觀察、推理與表達(dá)：素養(yǎng)導(dǎo)向的作業(yè)設(shè)計(jì)策略

北京師范大學(xué)教育學(xué)部課程與教學(xué)研究院院長，教授、博士生導(dǎo)師；中國教育學(xué)會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)副秘書長，中國教育發(fā)展戰(zhàn)略學(xué)會(huì)教育教學(xué)創(chuàng)新專業(yè)委員會(huì)副理事長，中國少數(shù)民族教育學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)教育專業(yè)委員會(huì)副理事長；主持的課題有全國教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃教育部重點(diǎn)課題“新課程小學(xué)數(shù)學(xué)、語文學(xué)科能力評(píng)價(jià)研究”、全國教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃教育部重點(diǎn)課題“讀懂中小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的方法研究”，以及國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“復(fù)雜情境下學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的認(rèn)知及腦機(jī)制研究”等；著有《小學(xué)生數(shù)學(xué)能力評(píng)價(jià)研究》《小學(xué)數(shù)學(xué)互動(dòng)式教學(xué)》《學(xué)習(xí)者視角下的學(xué)習(xí)歷程分析》等專著，發(fā)表學(xué)術(shù)論文100余篇。作業(yè)設(shè)計(jì)是當(dāng)前基礎(chǔ)教育課程改革中的熱點(diǎn)問題，是達(dá)成“教-學(xué)-評(píng)”一致性的重要保障。如何基于核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)作業(yè)，通過作業(yè)設(shè)計(jì)培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力，充分發(fā)揮作業(yè)的育人功能呢？筆者以為，深入理解核心素養(yǎng)導(dǎo)向的作業(yè)功能是基礎(chǔ)，探索核心素養(yǎng)導(dǎo)向的作業(yè)設(shè)計(jì)策略是關(guān)鍵。一、核心素養(yǎng)導(dǎo)向的作業(yè)功能作業(yè)為學(xué)生提供了相對(duì)獨(dú)立的思考環(huán)境，不同的作業(yè)對(duì)學(xué)生提出了不同的認(rèn)知要求。立足核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)作業(yè)的基礎(chǔ)是深入理解核心素養(yǎng)，只有理解了核心素養(yǎng)要求，才能找到作業(yè)設(shè)計(jì)的主線?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》以“三會(huì)”（會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界）高度凝練了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，用數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)語言概括了數(shù)學(xué)抽象、推理和建模的能力?！叭龝?huì)”目標(biāo)明確指向問題解決能力的培養(yǎng)，旨在幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)世界和真實(shí)世界的聯(lián)系。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下，數(shù)學(xué)作業(yè)應(yīng)一脈相承地發(fā)揮培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力的功能。進(jìn)行過程性診斷是發(fā)揮數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向作業(yè)功能的重要手段。這種過程性測(cè)量表現(xiàn)在學(xué)生能否用自己的話解釋、表達(dá)所學(xué)知識(shí)；能否基于這一知識(shí)做出推論和預(yù)測(cè)，從而解釋相關(guān)現(xiàn)象，解決相關(guān)問題；能否運(yùn)用這一知識(shí)解決變式問題；能否將這一知識(shí)遷移運(yùn)用到解決實(shí)際問題中；等等。換言之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的作業(yè)功能是滿足一種認(rèn)知需求，為學(xué)生提供理解真實(shí)世界中的數(shù)學(xué)元素、進(jìn)行數(shù)學(xué)思維和推理活動(dòng)的場景，以及提出猜測(cè)、構(gòu)建問題、尋找模式的媒介。二、基于“三會(huì)”的作業(yè)設(shè)計(jì)策略1.觀察視角多樣化，深化概念理解義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)眼光指通過對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中基本數(shù)量關(guān)系和空間形式的觀察，逐步養(yǎng)成從數(shù)學(xué)的角度觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)和習(xí)慣，主要表現(xiàn)為抽象能力（包括數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)）、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識(shí)。核心素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)作業(yè)需要考查學(xué)生仔細(xì)觀察、辨別、描述和分析數(shù)學(xué)現(xiàn)象、關(guān)系和模式的能力，涉及對(duì)細(xì)節(jié)的敏感度、對(duì)整體與部分的把握能力以及對(duì)相關(guān)信息的篩選和歸納能力。核心素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)作業(yè)在觀察方面需要為學(xué)生提供過程性的可觀察素材，以及通過多個(gè)維度的觀察視角進(jìn)行觀察的方法。在培養(yǎng)學(xué)生觀察能力方面，多元表征型作業(yè)必不可少。教師可以從不同的表征形式、不同的思維路徑、不同的問題切入視角出發(fā)，設(shè)計(jì)不同類型的觀察類作業(yè)。以作業(yè)1為例，教師設(shè)計(jì)用不同的直觀模型解決小數(shù)除法問題的多個(gè)作品，引導(dǎo)學(xué)生辨析作答過程是否正確，考查學(xué)生對(duì)小數(shù)除法意義的理解，拓展學(xué)生理解小數(shù)除法的思路。小明利用人民幣模型將小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，通過整數(shù)除法解決小數(shù)除法問題；小輝利用分?jǐn)?shù)模型和除法的意義找到問題的答案；小芳利用除法豎式計(jì)算，但小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)出錯(cuò)了；小杰利用商不變的規(guī)律將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大100倍計(jì)算，但計(jì)算過程出錯(cuò)了。因此，小明和小輝作答正確。多種表征方式和解決問題方法的呈現(xiàn)，為學(xué)生提供了多維度解決小數(shù)除法問題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生搭建起不同方法之間的聯(lián)系，深入理解了除法的意義。教師通過學(xué)生的解釋可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生擅長使用的直觀模型，以及學(xué)生在理解小數(shù)除法方面的困難。診斷結(jié)果可作為調(diào)整課堂教學(xué)重難點(diǎn)的依據(jù)。2.推理思路外顯化，搭建推理支架培養(yǎng)推理能力的作業(yè)要在思維的推進(jìn)和深化上下功夫，以發(fā)揮作業(yè)診斷、反饋、促進(jìn)發(fā)展的功能。認(rèn)知外顯（CognitiveExternalization）指將內(nèi)在的思維或知識(shí)外化為外在的行為，這在推理類作業(yè)中必不可少，是發(fā)揮上述作業(yè)功能的關(guān)鍵路徑。推理類作業(yè)既要考查學(xué)生推理的結(jié)果是否正確，又要關(guān)注推理過程中學(xué)生逐步建立推理思路的過程，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)思考和解決問題的過程具體化、可視化，幫助學(xué)生更全面、深入地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。教師可以通過讓學(xué)生舉例、寫出每一步思路、畫圖表示自己的想法以及操作直觀模型來表達(dá)等方式，外顯化學(xué)生的思維，使其更加明確并且易于交流和共享。認(rèn)知外顯不僅可以促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展和學(xué)習(xí)進(jìn)階，還可以提供一個(gè)反饋機(jī)制，讓學(xué)生更好地理解和評(píng)估自己的思維水平和知識(shí)掌握情況，并展開進(jìn)一步思考與改進(jìn)。在這個(gè)過程中，推理支架必不可少。推理作為一種高級(jí)思維活動(dòng)并不是學(xué)生與生俱來的能力，因此，作業(yè)設(shè)計(jì)既要注重考查學(xué)生的推理能力，又要承擔(dān)培養(yǎng)學(xué)生推理思維的職責(zé)，而搭建推理支架是一個(gè)很好的切入口。以作業(yè)2為例，教師設(shè)計(jì)了三角形面積比較的問題，并通過搭建3個(gè)支架，幫助學(xué)生建立從特殊到一般的推理思維。作業(yè)2：觀察并比較下面圖形的面積。（1）請(qǐng)你分別比較圖2-1中兩個(gè)深色三角形的面積大小和兩個(gè)淺色三角形的面積大小，寫出比較的過程和結(jié)果。（每個(gè)小方格的邊長為1cm）（2）請(qǐng)你分別比較圖2-2中兩個(gè)深色三角形的面積大小和兩個(gè)淺色三角形的面積大小，寫出比較的過程和結(jié)果。（每個(gè)小方格的邊長為1cm）（3）經(jīng)過上面兩次比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？寫出你的發(fā)現(xiàn)。你能在圖2-3上畫出一組具有這樣特點(diǎn)的圖形嗎？作業(yè)2通過3個(gè)問題搭建推理的三個(gè)階梯，旨在培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。問題1以深色等腰三角形這個(gè)特例作為主要研究對(duì)象，讓學(xué)生分別探究兩種顏色三角形的面積大小關(guān)系，從而做出猜測(cè)。問題2稍微放寬條件，要求學(xué)生探究等底不等高的任意三角形是否存在同樣的規(guī)律，搭建了推理的支架，引導(dǎo)學(xué)生聚焦圖形的核心特征繼續(xù)猜測(cè)并驗(yàn)證規(guī)律。問題3引導(dǎo)學(xué)生在前兩個(gè)支架的基礎(chǔ)上提出一般化結(jié)論并畫圖驗(yàn)證。3.關(guān)注語言轉(zhuǎn)換，建構(gòu)模型意識(shí)在表達(dá)方面，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程主要培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中的簡單數(shù)量關(guān)系與空間形式的能力，引導(dǎo)學(xué)生初步感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的交流方式，逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語言表達(dá)與交流的習(xí)慣。利用作業(yè)培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)的能力與習(xí)慣，既要關(guān)注數(shù)學(xué)語言本身，又要關(guān)注數(shù)學(xué)語言背后的關(guān)系思維。第一，關(guān)注語言之間的轉(zhuǎn)換。數(shù)學(xué)語言以其抽象性和簡潔性著稱。義務(wù)教育階段，學(xué)生的認(rèn)知具有直觀化的特點(diǎn)，教師要通過廣泛建立其他直觀語言與數(shù)學(xué)語言之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言流暢地表達(dá)的能力與習(xí)慣。作業(yè)設(shè)計(jì)中，教師可以通過建立直觀語言、直觀圖像、文字語言和數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)化通道，為學(xué)生提供正確運(yùn)用數(shù)學(xué)語言、術(shù)語和符號(hào)有效組織、展示數(shù)學(xué)思想和解決問題過程的機(jī)會(huì)。以作業(yè)3為例，教師將等式這種抽象的符號(hào)化表達(dá)用直觀圖像呈現(xiàn)，借助天平的特點(diǎn)體現(xiàn)等式的意義。作答過程中，學(xué)生需要理解天平所代表的相等意義，關(guān)注天平兩邊的數(shù)量關(guān)系，在將直觀圖像轉(zhuǎn)換為等式的過程中抽象出符號(hào)所代表的數(shù)量及它們之間的關(guān)系，完成從直觀圖像向數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化。第二，構(gòu)建開放性關(guān)系網(wǎng)絡(luò)。數(shù)學(xué)建模的過程是尋找和探索情境中的特定模式，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和潛在關(guān)系的過程。現(xiàn)實(shí)世界中，我們能觀察到的信息量巨大，選擇哪些數(shù)量解決問題、在數(shù)量之間建立什么樣的關(guān)系都是學(xué)生建模能力的考查點(diǎn)。設(shè)計(jì)開放性問題解決的作業(yè)有助于學(xué)生體驗(yàn)在真實(shí)世界中建立模型的過程。教師可以通過給出多余條件、刪除必要條件等方式，打破學(xué)生以往解決問題的常規(guī)思路，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的建模過程。以作業(yè)4為例，不同于傳統(tǒng)的考查相向而行問題的作業(yè)，這道題沒有在題干中直接給出常規(guī)的條件和問題，而是通過提供多項(xiàng)與速度、路程相關(guān)的信息，引導(dǎo)學(xué)生自主提取求解“幾分鐘相遇？”這個(gè)問題所需要的條件。作業(yè)4：小麗和小紅約好去公園鍛煉，約定周日上午9：00兩人從步道的兩端同時(shí)出發(fā)，相向而行。小麗問：兩人走幾分鐘能相遇？（1）下面哪些信息可以解決小麗提出的問題？在所選信息后面的括號(hào)里畫“√”。小麗每分鐘走55m，小紅每分鐘走65m（

）。小麗走一步的距離是0.5m，小紅走一步的距離是0.6m（

）。公園南門到東門之間的步道長2100m（

）。（2）根據(jù)你選擇的信息解答小麗提出的問題。解題過程中，學(xué)生首先要建立速度、時(shí)間