專題12.9 角平分線的性質(zhì)（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題12.9角平分線的性質(zhì)（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】角的平分線的性質(zhì)(1)性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.(2)符號(hào)語言：OC平分∠ADB，又PE⊥AD，PF⊥BD，垂足為E、F，PE=PF【知識(shí)點(diǎn)二】角的平分線的判定(1)判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.(2)符號(hào)語言：PE⊥AD，PF⊥BD，垂足為E、F，又PE=PFOC平分∠ADB，【知識(shí)點(diǎn)三】角的平分線的尺規(guī)作圖（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】利用角平分線性質(zhì)定理進(jìn)行求值與證明【例1】（23-24七年級(jí)下·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，在中，，于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）求證：；【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂直的定義，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．（1）證明，即可證明結(jié)論成立；（2）利用角平分線性質(zhì)定理即可證明結(jié)論成立．（1）證明：∵，∴，∴∵（2）證明：∵，∴平分，，【變式1】（23-24七年級(jí)下·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，平分，點(diǎn)P是射線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)M，點(diǎn)N是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接．若，則的長度不可能是（

）A．18 B． C．6 D．【答案】D【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)、垂線段最短，根據(jù)角平分線的性質(zhì)作出圖形轉(zhuǎn)化線段是解決問題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作，如圖所示，由角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的距離中垂線段最短可得，從而得到答案．解：過點(diǎn)作，如圖所示：平分，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，，由角平分線性質(zhì)可得，點(diǎn)射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，由點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的距離中垂線段最短可得，綜合四個(gè)選項(xiàng)可知，的長度不可能是，故選：D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·四川巴中·期末）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)O到邊的距離為3，且的周長為20，則的面積為．【答案】30【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)、三角形的面積公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．過O作于M，于N，連接，利用角平分線的性質(zhì)求得，然后利用求解即可．解：過O作于M，于N，連接，∵點(diǎn)O到邊的距離為3，∴，∵的周長為20，∴∵，的平分線交于點(diǎn)O，，，∴，∴，故答案為：30．【題型2】利用角平分線判定定理進(jìn)行求值與證明【例2】如圖，于于F，若，

（1）求證：平分；（2）已知，求的長．【答案】(1)見詳解(2)12【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．（1）求出，根據(jù)全等三角形的判定定理得出，推出，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，即可求出答案．（1）證明：∵，∴，∴在和中，，∴，∴，∵，∴平分；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴．【變式1】如圖，在中，，，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，根據(jù)可證，從而可知是的平分線，進(jìn)而可求出的度數(shù)．解：如圖，作于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，∵，∴．∵，，∴∴，∴是的平分線．∴．故選C．【變式2】6．（23-24八年級(jí)上·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，在中，，三角形的外角和的平分線交于點(diǎn)E，則．【答案】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線，證明平分；過點(diǎn)E作，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，則有，再根據(jù)，即可得出平分即可解答．解：過點(diǎn)E作，如圖所示：三角形的外角和的平分線交于點(diǎn)E，，，，平分，，故答案為：．【題型3】綜合運(yùn)用角平分線性質(zhì)定理與判定定理進(jìn)行證明與求值【例3】如圖，和中，，連接與交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N．（1）求證：；（2）求證：；（3）連接，有以下兩個(gè)結(jié)論：①平分；②平分，其中正確的一個(gè)是（請(qǐng)寫序號(hào)），并給出證明過程．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)②【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線解決問題．（1）欲證明，只要證明；（2）由，推出，由可得；（3）結(jié)論：②；作于于J．利用角平分線的判定定理證明即可．（1）證明：∵∴即在和中，∴∴．（2）證明：∵∴∵又，，∴，∴（3）解：結(jié)論：②理由：作于于J．∵∴∴?，∴，∵作于K，于J，∴不妨設(shè)①成立，則，則顯然不可能，故①錯(cuò)誤．故答案為：②．【變式1】（23-24八年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，，M是的中點(diǎn)，平分，且，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等．作于N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出．解：作于N，∵，∴，∴，∵平分，，，∴，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，∴，又，，∴，故選：B．

【變式2】（23-24八年級(jí)上·重慶永川·期末）如圖，在中，，，的平分線與的外角平分線交于點(diǎn)，連接，則的大小等于．【答案】/34度【分析】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，先根據(jù)角平分線的判定與性質(zhì)得出平分，然后利用三角形外角的性質(zhì)，即可求解．解：過點(diǎn)D作于H，于E，于F，∵的平分線與的外角平分線交于點(diǎn)，∴，，∴平分，∴，∵，∴，故答案為：．【題型4】通過作圖（作角平分線）進(jìn)行求值或證明【例4】（23-24八年級(jí)上·廣東珠海·期中）請(qǐng)回答下列問題：（1）如圖1，已知，利用直尺和圓規(guī)，作的平分線交于點(diǎn)（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）如圖2所示，是的角平分線分別是上的點(diǎn)，且，求證：．【分析】（1）根據(jù)角平分線的基本作圖方法作圖即可；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，證明，得出，即可得出答案．（1）解：如圖，作的平分線交于點(diǎn)；（2）證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則，平分，，，，，，在和中，，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的基本作圖，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，補(bǔ)角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵作圖輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法．【變式1】（2024·湖南湘西·模擬預(yù)測）如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)O，作射線，交于點(diǎn)E．已知，，的面積為（

）A．6 B．11 C．14 D．28【答案】C【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點(diǎn)E到和的距離相等，點(diǎn)E到的距離等于的長度，利用三角形面積公式即可得到答案．解：由基本作圖得到平分，∴點(diǎn)E到和的距離相等，∴點(diǎn)E到的距離等于的長度，即點(diǎn)E到的距離為4，∴．故選：C．【變式2】（2024·湖南·中考真題）如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，在，上分別截取線段，，使；分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，在內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)P，作射線，交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作于點(diǎn)N．若，，則．【答案】6【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)作圖可知平分，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，結(jié)合求出，．解：作圖可知平分，∵是邊上的高，，，∴，∵，∴，∴，故答案為：6．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】1．（2024·天津·中考真題）如圖，中，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；再分別以點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩?。ㄋ趫A的半徑相等）在的內(nèi)部相交于點(diǎn)；畫射線，與相交于點(diǎn)，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查基本作圖，直角三角形兩銳角互余以及三角形外角的性質(zhì)，由直角三角形兩銳角互余可求出，由作圖得，由三角形的外角的性質(zhì)可得，故可得答案解：∵，∴，由作圖知，平分，∴，又∴故選：B【例2】．（2021·黑龍江大慶·中考真題）已知，如圖1，若是中的內(nèi)角平分線，通過證明可得，同理，若是中的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì)．請(qǐng)你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖2，在中，是的內(nèi)角平分線，則的邊上的中線長的取值范圍是【答案】【分析】根據(jù)題意得到，設(shè)AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三邊關(guān)系可求出k的范圍，反向延長中線至，使得，連接，最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系解題．解：如圖，反向延長中線至，使得，連接，是的內(nèi)角平分線，可設(shè)AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，BC＝5，∴5k＞5，k＜5，∴1＜k＜5，由三角形三邊關(guān)系可知，∴故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2、拓展延伸【例1】（23-24七年級(jí)下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖1，在中，為邊上的高，是的角平分線，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，．（1）求證：平分（2）如圖2，連接交于點(diǎn)，若與的面積相等，求證：【分析】本題主要考查了全等三角形的證明以及性質(zhì)運(yùn)用，角平分線的判定以及基本性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的幾種判定方法以及角平分線的判定是解答該題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)是的角平分線和，為邊上的高，可得，由得，即可證明；（2）過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，由角平分線性質(zhì)可以得，由與的面積相等可得，證明，得出，，即可得出，再根據(jù)垂直模型證明，即可得出結(jié)論．（1）證明：∵為邊上的高，即，∴，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，即：平分．（2）過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，平分，且，，．，，平分，，在和中，，，，，，，為邊上的高，，，．在和中，．.【例2】（23-24八年級(jí)上·江西宜春·期末）課本再現(xiàn)：思考如圖12.3-3，任意作一個(gè)角，作出的平分線．在上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P畫出，的垂線，分別記垂足為D、E，測量、并作比較，你得到什么結(jié)論？在上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試．通過以上測量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？【實(shí)驗(yàn)猜想】針對(duì)以上問題，同學(xué)們進(jìn)行了小組實(shí)驗(yàn)探究，并猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．【推理證明】為了證明該定理，小明同學(xué)根據(jù)書上的圖形（如圖12.3-3）寫出了“已知”和“求證”，請(qǐng)你利用全等的知識(shí)完成證明過程．（1）已知：點(diǎn)P是的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E．求證：．【知識(shí)應(yīng)用】（2）如圖2，的平分線與的外角的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，連接．①證明：平分；②若，則________．【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析；②【分析】（1）根據(jù)條件證明，從而．（2）①過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，由（1）的結(jié)論易證，根據(jù)“