專題13.10 最短路徑（將軍飲馬）問題（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題13.10最短路徑（將軍飲馬）問題（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【模型一：兩定交點(diǎn)型】如圖1，直線和的異側(cè)兩點(diǎn)A.B，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最小；圖1【模型二：兩定一動(dòng)型】如圖2，直線和的同側(cè)兩點(diǎn)A.B，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最?。ㄍ瑐?cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)）；圖2【模型三：一定兩動(dòng)型】如圖3，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B。使△PAB的周長(zhǎng)最小。圖3【模型四：兩定兩動(dòng)型】如圖4，點(diǎn)P，Q為∠MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B。使四邊形PAQB的周長(zhǎng)最小。圖4【模型五：一定兩動(dòng)（垂線段最短）型】如圖5，點(diǎn)A是∠MON外的一點(diǎn)，在射線ON上作點(diǎn)P，使PA與點(diǎn)P到射線OM的距離之和最小。圖5【模型六：一定兩動(dòng)，找（作）對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化型】如圖6，點(diǎn)A是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，在射線ON上作點(diǎn)P，使PA與點(diǎn)P到射線OM的距離之和最小。圖6【考點(diǎn)1】?jī)啥ㄒ粍?dòng)型；【考點(diǎn)2】一定兩動(dòng)（兩點(diǎn)之間線段最短）型；【考點(diǎn)3】一定兩動(dòng)（垂線段最短）型；【考點(diǎn)4】?jī)啥▋蓜?dòng)型；【考點(diǎn)5】一定兩動(dòng)（等線段）轉(zhuǎn)化型；.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【考點(diǎn)1】?jī)啥ㄒ粍?dòng)型；【例1】（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在中，，垂直平分，交于點(diǎn)D，則周長(zhǎng)的最小值是（）

A．12 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】本題主要考查了，軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出P的位置．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，根據(jù)題意知點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，的值最小，即可得到周長(zhǎng)最?。猓骸叽怪逼椒郑帱c(diǎn)B，C關(guān)于對(duì)稱．∴當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)D重合時(shí)，的值最?。藭r(shí)，∵，周長(zhǎng)的最小值是，故選：C．【變式】（23-24八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，在中，，．將沿射線折疊，使點(diǎn)A與邊上的點(diǎn)D重合，E為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值．

【答案】24【詳解】設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)F，連接，先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，周長(zhǎng)最小，進(jìn)而求解即可．解：如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)F，連接，，

由折疊的性質(zhì)得：，，，，，周長(zhǎng)，要使周長(zhǎng)最小，只需最小，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，最小值為，∴周長(zhǎng)為：．故答案為：24．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)2】一定兩動(dòng)（兩點(diǎn)之間線段最短）型；【例2】（23-24八年級(jí)上·湖北省直轄縣級(jí)單位·期末）如圖，，P為內(nèi)一點(diǎn)，A為上一點(diǎn)，B為上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取最小值時(shí)，的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了最短路線問題、四邊形的內(nèi)角和定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)畫出圖形是解題的關(guān)鍵．如圖：作P點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，此時(shí)的周長(zhǎng)最小為，求出即可．解：如圖：作P點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接，

∵點(diǎn)與點(diǎn)P關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，∵，∴，∴，在中，由三角形的內(nèi)角和定理可知：，∴，∴．故選：B．【變式】（23-24八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，，點(diǎn)分別在射線上，，，點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連接、、，當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則面積的最小值是．【答案】18【分析】本題考查了軸對(duì)稱、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是關(guān)鍵．連接，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，先利用三角形的面積公式求出，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，從而可得，然后利用三角形的面積公式可得的面積為，根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，的面積最小，由此即可得．解：如圖，連接，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，∵，且，∴，∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，∴的面積為，由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，最小值為，面積的最小值是故答案為：18．【考點(diǎn)3】一定兩動(dòng)型（垂線段最短）；【例3】（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，在中，，，，，點(diǎn)P、Q分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于（

）A．4 B． C．5 D．【答案】B【分析】作過于的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱可得：，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，再根據(jù)垂線段最短，得到時(shí)，最小，進(jìn)行求解即可．解：作過于的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，∵垂線段最短，∴時(shí)，最小，連接，∵關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，∵，∴，即：，∴；故選B．【點(diǎn)撥】本題考查利用軸對(duì)稱求線段和最小問題．熟練掌握通過構(gòu)造軸對(duì)稱，解決線段和最小，以及點(diǎn)到直線，垂線段最短，是解題的關(guān)鍵．【變式】（23-24七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，，是的角平分線，若分別是和邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．

【答案】【分析】本題考查利用軸對(duì)稱求最短距離，全等三角形的性質(zhì)和判定，能夠利用軸對(duì)稱將線段和的最小值轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)求解是關(guān)鍵．在上截取，連接，，可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)及最短路徑結(jié)合面積法即可得出答案．解：如圖，在上截取，連接，，

是的平分線，在與中點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，連接，與交于點(diǎn)，連接，此時(shí)，是動(dòng)點(diǎn)，也是動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與垂直時(shí)，最小，即最小．此時(shí)，由面積法得．故答案為：．【考點(diǎn)4】?jī)啥▋蓜?dòng)型；【例4】如圖，已知，平分，，在上，在上，在上．當(dāng)取最小值時(shí)，此時(shí)的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、、、，則由軸對(duì)稱知識(shí)可知，所以依據(jù)垂線段最短知：當(dāng)在一條直線上，且時(shí)，取最小值，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余及三角形外角的性質(zhì)可以求出.解：∵，平分，∴，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、、、，則，，，，，∴，，，，當(dāng)在一條直線上，且時(shí)，取最小值，∴，∴，∴，∴，故選：D.【點(diǎn)撥】本題考查了最短路徑問題，等腰三角形等邊對(duì)等角，直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，垂線段最短，通過作對(duì)稱點(diǎn)化折為直是解題的關(guān)鍵.【變式】（23-24八年級(jí)上·河南商丘·階段練習(xí)）如圖，，點(diǎn)，分別是邊，上的定點(diǎn)，點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)最小時(shí)，則與的數(shù)量關(guān)系為．【答案】【分析】本題考查軸對(duì)稱—最短問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，交于，則最小，易知，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論．解：如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，交于，則最小，，，，，故答案為：．【考點(diǎn)5】一定兩動(dòng)（等線段）轉(zhuǎn)化型；【例5】（20-21八年級(jí)上·湖北鄂州·期中）如圖，AD為等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F(xiàn)分別為線段AD，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF，當(dāng)BF＋CE取最小值時(shí)，∠AFB的度數(shù)為（

）A．75° B．90° C．95° D．105°【答案】C【分析】先構(gòu)造△CFH全等于△AEC，得到△BCH是等腰直角三角形且FH=CE，當(dāng)FH+BF最小時(shí)，即是BF+CE最小時(shí)，此時(shí)求出∠AFB的度數(shù)即可．解：如圖，作CH⊥BC，且CH=BC，連接HB，交AC于F，此時(shí)△BCH是等腰直角三角形且FH+BF最小，∵AC=BC，∴CH=AC，∵∠HCB=90°，AD⊥BC，∴AD//CH，∵∠ACB=50°，∴∠ACH=∠CAE=40°，∴△CFH≌△AEC，∴FH=CE，∴FH+BF=CE+BF最小，此時(shí)∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、最短路徑問題，關(guān)鍵是作出輔助線，有一定難度．【變式】（23-24七年級(jí)下·四川宜賓·期末）在中，，，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，的角平分線交于點(diǎn)D．作直線，在直線上有一點(diǎn)P，連結(jié)、，則的最大值是．【答案】2【分析】本題考查了軸對(duì)稱-最短路徑問題，在上取點(diǎn)，使得，可知，得，可知，利用轉(zhuǎn)化思想和線段的和差是解題的關(guān)鍵．解：∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，在上取點(diǎn)，使得，∵的角平分線交于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：2．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2020·湖北·中考真題）如圖，D是等邊三角形外一點(diǎn)．若，連接，則的最大值與最小值的差為．【答案】12【分析】以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，可證得△ECB≌△DCA從而得到BE=AD，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．解：如圖1，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．∴則的最大值與最小值的差為12．故答案為：12【點(diǎn)撥】本題考查三角形全等與三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵在于添加輔助線構(gòu)建全等三角形把AD轉(zhuǎn)化為BE從而求解，是一道較好的中考題．【例2】（2020·新疆·中考真題）如圖，在中，，若D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】12【分析】過點(diǎn)作射線，使，再過動(dòng)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，在中，，，當(dāng)，，在同一直線上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線段的長(zhǎng)．解：過點(diǎn)作射線，使，再過動(dòng)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，如圖所示：在中，，，，當(dāng)，，在同一直線上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線段的長(zhǎng)，此時(shí)，，是等邊三角形，，在中，，，，，，，，，的最小值為12，故答案為：12．【點(diǎn)撥】本題考查垂線段最短、等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．2、拓展延伸【例1】（23-24八年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，、在的同側(cè)，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，，，，若，則的最大值為（

）A．18 B．16 C．14 D．12【答案】C【分析】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最值問題．如圖，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，證明為等邊三角形，即可解決問題．解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∵，∴，∴，∴，∵，∴為等邊三角形∵，∴的最大值為14，故選：C．【例2】（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，銳角中，，的面積是6，D、E、F分別是三邊上的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是（

）A．3 B．4 C．6 D．7【答案】C【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱最短路徑問題，垂線段最短，等邊三角形的性質(zhì)與判定等等，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連