專題13.1 軸對(duì)稱（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版）（學(xué)生版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題13.1軸對(duì)稱（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】軸對(duì)稱圖形

軸對(duì)稱圖形的定義：一個(gè)圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，該直線就是它的對(duì)稱軸.【要點(diǎn)提示】軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形，圖形被對(duì)稱軸分成的兩部分能夠互相重合．一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.

【知識(shí)點(diǎn)二】軸對(duì)稱1.軸對(duì)稱定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱（或說(shuō)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱），這條直線叫做對(duì)稱軸．折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱點(diǎn)

【要點(diǎn)提示】軸對(duì)稱指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，兩個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后能夠完全重合．成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定全等.2.軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別主要是：軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形；軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，則這個(gè)整體就是軸對(duì)稱圖形；反過(guò)來(lái)，若把軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸兩旁的部分看作兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（原對(duì)稱軸）對(duì)稱.【知識(shí)點(diǎn)三】軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)1.軸對(duì)稱的性質(zhì)：若兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；2.軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．【知識(shí)點(diǎn)四】線段的垂直平分線定義：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．性質(zhì)：性質(zhì)1：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；

性質(zhì)2：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．【要點(diǎn)提示】線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一.同時(shí)也給出了引輔助線的方法，那就是遇見(jiàn)線段的垂直平分線，畫(huà)出到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心——外心.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】軸對(duì)稱圖形的識(shí)別【例1】（23-24八年級(jí)上·江西宜春·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)分別在，上，．

（1）判斷該圖形是否是軸對(duì)稱圖形（填“是”或“否”）；（2）求證：．【變式1】下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）在線段、角、圓、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是軸對(duì)稱圖形的是．【題型2】成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的識(shí)別與判斷【例2】（23-24八年級(jí)上·吉林·期中）如圖，和關(guān)于直線對(duì)稱，與的交點(diǎn)在直線上．（1）圖中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)______，的對(duì)應(yīng)邊是______；（2）若，，求的度數(shù)．【變式1】（2024·廣西·中考真題）端午節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，下列與端午節(jié)有關(guān)的文創(chuàng)圖案中，成軸對(duì)稱的是（

）A． B． C． D．【變式2】（21-22八年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）如圖，△ABD和△ACD關(guān)于直線AD對(duì)稱，若S△ABC＝10，則圖中陰影部分的面積為．【題型3】由軸對(duì)稱的性質(zhì)特征求值【例3】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，O為內(nèi)部一點(diǎn)，，P、R為O分別以直線、為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)．（1）請(qǐng)指出當(dāng)是什么角度時(shí)，會(huì)使得的長(zhǎng)度等于7？并完整說(shuō)明的長(zhǎng)度為何在此時(shí)等于7的理由．（2）承（1）小題，請(qǐng)判斷當(dāng)不是你指出的角度時(shí)，的長(zhǎng)度小于7還是大于7？并完整說(shuō)明你判斷的理由．【變式1】（23-24八年級(jí)上·河北承德·期末）如圖，點(diǎn)是外的一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在線段上，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上．若，，，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·四川達(dá)州·期末）如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，則的度數(shù)為．【題型4】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值【例4】（23-24八年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在內(nèi)．

（1）如圖①，點(diǎn)P關(guān)于射線的對(duì)稱點(diǎn)分別是G、H，連接．①若，則是什么特殊三角形？為什么？②若，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖②，若，A、B分別是射線上的點(diǎn)，于點(diǎn)B，點(diǎn)P、Q分別為上的兩個(gè)定點(diǎn)，且，，在上有一動(dòng)點(diǎn)E，試求的最小值．【變式1】（23-24八年級(jí)上·山東日照·期中）已知，點(diǎn)P是內(nèi)部任意一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在上，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取得最小值時(shí)，，則與的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，，是的角平分線，若分別是和邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．

【題型5】折疊問(wèn)題【例5】（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期末）如圖1，點(diǎn)M，N分別在長(zhǎng)方形紙條的邊和上，將長(zhǎng)方形紙條沿折疊得到圖2，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，折疊后與相交于點(diǎn)E．（1）若，求的度數(shù)；（2）設(shè)，．①請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示β；②當(dāng)α的值為_(kāi)________時(shí)，是等邊三角形；當(dāng)α的值為_(kāi)_____時(shí)，是直角三角形．【變式1】（2024·山東東營(yíng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形紙片中，，，將紙片折疊，使點(diǎn)C，D落在邊上的點(diǎn)，處，折痕為，則（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·湖南株洲·期末）折紙是一門(mén)古老而有趣的藝術(shù)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)家們甚至為折紙建立了一套完整的“折紙幾何學(xué)公理”．如圖，小明在課余時(shí)間把一張長(zhǎng)方形紙片沿折疊，，則°．【題型6】線段垂直平分線的性質(zhì)【例6】（23-24七年級(jí)下·江西景德鎮(zhèn)·期末）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，垂直平分，垂足為點(diǎn)．（1）請(qǐng)說(shuō)明：；（2）若的面積為4，求的面積．【變式1】（2024·吉林·三模）如圖，在中，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡推斷，以下結(jié)論不一定正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·山東青島·期末）如圖，在中，邊的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)D，E兩點(diǎn)，連接，，，則的度數(shù)是．【題型7】線段垂直平分線的判定【例7】（23-24七年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期末）如圖，在中，，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)M，N，直線，交于點(diǎn)P．（1）求證：點(diǎn)P在線段的垂直平分線上；（2）已知，求的度數(shù)．【變式1】（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”如圖，四邊形是一個(gè)箏形，其中，，點(diǎn)O為對(duì)角線、的交點(diǎn)，在探究箏形性質(zhì)時(shí)，我們得到以下結(jié)論：①圖中有三對(duì)全等三角形．②互相平分．③．其中錯(cuò)誤的結(jié)論有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式2】（2024·四川廣元·中考真題）點(diǎn)F是正五邊形邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，則的度數(shù)為．

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·遼寧·中考真題）如圖，四邊形中，，，，．以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圖，與相交于點(diǎn)，連接．以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別與，相交于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)，作射線，與相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（用含的代數(shù)式表示）．【例2】（2024·四川南充·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：．（2）若，求證：2、拓展延伸【例1】（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）如圖，已知長(zhǎng)方形紙片，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊和上，且，H和G分別是邊和上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)A，B，C