，并求函數(shù)在這些極點(diǎn)的留數(shù)。

解：在有限遠(yuǎn)的極點(diǎn)有，

是3階極點(diǎn)，其留數(shù)為：

是的單極點(diǎn)，其留數(shù)為例3例3.計算：，

解：記該極點(diǎn)在內(nèi)部。外部§4.2應(yīng)用留數(shù)定理計算實(shí)變函數(shù)定積分一、思路tabz=φ(t)xyl圖4.4說明：如圖4.4所示，作實(shí)軸到復(fù)平面的變換，將實(shí)軸上的區(qū)間變換成復(fù)平面的一條閉曲線，從而把實(shí)函數(shù)定積分轉(zhuǎn)換為復(fù)變函數(shù)的回路積分。⒈

⒉

如圖4.5所示，把軸崁入復(fù)平面中成為平面的實(shí)軸，把函數(shù)延拓到復(fù)平面，得復(fù)變函數(shù)，在復(fù)平面上再補(bǔ)上一段曲線，使成為閉合回路，閉合回路的積分用留數(shù)定理計算，而曲線段的路徑積分較容易求得（通常為0）。yxl2圖4.5ab二、應(yīng)用留數(shù)定理計算實(shí)變函數(shù)的幾個類型⒈

其中作變換

表示有理函數(shù)。

例1.計算解：

例2.計算解：記：它在復(fù)平面上有2個單極點(diǎn)

和其中在單位圓內(nèi)，其留數(shù)為：⒉如圖4.7所示，如果復(fù)變函數(shù)在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，在上半平面除有限個奇點(diǎn)外是解析的。當(dāng)z在上半平面和在實(shí)軸上時，

一致地，則：

{在上半平面所有奇點(diǎn)的留數(shù)之和}yxCR圖4.7例：

解：記：

,它在上半平面有單極點(diǎn)

其留數(shù)為：約當(dāng)引理如果，是以原點(diǎn)為圓心位于上半平面的半徑為的半圓，若當(dāng)在上半平面和實(shí)軸上時，一致地，則：例：解：

在上半平面有單極點(diǎn)其留數(shù)為：

例：

解：如圖4.9所示，yxCR圖4.9Cε記

其中