專題12.16 三角形全等幾何模型（半角模型）（精練）（專項(xiàng)練習(xí)）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)專題12.16三角形全等幾何模型（半角模型）（精選精練）（專項(xiàng)練習(xí)）1．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在直線BC上，作射線AP，將射線AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到射線AQ，交直線CD于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，交AQ于點(diǎn)F，連接DF．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）用等式表示線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．2．如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以為頂點(diǎn)作一個(gè)角，使其兩邊分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求的周長(zhǎng)．3．（23-24八年級(jí)上·河南漯河·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點(diǎn)，．(1)求證：．(2)求證：平分．4．問(wèn)題背景：如圖1：在四邊形中，，，．，分別是，上的點(diǎn)，且．探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．（1）小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使．連接，先證明，再證明，他的結(jié)論應(yīng)是；（并寫(xiě)出證明過(guò)程）探索延伸：（2）如圖2，若在四邊形中，，，，分別是，上的點(diǎn)，且是的二分之一，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．5．（22-23九年級(jí)下·山東濱州·期中）（1）如圖1，在四邊形中，，，且，求證：．（2）如圖2，若在四邊形中，，，分別是上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．6．【問(wèn)題引領(lǐng)】問(wèn)題1：如圖1．在四邊形中，，，．E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)．且．探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小王祠學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)到點(diǎn)G．使．連接．先證明，再證明．他得出的正確結(jié)論是______．【探究思考】問(wèn)題2：如圖2，若將問(wèn)題Ⅰ的條件改為：四邊形中，，，，問(wèn)題1的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說(shuō)明理由．【拓展延伸】問(wèn)題3：如圖3在問(wèn)題2的條件下，若點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，則問(wèn)題2的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，猜測(cè)此時(shí)線段，，之間存在的等量關(guān)系是______．

7．（）如圖：在四邊形中，，，．，分別是，上的點(diǎn)．且．探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)．使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論是________（直接寫(xiě)結(jié)論，不需證明）；

（2）如圖，若在四邊形中，，，、分別是，上的點(diǎn)，且是的二分之一，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；

（3）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，，直接寫(xiě)出三角形的周長(zhǎng)．

8．（23-24八年級(jí)上·北京朝陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)（不與重合），以為一邊在的右側(cè)作，使．設(shè)．(1)如圖1，如果___________度；(2)如圖2，你認(rèn)為之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．(3)當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出你的結(jié)論．（B、C、E三點(diǎn)不共線）參考答案：1．（1）補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析；（2）BE+DF=EF，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可．（2）延長(zhǎng)FE到H,使EH=EF，根據(jù)題意證明△ABH≌△ADF，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）補(bǔ)全圖形（2）BE+DF=EF．證明：延長(zhǎng)FE到H,使EH=EF∵BE⊥AP，∴AH=AF，∴∠HAP=∠FAP=45°，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°∴∠BAP+∠2=45°，∵∠1+∠BAP=45°∴∠1=∠2，∴△ABH≌△ADF，∴DF=BH，∵BE+BH=EH=EF，∴BE+DF=EF．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線．2．的周長(zhǎng)為6．【分析】要求△AMN的周長(zhǎng)，根據(jù)題目已知條件無(wú)法求出三條邊的長(zhǎng)，只能把三條邊長(zhǎng)用其它已知邊長(zhǎng)來(lái)表示，所以需要作輔助線，延長(zhǎng)AB至F，使BF=CN，連接DF，通過(guò)證明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，從而得出MN=MF，△AMN的周長(zhǎng)等于AB+AC的長(zhǎng)．【詳解】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠BCD=∠DBC=30°∵△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°∴∠DBA=∠DCA=90°延長(zhǎng)AB至F，使BF=CN，連接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM為公共邊∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF∴△AMN的周長(zhǎng)是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．【點(diǎn)睛】此題主要利用等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)來(lái)證明三角形全等，構(gòu)造另一個(gè)三角形是解題的關(guān)鍵．3．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；（1）延長(zhǎng)到，使，連接．先說(shuō)明，然后利用全等三角形的性質(zhì)和已知條件證得，最后再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和線段的和差即可解答；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得，，即可得出，即可得證．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)到，使，連接．，，．，．

．．又，．．．；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，即平分．4．（1），證明過(guò)程見(jiàn)解析（2）成立，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）先利用“”判斷得到，，再證明，接著根據(jù)“”判斷，所以，從而得到；（2）結(jié)論仍然成立，證明方法與（1）相同．【詳解】解：（1），證明如下：如下圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；故答案為：；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如下圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，

∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．5．（1）見(jiàn)解析；（2）結(jié)論仍然成立；理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查的是三角形的綜合題，主要涉及三角形全等的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解此題的關(guān)鍵．（1）延長(zhǎng)到，使，連接，根據(jù)證明可得，再證明，可得，即可得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)到，使，連接，根據(jù)證明可得，再證明，可得，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：如圖，延長(zhǎng)到，使，連接，則，又，∴，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖，延長(zhǎng)到，使，連接，∵，∴，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，．6．問(wèn)題1：；問(wèn)題2：?jiǎn)栴}1中結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析；問(wèn)題3：結(jié)論：．【分析】問(wèn)題1，先證明，得到，，再證明，得到，即可得到；問(wèn)題2，延長(zhǎng)到點(diǎn)G．使．連接，先判斷出，進(jìn)而判斷出，再證明，最后用線段的和差即可得出結(jié)論；問(wèn)題3，在上取一點(diǎn)G．使．連接，然后同問(wèn)題2的方法即可得出結(jié)論．【詳解】解：?jiǎn)栴}1，如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)G．使．連接，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，即，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；故他得到的正確結(jié)論是：；問(wèn)題2，問(wèn)題1中結(jié)論仍然成立，如圖2，理由：延長(zhǎng)到點(diǎn)G．使．連接，

∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，即，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；即；問(wèn)題3．結(jié)論：，理由如下：如圖3，在上取一點(diǎn)G．使．連接，

∵，，∴，即，在和中，，∴，∴，，∴，即，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．即．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．7．（）；（）結(jié)論仍然成立，；（）．【分析】（）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連結(jié)，由“”可證，可得，，再由“”可證，可得，即可解題；（）延長(zhǎng)到，使，連接，即可證明，可得，再證明，可得，即可解題；（）延長(zhǎng)到，使，連接，由“”可證，可得，，由“”可證，可得，可得，即可求解．【詳解】（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連結(jié)，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖，延長(zhǎng)到，使，連接，

∵，∴，同（）理：，∴，，∵，∴，∴，又，∴，∴，∵，∴；（3）如圖，延長(zhǎng)到，使，連接，

∵四邊形是正方形，∴，，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴的周長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定是解答本題的關(guān)鍵．8．(1)；(2)；(3)圖象見(jiàn)詳解；；【分析】（1）先證明（），則可得，根據(jù)，可知；（2）已知，則，則，根據(jù)則．（3）連接，作使得，，連接、：根