人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊第七章 隨機(jī)變量及其分布章末復(fù)習(xí)提升

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE1章末復(fù)習(xí)提升要點(diǎn)一條件概率的求法條件概率是學(xué)習(xí)相互獨(dú)立事件的前提和基礎(chǔ)，計算條件概率時，必須搞清欲求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率.一般地，計算條件概率常有兩種方法：(1)P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)；(2)P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）).在古典概型下，n(AB)指事件A與事件B同時發(fā)生的樣本點(diǎn)個數(shù)；n(A)是指事件A發(fā)生的樣本點(diǎn)個數(shù).〖例1〗口袋中有2個白球和4個紅球，現(xiàn)從中隨機(jī)地不放回連續(xù)抽取兩次，每次抽取1個，則：(1)第一次取出的是紅球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是紅球的概率是多少？(3)在第一次取出紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率是多少？解設(shè)A＝“第一次取出的是紅球”；B＝“第二次取出的是紅球”.(1)從中隨機(jī)地不放回連續(xù)抽取兩次，每次抽取1個，所有樣本點(diǎn)共6×5個；第一次取出的是紅球，第二次是其余5個球中的任一個，符合條件的有4×5個，所以P(A)＝eq\f(4×5,6×5)＝eq\f(2,3).(2)從中隨機(jī)地不放回連續(xù)抽取兩次，每次抽取1個，所有樣本點(diǎn)共6×5個；第一次和第二次都取出的是紅球，相當(dāng)于取兩個球，都是紅球，符合條件的有4×3個，所以P(AB)＝eq\f(4×3,6×5)＝eq\f(2,5).(3)利用條件概率的計算公式，可得P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq\f(3,5).〖訓(xùn)練1〗擲兩顆均勻的骰子，已知第一顆骰子擲出6點(diǎn)，求“擲出點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”的概率.解設(shè)A＝“擲出點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”；B＝“第一顆擲出6點(diǎn)”.法一P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(\f(3,36),\f(6,36))＝eq\f(1,2).法二“第一顆骰子擲出6點(diǎn)”的情況有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共6種.∴n(B)＝6.“擲出點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”且“第一顆擲出6點(diǎn)”的情況有(6，4)，(6，5)，(6，6)共3種，即n(AB)＝3.∴P(A|B)＝eq\f(n（AB）,n（B）)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).要點(diǎn)二全概率公式全概率公式適用于“整體難算，分開易算”的情況，采取“化整為零，各個擊破”的解題策略.〖例2〗某學(xué)生的手機(jī)掉了，落在宿舍中的概率為60%，在這種情況下找到的概率為98%；落在教室里的概率為25%，在這種情況下找到的概率為50%；落在路上的概率為15%，在這種情況下找到的概率為20%.求：(1)該學(xué)生找到手機(jī)的概率；(2)在找到的條件下，手機(jī)在宿舍中找到的概率.解設(shè)B1＝“手機(jī)落在宿舍”，B2＝“手機(jī)落在教室”，B3＝“手機(jī)落在路上”，A＝“找到手機(jī)”，則Ω＝B1∪B2∪B3，(1)P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝60%×98%＋25%×50%＋15%×20%＝0.743.(2)P(B1|A)＝eq\f(P（B1A）,P（A）)＝eq\f(P（B1）P（A|B1）,P（A）)＝eq\f(60%×98%,0.743)≈0.791.〖訓(xùn)練2〗采購員要購買10個一包的電器元件.他的采購方法是：從一包中隨機(jī)抽查3個，如果這3個元件都是好的，他才買下這一包.假定含有4個次品的包數(shù)占30%，而其余包中各含1個次品.求：(1)采購員拒絕購買的概率；(2)在采購員拒絕購買的條件下，抽中的一包中含有4個次品的概率.解設(shè)B1＝“取到的是含4個次品的包”，B2＝“取到的是含1個次品的包”，A＝“采購員拒絕購買”，P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.7.P(A|B1)＝1－eq\f(Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(5,6)，P(A|B2)＝1－eq\f(Ceq\o\al(3,9),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(3,10).(1)由全概率公式得到P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝eq\f(3,10)×eq\f(5,6)＋eq\f(7,10)×eq\f(3,10)＝eq\f(23,50).(2)P(B1|A)＝eq\f(P（B1）P（A|B1）,P（A）)＝eq\f(\f(3,10)×\f(5,6),\f(23,50))＝eq\f(25,46).要點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差求離散型隨機(jī)變量的均值與方差，常見分布以相應(yīng)公式求解，綜合問題注意以下幾個步驟：角度1兩點(diǎn)分布〖例3〗設(shè)X服從兩點(diǎn)分布，分布列為，其中p∈(0，1)，則()A.E(X)＝p，D(X)＝p3B.E(X)＝p，D(X)＝p2C.E(X)＝q，D(X)＝q2D.E(X)＝1－p，D(X)＝p－p2〖答案〗D〖解析〗X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝q＝1－p，D(X)＝p(1－p)＝p－p2.角度2二項(xiàng)分布〖例4〗已知隨機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則D(2X＋1)等于()A.6 B.4C.3 D.9〖答案〗A〖解析〗∵D(2X＋1)＝4D(X)，D(X)＝6×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,2)，∴D(2X＋1)＝4×eq\f(3,2)＝6.角度3超幾何分布〖例5〗某學(xué)院為了調(diào)查本校學(xué)生2020年4月“健康上網(wǎng)”(健康上網(wǎng)是指每天上網(wǎng)不超過兩個小時)的天數(shù)情況，隨機(jī)抽取了40名本校學(xué)生，統(tǒng)計他們在該月30天內(nèi)健康上網(wǎng)的天數(shù)，并將所得的數(shù)據(jù)分成以下六組：〖0，5〗，(5，10〗，(10，15〗，…，(25，30〗，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這40名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)；(2)現(xiàn)從這40名學(xué)生中任取2名，設(shè)Y為取出的2名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)，求Y的分布列及均值E(Y).解(1)由圖可知健康上網(wǎng)天數(shù)未超過20天的頻率為(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的學(xué)生人數(shù)是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.(2)隨機(jī)變量Y的所有可能取值為0，1，2，且Y服從超幾何分布.所以P(Y＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,30),Ceq\o\al(2,40))＝eq\f(29,52)，P(Y＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,30),Ceq\o\al(2,40))＝eq\f(5,13)，P(Y＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,10),Ceq\o\al(2,40))＝eq\f(3,52).所以Y的分布列為Y012Peq\f(29,52)eq\f(5,13)eq\f(3,52)所以Y的均值E(Y)＝1×eq\f(5,13)＋2×eq\f(3,52)＝eq\f(1,2).角度4綜合應(yīng)用〖例6〗一次同時投擲兩枚相同的正方體骰子(骰子質(zhì)地均勻，且各面分別刻有1，2，2，3，3，3六個數(shù)字).(1)設(shè)隨機(jī)變量X表示一次擲得的點(diǎn)數(shù)和，求X的分布列；(2)若連續(xù)投擲10次，設(shè)隨機(jī)變量Y表示一次擲得的點(diǎn)數(shù)和大于5的次數(shù)，求E(Y)，D(Y).解(1)由已知，隨機(jī)變量X的取值為2，3，4，5，6.設(shè)擲一枚正方體骰子所得點(diǎn)數(shù)為X0，則X0的分布列為：P(X0＝1)＝eq\f(1,6)，P(X0＝2)＝eq\f(1,3)，P(X0＝3)＝eq\f(1,2)，所以P(X＝2)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,36)，P(X＝3)＝2×eq\f(1,6)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，P(X＝4)＝2×eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,18)，P(X＝5)＝2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，P(X＝6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).故X的分布列為X23456Peq\f(1,36)eq\f(1,9)eq\f(5,18)eq\f(1,3)eq\f(1,4)(2)由已知，滿足條件的一次投擲的點(diǎn)數(shù)和取值為6，設(shè)某次發(fā)生的概率為p，由(1)知，p＝eq\f(1,4).因?yàn)殡S機(jī)變量Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,4)))，所以E(Y)＝np＝10×eq\f(1,4)＝eq\f(5,2)，D(Y)＝np(1－p)＝10×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(15,8).〖訓(xùn)練3〗某城市有甲、乙、丙3個旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個景點(diǎn)的概率分別為0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個景點(diǎn)互不影響，設(shè)X表示客人離開該城市時游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對值.(1)求X的分布列；(2)記“函數(shù)f(x)＝x2－3Xx＋1在區(qū)間〖2，＋∞)上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A發(fā)生的概率.解(1)分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”、“客人游覽乙景點(diǎn)”、“客人游覽丙景點(diǎn)”為事件A1，A2，A3.則A1，A2，A3相互獨(dú)立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6.客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2，3.相應(yīng)地，客人沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為3，2，1，0，所以X的可能取值為1，3.P(X＝3)＝P(A1A2A3)＋P(eq\a\vs4\al(\o(A,\s\up6(－))1)eq\a\vs4\al(\o(A,\s\up6(－))2)eq\a\vs4\al(\o(A,\s\up6(－))3))＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(eq\a\vs4\al(\o(A,\s\up6(－))1))P(eq\o(A,\s\up6(－))2)P(eq\o(A,\s\up6(－))3)＝0.4×0.5×0.6＋0.6×0.5×0.4＝0.24.P(X＝1)＝1－0.24＝0.76.所以X的分布列為：X13P0.760.24(2)因?yàn)閒(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)X))eq\s\up12(2)＋1－eq\f(9,4)X2，所以函數(shù)f(x)＝x2－3Xx＋1在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)X，＋∞))上單調(diào)遞增.要使f(x)在區(qū)間〖2，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3,2)X≤2，即X≤eq\f(4,3).從而P(A)＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≤\f(4,3)))＝P(X＝1)＝0.76.要點(diǎn)四正態(tài)分布解答正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用題，關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，同時注意以下兩點(diǎn)：(1)注意“3σ”原則，記住正態(tài)總體在三個區(qū)間內(nèi)取值的概率.(2)注意數(shù)形結(jié)合.由于正態(tài)密度曲線具有完美的對稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想，因此運(yùn)用對稱性和結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為熱點(diǎn)問題.〖例7〗某學(xué)校高三2500名學(xué)生第二次模擬考試總成績服從正態(tài)分布N(500，502)，請你判斷考生成績X在550～600分的人數(shù).解∵考生成績X～N(500，502)，∴μ＝500，σ＝50，∴P(550＜X≤600)＝eq\f(1,2)〖P(500－2×50＜X≤500＋2×50)－P(500－50＜X≤500＋50)〗≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359，∴考生成績在550～600分的人數(shù)為2500×0.1359≈340(人).〖訓(xùn)練4〗某地數(shù)學(xué)考試的成績X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線如右圖所示，則成績X位于區(qū)間〖52，68〗的概率為多少？解設(shè)成績X～N(μ，σ2)，則正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，由圖可知，μ＝60，σ＝8.∴P(52≤X≤68)＝P(60－8≤X≤60＋8)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.要點(diǎn)五方程思想方程思想是高中數(shù)學(xué)中最基本、最重要的數(shù)學(xué)思想之一，這種思想方法就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，把變量之間的關(guān)系用方程的關(guān)系反映出來，然后通過解方程或?qū)Ψ匠踢M(jìn)行討論，使問題得以解決.利用方程思想解題的關(guān)鍵是列出方程.〖例8〗一個袋子內(nèi)裝有若干個黑球、3個白球、2個紅球(所有的球除顏色外其他均相同)，從中一次性任取2個球，每取得一個黑球得0分，每取得一個白球得1分，每取得一個紅球得2分，用隨機(jī)變量X表示取2個球的總得分，已知得0分的概率為eq\f(1,6).(1)求袋子中黑球的個數(shù)；(2)求X的分布列與均值.解(1)設(shè)袋中黑球的個數(shù)為n(n≥2)，由條件知，當(dāng)取得2個黑球時得0分，概率為P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,n＋5))＝eq\f(1,6)，化簡得n2－3n－4＝0，解得n＝4或n＝－1(舍去)，即袋子中有4個黑球.(2)X的所有可能取值為0，1，2，3，4，∴P(X＝0)＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,9))＝eq\f(1,3)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,9))＝eq\f(11,36)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,9))＝eq\f(1,6)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,9))＝eq\f(1,36)，∴X的分布列為X01234Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(11,36)eq\f(1,6)eq\f(1,36)∴E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(11,36)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,36)＝eq\f(14,9).〖訓(xùn)練5〗甲、乙兩人為了響應(yīng)政府“節(jié)能減排”的號召，決定各購置一輛純電動汽車.經(jīng)了解目前市場上銷售的主流純電動汽車，按續(xù)航里程數(shù)R(單位：千米)可分為三類車型，A：80≤R<150，B：150≤R<250，C：R≥250.甲從A，B，C三類車型中挑選一款，乙從B，C兩類車型中挑選一款，甲、乙二人選擇各類車型的概率如下表：車型人ABC甲eq\f(1,5)pq乙—eq\f(1,4