2023-2024學(xué)年浙江省杭州八中下學(xué)期普通高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測試題（一）數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年浙江省杭州八中下學(xué)期普通高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測試題（一）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，是直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（）A． B．3 C． D．22．已知為等腰直角三角形，，，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．3．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作，已知復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)，復(fù)數(shù):滿足.則等于（）A． B． C． D．4．設(shè)且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．5．已知，，，若，則（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則實(shí)數(shù)的取值為（）A．-2 B．-1 C．1 D．27．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，則滿足A∪C＝B的集合C的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．18．陀螺是中國民間最早的娛樂工具，也稱陀羅.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某個(gè)陀螺的三視圖，則該陀螺的表面積為（）A． B．C． D．9．函數(shù)在的圖像大致為A． B． C． D．10．函數(shù)的圖象為C，以下結(jié)論中正確的是（）①圖象C關(guān)于直線對稱；②圖象C關(guān)于點(diǎn)對稱；③由y=2sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長度可以得到圖象C.A．① B．①② C．②③ D．①②③11．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A．6 B．5 C．4 D．312．已知命題，且是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為．14．已知雙曲線的一條漸近線為，且經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.15．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加淮南文明城市創(chuàng)建志愿服務(wù)活動(dòng)，服務(wù)活動(dòng)共有“走進(jìn)社區(qū)”、“環(huán)境監(jiān)測”、“愛心義演”、“交通宣傳”等四個(gè)項(xiàng)目，每人限報(bào)其中一項(xiàng)，記事件為“4名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”，事件為“只有甲同學(xué)一人報(bào)走進(jìn)社區(qū)項(xiàng)目”，則的值為______.16．已知、為正實(shí)數(shù)，直線截圓所得的弦長為，則的最小值為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知都是大于零的實(shí)數(shù)．（1）證明；（2）若，證明．18．（12分）對于正整數(shù)，如果個(gè)整數(shù)滿足，且，則稱數(shù)組為的一個(gè)“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為.(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;(Ⅱ)對于給定的整數(shù)，設(shè)是的一個(gè)“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值;(Ⅲ)對所有的正整數(shù)，證明:;并求出使得等號成立的的值.(注:對于的兩個(gè)“正整數(shù)分拆”與，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，稱這兩個(gè)“正整數(shù)分拆”是相同的.)19．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《數(shù)書九章》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中點(diǎn)O為球心，AC為直徑的球面交PD于M（異于點(diǎn)D），交PC于N（異于點(diǎn)C）.（1）證明：平面，并判斷四面體MCDA是否是鱉臑，若是，寫出它每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請說明理由；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問題.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足________________，，求的面積.22．（10分）在中，內(nèi)角的對邊分別是，滿足條件．（1）求角；（2）若邊上的高為，求的長．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

根據(jù)拋物線的定義求得，由此求得的長.【詳解】過作，垂足為，設(shè)與軸的交點(diǎn)為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.2．D【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系，則，，，由，易得，則.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的運(yùn)用、數(shù)量積的運(yùn)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.3．A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù)，進(jìn)而得出，由得出可計(jì)算出，由此可計(jì)算出.【詳解】由于復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)，，則，，，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考查了復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的除法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4．A【解析】項(xiàng)，由得到，則，故項(xiàng)正確；項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，該不等式不成立，故項(xiàng)錯(cuò)誤；項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，即不等式不成立，故項(xiàng)錯(cuò)誤；項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，即不等式不成立，故項(xiàng)錯(cuò)誤．綜上所述，故選．5．B【解析】

由平行求出參數(shù)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算．【詳解】由，得，則，，，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算是解題關(guān)鍵．6．B【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線方程通過f′（0），求解即可；【詳解】f（x）的定義域?yàn)椋ī?，+∞），因?yàn)閒′（x）a，曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計(jì)算能力．7．A【解析】

由可確定集合中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4種情況，所以選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】考查集合并集運(yùn)算，屬于簡單題.8．C【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可，【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖：上部是底面半徑為1，高為3的圓柱，下部是底面半徑為2，高為2的圓錐,幾何體的表面積為：，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.9．B【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由的近似值即可得出結(jié)果．【詳解】設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，排除選項(xiàng)C．又排除選項(xiàng)D；，排除選項(xiàng)A，故選B．【點(diǎn)睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計(jì)算特殊函數(shù)值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎(chǔ)知識、基本計(jì)算能力的考查．10．B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心和圖象變換的知識，判斷出正確的結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，所以①正確.，所以②正確.將的圖象向右平移個(gè)單位長度，得，所以③錯(cuò)誤.所以①②正確，③錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心，考查三角函數(shù)圖象變換，屬于基礎(chǔ)題.11．A【解析】

根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果．【詳解】由圖象得,令=0,即=kπ，k=0時(shí)解得x=2，令=1,即，解得x=3，∴A(2,0),B(3,1)，∴，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的圖象，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于綜合題，但是難度不大，解題關(guān)鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖象求出坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果，屬于簡單題.12．D【解析】

求出命題不等式的解為，是的必要不充分條件，得是的子集，建立不等式求解.【詳解】解：命題，即:，是的必要不充分條件，，，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍，其思路方法：(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解．(2)求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．4【解析】

由題意結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)和均值不等式的結(jié)論整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.據(jù)此可知：的最小值為4.【點(diǎn)睛】條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值．14．【解析】

設(shè)以直線為漸近線的雙曲線的方程為，再由雙曲線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，能求出雙曲線方程．【詳解】解：設(shè)以直線為漸近線的雙曲線的方程為，∵雙曲線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，∴，∴雙曲線方程為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線方程的求法，考查拋物線、雙曲線簡單性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題．15．【解析】

根據(jù)條件概率的求法，分別求得，再代入條件概率公式求解.【詳解】根據(jù)題意得所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查條件概率的求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.16．【解析】

先根據(jù)弦長，半徑，弦心距之間的關(guān)系列式求得，代入整理得，利用基本不等式求得最值.【詳解】解：圓的圓心為，則到直線的距離為，由直線截圓所得的弦長為可得，整理得，解得或(舍去)，令，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考核基本不等式求最值，關(guān)鍵是對目標(biāo)式進(jìn)行變形，變成能用基本不等式求最值的形式，也可用換元法進(jìn)行變形，是中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）答案見解析．（2）答案見解析【解析】

（1）利用基本不等式可得，兩式相加即可求解.（2）由（1）知，代入不等式，利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）兩式相加得（2）由（1）知于是，．【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18．(Ⅰ)，，，，；(Ⅱ)為偶數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)時(shí)，；(Ⅲ)證明見解析，，【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意直接寫出答案.(Ⅱ)討論當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，最大為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最大為，得到答案.(Ⅲ)討論當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，至少存在一個(gè)全為1的拆分，故，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系得到，再計(jì)算，，得到答案.【詳解】(Ⅰ)整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為：，，，，.(Ⅱ)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，時(shí)，最大為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，時(shí)，最大為；綜上所述：為偶數(shù)，最大為，為奇數(shù)時(shí)，最大為.(Ⅲ)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，至少存在一個(gè)全為1的拆分，故；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)是每個(gè)數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”，則它至少對應(yīng)了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：.當(dāng)時(shí)，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，；當(dāng)時(shí)，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，故；當(dāng)時(shí)，對于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”，除了各項(xiàng)不全為的奇數(shù)拆分外，至少多出一項(xiàng)各項(xiàng)均為的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：使成立的為：或.【點(diǎn)睛】本土考查了數(shù)列的新定義問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19．（1）；（2）.【解析】

（1）將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù)，然后分、、三段求解不等式，綜合可得出不等式的解集；（2）求出函數(shù)的最大值，由題意得出，解此不等式即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】.（1）當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí).綜上所述，不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則，即；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則.綜上所述，函數(shù)的最大值為，由題知，，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對值不等式的求解，同時(shí)也考查了絕對值不等式中的參數(shù)問題，考查分類討論思想的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.20．（1）證明見解析，是，，，，；（2）【解析】

（1）根據(jù)是球的直徑，則，又平面，得到，再由線面垂直的判定定理得到平面，，進(jìn)而得到，再利用線面垂直的判定定理得到平面.（2）以A為原點(diǎn)，，，所在直線為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，解得，得到，從而得到，然后求得平面的一個(gè)法向量，代入公式求解.【詳解】（1）因?yàn)槭乔虻闹睆剑瑒t，又平面，∴，.∴平面，∴，∴平面.根據(jù)證明可知，四面體是鱉臑.它的每個(gè)面的直角分別是，，，.（2）如圖，以A為原點(diǎn)，，，所在直線為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，，.M為中點(diǎn)，從而.所以，設(shè)，則.由，得.由得，即.所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.由.取，，，得到.記與平面所成角為θ，則.所以直線與平面所成的角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理和線面角的向量求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21．橫線處任填一個(gè)都可以，面積為．【解析】

無論選哪一個(gè)，都先由正弦定理化邊為角后，由誘導(dǎo)公式，展開后，可求得角，再由余弦定理求得，從而易求得三角形面積．【詳解】在橫線上填寫“”.解：由正弦定理，得.由，得.由，得.所以.又（若，則這與矛盾），所以.又，得.由余弦定理及，得，即.將代入，解得.所以.在橫線上填寫“”.解：由及正弦定理，得.又，所以有.因?yàn)椋?從而有.又，所以由余弦定理及，得即.將代入，解得.所以.在橫線上填寫“”解：由正弦定理，得.由，得，所以由二倍角公式，得.由，得，所以.所以，即.由余弦定理及，得.即.將代入，解得.所以.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式，考查正弦定理、余弦定理，