人教版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的應(yīng)用之銷售利潤(rùn)問題

專題22.5銷售利潤(rùn)問題一一二次函數(shù)的應(yīng)用

?典例分析

【典例1】某工廠接到一批產(chǎn)品生產(chǎn)任務(wù)，按要求在20天內(nèi)完成，已知這批產(chǎn)品的出廠價(jià)為每件8元.為

按時(shí)完成任務(wù)，該工廠招收了新工人，設(shè)新工人小強(qiáng)第x天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為y件，y與無滿足關(guān)系式為：

_(20x(0<%<5)

y=ll0x+100(5<x<20)'

AQ/兀

62—二

5.2r：

ii

II

II

0io20~~看天

(l)小強(qiáng)第幾天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為200件？

(2)設(shè)第萬天每件產(chǎn)品的成本價(jià)為a元，a(元)與x(天)之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，求a與x之間的函

數(shù)關(guān)系式；

(3)設(shè)小強(qiáng)第x天創(chuàng)造的利潤(rùn)為w元.

①求第幾天時(shí)小強(qiáng)創(chuàng)造的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

②若第①題中第m天利潤(rùn)達(dá)到最大值，若要使第(爪+1)天的利潤(rùn)比第m天的利潤(rùn)至少多124元，則第⑺+1)

天每件產(chǎn)品至少應(yīng)提價(jià)幾元？

【思路點(diǎn)撥】

本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，主要是利用二次函數(shù)的增減性求最值問題，利用一次函數(shù)的

增減性求最值，難點(diǎn)在于讀懂題目信息，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.

(1)把〉=220代入y=10%+100,解方程即可求得；

(2)根據(jù)圖象求得成本a與x之間的關(guān)系即可；

(3)①然后根據(jù)利潤(rùn)等于訂購(gòu)價(jià)減去成本價(jià)，然后整理即可得到w與x的關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的增減

性和二次函數(shù)的增減性解答；②根據(jù)①得出租+1=15,根據(jù)利潤(rùn)等于訂購(gòu)價(jià)減去成本價(jià)得出提價(jià)a與利

潤(rùn)卬的關(guān)系式，再根據(jù)題意列出不等式求解即可.

【解題過程】

(1)由題意可知，生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為200件時(shí)，x>5,

故：10x+100=200,解得：久=10

答：小強(qiáng)第10天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為200件.

(2)由圖象得，①當(dāng)OWxWlO時(shí)，a=5.2.

②當(dāng)10<x￡20時(shí)，設(shè)a=kx+b(k豐0),

由題意可得｛;器那二黑

解得：｛k'=0.1

b=4.2

???a=0.1%+4.2.

5.2(0<%<10)

綜上可得，。與％之間的函數(shù)關(guān)系式為：a=

0.1%+4.2(10<x<20);

(3)①當(dāng)0<x<5時(shí)，w=y(8—a)=20x(8—5.2)=56%,

56>0,

w隨x的增大而增大，

當(dāng)x=5時(shí)，w有最大值為：56x5=280(元)；

當(dāng)5<xW10時(shí),w=y(8—a)=(10%+100)(8-5.2)=28久+280,

28>0,

???W隨乂的增大而增大，

故當(dāng)x=10時(shí)，w有最大值為28X10+280=560(元).

當(dāng)10<xW20時(shí)，

w=y(8—a)

=(10x+100)[8-(O.lx+4.2)]

=—x2+28x+380

=-(x-14)2+576.

當(dāng)x=14時(shí)，w有最大值，最大值為576(元)

綜上可知，第14天時(shí)，利潤(rùn)最大，最大值為576元.

②由①可知，771=14,771+1=15,

設(shè)第15天提價(jià)t元，則第15天的利潤(rùn)為：w=y(8+t-a)=(10x+100)[8+t-(O.lx+4.2)]=575+

250C,

由題意得：575+2501-5762124,

解得：t>0.5,

答：第15天每件產(chǎn)品至少應(yīng)提價(jià)0.5元.

?學(xué)霸必刷

1.（23-24九年級(jí)上?天津河?xùn)|?期中）某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，

為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每

降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件.有下列結(jié)論：①降價(jià)8元時(shí)，數(shù)量為36件.②若商場(chǎng)平均每天要

盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)10元.③商場(chǎng)平均每天盈利最多為1250元.正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2024?天津紅橋?三模）某服裝店試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間每件服裝的銷售單價(jià)

不低于成本，且獲得的利潤(rùn)不得高于成本的45%.經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）符合一

次函數(shù)關(guān)系y=-x+120.有下列結(jié)論：

①銷售單價(jià)可以是90元；

②該服裝店銷售這種服裝可獲得的最大利潤(rùn)為891元；

③銷售單價(jià)有兩個(gè)不同的值滿足該服裝店銷售這種服裝獲得的利潤(rùn)為500元，

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

3.（23-24九年級(jí)上?江蘇蘇州?期中）某商場(chǎng)打出促銷廣告：某款球鞋20雙，每雙售價(jià)240元，若一次性

購(gòu)買不超過10雙時(shí)，售價(jià)不變，若一次性購(gòu)買超過10雙時(shí)，每多買1雙，則購(gòu)買的所有球鞋的售價(jià)均降

低10元.已知該球鞋進(jìn)價(jià)是每雙120元，若要使該商店從中獲利最多,則顧客需一次性購(gòu)買雙.

4.（22-23九年級(jí)下?浙江湖州?階段練習(xí)）在1?7月份，某地的蔬菜批發(fā)市場(chǎng)指導(dǎo)菜農(nóng)生產(chǎn)和銷售某種蔬菜,

并向他們提供了這種蔬菜每千克售價(jià)與每千克成本的信息如圖所示，則出售該種蔬菜每千克利潤(rùn)最大的月

份可能是月.

5.（2024?四川南充?一模）電商小李在抖音平臺(tái)上對(duì)一款成本單價(jià)為10元的商品進(jìn)行直播銷售，規(guī)定銷售

單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于成本價(jià)的3倍.通過前幾天的銷售發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售定價(jià)為15元時(shí)，每天可售出

700件，銷售單價(jià)每上漲10元，每天銷售量就減少200件，設(shè)此商品銷售單價(jià)為x（元），每天的銷售量

為y（件）.

（1）求y關(guān)于x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（2）若銷售該商品每天的利潤(rùn)為7500元，求該商品的銷售單價(jià)；

（3）小李熱心公益事業(yè)，決定每銷售一件該商品就捐款機(jī)元（m>0）給希望工程，當(dāng)每天銷售最大利潤(rùn)

為6000元時(shí)，求相的值.

6.（2024?山東青島?模擬預(yù)測(cè)）年初，草莓進(jìn)入采摘旺季，某公司經(jīng)營(yíng)銷售草莓的業(yè)務(wù)，以3萬元/噸的價(jià)格

向農(nóng)戶收購(gòu)后，分揀成甲、乙兩類，甲類草莓包裝后直接銷售，乙類草莓深加工后再銷售.甲類草莓的包

裝成本為1萬元/噸，當(dāng)甲類草莓的銷售量％<8噸時(shí)，它的平均銷售價(jià)格y=-尤+14,當(dāng)甲類草莓的銷售量

久28噸時(shí)，它的平均銷售價(jià)格為6萬元/噸.乙類草莓深加工總費(fèi)用s（單位：萬元）與加工數(shù)量t（單位：

噸）之間的函數(shù)關(guān)系為s=12+3t,平均銷售價(jià)格為9萬元/噸.

（1）某次該公司收購(gòu)了20噸的草莓，其中甲類草莓有久噸，經(jīng)營(yíng)這批草莓所獲得的總利潤(rùn)為w萬元；

①求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②若該公司獲得了30萬元的總利潤(rùn)，求用于銷售甲類的草莓有多少噸？

（2）在某次收購(gòu)中，該公司準(zhǔn)備投入100萬元資金，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種經(jīng)營(yíng)方案，使該公司獲得最大的總利潤(rùn),

并求出最大的總利潤(rùn).

7.（2024?湖北黃石?二模）為助推鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展，解決茶農(nóng)賣茶難問題，某地政府在新茶上市30天內(nèi)，幫

助“幸福村”茶農(nóng)合作社集中銷售茶葉，設(shè)第萬天（x為整數(shù)）的售價(jià)為y（元/斤），日銷售額為w（元）.據(jù)

銷售記錄知：

①第1天銷量為42斤，以后每天比前一天多賣2斤；

②前10天的價(jià)格一直為500元/斤，后20天價(jià)格每天比前一天跌10元，

（1）當(dāng)11WXW30時(shí)，寫出y與x的關(guān)系式；

（2）當(dāng)x為何值時(shí)日銷售額w最大，最大為多少？

（3）若日銷售額不低于31680元時(shí)可以獲得較大利潤(rùn)，當(dāng)天合作社將向希望小學(xué)捐款加元，用于捐資助學(xué),

若“幸福村”茶農(nóng)合作社計(jì)劃幫助希望小學(xué)購(gòu)買10800元的圖書，求機(jī)的最小整數(shù)值.

8.（2023?安徽宿州?模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對(duì)外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段

對(duì)話：

甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費(fèi)3000元，那么50輛汽車可以全部租出，如果每輛汽車的月租

費(fèi)每增加50元，那么將少租出1輛汽車，另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護(hù)費(fèi)200元.

乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費(fèi)3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護(hù)費(fèi)共計(jì)

1850%.

說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤(rùn)=月租車費(fèi)-月維護(hù)費(fèi)；

在兩公司租出的汽車數(shù)量相等且都為久（單位：輛，0<xW50）的條件下，甲的利潤(rùn)用力表示（單位：元），

乙的利潤(rùn)用力（單位：元）表示，根據(jù)上述信息，解決下列問題：

（1）分別表示出甲、乙的利潤(rùn)，什么情況下甲、乙的利潤(rùn)相同？

（2）甲公司最多比乙公司利潤(rùn)多多少元？

（3）甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出a元（a>0）給慈善機(jī)構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利

潤(rùn)仍高于乙公司月利潤(rùn)，且僅當(dāng)兩公司租出的汽車均為16輛時(shí)，甲公司剩余的月利潤(rùn)與乙公司月利潤(rùn)之差

最大，求a的取值范圍.

9.（23-24九年級(jí)上.湖北黃岡?期中）某超市擬端午節(jié)前50天銷售某品牌食品，該食品進(jìn)價(jià)為18元/千克，

設(shè)第x天的銷售價(jià)格y元/千克，銷售量為m千克.銷售價(jià)格y（元/千克）當(dāng)31WXW50時(shí)，y與x滿足一次

函數(shù)關(guān)系：

銷售價(jià)格y（元/千克）403733

第比天1<x<303644

第久天銷售量小5%+50

（1）求31WXW50時(shí)，y與％的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求x為多少時(shí)，當(dāng)天銷售利潤(rùn)最大？

（3）若超市希望31天至35天日銷售利潤(rùn)W隨”的增大而增大，則在當(dāng)天的銷售價(jià)格上漲a元/千克，求

整數(shù)a的最小值.

10.（23-24九年級(jí)上?安徽合肥?期末）藍(lán)莓被世界衛(wèi)生組織列為十大健康食品之一，被人們視為“超級(jí)水果”,

每年6?7月份是大棚藍(lán)莓成熟的季節(jié).某大棚藍(lán)莓種植戶計(jì)劃在開始銷售的40天內(nèi)將種植的藍(lán)莓陸續(xù)向市

場(chǎng)供應(yīng).已知第x天的銷售單價(jià)y（元/kg）與第x（天）的函數(shù)關(guān)系如圖，每天銷售量為（400-4久）kg.

（1）直接寫出y與彳的函數(shù)解析式；

（2）求第尤天的種植戶銷售額w（元）與x的函數(shù)關(guān)系式;

（3）第幾天種植戶的銷售額w的最大，最大值是多少元？

11.（23-24九年級(jí)上?河北保定?期末）某商場(chǎng)經(jīng)銷一種兒童玩具，該種玩具的進(jìn)價(jià)是每個(gè)15元，經(jīng)過一段

時(shí)間的銷售發(fā)現(xiàn)，該種玩具每天的銷售量y（個(gè)）與每個(gè)的售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)某天的銷售量為78個(gè)時(shí)，該玩具的銷售利潤(rùn)；

（2）每天的銷售量不低于18個(gè)的情況下，若要每天獲得的銷售利潤(rùn)最大，求該玩具每個(gè)的售價(jià)是多少？最

大利潤(rùn)是多少？

（3）根據(jù)物價(jià)部門規(guī)定，這種玩具的售價(jià)每個(gè)不能高于45元.該商場(chǎng)決定每銷售一個(gè)這種玩具就捐款〃元

（1<n<7）,捐款后發(fā)現(xiàn)，該商場(chǎng)每天銷售這種玩具所獲利潤(rùn)隨售價(jià)的增大而增大，求”的取值范圍.

12.（23-24九年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，當(dāng)售價(jià)為每件50元，每月可賣出

200件，如果售價(jià)每上漲1元，則每月少賣10件（每件售價(jià)不能高于65元）；如果售價(jià)每下降1元，則每

月多賣12件（每件售價(jià)不低于48元）.設(shè)每件商品的售價(jià)為龍?jiān)▁為正整數(shù)），每月的銷售量為y件.

（1）①當(dāng)售價(jià)上漲時(shí)，y與尤的函數(shù)關(guān)系為,自變量尤的取值范圍是；

②當(dāng)售價(jià)下降時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系為,自變量x的取值范圍是；

（2）每件商品的售價(jià)x定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？最大的月利潤(rùn)是多少元？

（3）商家發(fā)現(xiàn)：在售價(jià)上漲的情況下，每件商品還有a（a>0）元的其他費(fèi)用需要扣除，當(dāng)售價(jià)每件不低于

60元時(shí)，每月的利潤(rùn)隨x的增大而減小，請(qǐng)直接寫出。的取值范圍______.

13.（2023?山東臨沂?二模）某農(nóng)作物的生長(zhǎng)率尸與溫度/（久）有如下關(guān)系：如圖1,當(dāng)10Wt<25時(shí)可近似

用函數(shù)P=景一翔I畫，當(dāng)25WtW37時(shí)可近似用函數(shù)P=-擊（t一八尸+0.4刻畫.

圖I圖2

（1）求Zz的值.

（2）按照經(jīng)驗(yàn)，該作物提前上市的天數(shù)機(jī)（天）與生長(zhǎng)率P滿足函數(shù)關(guān)系:

生長(zhǎng)率P0.20.30.40.5

提前上市的天數(shù)機(jī)（天）051015

①請(qǐng)運(yùn)用記學(xué)的知識(shí)，求，"關(guān)于P的函數(shù)表達(dá)式；

②請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示m；

（3）天氣寒冷，大棚加溫可改變農(nóng)作物生長(zhǎng)速度.在（2）的條件下，原計(jì)劃大恒溫20。。時(shí)，每天的成本

為200元，該作物30天后上市時(shí)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：每提前一天上市售出（一次售完），銷售額可增加600

元.因此給大棚繼續(xù)加溫，加溫后每天成本卬（元）與大棚溫度葭京）之間的關(guān)系如圖2,提前上市增加的利

潤(rùn)和節(jié)省的成本為M,問當(dāng)20Wt<25時(shí)，提前上市多少天時(shí)"最大?并求此時(shí)M最大值（農(nóng)作物上市售

出后大棚暫停使用）.

14.（22-23九年級(jí)下?湖北黃岡?期中）周老師家的紅心獅猴桃深受廣大顧客的喜愛，舜猴桃成熟上市后，

她記錄了15天的銷售數(shù)量和銷售單價(jià)，其中銷售單價(jià)y（元/千克）與時(shí)間第x天（x為整數(shù)）的數(shù)量關(guān)系如

圖所示，日銷量p（千克）與時(shí)間第x天（x為整數(shù)）的部分對(duì)應(yīng)值如表所示：

時(shí)間第久天1357910111215

日銷量P（千克）3203604004404805004003000

（1）求y與尤的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）從你學(xué)過的函數(shù)中，選擇合適的函數(shù)類型刻畫p隨光的變化規(guī)律，請(qǐng)直接寫出p與x的函數(shù)關(guān)系式及自變

量%的取值范圍；

（3）在這15天中，哪一天銷售額達(dá)到最大，最大銷售額是多少元.

15.（2024?湖南懷化?一模）受新冠疫情影響，3月1日起，“君樂買菜”網(wǎng)絡(luò)公司某種蔬菜的銷售價(jià)格開始

上漲.如圖1,前四周該蔬菜每周的平均銷售價(jià)格y（元/kg）與周次久（x是正整數(shù)，5）的關(guān)系可近似用

函數(shù)y=（*+a刻畫；進(jìn)入第5周后，由于外地蔬菜的上市，該蔬菜每周的平均銷售價(jià)格y（元/kg）從第5周

的6元/kg下降至第6周的5.6元/kg,y與周次x（5<x<7）的關(guān)系可近似用函數(shù)y=~~.x2+bx+5刻畫.

6Oy（兀/kg）140

6

5.4

4.

100

6y（元/kg）

（2）若前五周該蔬菜的銷售量m（kg）與每周的平均銷售價(jià)格y（元/kg）之間的關(guān)系可近似地用如圖2所示的函

數(shù)圖象刻畫，第6周的銷售量與第5周相同：

①求與y的函數(shù)表達(dá)式；

②在前六周中，哪一周的銷售額w（元）最大？最大銷售額是多少？

（3）若該蔬菜第7周的銷售量是100kg,由于受降雨的影響，此種蔬菜第8周的可銷售量將比第7周減少

n%（n>0）.為此，公司又緊急從外地調(diào)運(yùn)了5kg此種蔬菜，剛好滿足本地市民的需要，且使此種蔬菜第8周

的銷售價(jià)格比第7周僅上漲0.麗％.若在這一舉措下，此種蔬菜在第8周的總銷售額與第7周剛好持平，請(qǐng)通

過計(jì)算估算出n的整數(shù)值.

16.（2023?湖北咸寧?模擬預(yù)測(cè)）“櫻花紅陌上，邂逅在咸安”，為迎接我區(qū)首屆櫻花文化旅游節(jié)，某工廠接

到一批紀(jì)念品生產(chǎn)訂單,要求在15天內(nèi)完成,約定這批紀(jì)念品的出廠價(jià)為每件20元，設(shè)第尤天（0<xW15）

每件產(chǎn)品的成本價(jià)是y元，y與龍之間關(guān)系為：y=0.5%+7,任務(wù)完成后，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)工人小王第尤天生產(chǎn)

產(chǎn)品P（件）與x（天）之間的關(guān)系如下圖所示，設(shè)小王第x天創(chuàng)造的產(chǎn)品利潤(rùn)為卬元.

（1）直接寫出P與尤之間的函數(shù)關(guān)系；

（2）求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求小王第幾天創(chuàng)造的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

（3）最后，統(tǒng)計(jì)還發(fā)現(xiàn)，平均每個(gè)工人每天創(chuàng)造的利潤(rùn)為288元，于是，工廠制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：如果一

個(gè)工人某天創(chuàng)造的利潤(rùn)超過該平均值，則該工人當(dāng)天可獲得20元獎(jiǎng)金，請(qǐng)計(jì)算，在生產(chǎn)該批紀(jì)念過程中，

小王能獲得多少元的獎(jiǎng)金？

17.（2024?河北保定?一模）某廠一種農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用y（萬元）與

年產(chǎn)量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的一部分；該產(chǎn)品的總銷售額z（萬元）=預(yù)售總

額（萬元）+波動(dòng)總額（萬元），預(yù)售總額=每件產(chǎn)品的預(yù)售額（元）x年銷售量無（萬件），波動(dòng)總額與

年銷售量尤的平方成正比，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示.生產(chǎn)出的該產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，達(dá)到產(chǎn)銷平衡，所

獲年毛利潤(rùn)為w萬元（年毛利潤(rùn)=總銷售額一生產(chǎn)費(fèi)用）J/萬元“

年銷售量無（萬件）2040

總銷售額Z（萬元）5601040

⑴求y與尤以及z與x之間的函數(shù)解析式；O\100切萬件

（2）若要使該產(chǎn)品的年毛利潤(rùn)不低于1000萬元，求該產(chǎn)品年銷售量的變化范圍；

（3）受市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的影響，需下調(diào)每件產(chǎn)品的預(yù)售額（生產(chǎn)費(fèi)用與波動(dòng)總額均不變），在此基礎(chǔ)上，若要使

2025年的最高毛利潤(rùn)為720萬元，申基寫出每件產(chǎn)品的預(yù)售額下調(diào)多少元.

18.（2023?山東青島?三模）某食品廠生產(chǎn)一種半成品食材，成本為2元/千克，每天的產(chǎn)量p（百千克）與

銷售價(jià)格尤（元/千克）滿足函數(shù)關(guān)系式「=號(hào)”+8,從市場(chǎng)反饋的信息發(fā)現(xiàn)，該半成品食材每天的市場(chǎng)需求

量q（百千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：

銷售價(jià)格X（元/千克）24...10

市場(chǎng)需求量q（百千克）1210...4

已知按物價(jià)部門規(guī)定銷售價(jià)格尤不低于2元/千克且不高于10元/千克.

（1）直接寫出4與龍的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量尤的取值范圍；

（2）當(dāng)每天的產(chǎn)量小于或等于市場(chǎng)需求量時(shí)，這種半成品食材能全部售出，而當(dāng)每天的產(chǎn)量大于市場(chǎng)需求

量時(shí)，只能售出符合市場(chǎng)需求量的半成品食材，剩余的食材由于保質(zhì)期短而只能廢棄，解答下列問題：

①當(dāng)每天的半成品食材能全部售出時(shí)，求尤的取值范圍；

②求廠家每天獲得的利潤(rùn)y（百元）與銷售價(jià)格尤的函數(shù)關(guān)系式；

③求廠家每天獲得的最大利潤(rùn)y是多少？并求出取到最大利潤(rùn)時(shí)x的值.

（3）若要使每天的利潤(rùn)不低于24（百元），并盡可能地減少半成品食材的浪費(fèi)，則x應(yīng)定為元/

千克.

專題22.5銷售利潤(rùn)問題一一二次函數(shù)的應(yīng)用

?典例分析

【典例1】某工廠接到一批產(chǎn)品生產(chǎn)任務(wù)，按要求在20天內(nèi)完成，已知這批產(chǎn)品的出廠價(jià)為每件8元.為

按時(shí)完成任務(wù)，該工廠招收了新工人，設(shè)新工人小強(qiáng)第x天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為y件，y與無滿足關(guān)系式為：

_(20x(0<%<5)

y=ll0x+100(5<x<20)'

AQ/兀

62—二>子

5.2r：

ii

II

II

0io20丈天

(l)小強(qiáng)第幾天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為200件？

(2)設(shè)第x天每件產(chǎn)品的成本價(jià)為a元，a(元)與無(天)之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，求a與x之間的函

數(shù)關(guān)系式；

(3)設(shè)小強(qiáng)第x天創(chuàng)造的利潤(rùn)為w元.

①求第幾天時(shí)小強(qiáng)創(chuàng)造的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

②若第①題中第m天利潤(rùn)達(dá)到最大值，若要使第(m+1)天的利潤(rùn)比第血天的利潤(rùn)至少多124元，則第(zn+1)

天每件產(chǎn)品至少應(yīng)提價(jià)幾元？

【思路點(diǎn)撥】

本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，主要是利用二次函數(shù)的增減性求最值問題，利用一次函數(shù)的

增減性求最值，難點(diǎn)在于讀懂題目信息，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.

(1)把y=220代入y=+100,解方程即可求得；

(2)根據(jù)圖象求得成本a與x之間的關(guān)系即可；

(3)①然后根據(jù)利潤(rùn)等于訂購(gòu)價(jià)減去成本價(jià)，然后整理即可得到w與x的關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的增減

性和二次函數(shù)的增減性解答；②根據(jù)①得出m+1=15,根據(jù)利潤(rùn)等于訂購(gòu)價(jià)減去成本價(jià)得出提價(jià)a與利

潤(rùn)w的關(guān)系式，再根據(jù)題意列出不等式求解即可.

【解題過程】

(1)由題意可知，生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為200件時(shí)，%>5,

故：10久+100=200,解得：x=10

答：小強(qiáng)第10天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為200件.

(2)由圖象得，①當(dāng)OWxWlO時(shí)，a=5.2.

②當(dāng)10<x<20時(shí)，設(shè)a=kx+b(k力0),

由題意可得｛暇非二篇

解得：｛::黑

???a=0.1%+4.2.

5.2(0<x<10)

綜上可得，a與％之間的函數(shù)關(guān)系式為：a=

0.1%+4,2(10<%<20);

(3)①當(dāng)0<%<5時(shí)，w=y(8-a)=20x(8-5.2)=56%,

56>0,

???w隨x的增大而增大，

當(dāng)x=5時(shí)，w有最大值為：56x5=280(元)；

當(dāng)5<xW10時(shí)，w=y(8-a)=(10x+100)(8-5.2)=28x+280,

???28>0,

w隨x的增大而增大，

故當(dāng)久=10時(shí)，w有最大值為28義10+280=560(元).

當(dāng)10<xW20時(shí)，

iv=y(8—a)

=(10x+100)[8-(0.1%+4.2)]

=—x2+28x+380

=-(x-14)2+576.

當(dāng)x=14時(shí)，w有最大值，最大值為576(元)

綜上可知，第14天時(shí)，利潤(rùn)最大，最大值為576元.

②由①可知，m=14,m+1=15,

設(shè)第15天提價(jià)t元，則第15天的利潤(rùn)為：w=y(8+t-a)=(10%+100)[8+t-(O,lx+4,2)]=575+

250t,

由題意得：575+2501—5762124,

解得：t>0.5,

答：第15天每件產(chǎn)品至少應(yīng)提價(jià)0.5元.

?學(xué)霸必刷

1.(23-24九年級(jí)上.天津河?xùn)|?期中)某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，

為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每

降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件.有下列結(jié)論：①降價(jià)8元時(shí)，數(shù)量為36件.②若商場(chǎng)平均每天要

盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)10元.③商場(chǎng)平均每天盈利最多為1250元.正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件列出算式計(jì)算即可判斷①；設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，

則每天多銷售2支件，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可判斷②；設(shè)商場(chǎng)每天的盈利為w元，根據(jù)題意

得出w=-2(x-15)2+1250,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

【解題過程】

解：???每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件，

.??降價(jià)8元時(shí)，每天售出的件數(shù)為：20+2x8=36(件)，故①正確，符合題意；

設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)萬元，則每天多銷售2x件，

由題意得：(40-x)(20+2x)=1200,

整理得：x2-30x+200=0,

解得：Xt=10,x2=20,

???盡快減少庫存，

???x—20,

??.若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元，故②錯(cuò)誤，不符合題意；

設(shè)商場(chǎng)每天的盈利為w元，

由題意得：w=(40-%)(20+2x)=-2x2+60%+800=-2(x-15)2+1250,

va=-2<0,

.??當(dāng)?shù)?15時(shí)，w最大為1250元，故③正確，符合題意；

綜上所述，正確的有①③，共2個(gè)，

故選：C.

2.（2024?天津紅橋?三模）某服裝店試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間每件服裝的銷售單價(jià)

不低于成本，且獲得的利潤(rùn)不得高于成本的45%.經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）符合一

次函數(shù)關(guān)系y=-x+120.有下列結(jié)論：

①銷售單價(jià)可以是90元；

②該服裝店銷售這種服裝可獲得的最大利潤(rùn)為891元；

③銷售單價(jià)有兩個(gè)不同的值滿足該服裝店銷售這種服裝獲得的利潤(rùn)為500元，

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【思路點(diǎn)撥】

本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)已知條件列出總利潤(rùn)與銷售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及

其無的取值范圍求出利潤(rùn)的最大值.利用函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

【解題過程】

f%>60

解：由題意可知，上史v45%，解得：60WxW87,

I60

銷售單價(jià)不可能是90元，故①不正確；

利潤(rùn)W與銷售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式：W={x-60）（—x+120）

=—x2+180%—7200,

=-0-90）2+900,

,?,拋物線的開口向下，

.?.當(dāng)X<90時(shí)，勿隨x的增大而增大，

而60<x<87,

.?.當(dāng)x=87時(shí)，W=-（87-90）2+900=891（元）.

.??當(dāng)銷售單價(jià)定為87元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是891元，故②正確；

當(dāng)W=500時(shí),（x-60）（-%+120）=500,

解得：%!=70,x2=110（不符合題意，舍去），

則只有1個(gè)銷售單價(jià)為70元時(shí)，滿足該服裝店銷售這種服裝獲得的利潤(rùn)為500元，故③不正確；

綜上，正確的結(jié)論只有1個(gè)，

故選：B.

3.（23-24九年級(jí)上.江蘇蘇州?期中）某商場(chǎng)打出促銷廣告：某款球鞋20雙，每雙售價(jià)240元，若一次性

購(gòu)買不超過10雙時(shí)，售價(jià)不變，若一次性購(gòu)買超過10雙時(shí)，每多買1雙，則購(gòu)買的所有球鞋的售價(jià)均降

低10元.已知該球鞋進(jìn)價(jià)是每雙120元，若要使該商店從中獲利最多,則顧客需一次性購(gòu)買雙.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)解答.根

據(jù)題意，寫出y與久的函數(shù)關(guān)系式，分別根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)得到兩種情況下獲得的最大利潤(rùn)，

然后比較大小即可.

【解題過程】

解：由題意可得，

當(dāng)0WxW10時(shí)，y=(240-120)x=120x,

當(dāng)0<xW20時(shí),y=[240-120-10(x-10)]x=-10x2+220%,

由上可得，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y={1/魯片:品叱一

(—10M+220x(10<x<20)

???當(dāng)OWxWlO時(shí)，y=120%,120>0,

隨x的增大而增大，

.?.當(dāng)x=10時(shí),y取得最大值1200,

?.?當(dāng)10<xW20時(shí)，y=-10%2+220%=-10(%-ll)2+1210,

V-10<0,

拋物線開口向下，

:.當(dāng)x=11時(shí)，y取得最大值1210,

V1200<1210,

.??當(dāng)％=11時(shí)，該鞋店獲利最多，

答：當(dāng)顧客一次性購(gòu)買11雙時(shí)，該網(wǎng)店從中獲利最多.

故答案為：11.

4.(22-23九年級(jí)下?浙江湖州?階段練習(xí))在1?7月份，某地的蔬菜批發(fā)市場(chǎng)指導(dǎo)菜農(nóng)生產(chǎn)和銷售某種蔬菜,

并向他們提供了這種蔬菜每千克售價(jià)與每千克成本的信息如圖所示，則出售該種蔬菜每千克利潤(rùn)最大的月

份可能是月.

2/元

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，要注意需先根據(jù)圖中得出兩個(gè)函數(shù)解析式，然后再表示出收

益與月份的函數(shù)式，再求解.先根據(jù)圖中的信息用待定系數(shù)法表示出每千克售價(jià)的一次函數(shù)以及每千克成

本的二次函數(shù)，然后每千克收益=每千克售價(jià)-每千克成本，得出關(guān)于收益和月份的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)

的性質(zhì)得出收益的最值以及相應(yīng)的月份.

【解題過程】

解：設(shè)％月份出售時(shí)，每千克售價(jià)為yi元，每千克成本為丫2元，

根據(jù)圖像，設(shè)yi=kr+b,

+b=5

+b=3

??y1——2,％.+n7，

根據(jù)圖像，設(shè)丫2=—6)2+1,

/.4=a(3-6)2+1,

i

???a=-,

3

2

y2=|(%-6)+1,

???y=丫1一丫2，

???y=一|%+7-(%-6)2+1],

10

???y=1——2xzI4——x—<6,

,33

???y=5)2+|,

故當(dāng)x=5時(shí)，y有最大值，

故答案為：5

5.(2024?四川南充?一模)電商小李在抖音平臺(tái)上對(duì)一款成本單價(jià)為10元的商品進(jìn)行直播銷售，規(guī)定銷售

單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于成本價(jià)的3倍.通過前幾天的銷售發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售定價(jià)為15元時(shí)，每天可售出

700件，銷售單價(jià)每上漲10元，每天銷售量就減少200件，設(shè)此商品銷售單價(jià)為x(元)，每天的銷售量

為y(件).

(1)求y關(guān)于尤之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

(2)若銷售該商品每天的利潤(rùn)為7500元，求該商品的銷售單價(jià)；

(3)小李熱心公益事業(yè)，決定每銷售一件該商品就捐款機(jī)元(m>0)給希望工程，當(dāng)每天銷售最大利潤(rùn)

為6000元時(shí)，求相的值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)設(shè)銷售單價(jià)為x元，則每件漲價(jià)(X-15)元，則銷量減少*X200件，由此可得y與尤之間的關(guān)系式

為y=700—Hx200,整理即可.

(2)根據(jù)總利潤(rùn)=每件利潤(rùn)X銷售量，可得方程(％-10)(-20乂+1000)=7500,求出方程的解，再根據(jù)題

意選擇合適的x的值即可.

(3)根據(jù)總利潤(rùn)=(售價(jià)一進(jìn)價(jià)-m)X銷售量，得w=(萬一10-巾)(-20x+1000),求出其對(duì)稱軸，再根

據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及增減性可得當(dāng)x=30時(shí)，w最大=6000,由此得一20(30-50)(30-10-m)=6000,

求出機(jī)的值即可.

【解題過程】

(1)由題意得：y—700-------x200,

/10

整理得：y=-20%+1000.

???銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于成本價(jià)的3倍，

A10<%<30.

(2)由題意，得：(x-10)(-20%+1000)=7500,

解之得：%[=25,?=35,

V10<x<30,

=25.

答：該商品的銷售單價(jià)為25元.

(3)設(shè)銷售該商品每天的總利潤(rùn)為w元，據(jù)題意可得：

iv=(x—10—m)(—20x+1000)=-20x2+(1200+20m)x—10000—100m,

其對(duì)稱軸為直線為：%=30+y>30.

WxW30在對(duì)稱軸左側(cè)，且拋物線開口向下，

隨x的增大而增大.

當(dāng)x=30時(shí)，w最大=6000.

-20(30-50)(30-10-m)=6000,

解得m=5.

答：機(jī)的值為5.

6.(2024?山東青島?模擬預(yù)測(cè))年初，草莓進(jìn)入采摘旺季，某公司經(jīng)營(yíng)銷售草莓的業(yè)務(wù)，以3萬元/噸的價(jià)格

向農(nóng)戶收購(gòu)后，分揀成甲、乙兩類，甲類草莓包裝后直接銷售，乙類草莓深加工后再銷售.甲類草莓的包

裝成本為1萬元/噸，當(dāng)甲類草莓的銷售量x<8噸時(shí)，它的平均銷售價(jià)格y=-%+14,當(dāng)甲類草莓的銷售量

x>8噸時(shí)，它的平均銷售價(jià)格為6萬元/噸.乙類草莓深加工總費(fèi)用s(單位：萬元)與加工數(shù)量t(單位：

噸)之間的函數(shù)關(guān)系為s=12+3如平均銷售價(jià)格為9萬元/噸.

(1)某次該公司收購(gòu)了20噸的草莓，其中甲類草莓有x噸，經(jīng)營(yíng)這批草莓所獲得的總利潤(rùn)為w萬元；

①求w與％之間的函數(shù)關(guān)系式；

②若該公司獲得了30萬元的總利潤(rùn)，求用于銷售甲類的草莓有多少噸？

(2)在某次收購(gòu)中，該公司準(zhǔn)備投入100萬元資金，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種經(jīng)營(yíng)方案，使該公司獲得最大的總利潤(rùn),

并求出最大的總利潤(rùn).

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了是二次函數(shù)、一次函數(shù)的綜合應(yīng)用題，難度較大，解題關(guān)鍵是理清售價(jià)、成本、利潤(rùn)三者之間

的關(guān)系，涉及到分段函數(shù)時(shí)，注意要分類討論.

(1)①當(dāng)0<%<8時(shí)及當(dāng)x>8時(shí)，分別求出w關(guān)于％的表達(dá)式.注意w=銷售總收入—經(jīng)營(yíng)總成本=w甲+

w乙-3X20；②若該公司獲得了30萬元毛利潤(rùn)，將30萬元代入①中求得的表達(dá)式，求出甲類草梅的數(shù)量；

(2)本問是方案設(shè)計(jì)問題，總投入為100萬元，這筆100萬元包括購(gòu)買草莓的費(fèi)用+甲類草莓加工成本+乙

類草莓加工成本.其中設(shè)甲類草莓為x噸，乙類草莓為y噸，即總投入為2x+3y=44,再分別求出當(dāng)0<x<8

時(shí)及當(dāng)x>8時(shí)w關(guān)于x的表達(dá)式，并分別求出其最大值.

【解題過程】

(1)解：①設(shè)銷售甲類草莓萬噸，則銷售乙類草莓(20-x)噸.

當(dāng)0<x<8時(shí)，iv甲=x(—%+14)-x=-x2+13%,

w乙=9(20-x)-[12+3(20-%)]=108-6%,

.".W=w甲+w乙-3x20=(-%2+13%)+(108—6%)—60=—%2+7久+48；

當(dāng)x>8時(shí)，w甲—6x—x—5x,

w乙=9(20-x)-[12+3(20-x)]=108-6%,

w=w甲+w4-3x20=5x+(108—6x)—60=—x+48.

—X2+7%+48(0<%<8)

...W關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式為:

—X+48(x>8)

②當(dāng)0Wx<8時(shí)，-/+7尤+48=30,解得勺=9,x2=-2,均不合題意;

當(dāng)x28時(shí)，-x+48=30,解得x=18.

...當(dāng)該公司獲得了30萬元的總利潤(rùn)時(shí)，直接銷售的甲類草莓有18噸.

（2）解：設(shè)投入資金后甲類分到收購(gòu)的草莓為x噸，乙類為、噸，總投入為30+丫）+“+12+3了=100,

即：2x+3y=44,

當(dāng)0W%<8時(shí)總利潤(rùn)為w=(-X+14)x+9x-100=-x2+8x+32=-(x-4)2+48,

當(dāng)x=4時(shí)，取到最大值48；

當(dāng)x28時(shí)，總利潤(rùn)w=6久+9x七絲-100=32為常數(shù)，

故方案為收購(gòu)16噸，甲類分配4噸，乙類分配12噸，總收益為48萬元.

7.（2024?湖北黃石.二模）為助推鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展，解決茶農(nóng)賣茶難問題，某地政府在新茶上市30天內(nèi)，幫

助“幸福村，，茶農(nóng)合作社集中銷售茶葉，設(shè)第萬天（x為整數(shù)）的售價(jià)為y（元/斤），日銷售額為w（元）.據(jù)

銷售記錄知：

①第1天銷量為42斤，以后每天比前一天多賣2斤；

②前10天的價(jià)格一直為500元/斤，后20天價(jià)格每天比前一天跌10元，

（1）當(dāng)11WXW30時(shí)，寫出y與x的關(guān)系式；

（2）當(dāng)方為何值時(shí)日銷售額w最大，最大為多少？

（3）若日銷售額不低于31680元時(shí)可以獲得較大利潤(rùn)，當(dāng)天合作社將向希望小學(xué)捐款m元，用于捐資助學(xué),

若“幸福村”茶農(nóng)合作社計(jì)劃幫助希望小學(xué)購(gòu)買10800元的圖書，求小的最小整數(shù)值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)前10天的價(jià)格一直為500元/斤，后20天價(jià)格每天比前一天跌10元，可求出當(dāng)11時(shí)，y與

x的關(guān)系；

(2)根據(jù)日銷售額=售價(jià)x日銷售量，分類討論在久的取值范圍內(nèi)w的最大值即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)日銷售額=售價(jià)x日銷售量，分類討論在x的取值范圍內(nèi)w的最大值，再和31680作比較，從而確

定能獲得較大利潤(rùn)的天數(shù)，即可求解.

【解題過程】

(1)解：???前10天的價(jià)格一直為500元/斤，后20天價(jià)格每天比前一天跌10元，

Z.當(dāng)11<%<30時(shí)，y=500-10(%-10)=-10%+600,

.,.當(dāng)11W%W30時(shí)，寫出y與比的關(guān)系式為：y=-10x+600(ll<%<30)；

(2)由題意得，銷售量為：42+2(久—1)=2久+40,

當(dāng)1WxW10時(shí)，

w=500(2%+40)=1000%+20000,

V1000>0,

當(dāng)光=10時(shí)，w取最大值為：1000x10+20000=30000,

當(dāng)10cx<30時(shí)，

w=y(2x+40)=(-10%+600)(2%+40)=-20(久-20)2+32000,

V-20<0,

當(dāng)光=20時(shí)，w取最大值為32000,

綜上所述，當(dāng)x=20時(shí)，w取最大值為32000,

答:當(dāng)x為第20天時(shí)日銷售額w最大，最大為32000元；

(3)當(dāng)1WxW10時(shí)，

w=500(2久+40)=1000%+20000,

當(dāng)x=10時(shí)，w取最大值為：1000X10+20000=30000,

V31680>30000,

：.l<x<10時(shí)不可能獲得較大利潤(rùn).

當(dāng)10<%<30時(shí)，w=(-10%+600)(2%+40)=-20(%-20)2+32000,

當(dāng)x=20時(shí)，w取最大值為32000,得：31680<32000,

當(dāng)一20(工-20)2+32000=31680時(shí),

解得：x=16或x=24,

.?.當(dāng)w231680時(shí)，16WXW24,

；?獲得較大利潤(rùn)天數(shù)為9天，

9m>10800,

解得：m>1200,

為整數(shù)，

，小的最小值為1200元.

8.（2023?安徽宿州?模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對(duì)外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段

對(duì)話：

甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費(fèi)3000元，那么50輛汽車可以全部租出，如果每輛汽車的月租

費(fèi)每增加50元，那么將少租出1輛汽車，另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護(hù)費(fèi)200元.

乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費(fèi)3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護(hù)費(fèi)共計(jì)

1850元.

說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤(rùn)=月租車費(fèi)-月維護(hù)費(fèi)；

在兩公司租出的汽車數(shù)量相等且都為久（單位：輛，0（久W50）的條件下，甲的利潤(rùn)用力表示（單位：元），

乙的利潤(rùn)用力（單位：元）表示，根據(jù)上述信息，解決下列問題：

（1）分別表示出甲、乙的利潤(rùn)，什么情況下甲、乙的利潤(rùn)相同？

（2）甲公司最多比乙公司利潤(rùn)多多少元？

（3）甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出a元（a>0）給慈善機(jī)構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利

潤(rùn)仍高于乙公司月利潤(rùn)，且僅當(dāng)兩公司租出的汽車均為16輛時(shí)，甲公司剩余的月利潤(rùn)與乙公司月利潤(rùn)之差

最大，求a的取值范圍.

【思路點(diǎn)撥】

（1）設(shè)每個(gè)公司租出的汽車為x輛，根據(jù)月利潤(rùn)相等得到方程，解之即可得到結(jié)果；

（2）設(shè)兩公司的月利潤(rùn)分別為y甲，y乙，月利潤(rùn)差為y,由（1）可得y甲和y乙的表達(dá)式，再列出y關(guān)于x的

表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合工的范圍求出最值即可；

（3）根據(jù)題意得到利潤(rùn)差為y=-50/+（i800-a）x+1850,得到對(duì)稱軸，再根據(jù)兩公司租出的汽車均

為16輛，結(jié)合x為整數(shù)可得關(guān)于a的不等式，即可求出a的范圍.

【解題過程】

(1)解：設(shè)每個(gè)公司租出的汽車為X輛,

由題意可得：y甲=[50x(50-%)+3000]%-200x=-50x2+5300%,

而y乙=3500%—1850,

兩公司的月利潤(rùn)相等可得：-50%2+5300%=3500x-1850,

解得：乂=37或*=一1(舍)，

...當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為37輛時(shí)，兩公司的月利潤(rùn)相等；

(2)解：設(shè)兩公司的月利潤(rùn)分別為y甲，y乙，月利潤(rùn)差為y,

則y甲=[(50-x)x50+3000]%-200%,

y乙=3500x—1850,

當(dāng)甲公司的利潤(rùn)大于乙公司時(shí)，0<%<37,

y=y甲-y乙

=[(50-%)x50+3000]x-200x-(3500x-1850)

=-50%2+1800x4-1850

=—500—18)2+18050,

當(dāng)久=18時(shí)，函數(shù)有最大值18050,

二甲公司最多比乙公司利潤(rùn)多18050元；

(3)解：..?捐款后甲公司剩余的月利潤(rùn)仍高于乙公司月利潤(rùn)，

則利潤(rùn)差為y=-50%2+1800%+1850-ax=-50x2+(1800-d)x+1850,

對(duì)稱軸為直線x=嘿改，

「久只能取整數(shù)，且當(dāng)兩公司租出的汽車均為16輛時(shí)，月利潤(rùn)之差最大，

解得：150<a<250.

9.(23-24九年級(jí)上.湖北黃岡?期中)某超市擬端午節(jié)前50天銷售某品牌食品，該食品進(jìn)價(jià)為18元/千克，

設(shè)第x天的銷售價(jià)格y元/千克，銷售量為m千克.銷售價(jià)格y(元/千克)當(dāng)31WXW50時(shí)，y與x滿足一次

函數(shù)關(guān)系：

銷售價(jià)格y(元/千克)403733

第x天14久W303644

第工天銷售量爪5x+50

(1)求31WXW50時(shí)，y與％的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求工為多少時(shí)，當(dāng)天銷售利潤(rùn)最大？

(3)若超市希望31天至35天日銷售利潤(rùn)W隨x的增大而增大，則在當(dāng)天的銷售價(jià)格上漲a元/千克，求

整數(shù)a的最小值.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用.

(1)依據(jù)題意利用待定系數(shù)法，易得出當(dāng)31WXW50時(shí)，y與x的關(guān)系式為：y=-1x+55.

(2)根據(jù)銷售利潤(rùn)=銷售量x(售價(jià)-進(jìn)價(jià))，列出每天的銷售利潤(rùn)w(元)與銷售價(jià)x(元/千克)之間的

函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的增減性求得最大利潤(rùn).

(3)要使第31天到第35天的日銷售利潤(rùn)卬(元)隨x的增大而增大，則對(duì)稱軸=-￡>34.5即可.

最大銷售利潤(rùn)的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)

合實(shí)際選擇最優(yōu)方案.其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值(或最小值).

【解題過程】

(1)解：依題意，當(dāng)％=36時(shí)，y=37；%=44時(shí)，y=33,

當(dāng)31<x<50時(shí)，設(shè)y=kx+b,

則有[37=36k+b

人」閂[33=44k+b

解得卜=一1

kb=55

??.y與光的關(guān)系式為：y=—：%+55.

(2)解：依題意，

w=(y-18)-m,

((40-18)x(5x+50),(l<x<30)

：.W=\1,

[(-jx+55-18)x(5x+50),(31<x<50)

(110%+1100,(1<x<30)

整理得，W=]52IIlornrQi/匚m，

{--x+160%+1850,(31<x<50)

當(dāng)1W%W30時(shí)，

v/隨％增大而增大，

???%=30時(shí)，取最大值W=30X110+1100=4400,

當(dāng)31<x<50時(shí)，

IV=jx2+160%+1850=-1(%-32)2+4410,

--<0,

2

x=32時(shí)，”取得最大值，此時(shí)勿=4410,

綜上所述，x為32時(shí)，當(dāng)天的銷售利潤(rùn)勿(元)最大，最大利潤(rùn)為4410元.

(3)解：依題意，得，

5

W=(y+a—18)-m=—~xn2+(1604-5a)x+1850+50a,

???第31天到第35天的日銷售利潤(rùn)加(元)隨匯的增大而增大，

???對(duì)稱軸工=--=一0器〉34.5,