湖北省黃岡市普通高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中階段性聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

湖北省黃岡市普通高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中階段性聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將答題卡上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面對稱的特征求解.關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的特征為坐標(biāo)不變，取相反數(shù)，故所求坐標(biāo)為.故選：A.2.若直線與直線平行，則的值為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】由兩線平行的判定列方程求參數(shù).由題設(shè).故選：C3.近幾年7月，武漢持續(xù)高溫，市氣象局將發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號（高溫橙色預(yù)警標(biāo)準(zhǔn)為24小時內(nèi)最高氣溫將升至37攝氏度以上），在今后的3天中，每一天最高氣溫37攝氏度以上的概率是.某人用計算機(jī)生成了10組隨機(jī)數(shù)，結(jié)果如下：726127821763314245521986402862若用0，1，2，3，4表示高溫橙色預(yù)警，用5，6，7，8，9表示非高溫橙色預(yù)警，依據(jù)該模擬實驗，則今后的3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號的概率估計是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)0，1，2，3，4表示高溫橙色預(yù)警，在10組隨機(jī)數(shù)中列出3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預(yù)警的隨機(jī)數(shù)，根據(jù)古典概型的公式計算即可得解.3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預(yù)警包括的隨機(jī)數(shù)有：127，821，245，521共4個，所以今后的3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號的概率估計是.故選：D.4.某飲料生產(chǎn)企業(yè)推出了一種有一定中獎機(jī)會的新飲料.甲、乙、丙三名同學(xué)都購買了這種飲料，設(shè)事件為“甲、乙、丙三名同學(xué)都中獎”，則與互為對立事件的是（）A.甲、乙、丙恰有兩人中獎 B.甲、乙、丙都不中獎C.甲、乙、丙至少有一人不中獎 D.甲、乙、丙至多有一人不中獎【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)及對立事件的定義寫出A事件的對立事件即可.事件“甲、乙、丙三名同學(xué)都中獎”的對立事件是“甲、乙、丙三名同學(xué)至少有一人不中獎”.故選：C5.已知點(diǎn)，若，則直線AB的傾斜角的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩點(diǎn)式求斜率，結(jié)合參數(shù)范圍有，根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系確定傾斜角范圍.由題設(shè)，則直線AB的傾斜角的取值范圍為.故選：B6.如圖所示，在平行六面體中，，則的長為（）A. B.C D.5【答案】B【解析】【分析】利用空間向量加減的幾何意義得到，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求長度.由題設(shè)，所以，所以.故選：B7.已知實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（）A.[4,10] B.[8,10] C.[4,16] D.[8,16]【答案】C【解析】【分析】由方程確定圓心和半徑，進(jìn)而得到圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離范圍，根據(jù)表示圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方求范圍.將化為，即圓心為，半徑為3，由表示圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，而圓心到原點(diǎn)的距離為1，又在圓內(nèi)，所以圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離范圍為，故的取值范圍是.故選：C8.如圖，邊長為4的正方形ABCD沿對角線AC折疊，使，則三棱錐的體積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)得且，結(jié)合已知條件求得，再利用棱錐體積公式求體積.若為正方形的中心，由題設(shè)知，所以，且，所以，即，所以，則，則，所以三棱錐的體積為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分.部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線和圓，則下列選項正確的是（）A.直線恒過點(diǎn)B直線與圓相交C.圓與圓有三條公切線D.直線被圓截得的最短弦長為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)定點(diǎn)的特征即可求解A;根據(jù)定點(diǎn)在圓內(nèi)判斷B;判斷圓與圓的位置關(guān)系確定公切線條件判斷C;根據(jù)垂直時即可結(jié)合圓的弦長公式求解D.對于A，由直線的方程，當(dāng)時，，可知直線恒經(jīng)過定點(diǎn)，故A正確；對于B，因為直線恒經(jīng)過定點(diǎn)，且，定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，故B正確；對于C，由圓的方程，可得圓心，半徑，又由直線，圓，圓心，半徑，此時，所以圓與圓相外切，有三條公切線，故C正確；對于D，由，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得當(dāng)直線和直線垂直時，此時截得的弦長最短，最短弦長為，故D錯誤，故選：ABC.10.柜子里有雙不同的鞋子，從中隨機(jī)地取出只，下列計算結(jié)果正確的是（）A.“取出的鞋成雙”的概率等于B.“取出的鞋都是左鞋”的概率等于C.“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于D.“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成雙”的概率等于【答案】BC【解析】【分析】用列舉法列出事件的樣本空間，即可直接對選項進(jìn)行判斷.記雙不同的鞋子按左右為，隨機(jī)取只的樣本空間為，共種，則“取出的鞋成雙”的概率等于，A錯；“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，B正確；“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于，C正確；“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成雙”的概率等于，D錯.故選：BC11.如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)為線段BD的中點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則平面B.若，則平面C.若，則到平面的距離為D.若時，直線DP與平面所成角為，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)各項參數(shù)確定的位置，分別應(yīng)用線面平行的判定定理判斷A；線面垂直的判定定理判斷B；由到平面的距離，即為到平面的距離的一半，幾何法求點(diǎn)面距離判斷C；應(yīng)用向量法求線面角，進(jìn)而求范圍判斷D.A：，即重合，故即為，又，即，由面，面，則面，對；B：，易知為的中點(diǎn)，此時，且所以，故，即，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，易得，若為的中點(diǎn)，則，又，則，顯然面，面，則，由且在面內(nèi)，則面，面，則，所以，又都在面內(nèi)，則面，對；C：，即是面的中心，易知到平面的距離，即為到平面的距離的一半，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，為正四面體，且棱長為，所以到平面的距離，所以到平面的距離為，錯；D：，則在線段上運(yùn)動，如圖構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，所以，且，故，令面的一個法向量為，且，所以，令，則，故，令，則，所以，，故，對.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)各項參數(shù)值確定對應(yīng)點(diǎn)的位置為關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的方向向量為，則的值為______.【答案】【解析】【分析】利用兩點(diǎn)式求斜率，結(jié)合斜率與方向向量的關(guān)系列方程求參數(shù).由題設(shè).故答案為：13.已知空間向量，若共面，則的最小值為__.【答案】##【解析】【分析】先利用題給條件求得之間的關(guān)系，再利用二次函數(shù)即可求得的最小值.空間向量，若共面，則可令，則，解之得則二次函數(shù)的最小值為，則的最小值為.故答案為：14.由這2024個正整數(shù)構(gòu)成集合A，先從集合A中隨機(jī)取一個數(shù)，取出后把放回集合A，然后再從集合A中隨機(jī)取出一個數(shù)，則的概率為___.【答案】##【解析】【分析】利用古典概型即可求得的概率.即，當(dāng)時，可以取1，有種取法；當(dāng)時，可以取1，2，3，有種取法；當(dāng)時，可以取1，2，3，4，5，有種取法；當(dāng)時，可以取1，2，3，,，有種取法；當(dāng)時，可以取1，2，3，,，有種取法；故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出相應(yīng)文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為.（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線垂直和點(diǎn)在線上，解設(shè)坐標(biāo)，聯(lián)立方程組即可求解；（2）結(jié)合（1）先求點(diǎn)坐標(biāo)可得與重合，再利用中點(diǎn)在直線上，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線的方程.【小問1】由題知，，在直線上，設(shè)，則，解得，即點(diǎn)坐標(biāo)為.【小問2】設(shè)，則，解得，即，所以直線的方程為，即.16.如圖，在四棱錐中，平面為PD的中點(diǎn).（1）若，證明：；（2）若，求平面ACE和平面ECD的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定及性質(zhì)定理證、，結(jié)合直角三角形性質(zhì)即可證結(jié)論；（2）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值.【小問1】由平面，平面，則，，而，且都在面內(nèi)，則面，由面，則，即均為直角三角形，且為斜邊，由為PD的中點(diǎn)，故，得證.【小問2】由題意，易知為直角梯形，且，，且平面，以為原點(diǎn)，建立如下圖示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，若分別是面、面的法向量，則，令，則，且，令，則，所以，故平面ACE和平面ECD的夾角余弦值為.17.某中學(xué)根據(jù)學(xué)生的興趣愛好，分別創(chuàng)建了“繪畫”、“書法”、“詩詞”三個興趣小組，據(jù)統(tǒng)計新生通過考核選拔進(jìn)入這三個興趣小組成功與否相互獨(dú)立.2024年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校的“繪畫”、“書法”、“詩詞”三個興趣小組的概率依次為，已知三個興趣小組他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個興趣小組的概率為，且.（1）求與的值；（2）該校根據(jù)興趣小組活動安排情況，對進(jìn)入“繪畫”興趣小組的同學(xué)增加校本選修學(xué)分1分，對進(jìn)入“書法”興趣小組的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分，對進(jìn)入“詩詞”興趣小組的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分.求該同學(xué)在興趣小組方面獲得校本選修學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由于進(jìn)入這三個興趣小組成功與否相互獨(dú)立，利用相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率乘法公式來列出方程求解.（2）分析該同學(xué)在興趣小組方面獲得校本選修學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分的情形有三種，即分?jǐn)?shù)為4分，5分，6分，然后進(jìn)行相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率乘法計算，再用分類事件加法原理求解即可.【小問1】由題意得：，解得：；【小問2】設(shè)該同學(xué)在興趣小組方面獲得校本選修學(xué)分分?jǐn)?shù)為，則，，，所以.即該同學(xué)在興趣小組方面獲得校本選修學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分的概率為.18.如圖，四棱臺中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，分別為DC，BC的中點(diǎn)，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側(cè)棱所在直線所成的角為.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，若存在，求出線段BM的長；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）或.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的一個法向量為，判斷即可；（2）應(yīng)用向量法求到平面的距離即可；（3）假設(shè)在上存在點(diǎn)，且，，結(jié)合線面角正弦值列方程，求參數(shù)即可；【小問1】由題設(shè)，得四棱臺為正四棱臺，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，故，所以，若平面的一個法向量為，則，令，則，顯然，而面，所以面；【小問2】由（1）知：，所以到平面的距離為【小問3】假設(shè)在上存在點(diǎn)，且，，則，直線與平面所成的角為，故，所以，即，可得或，時，，則，時，，則，綜上，長為或.19.已知動點(diǎn)M與兩個定點(diǎn)的距離的比為，記動點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程，并說明其形狀；（2）已知，過直線上的動點(diǎn)分別作曲線的兩條切線PQ，為切點(diǎn)），連接PD交QR于點(diǎn)，（?。┳C明：直線QR過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo)；（ⅱ）是否存在點(diǎn)P，使的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1），以為圓心，半徑為2的圓；（2）（?。┳C明見解析，定點(diǎn)為；（ⅱ）存在，.【解析】分析】（1）根據(jù)已知及兩點(diǎn)距離公式有，整理即可得曲線方程；（2）（?。└鶕?jù)題設(shè)知在以為直徑的圓上，并