中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：實(shí)數(shù)（原卷版）

清單12實(shí)數(shù)

（2個(gè)考點(diǎn)梳理+11種題型解讀+提升訓(xùn)練）

【知識(shí)導(dǎo)圖】

概念：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù).

而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)小數(shù).

無有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別:

理有理數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)，無瞰?不能化成分?jǐn)?shù).

【考試題型1】判斷無理數(shù)

數(shù)一般的無限不循環(huán)小數(shù)，如：1.41421234【考試題型2】估算無理數(shù)

【考試題型3】無理數(shù)整數(shù)部分或小數(shù)部分有關(guān)的計(jì)算

看似循環(huán)而實(shí)際不循環(huán)的小數(shù)，如

常見的無理數(shù)類型0.2020020002…（相鄰兩個(gè)2之間0的個(gè)數(shù)逐次加1）.

有特定意義的數(shù)，如：n

實(shí)開方開不盡的數(shù).如：V3

數(shù)

概念：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

按屬性分類【考試題型4】實(shí)數(shù)的分類

分類【考試題型5】比較實(shí)數(shù)的大小

按符號(hào)分類

【考試題型6】與實(shí)數(shù)有關(guān)的計(jì)算

實(shí)數(shù)大小比較的方法（常用）：1）平方法2）根號(hào)法3）求差法【考試題型7】與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的新定義問題

【考試題型8】程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算

實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系一對應(yīng)

【考試題型9】與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律探究題

先算乘方，再算乘除，最后算加減【考試題型10】實(shí)數(shù)與數(shù)軸

運(yùn)算順序有括號(hào)先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的;先算小括【考試題型11】實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

號(hào)，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào).

【知識(shí)清單】

考點(diǎn)一無理數(shù)

無理數(shù)的概念：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

【擴(kuò)展】有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別：

1）概念不同：任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù).而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)小數(shù).

2）表示形式：有理數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)，無理數(shù)不能化成分?jǐn)?shù).

常見的無理數(shù)類型：

1）一般的無限不循環(huán)小數(shù)，如：1.41421234“???

2）看似循環(huán)而實(shí)際不循環(huán)的小數(shù)，如0.2020020002???（相鄰兩個(gè)2之間0的個(gè)數(shù)逐次加1）.

3）有特定意義的數(shù)，如：Ji

4）開方開不盡的數(shù).如：V3,V5.

【考試題型1］判斷無理數(shù)

1.（2023上?吉林長春?八年級(jí)統(tǒng)考期末）在下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（）

A.0B.7C.V2D.-6

4

nn-rr

2.（2023上?湖南張家界?八年級(jí)統(tǒng)考期末）在實(shí)數(shù)一亍，W，0,V27,與，3.1415,0.2121121112...

中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

3.（2023上?吉林長春?八年級(jí)統(tǒng)考期末）在實(shí)數(shù)5、3.1415、it、V196,遍、2.123122312223……（1和

3之間的2逐次加1個(gè)）中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【考試題型2】估算無理數(shù)

1.（2023下?江蘇淮安?八年級(jí)統(tǒng)考期末）用的值介于下列哪兩個(gè)整數(shù)之間（）

A.30,35B.35,40C.40,45D.45,50

2.（2023下?河南開封?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)軸上表示遮一1的點(diǎn)應(yīng)在（）

ABCDE_

-2-101~

A.線段4B上B.線段BC上C.線段CD上D.線段DE上

3.（2023下?重慶梁平?八年級(jí)統(tǒng)考期末）估計(jì)3+V1U的值應(yīng)在（)

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

4.（2023下?山東煙臺(tái)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）整數(shù)a,滿足V^<a<V12，則。=

5.（2023下?江蘇泰州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）若爪<2V3<m+1,且加為整數(shù)，則加的值為

【考試題型3】無理數(shù)整數(shù)部分或小數(shù)部分有關(guān)的計(jì)算

1.（2023下?河北保定?八年級(jí)統(tǒng)考期末）m,n分別是6—遮的整數(shù)部分和小數(shù)部分，貝歸小一層的值為

)

A.3B.3-V5C.5D.6V5-5

2.（2023下?山東荷澤?八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，然后回答問題.

2

在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上后;這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡:

V3+1

2=2x（--l）=2X?1）=

V3+1-（V3+l）x（V3-l）-（V3）32-I2—'，一,

以上這種化簡的步驟叫作分母有理化.

2

（D化簡南行.

1

(2)已知丁F的整數(shù)部分為Q,小數(shù)部分為b,求次+按的值.

、/2—V3

3.(2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè))材料1：2.5的整數(shù)部分是2,小數(shù)部分是0.5,小數(shù)部分可以看成是

2.5—2得來的，類比來看，尤是無理數(shù)，而1<e<2,所以企的整數(shù)部分是1,于是可用四一1來表示

魚的小數(shù)部分.

材料2：若10—|V^=a+bVL則有理數(shù)部分相等，無理數(shù)部分也相等，即a,b要滿足a=10,b=-|.

根據(jù)以上材料，完成下列問題:

(1)后的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是；

(2)3+6也是夾在相鄰兩個(gè)整數(shù)之間的，可以表示為a<3+K<6,求a+b的算術(shù)平方根.

4.(2023上?山東棗莊?八年級(jí)統(tǒng)考期末)已知。的平方根是±5,b的立方根是一2,c是的整數(shù)部分;

(1)直接寫出a、b、c的值；

(2)若x是#泛的小數(shù)部分，求x(W2+3)的算術(shù)平方根.

考點(diǎn)二實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)的概念：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

實(shí)數(shù)的分類：

1.按屬性分類:2.按符號(hào)分類

亞整數(shù)J正整數(shù)

俾數(shù)Jo有理鼠正分?jǐn)?shù)

聲理負(fù)整數(shù)

MIiEi無理數(shù)

或數(shù)1分?jǐn)?shù)［正分?jǐn)?shù)

1負(fù)分敷實(shí)效?06整數(shù)

院理數(shù)j■正無理數(shù)供有理數(shù)｛負(fù)分?jǐn)?shù)

1?負(fù)無理數(shù)I負(fù)實(shí)數(shù)｛負(fù)無理數(shù)

實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系(重點(diǎn))：實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一

個(gè)點(diǎn)表示.數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都可以表示一個(gè)實(shí)數(shù).

實(shí)數(shù)大小比較的方法(常用)：1)平方法2)根號(hào)法3)求差法

運(yùn)算順序：①先算乘方，再算乘除，最后算加減；

②有括號(hào)先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的；先算小括號(hào)，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào).

【考試題型4】實(shí)數(shù)的分類

1.(2022上?河北石家莊?八年級(jí)統(tǒng)考期末)把下列各數(shù)寫入相應(yīng)的集合內(nèi)：—|j,3+Vl可—而|,9.i晚

,0.22,V-125,273.

(1)有理數(shù)集合：｛…｝

(2)正實(shí)數(shù)集合：｛…｝

（3）無理數(shù)集合：｛…｝

（4）負(fù)實(shí)數(shù)集合：｛...｝

2.（2023上?廣東佛山?八年級(jí)?？计谥校⑾铝懈鲾?shù)的序號(hào)填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)：

①一25；②夸；③0；（4）p⑤-8；@10%；（8）-1.12121112...；⑨2；⑩一0.345.

負(fù)分?jǐn)?shù)集合：｛____________________

整數(shù)集合：［...）;

正有理數(shù)集合：｛____________________

無理數(shù)集合：｛___________________

3.（2023上?河南南陽?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合內(nèi)：y,V7,—8,次，0.5,

【考試題型5】比較實(shí)數(shù)的大小

1.（2023下?貴州黔南?八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列實(shí)數(shù)中，比而大的數(shù)是（）

A.1B.V3C.2D.V6

2.（2023下?江蘇蘇州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）秦兵馬俑的發(fā)現(xiàn)被譽(yù)為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴

的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比為有匕下列各數(shù)中最接近于亨的是（）

A.|B.|C.|D.|

5N54

3.（2021上?山東荷澤?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若a=g,b=\-6\,c=V65,則下列關(guān)系正確的是

（）.

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.b>c>a

4.（2022上?江西南昌?八年級(jí)南昌市第三中學(xué)?？计谀?shí)數(shù)一四，-1,0,3中，最小的數(shù)是.

5.（2023上?河南周口?八年級(jí)?？计谀┍容^大?。?.1危.（填“>”“〈”或“=”）

【考試題型6］與實(shí)數(shù)有關(guān)的計(jì)算

1.（2023上?吉林長春?八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：|1-V3|+V27.

2.（2021下?湖北武漢?七年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：

（1）|V2-V3|+2V2；

⑵-OJI一口.

3.（2022下?廣東廣州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：V25++|V2-V3|+V2.

4.（2022下?湖南長沙?七年級(jí)長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┯?jì)算：（―1產(chǎn)22+低—3xJ1+

11—V31.

5.（2023上?四川成都?八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：

（l）V3-27+|2-V3|-V9+（|）2

【考試題型7］與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的新定義問題

1.（2021上?北京?七年級(jí)校考期中）現(xiàn)規(guī)定一種新運(yùn)算：0*6=^，如：16*2=71石=4,則25*2-125*3

2.（2022上?陜西咸陽?八年級(jí)統(tǒng)考期中）現(xiàn)定義一個(gè)新運(yùn)算“※汽規(guī)定對于任意實(shí)數(shù)x,乃都有=

4%+y+\!xy+1,貝!J7X9的值為.

3.（2023上?四川達(dá)州?八年級(jí)四川省渠縣中學(xué)校考期末）對于任意實(shí)數(shù)服b,規(guī)定兩種運(yùn)算：表示十

+。2的算術(shù)平方根，表示（a+1）x（6—1）的立方根，按照上述規(guī)則計(jì)算（5X12）+1☆（—8）］的結(jié)果

為—,

4.（2023上?四川宜賓?八年級(jí)統(tǒng)考期末）對于“新運(yùn)算”。與#有：a0b=（a+b）（a—b）,a#b=

（a+6）2,貝!|4#（一2。3）=.

5.（2023上?浙江湖州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：對于任意實(shí)數(shù)a,b,關(guān)于☆的一種運(yùn)算如下

a^b=b-2a,例如5V-10=-?如（-3）加=5-（-6）=11.

（1）若2^X<5,求無的取值范圍；

（2）已知關(guān)于x的方程2（2%—1）=%+7的解滿足根☆久<5,求加的取值范圍.

6.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考二模）定義：不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱為％的整數(shù)部分，記作［%］,例如［3.6］

=3,［-V3］=-2,按此規(guī)定，若［書］=—1,則x的取值范圍為（）

1135

A.-<%<1B.-<%<1C.D.1<%<-

7.（2023上?甘肅酒泉?八年級(jí)統(tǒng)考期末）若。※力=|血—加一（迎+力），貝心※？的值為（）

A.4B.2V3C.-4D.-2V3

【考試題型8】程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算

1.有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下，當(dāng)輸入的x為81時(shí)，輸出的y是（）

是有理數(shù)

A.V3B.9C.3D.2V3

2.有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當(dāng)輸入x為64時(shí)，輸出y的值是（)

I輸入工匕「I取立方根禺理數(shù)輸出？|

是有理數(shù)

A.4B.V4C.V3D.V2

3.（2020上?浙江溫州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，流程如下:

當(dāng)輸入X的值為64時(shí)，輸出y的值是（）

A.2B.2V2C.V2D.V2

【考試題型9】與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律探究題

1.（2022下?湖北武漢?八年級(jí)武漢一初慧泉中學(xué)校考階段練習(xí)）若的=1+*1+1全，=1+51+專1，?3

=1+3+萬，。4=1+至+瓦???，則+口？++…+與。2022的值為（）

第20222022

A.20211B-2023礪C2022—D.2022—

2.（2022上?江蘇淮安?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：1=13；3+5=23；7+9+11=323；413+15+17+

19=43；…請你仔細(xì)觀察上述式子特點(diǎn)，寫出381+383+385+…+419=.

3.（2022下?山東濱州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察下列各式：

Jl+*+3=l+擊,]1+?專=1+小小+專++=1+擊，……

請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算+Jl+++t+小+?++……+其結(jié)

果為.

4.（2021上?湖南張家界?八年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察下列等式：

①3-2魚=（V2-1）2,

②5—2通=（V3—V2）2,

@7-2V12=（V4-V3）2,

請你根據(jù)以上規(guī)律，寫出第5個(gè)等式—.

【考試題型10］實(shí)數(shù)與數(shù)軸

1.（2022?廣東深圳?深圳中學(xué)校考一模）如圖，已知正方形的面積為5,點(diǎn)N在數(shù)軸上，且表示的

數(shù)為1.現(xiàn)以點(diǎn)/為圓心，以的長為半徑畫圓，所得圓和數(shù)軸交于點(diǎn)E（E在/的右側(cè)），則點(diǎn)E表示

的數(shù)為（）

2.（2021上?廣東深圳?八年級(jí)統(tǒng)考期末）實(shí)數(shù)°、6在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，貝力仃-6|+|a+V^+/

的值—.

ab

—------------------1——?

'V30V3

3.（2022上?重慶?八年級(jí)重慶南開中學(xué)校考期末）實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡：

J（a_6）2_y（b_l）3=.

-1-------J:-1------->

a0b

4.（2021?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)4是數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)a的點(diǎn).

-101

（1）用直尺和圓規(guī)在數(shù)軸上作出表示實(shí)數(shù)的魚的點(diǎn)P;（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）利用數(shù)軸比較血和a的大小，并說明理由.

5.（2021上?江蘇連云港?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一只螞蟻從點(diǎn)4沿?cái)?shù)軸向右爬了2個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)B,

點(diǎn)4表示一VL設(shè)點(diǎn)B所表示的數(shù)為小.

-----A?-!,-----,-B---,----,1---,--->

-2-10123

（1）求—1]的值；

（2）在數(shù)軸上還有C、。兩點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)c和d,且有|2c+d|與歷7互為相反數(shù)，求2c—3d的平方

根.

【考試題型111實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

1.（2022下?江西上饒?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將長方形分成四個(gè)區(qū)域，其中H8兩正方形區(qū)域的面積

（1）48兩正方形的邊長各是多少？

（2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留兩位小數(shù).參考數(shù)據(jù)：1,414,舊?1.732）.

2.如圖1,有5個(gè)邊長為1的小正方形組成的紙片，可以把它剪拼成一個(gè)正方形.

（1）拼成的正方形的面積是一，邊長是」

（2）仿照上面的做法，你能把下面這十個(gè)小正方形組成的圖形紙，剪開并拼成一個(gè)大正方形嗎？若能,

在圖2中畫出拼接后的正方形，并求邊長；若不能，請說明理由.

圖1圖2

3.定義：若a+6=2,則稱。與6是關(guān)于1的平衡數(shù).

（1）①3與一是關(guān)于1的平衡數(shù)；②4-x與一是關(guān)于1的平衡數(shù)（用含x的代數(shù)式表示）.

（2）若a=2x?-3（N+x）-4,b=2x-[3x-（4x+x2）-2],判斷a與6是否是關(guān)于1的平衡數(shù)，并說明

理由.

4（2022下?北京?七年級(jí)北京八十中?？计谥校罢f不完的魚”探究活動(dòng)，根據(jù)各探究小組的匯報(bào)，完成下

列問題.

（1）直到底有多大？

下面是小欣探索好的近似值的過程，請補(bǔ)充完整：

我們知道面積是2的正方形邊長是魚，且魚>1.4.設(shè)魚=1.4+久，畫出如下示意圖.

由面積公式，可得/+=2.

因?yàn)楣ぶ岛苄?，所以必更小，略?,得方程,解得x=（保留到0.001）,即魚=.

（2）怎樣畫出聲？請一起參與小敏探索畫企過程.

現(xiàn)有2個(gè)邊長為1的正方形，排列形式如圖（1）,請把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形.要求：畫出分

割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長均為1）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形.

小敏同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的邊長為％（x>0）.依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有人=2,解得

X=把圖（1）如圖所示進(jìn)行分割，請?jiān)趫D（2）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形.

r1丁1

ii1i

ii1i

rin1rnTn

?ii1ii1i

?ii1ii1i

rin1r~\Tn

iii1ii1i

11iii1ii1i

/rinnr~n-~rn

11iiiiiiii

/iiiiiiii

圖⑴圖⑵圖(3)圖(4)

請參考小敏做法，現(xiàn)有5個(gè)邊長為1的正方形，排列形式如圖（3）,請把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方

形.要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（4）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形.說明：直接畫出圖形，

不要求寫分析過程.

【提升練習(xí)】

I.（2022?山東棗莊?統(tǒng)考中考真題）實(shí)數(shù)-2023的絕對值是（）

A.2023B.-2023c-^―D.一盛

2023

2.（2022?重慶?統(tǒng)考中考真題）估計(jì)回一4的值在（）

A.6到7之間B.5到6之間C.4到5之間D.3至U4之間

3.（2022?山東濰坊?中考真題）秦兵馬俑的發(fā)現(xiàn)被譽(yù)為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與

頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比約為亨，下列估算正確的是（）

A.0<-<|B.C.1D.—>1

25522，22

4.（2022?湖南常德?統(tǒng)考中考真題）在V3,-V8,兀，2022這五個(gè)數(shù)中無理數(shù)的個(gè)數(shù)為（