人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第三冊第七章 隨機變量及其分布章末檢測試卷二(第七章)

人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1章末檢測試卷二(第七章)(時間：120分鐘滿分：150分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1．隨機變量X～B(n，p)，其均值等于200，方差等于100，則n，p的值分別為()A．400eq\f(1,2) B．200eq\f(1,20)C．400eq\f(1,4) D．200eq\f(1,4)〖答案〗A〖解析〗由題意得，隨機變量X～B(n，p)，其均值等于200，方差等于100，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(EX＝np＝200，,DX＝np1－p＝100，))解得n＝400，p＝eq\f(1,2).2．某人進行一項實驗，若實驗成功，則停止實驗，若實驗失敗，再重新實驗一次，若實驗3次均失敗，則放棄實驗，若此人每次實驗成功的概率為eq\f(2,3)，則此人實驗次數ξ的均值是()A.eq\f(4,3) B.eq\f(13,9)C.eq\f(5,3) D.eq\f(13,7)〖答案〗B〖解析〗由題意可得ξ＝1,2,3，每次實驗成功的概率為eq\f(2,3)，則失敗的概率為eq\f(1,3)，P(ξ＝1)＝eq\f(2,3)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，則ξ的分布列為ξ123Peq\f(2,3)eq\f(2,9)eq\f(1,9)所以E(ξ)＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,9)＝eq\f(13,9).3．已知隨機變量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，則D(η)等于()A．0B．1C．2D．4〖答案〗B〖解析〗∵ξ＝2η＋3，∴D(ξ)＝4D(η)，又D(ξ)＝4，∴D(η)＝1，故選B.4．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才算通過測試．已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為()A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.312〖答案〗A〖解析〗根據題意，知該同學通過測試的兩種情況分別為投中2次和投中3次，所以所求概率為P＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)＋Ceq\o\al(3,3)×0.63＝0.648.5．甲、乙兩人獨立地從六門選修課程中任選三門進行學習，記兩人所選課程相同的門數為X，則E(X)等于()A．1 B．1.5C．2 D．2.5〖答案〗B〖解析〗由已知得X的可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(3,3),C\o\al(3,6)C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),C\o\al(3,6)C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3),C\o\al(3,6)C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(3,3),C\o\al(3,6)C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，∴E(X)＝0×eq\f(1,20)＋1×eq\f(9,20)＋2×eq\f(9,20)＋3×eq\f(1,20)＝1.5.6．設隨機變量X～N(μ，σ2)，且P(X<1)＝eq\f(1,2)，P(X>2)＝p，則P(0<X<1)的值為()A.eq\f(1,2)p B．1－pC．1－2p D.eq\f(1,2)－p〖答案〗D〖解析〗由正態(tài)曲線的對稱性知P(X<1)＝eq\f(1,2)，故μ＝1，即正態(tài)曲線關于直線x＝1對稱，于是P(X<0)＝P(X>2)，所以P(0<X<1)＝P(X<1)－P(X<0)＝P(X<1)－P(X>2)＝eq\f(1,2)－p.7．逢年過節(jié)走親訪友，成年人喝酒是經常免不了的事，但是飲酒過度，是會影響健康的，某調查機構進行了針對性的調查研究．據統(tǒng)計一次性飲酒4.8兩誘發(fā)某種疾病的頻率為0.04，一次性飲酒7.2兩誘發(fā)這種疾病的頻率為0.16.將頻率視為概率，已知某人一次性飲酒4.8兩未誘發(fā)這種疾病，則他還能繼續(xù)飲酒2.4兩不誘發(fā)這種疾病的概率為()A.eq\f(7,8)B.eq\f(5,6)C.eq\f(3,4)D.eq\f(20,21)〖答案〗A〖解析〗記事件A：這人一次性飲酒4.8兩未誘發(fā)這種疾病，記事件B：這人一次性飲酒7.2兩未誘發(fā)這種疾病，則事件B|A：這人一次性飲酒4.8兩未誘發(fā)這種疾病，繼續(xù)飲酒2.4兩不誘發(fā)這種疾病，則B?A，AB＝A∩B＝B，P(A)＝1－0.04＝0.96，P(B)＝1－0.16＝0.84，故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(0.84,0.96)＝eq\f(7,8).8．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸在y軸的左側，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在這些拋物線中，記隨機變量ξ＝“|a－b|的取值”，則ξ的均值E(ξ)為()A.eq\f(8,9)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,3)〖答案〗A〖解析〗由于對稱軸在y軸左側，故－eq\f(b,2a)<0，故a，b同號，樣本點總數為3×3×7×2＝126.ξ的可能取值為0,1,2，P(ξ＝0)＝eq\f(6×7,126)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝1)＝eq\f(8×7,126)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq\f(4×7,126)＝eq\f(2,9).故E(ξ)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(2,9)＝eq\f(8,9).二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)9．已知離散型隨機變量X的分布列如表所示：X012Pa4a5a下列選項中正確的是()A．a的值為0.1 B．E(X)＝0.44C．E(X)＝1.4 D．D(X)＝1.4〖答案〗AC〖解析〗由離散型隨機變量的性質知a＋4a＋5a＝1，∴a＝0.1.∴P(X＝0)＝0.1，P(X＝1)＝0.4，P(X＝2)＝0.5，∴E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4，D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.196＋0.064＋0.18＝0.44.10．某校高三年級要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數學競賽(每人被選中的機會均等)，記A為“男生甲被選中”，B為“男生乙和女生丙至少一個被選中”，則下列結論中正確的是()A．P(A)＝eq\f(3,7) B．P(B)＝eq\f(2,7)C．P(AB)＝eq\f(9,35) D．P(B|A)＝eq\f(3,5)〖答案〗ACD〖解析〗由題意，得P(A)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(3,7))＝eq\f(3,7)，P(B)＝1－eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(5,7)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,4)＋1,C\o\al(3,7))＝eq\f(9,35)，由條件概率公式可得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(3,5).11．若隨機變量ξ～N(0,1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，下列等式成立的有()A．φ(－x)＝1－φ(x)B．φ(2x)＝2φ(x)C．P(|ξ|≤x)＝2φ(x)－1D．P(|ξ|>x)＝2－φ(x)〖答案〗AC〖解析〗∵隨機變量ξ服從標準正態(tài)分布N(0,1)，∴正態(tài)分布關于ξ＝0對稱，∵φ(x)＝P(ξ≤x，x>0)，根據曲線的對稱性可得對于A，φ(－x)＝P(ξ≥x)＝1－φ(x)，∴該命題正確；對于B，φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，φ(2x)≠2φ(x)，∴該命題錯誤；對于C，P(|ξ|≤x)＝P(－x≤ξ≤x)＝1－2φ(－x)＝1－2〖1－φ(x)〗＝2φ(x)－1，∴該命題正確；對于D，P(|ξ|>x)＝P(ξ>x或ξ<－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝1－φ(x)＋1－φ(x)＝2－2φ(x)，∴該命題錯誤．故選AC.12．已知X～N(μ，σ2)，f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈R，則()A．曲線y＝f(x)與x軸圍成的幾何圖形的面積小于1B．函數f(x)圖象關于直線x＝μ對稱C．P(X>μ－σ)＝2P(μ<X<μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)D．函數F(x)＝P(X>x)在R上單調遞增〖答案〗BC〖解析〗選項A，曲線y＝f(x)與x軸圍成的幾何圖形的面積等于1，所以A不正確；選項B，f(x＋μ)＝，f(μ－x)＝所以f(x＋μ)＝f(μ－x)，所以函數f(x)圖象關于直線x＝μ對稱，所以B正確；選項C，因為P(μ－σ<X<μ)＝P(μ<X<μ＋σ)所以P(X>μ－σ)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)＝2P(μ<X<μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)所以C正確；選項D，由正態(tài)分布曲線可知，當x越大時，P(X>x)越?。春瘮礔(x)＝P(X>x)隨x的增大而減小，是減函數，所以D不正確．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．針對“中學生追星問題”，某校團委對“學生性別和中學生追星是否有關”做了一次調查，其中女生人數是男生人數的eq\f(1,2)，男生追星的人數占男生人數的eq\f(1,6)，女生追星的人數占女生人數的eq\f(2,3).現(xiàn)隨機選擇一名學生，則這名學生追星的概率是________．〖答案〗eq\f(1,3)〖解析〗記A1代表女生，A2代表男生，B代表追星．設女生人數為x，則男生人數為2x，總人數為x＋2x＝3x，所以P(A1)＝eq\f(x,3x)＝eq\f(1,3)，P(A2)＝eq\f(2x,3x)＝eq\f(2,3)，P(B|A1)＝eq\f(2,3)，P(B|A2)＝eq\f(1,6)，所以這名學生追星的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).14．袋中有4只紅球、3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設得分為隨機變量X，則P(X≤6)＝________.〖答案〗eq\f(13,35)〖解析〗P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(4,4)＋C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(13,35).15．排球比賽的規(guī)則是5局3勝制(無平局)，在某次排球比賽中，甲隊在每局比賽中獲勝的概率都相等，為eq\f(2,3)，前2局中乙隊以2∶0領先，則最后乙隊獲勝的概率是________．〖答案〗eq\f(19,27)〖解析〗最后乙隊獲勝含3種情況：(1)第三局乙勝；(2)第三局甲勝，第四局乙勝；(3)第三局和第四局都是甲勝，第五局乙勝．故最后乙隊獲勝的概率P＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(19,27).16．王先生家住A小區(qū)，他工作在B科技園區(qū)，從家開車到公司上班路上有L1，L2兩條路線(如圖)，L1路線上有A1，A2，A3三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為eq\f(1,2)；L2路線上有B1，B2兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為eq\f(3,4)，eq\f(3,5)，若走L1路線，王先生最多遇到1次紅燈的概率為________，若走L2路線，王先生遇到紅燈次數X的均值為________．〖答案〗eq\f(1,2)eq\f(27,20)〖解析〗走L1路線最多遇到1次紅燈的概率為Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,2)，依題意，得X的可能取值為0,1,2，則P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(1,10)，P(X＝1)＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(3,5)＝eq\f(9,20)，P(X＝2)＝eq\f(3,4)×eq\f(3,5)＝eq\f(9,20)，∴E(X)＝0×eq\f(1,10)＋1×eq\f(9,20)＋2×eq\f(9,20)＝eq\f(27,20).四、解答題(本大題共6小題，共70分)17．(10分)在某次數學考試中，考生的成績X服從正態(tài)分布X～N(95,225)．(1)試求考試成績X位于區(qū)間〖65,125〗內的概率；(2)若這次考試共有3000名考生，試估計考試成績位于區(qū)間〖80,110〗內的考生人數．參考數據：(P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545)解∵X～N(95,225)，∴μ＝95，σ＝15.(1)∵μ－2σ＝95－2×15＝65，μ＋2σ＝95＋2×15＝125，又P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，∴P(65≤X≤125)≈0.9545.(2)∵μ－σ＝95－15＝80，μ＋σ＝95＋15＝110，∵P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，∴P(80≤X≤110)≈0.6827，∴考試成績位于區(qū)間〖80,110〗內的考生人數為3000×0.6827≈2048(人)．18．(12分)某種疾病能導致心肌受損害，若第一次患該病，則心肌受損害的概率為0.3，第一次患病心肌未受損害而第二次再患該病時，心肌受損害的概率為0.6，試求某人患病兩次心肌未受損害的概率．解設A1＝“第一次患病心肌受損害”，A2＝“第二次患病心肌受損害”，則所求概率為P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2)．由題意可知，P(A1)＝0.3，P(A2|eq\x\to(A)1)＝0.6，又P(eq\x\to(A)1)＝1－P(A1)＝0.7，P(eq\x\to(A)2|eq\x\to(A)1)＝1－P(A2|eq\x\to(A)1)＝0.4，所以P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2)＝P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)2|eq\x\to(A)1)＝0.7×0.4＝0.28.19．(12分)某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2棵．設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為eq\f(5,6)和eq\f(4,5)，且各棵大樹是否成活互不影響，求移栽的4棵大樹中，(1)至少有1棵成活的概率；(2)兩種大樹各成活1棵的概率．解設Ak表示第k棵甲種大樹成活，k＝1,2，Bl表示第l棵乙種大樹成活，l＝1,2，則A1，A2，B1，B2相互獨立，且P(A1)＝P(A2)＝eq\f(5,6)，P(B1)＝P(B2)＝eq\f(4,5).(1)至少有1棵成活的概率為1－P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2eq\x\to(B)1eq\x\to(B)2)＝1－P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)2)P(eq\x\to(B)1)P(eq\x\to(B)2)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＝eq\f(899,900).(2)兩棵大樹各成活1棵的概率為P＝Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))·Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＝eq\f(10,36)×eq\f(8,25)＝eq\f(80,900)＝eq\f(4,45).20．(12分)為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過1小時離開的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,6)；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(2,3)；兩人滑雪時間都不會超過3小時．(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；(2)設甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列與均值E(ξ)．解(1)若兩人所付費用相同，則相同的費用可能為0元，40元，80元，兩人都付0元的概率為P1＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，兩人都付40元的概率為P2＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，兩人都付80元的概率為P3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)－\f(2,3)))＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，則兩人所付費用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝eq\f(1,24)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,24)＝eq\f(5,12).(2)由題意得，ξ所有可能的取值為0,40,80,120,160.P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，P(ξ＝40)＝eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝80)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)，P(ξ＝120)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝160)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，ξ的分布列為ξ04080120160Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(5,12)eq\f(1,4)eq\f(1,24)E(ξ)＝0×eq\f(1,24)＋40×eq\f(1,4)＋80×eq\f(5,12)＋120×eq\f(1,4)＋160×eq\f(1,24)＝80.21．(12分)在一個不透明的盒子中，放有標號分別為1,2,3的三個大小相同的小球，現(xiàn)從這個盒子中，有放回地先后取得兩個小球，其標號分別為x，y，記ξ＝|x－2|＋|x－y|.(1)求隨機變量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；(2)求隨機變量ξ的分布列．解(1)∵|x－2|≤1，|x－y|≤2，∴ξ≤3，且x＝3，y＝1或x＝1，y＝3時，ξ＝3，∴隨機變量ξ的最大值為3.∵有放回地先后取得2個小球共有9種情況，∴P(ξ＝3)＝eq\f(2,3×3)＝eq\f(2,9).(2)隨機變量ξ的所有取值為0,1,2,3.∵當ξ＝0時，只有x＝2，y＝2一種情況；當ξ＝1時，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四種情況；當ξ＝2時，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2兩種情況；當ξ＝3時，有x＝3，y＝1或x＝1，y＝3兩種情況，∴P(ξ＝0)＝eq\f(1,3×3)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝1)＝eq\f(4,3×3)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,3×3)＝eq\f(2,9)，P(ξ＝3)＝eq\f(2,3×3)＝eq\f(2,9)，故隨機變量ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,9)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(2,9)22.(12分)某學校舉行聯(lián)歡會，所有參演的節(jié)目都由甲、乙、丙三名專業(yè)老師投票決定是否獲獎．甲、乙、丙三名老師都有“獲獎”“待定”“淘汰”三類票各一張．每個節(jié)目投票時，甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為eq\f(1,3)，且三人投票相互沒有影響．若投票結果中至少有兩張“獲獎”票，則決定該節(jié)目最終獲一等獎，